О решении первой краевой задачи на плоскости для уравнения Лапласа в области, ограниченной параболой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В161.611

Ирина Анатольевна Ефимова

кандидат физико-математических наук, доцент, Забайкальский институт предпринимательства Сибирского университета потребительской кооперации (Чита, Россия), e-mail: hol47@yandex.ru

О решении первой краевой задачи на плоскости для уравнения Лапласа в области, ограниченной параболой1

Рассмотрена первая краевая задача во внутренней части области, ограниченной параболой. Методом свёртывания разложений Фурье решение задачи выражено в виде ряда через решение классической задачи Дирихле в полуплоскости.

Ключевые слова: задача Дирихле в криволинейной области, уравнение Лапласа, метод свёртывания разложений Фурье.

Irina Anatol’evna Efimova

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Zabaikalsky Institute of Entrepreneurship of Siberian University of Consumer Cooperation (Chita, Russia), e-mail: hol47@yandex.ru

On Solution of the First Boundary Value Problem on a Plane for Laplace’s Equation in the Area Bounded by Parabola

The first boundary value problem in the inner part of the area limited by parabola is considered. Using a convolution method of Fourier expansions, the problem solution is expressed in the form of a series through the solution of the classical Dirichlet problem in the half-plane.

Keywords: Dirichlet problem in curvilinear area, Laplace’s equation, a method of convolution of Fourier expansions.

Рассмотрим на плоскости с декартовыми координатами x, у для функции u(x,y) первую краевую задачу в области D(x > ky2 — l2), ограниченной параболой L(x = ky2 — l2) (D - внутренняя часть, содержащая точку (0, 0)):

д2хи + д2и = 0, (x, y) e D; ui(x,y)eL = ф(х,у), (1)

где ф(х,у) - заданная непрерывная функция, к = (21)-2, I > 0, дП = дп/дхп. В данном случае область Б имеет криволинейную границу Ь, не совпадающую с координатными линиями, что вызывает существенные трудности при решении данной задачи.

С помощью аналитической функции г = (2 перейдём на вспомогательную плоскость ( = £ + щ, где г = х + гу,

х = £2 - П2, У = 2£п- (2)

Координаты £, п являются параболическими координатами основной плоскости г или декартовыми координатами плоскости £• Обратное отображение имеет вид

£ = sign{y)\jr-^^, г)=\/-г = у'х2 + у2. (3)

1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ (код проекта 1.3985.2011).

© Ефимова И. А., 2013

29

Функция г = (2 отображает полосу О(£ € Д, 0 < п < /) плоскости ( на область В с разрезом в(0 < х < то, у = 0) € В, при этом границы п = / и п = 0 полосы О отображаются соответственно в параболу Ь и разрез в. В переменных £, п задача (1) для функции м(£, п) примет вид

д|и + д^м = 0, (£,п) € О; = ‘(£), (4)

м(£, 0) = м(—£, 0), 5^м(£, 0) = -5^м(—£, 0), (5)

где ‘(£) = ^(£2 — I2, 2£/) (2). Условия сопряжения (5) выражают непрерывность искомого решения м(£, п) и его нормальной производной на разрезе в основной плоскости, т. е. этим разрезом можно пренебречь. На плоскости £ границами области О являются прямые координатные линии, однако задача усложняется наличием дополнительных условий сопряжения (5).

Наряду с задачей (4), (5) рассмотрим классическую задачу Дирихле в полуплоскости п < / с сохранением граничной функции ‘(£) (4) вида

д|/ + д/ = 0, п</; /|п= = ‘Ж)- (6)

Решение данной задачи строится по формуле Пуассона

fíe \ _ V ~1 í <p(p)dp

,Г1 к J (£ -р)2 + (г] - /)2’

— ТО

причем последний интеграл вычисляется в конечном виде для достаточно широкого класса граничных функций у>(£), т.е. функцию f (£, п) (7) можно считать известной функцией.

С помощью метода свёртывания разложений Фурье [1, 2] выразим решение задачи (4), (5) через решение f (£, п) задачи Дирихле (6). Пусть граничная функция у>(£) разлагается в интеграл Фурье, т. е.

ТО

¥>(0 = J[^1 (A) sin + ¥2 (A) cos A£]dA, (8)

0

где

ТО

n,mm = Ц АО ( 2%) «¡с, (в)

—ТО

при этом ‘(£) ^ 0 при £ ^ ±то. Отсюда, применяя метод Фурье к задаче Дирихле (6), её решение найдём в виде разложения Фурье:

ТО

f (£, п) = У еЛ(п—г)Ь (A)sin A£ + ¥2(A)cos A£]dA, п < i- (10)

0

Представим решение задачи (4), (5) в виде

ТО

»(«,„) = /[»(A)sh A,sinЛ£ + b(A)chA,cosAi]dA, 0 < п < Í, (11)

где а(Л), Ь(Л) - искомые параметры. Отсюда функция м(£, п) удовлетворяет уравнению (4) и условиям сопряжения (5) (при условии сходимости и дифференцируемости интеграла (11)). Из граничного условия (4) с учётом разложения (8) находим

“(А) = ЮГ ь(А)=ллГ (12)

Отсюда решение задачи (4), (5) строится по формулам (11), (12). Полученное решение содержит двукратные квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье ‘ (Л) (9)) от сильно осциллирующих тригонометрических функций, что затрудняет практическое использование полученного решения.

Выразим полученное решение (11) непосредственно через функцию /(£, п) (7) без разложений Фурье. Из равенств (12) следует

а = £ е--(2п+1); 6 = = ^ Е(_1Ге-лг(2п+,

п=0 п=0

Здесь дроби разложены в геометрические прогрессии со знаменателями

Яг = ( — 1Г+1в-2Лг, |ф | < 1.

Отсюда с учётом разложения (10) функция м(£, п) (11) приводится к виду:

ТО

м(£,п) = £( —1)п[/(( — 1)п£,п — 2п/) + /(( —1)”+1е, —п — 2п/)]. (13)

Полученный ряд сходится достаточно быстро, как знакочередующийся ряд, при этом учитываем, что функция /(£, ц) (7) при ц ^ —то монотонно стремится к нулю.

Таким образом, решение исходной задачи (1) непосредственно выражается через решение f (£, ц) задачи Дирихле (6) в полуплоскости ц < 1 по формуле (13) без квадратур и без разложений Фурье, где переменные £ = £(ж, у), ц = ц(х, у) имеют вид (3).

Список литературы

1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1204-1208.

References

1. КЬо^оуэку 8. Уе. Metod вууогіууатуа razlozheny Еигуе. БІисИау оЬоЬвЬеЬеппукЬ ивІоуу sopryazheniya Ира ИевЬсЬшу ^ауеэу) V kusochno-neodnorodnykh sredakh // БійегеП^іаІпуе игауштуа. 2009. Т. 45. № 6. Б. 855-859.

2. КИо^оувку Б. Уе. Metod эууо^ууатуа razlozheny Еигуе. БІисИау tгeshchiny ^ауеэу) у V neodnoгodnom pгostгanstve // Differentsialnye uгavneniya. 2009. Т. 45. № 8. Б. 12041208.

Статья поступила в редакцию 15.03.2013