О распространении электромагнитных ТМ-волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Хорошева Э. А. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ

В статье изучаются электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений.

Введение

Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [1,2]. Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [3]. При распространении резко неоднородной волны -«луча» лазера, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию. В этом случае процесс распространения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ - поляризованных волн в диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, подробно исследовано в [2]. В этих работах были получены аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений, выраженные с помощью эллиптических функций, а также представлены численные результаты расчетов. Однако при изучении других структур, например круглого диэлектрического волновода, уже не удается получить аналитические решения, но возможно применение численных методов. Кроме того, для анализа вопроса о существовании и единственности решений краевой задачи приходится привлекать методы функционального анализа исследования нелинейных операторов.

В этой статье изучаются электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с s = const . В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным сечением W = {x: xj2 + x22 < R2} . Пусть диэлектрическая проницаемость S внутри цилиндра определяется по закону Керра: s = (s2 + a\E\2)s0 ,

где a и S - вещественные положительные константы. Здесь S - постоянная составляющая проницаемости S ; a - коэффициент нелинейности. Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

\rotH = -iasE,

\ (1)

[rotE = mjnH

условиям непрерывности касательных составляющих поля H и E при переходе через границу волновода и условиям затухания поля на бесконечности.

В цилиндрической системе координат (р,ф, z) в случае ТМ- поляризации предположим, что E = (Eр,0,Ez),H = (0,Hp,0) . Из уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат следует, что Ez = Ez(p,z) и Ep = Ep(p,z) не зависят от ф.

Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн Ep(p, z) = v(p)eiyy,E2(р, z) = u(p)eiyz , (2)

где у - вещественная постоянная распространения волны.

Внутри волновода fj. = jUq , £ = ss0 , где £0,/л0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного

пространства, k0 = ^s®2 , где k0 — волновое число свободного пространства.

Из уравнений Максвелла, учитывая ТМ - поляризацию, получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:

8EZ др

ГН v = о>е0ёЕр (3)

13 .

(pH v) = -imsasEz рдр v

Выражая из первого уравнения системы H и подставляя во второе и третье уравнение, приходим к системе из двух уравнений:

Г2Ер+гГ^ = коёЁр

(4)

.IS,,, 1 3 ffl ,2„

ir-—(pEp)------—iP-r-) = К eEz

pop pop op

Обозначая Ep = V,iEz = U,k2 = k^S2—y2 , получим систему:

~ '

~k2 V + yU = fi

11 , , (5)

-y.-(pV)'--(pU')'-ko2S2U = f2

P p

yEp-~^ = ia^0Hv

fi = k20a\E\2 V , f2 = k20a\E\2 U , |E|2 = V2 + U

Из первого уравнения системы выражаем V и подставляем во второе уравнение, которое и будем решать. После преобразований получим:

(pU' у+k2pu=-k2- ■\yi{pfii—pf2

kо S2 I k2

F (p) = -pi--\yI(pfl1 — pf2

ko S2 у k2

(6)

(pU )' + k22pU = F,0 <p< R

(7)

Построим функцию Грина для краевой задачи

LG = —S(p — r),

G| _0 — ограничена,G| = 0

виде

G(r,p)=

i

J0(k2 R) 1

( J0(k2p)N0(k2r)J0(k2R) — J0(k2p)J0(k2r)N0(k2R)'), p ^ r ^ R

d d , 2

где L = p--------r-H----+ k2 p

dp dp

(8)

J0 (k2R)

(N0(k2p)J0(k2r)J0(k2R) — J0(k2p)J0(k2r)N0(k2R)),r ^ p ^ R

Функция Грина существует при таких значениях параметров, что У0(к2К) ^0 . Используя вторую формулу Грина, получаем

U (r) = J G(r,p)F (p)dp+RU (R — 0) (r, R)

0 dp

V w = У £ J G,r-p)F (py,p—t?+y U (R—0) Щт’- r

(9)

k22 8г’>

k k'

V = Ep = —±CK0 (kp),

(12)

Вне волновода решение имеет вид:

U = E2 = CK0{klp) (11)

У '

ki

где k12 = y2 — , C = const , K0 — функция Макдональда.

Условия сопряжения на границе раздела сред:

[U] = 0, [sV]= 0 (13)

Выберем условия нормировки в виде:

s Vlr = R—0 + aV\E\2L „=1 ,

следовательно

, SiVr

--1 и C =

(14)

k1

syK0 (kR)

(15)

U(R + 0) = —k-. K°(kR)

sy K0 (kR)

Дисперсионное отношение можно записать в виде:

V (R — 0) =

1

s+ a|U (R — 0)|2

(16)

Применяя условие U(R + 0) = U(R — 0) , получим систему

V (г} = У I hp (p'd'p—4x+y u (R+0 p ^ R)

k2 k2

,dG,

U (r) = J G(r,p)F (p)dp + RU (R + 0)—(r, R) 0 dp

где

J G(r,p)F (p)dp =

k 2

k0S2

—y J" 7Г pfdp—\ Gpf2d p

k 2 0 dp

0

Тогда

U (r)=^-(—{2 J 8-Gpfdp—J Gpf2dp)—R d (r,

t- ^ J 0 dp sy K0 (kR

(10)

(17)

v (r)= —4m +_yldG (r,ppf2dp\—1—R У Km

t2C. hA J ttn 1 1 t2 f 2 t2 t2 dnrir a. IT runs

k0s2 k2 0drdlp k2 0 dr k2 k2 dpdr S1 k0 (k1R)

После преобразований получим окончательный вид системы:

где

К

2

R

R

0

U (r)--L- jdGpf dp—kh ]Gpf, dp—R dG (r, R) ± zm.

KS dp k^S2_0 dp sy K0(k,R)

R

d2G

1

V(r)=—, 2 , 2 J d;Gpf1dp—T2~ J dG pf2dp—id f1(r')—, 2

koS ki о drop k^s^^or kns0 k S

Rk2 d2G(r,R) K0 (kR)

k0S2 0

k0S2

2 S1

dp>r K0 (kfi)

Утверждение 1. Краевая задача на собственные значения (1), (2), (11) -(14) эквивалентна системе

интегральных уравнений (18) с дисперсионным соотношением (16), которая решается методом сжимающих отображений, аналогично работе [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. V.M. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, and V.P. Silin. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet physics JETP. - 1972. - Vol. 35, № 1. - P 44-47.

2. Ю.Г. Смирнов, С. Н. Куприянова. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой. // естественные науки. Математика. - 2003.- № 6.

3. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. - М.: Наука, 1978.