CC BY
103
Научные сообщения
УДК 519. 5 ББК В 126
Ю.Г. Абакумов
О парадоксальных свойствах множества действительных чисел, связанных с несчетностью
Обсуждается парадокс, заключающийся в том, что для «подавляющего большинства» действительных чисел нет и не может быть правила нахождения любого знака в десятичном разложении.
Ключевые слова: несчетность множества действительных чисел, мера Лебега, теорема Ско-лема.
Yu.G. Abakumov
On Some Paradoxical Peculiarities of the Set of Real Numbers Connected with Nonenumerability
The article is devoted to the paradox that for the majority of real numbers there is no rule to find any mathematical sign in decimal expansion.
Key words: nonenumerability of a set of real numbers, Lebesgue measure, Scholem theorem.
1. Вводные замечания. Несчетность множества действительных чисел (более того, несчетность множества действительных чисел любого отрезка [a,b]) была установлена Г. Кантором. Доказательство теоремы о несчетности излагается в любой книге по теории функций действительного переменного (см., например, [1]).
Для удобства дальнейшего чтения, кратко изложим суть дела.
Множество M называется счетным, если существует взаимнооднозначное отображение <Р : N ^ M, где N = {1,2,3,.} - множество натуральных чисел. Иначе говоря, множество M счетно, если все его элементы можно занумеровать целыми натуральными номерами, то
есть M = {mt=i.
Доказательство того, что множество действительных чисел отрезка [0,1] нельзя перенумеровать, основано на следующих соображениях. Любое число х е [0,1] можно представить бесконечной десятичной дробью
х = х0,х1х2..хп... (если на самом деле дробь конечная, то при п > к Хп = о). Мы исключаем из рассмотрения десятичные представления,
имеющие после какого-то знака одни девятки (то есть такие, что Хп = 9 при п > к). Это можно сделать, так как такие дроби представляют, на самом деле, числа, представимые конечными десятичными дробями (например,
0,1999...=0,2). Покажем, что ни одна последовательность [х(п> }“, Уп х(п) е[0,1] не может исчерпывать все множество действительных чисел отрезка [0,1]. Пусть [х(п) }=1 - произвольно взятая последовательность различных чисел х<п> е[0,1] . Обозначим х(п) = Х0п,ХтХ2п..Хпп... , Хп
- цифры десятичного представления Х(п^. Образуем число у = у у у2 ...у по правилу:
у0 = 0, а при п > 1 уп = хпп + 1, если хПП е{0,1,2,3,4,5,6, 7}, у„ = 1, если хпп е[8,9). Но тогда у <£ {х(п>}. В силу произвольности [х<п>}, ни одна последовательность не содержит всех действительных чисел [0, 1].
В последнее время появилось большое количество работ с критикой этого результата, при этом критика, как правило, свидетельствует о некомпетентности авторов. Особенно изобилуют нелепостями работы [2; 3]. В предлагаемой статье воздержимся от разбора этих работ (в отношении [2] я вообще не уверен, что это надо делать, а разбору работы [3] посвящена отдельная статья). Замечу лишь, что авторы упомянутых работ утверждают, что доказательство Кантора содержит логическую ошибку (и на этом основании почему-то делают вывод о том, что теорема Кантора неверна). Непротиворечивость канторовской теории множеств не доказана, но искать противоречие так «близко», как это делают авторы [2;3], на мой взгляд, полная наивность.
Парадокс, о котором говорится в заглавии и о котором речь пойдет далее (он, по существу,
является вариантом парадокса Ришара [4]), не является противоречием. Термин «парадокс» мы будем понимать в смысле «указание на соответствие со здравым смыслом, с житейским опытом». Парадокс не следует понимать как логическое противоречие. Парадоксальными выглядят положения (теоремы) геометрии Лобачевского, принцип теории относительности о предельности скорости света. Тем не менее, ни в геометрии Лобачевского, ни в теории относительности логических противоречий не обнаружено.
2. Конструктивные действительные числа и парадокс несчетности. Известно, что рациональные числа представляются периодической десятичной дробью, а иррациональные - непериодической. Иногда на этом основании утверждается о качественном различии рациональных и иррациональных чисел. Дескать, если число рациональное, то мы можем предсказать цифру, стоящую в разложении на заданном наперед месте, а в разложении иррационального числа такое невозможно (в [3], например, утверждается, что в последовательности знаков в разложении алгебраических чисел отсутствует какая-либо закономерность). Путался в этом вопросе и Л. Витгенштейн [5]. Критерий предсказуемости любой цифры отнюдь не делит числа на рациональные и иррациональные. Конечно, если мы возьмем рациональное число — , то любую цифру в разложении предсказать нетрудно, так как любая цифра равна 3. Но рациональные числа бывают разные. Обозначим пп (п >1 целое) рациональное число, в разложении которого первые п цифр после запятой совпадают со знаками в разложении п, далее знаки повторяются периодически. Таким образом, при любом п число пп рациональное, в том числе п юооооооо . При современном уровне знаний о числе п отсутствует информация о знаках в разложении этого числа, если номер знака больше 1о7 + 1о6. В то же время число
А
а = ^4
п=1 1о
предсказать любую цифру в его разложении. В самом деле, а= 0,0000000001000.. .0100... единицы стоят на местах с номерами іо,іоо ,іооо,...іоп,.. , остальные знаки - нули.
Мы будем разделять множество действительных чисел отрезка [0,1] (а это значит, мно-
п иррациональное, но мы можем
жество бесконечных десятичных дробей) по другому признаку. В первый класс отнесем те числа, для которых известно правило образования цифр в десятичном разложении, а также те, для которых это правило в принципе может быть получено. Остальные числа (не входящие в первый класс) отнесем ко второму классу. Уточним, правило, о котором мы говорили, не должно использовать генератор случайных чисел. Таким образом, во второй класс входят числа, для которых нет и не может быть алгоритма вычисления цифр в их десятичном разложении. Числа первого класса будем называть конструктивными действительными числами (КДЧ), что соответствует общепринятому названию [6]. Основание натуральных логарифмов, число е = 2,7182818284 59й45... , знаки которого, на первый взгляд, чередуются хаотически, на самом деле относятся к множеству
от 1
КДЧ. Действительно, е = 2______Эта формула и
п= оп!
является основой для вычисления знаков в разложении Є (в [7, с. 275], приводятся 590 знаков в разложении Є, и это не рекорд). Знаменитое число п также относится к КДЧ. В настоящее время известно 10013395 знаков в разложении п (сведения взяты из работы [8]). Числа Є и п - трансцендентные. По-видимому, все числа, трансцендентность которых установлена [9], относятся к КДЧ. Квадратичные иррациональные числа представляются в виде периодической непрерывной дроби (см., например, [10], Л. Витгенштейн, видимо, этого не знал), следовательно, относятся к КДЧ. Может быть чисел второго класса вообще нет? По поводу этого вопроса сформулируем основанное на теореме Кантора утверждение, которое и составляет «парадокс несчетности»: «Числа отрезка [0,1], не относящиеся к КДЧ (числа второго класса), составляют «подавляющее большинство» среди всех чисел отрезка [0,1]». Что значит «подавляющее большинство», следует пояснить. Дело в том, что множество КДЧ - счетное. Действительно, каждое КДЧ предполагает, что есть алгоритм вычисления любого его знака. Алгоритм - это записанная словами инструкция. Слов - счетное множество, каждый алгоритм записывается с помощью конечного числа слов, следовательно, множество алгоритмов - счетное. Значит, и множество КДЧ - счетное. В то же время множество всех действительных чисел отрезка [0,1] несчетное. Значит, несчетное и множество чисел второго класса и в этом смысле их «больше», чем чисел первого класса. Итак, мало то-
го, что числа второго класса являются чем-то вроде «вещи в себе», их еще среди чисел «большинство». Впрочем, если полная информация о любом числе второго класса не возможна, то отдельные сведения можно привести. Например, для любой конечной последовательности цифр существует бесконечное (и несчетное) множество чисел второго класса, десятичное представление которых начинается с этой последовательности цифр.
3. Мера Лебега и второе «доказательство» несчетности множества действительных чисел. Мера Лебега линейных множеств (то есть множеств на числовой прямой) обобщает понятие длины. Задача заключается в том, чтобы так определить меру (обозначение: m(G) -
мера множества G ), чтобы как можно более широкий класс множеств охватывал измеримые множества (то есть имеющие меру) и чтобы мера наследовала естественные свойства длины, например, m([ a,b]) = b - a, если G1 0G2 = 0 (пустое множество), то
m(G1 U G2) = m(G1) + m(G2) и т.п. До Лебега попытку построения теории меры предпринял Жордан. Но оказалось, что слишком много множеств не имели меры по Жордану (то есть были неизмеримыми). Определение меры множества G по Лебегу сводится к следующему. Пусть имеется отрезок [ a,b], такой, что G с [a,b] . Множество интервалов jn (конечное или счетное) называется покрытием G , если g с U J . Мера любого интервала равна
п= 1
его длине. Верхней мерой множества G называется величина m* (G) = inf 2т( J ), inf берется
п =1
по всем покрытиям. Нижней мерой m.(G) называется величина (b - a) - m*([a,b]\G). Если т* (G) = m.(G) = m(G), то m(G) называется
мерой Лебега G . Для нас сейчас важно, что мера Лебега счетного (ограниченного) множества равна нулю. Доказывается это следующим образом. Пусть g > 0 произвольное (как угодно малое) действительное число, G = U {gn}
п=1
счетное множество, gn действительные числа.
Пусть, далее, j = I g - g + g |. Оче-
y wn,g \Уп 2П+1 ’**n 2П+1 I
видно, 2mjjj ) = g. В силу произвольности g
п=1
имеем m* (G) = 0. Отсюда, m(G) = 0.
Итак, тш) = 1, а мера любого счетного множества равна нулю. Следовательно, множество точек отрезка [о ,1] (да и любого отрезка [э,Ь]) несчетно. Приведенное «доказательство» выглядит, пожалуй, даже убедительней, чем доказательство с помощью «диагонального метода». Почему же оно нигде не приводится? Дело в том, что корректность определения меры Лебега не имеет пока строгого обоснования. Не доказано, что не существует множества, для которого вычисления меры разными способами приведут к разным результатам (хотя и есть субъективная уверенность, что это так). Заметим, по этому поводу, без подробностей, что известный пример Витали неизмеримого множества [11, 67], строго говоря, нужно понимать так: «либо существует неизмеримое по Лебегу множество, либо определение меры по Лебегу некорректно».
4. Теорема Сколема - еще один «удар» по несчетности. Одна из возможных формулировок теоремы Сколема звучит так: если счетная теория имеет модель, то она имеет счетную модель. Заметим, все известные теории - счетные. Приведем другой вариант формулировки: любое выполнимое множество формул выполнимо в некоторой счетной модели. Заметим (для дальнейшего это важно), счетность понимается в смысле определения Кантора. На первый взгляд, опасности для несчетности теорема Сколема не представляет. Действительно, известно, что неполна даже арифметика натуральных чисел. Неполнота теории означает существование неизоморфных моделей. Так что, вполне возможно, что существуют как счетные модели, так и несчетные. Но дело в том, что все аксиомы теории, а значит, и все теоремы (если нет ошибки в доказательстве), должны выполняться в любой модели. Но в счетной модели теорема о несчетности выполняться не должна. Эти соображения составляют так называемый «парадокс Сколема». Математики давно разобрались с этим парадоксом. Сведения о счетной модели имеются в [12, с. 405-407], там же объясняется парадокс. Дело в том, что абсолютная мощность может не совпадать с внутренней мощностью в модели. Более наглядно и доходчиво эта ситуация иллюстрируется на аналогичном примере (см. п. 5).
5. Неперечислимость - конструктивный аналог несчетности. Конструктивная теория действительных чисел (как часть конструктивного анализа) не дает счетную модель канторовской теории числовых множеств. Это можно утверждать потому, что не все свойства множества
действительных чисел, по Кантору, допускают интерпретацию на множестве КДЧ. Например, на множестве КДЧ не выполняется теорема: всякая возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет предел (контрпример см., например, [6]).
Тем не менее, несчетность множества действительных чисел в канторовской теории множеств имеет интерпретацию в конструктивной теории действительных чисел.
Как уже отмечалось, появившиеся в последнее время критические работы с «опровержением» теоремы Кантора о несчетности содержат опровержения (как кажется самим авторам) доказательства, но не самой теоремы. Опровергнуть саму теорему Кантора было бы «проще всего», приведя алгоритм пересчета
всех действительных чисел. Никто такого алгоритма не нашел. Как выяснилось (см. [6, с. 187-191], такого алгоритма нет. Уточним, результат состоит в следующем: каков бы ни был алгоритм, ставящий в соответствие целым числам конструктивные действительные числа, найдется КДЧ, отличное от любого числа, которые перечисляет этот алгоритм. Иначе говоря, конструктивные действительные числа пересчитать нельзя.
Таким образом, множество КДЧ - счетное в смысле Кантора (абсолютная мощность совпадает с мощностью целых чисел), но «конструктивная мощность» этого множества больше мощности целых чисел.
Парадокс Сколема разрешается аналогично.
Список литературы
1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974. - 480 с.
2. Зенкин А. А. Априорные логические суждения с нулевой онтологией // Математика и опыт. - М. : МГУ, 2003. - С. 423-434.
3. Петросян В. К. Основные положения оснований гармонической арифметики // Бесконечность в математике. - М.: Янус-К, 1997. - С. 48- 66.
4. Карри Х. Основания математической логики. - М.: Мир, 1969. - 568 с.
5. Сокулер З.А. Людвиг Витгенштейн и его место в философии ХХ в. - Долгопрудный: Аллегро-Пресс, 1994. -173 с.
6. Кушнер Б.А. Лекции по конструктивному математическому анализу. - М.: Наука, 1973. - 448 с.
7. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.: Наука, 1979. - 720 с.
8. Тихомиров В. М. Финитизация бесконечности в классическом анализе. // Бесконечность в математике. -М.: Янус-К, 1997. - С. 177-189.
9. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. - М.: Наука, 1987. - 447 с.
10. Бухштаб А. А. Теория чисел. - М.: Просвещение, 1966. 384 с.
11. Босс В. Лекции по математике. Т.5: Функциональный анализ. - М.: КомКнига, 2005. - 216 с.
12. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. - М.: Наука, 1972. - 592 с
УДК 510 (022)
ББК В 11
И.А. Гуримская
О решении краевых задач для дивергентного уравнения в области, ограниченной параболой
Рассмотрена первая краевая задача в неоднородной области, ограниченной параболой (внутренняя ее часть), когда коэффициент дивергентного уравнения является квадратичной функцией. Методом свертывания разложений Фурье решение задачи выражено через решение классической задачи Дирихле в однородной полуплоскости (относительно уравнения Лапласа).
Ключевые слова: первая краевая задача, параболическая неоднородная область, метод свертывания разложений Фурье.
I.A. Gurimskaya
On Solving Boundary Value Problems for Divergence Equation in Parabola-Bounded Space
The article deals with the first boundary value problem in parabola-bounded space when the divergence equation coefficient is a quadratic function. The problem was solved by means of Fourier method and expressed through Dirichlet problem solution.
