Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В КРУГЛЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ

Аннотация. Изучается задача о распространении ТМ-поляризованных электромагнитных волн в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Задача сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции. Для решения используется метод сжимающих отображений. Представлены численные результаты расчетов.

Ключевые слова: нелинейная среда, распространение электромагнитных волн в волноводе, задача на собственные значения, интегральные уравнения, численный метод.

Abstract. Problem of propagation of TM-polarized electromagnetic waves in nonlinear dielectric waveguide with circular cross-section is considered. Waveguide filled nonlinear media with Kerr law. The problem is reduced to the nonlinear eigenvalue problem for integral operator-function. Contraction type principle is used for solving the problem. Numerical results are presented.

Keywords: nonlinear media, propagation of electromagnetic waves in waveguides, eigenvalue problems, integral equations, numerical methods.

Введение

Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [1, 2]. Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [3]. При распространении резко неоднородной волны - «луча» лазера, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию. В этом случае процесс распространения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ-поляризованных волн в диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, подробно исследовано в [2, 4-6]. В этих работах были получены аналитические результаты о существовании распространяющихся волн в волноводе, о локализации постоянных распространения, о сходимости итерационного метода сжимающих отображений. Также были представлены численные результаты расчетов постоянных распространения в зависимости от различных параметров.

В данной статье изучаются ТМ-поляризованные электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной задаче на собственные значения для нелинейной интегральной оператор-функции.

Для решения используется метод сжимающих отображений. Строится итерационный алгоритм, с помощью которого определяются значения собственных функций и спектрального параметра при соответствующих краевых условиях. Представлены численные результаты расчетов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть пространство R заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью £1 = const. В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным сечением

W = (х: х12 + x22 < R2}.

Будем предполагать гармоническую зависимость полей от времени в виде [1]

Ё( x , y, z, t) = Ё+ (x, y, z) cos rot + Ё (x, y, z) sin rot;

H( x , y, z, t) = H + (x, y, z) cos rot + H (x, y, z) sin rot,

где ю - круговая частота; Ё, Ё+, H, H - вещественные искомые функции.

Образуем комплексные амплитуды полей Ё(x, y, z), H(x, y, z) по формулам

Ё = Ё + + /Ё-; h = H + + iH-.

Везде ниже множители cos rot, sin rot будем опускать.

Пусть диэлектрическая проницаемость £ внутри волновода определяется по закону Керра:

£ = (£2 + a |E| 2)£0,

где a и £2 - вещественные положительные константы. Здесь £2 - постоянная составляющая проницаемости £ ; a - коэффициент нелинейности. Среда предполагается изотропной и немагнитной, |1 = |1о .

Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:

rot H = -/'ГО£ Ё,

rot Ё = 7'ГОЦ H,

условиям непрерывности касательных составляющих поля Ит и Ет при переходе через границу волновода и условиям экспоненциального затухания поля на бесконечности.

Перейдем к цилиндрической системе координат (р, ф, z). Тогда уравнения Максвелла примут вид

1 ЭE -Еф

--т^ -^ = ^^р; (2)

р dф dz к

-Е- -Ег

dz Эр

= /юцЯф; (3)

1 Э / ч 1 ЭЕр

-^(рЕф)--------р = mpHz; (4)

рЭрv Y' р Эф

1 ЭН ЭНф

----z- —ф = -Ю£Ер; (5)

р Эф Эz р

ЭНр Эн

----р------ = -Ю£Еф ; (6)

Эz Эр ф W

1 Э / ч 1 ЭНр

-3-(рНф) - ——^ = -i(Q£Ez . (7)

рЭр v Y' р Эф

В случае ТМ-поляризации предположим, что Ё = (Е р ,0, Ez),

H = (0, Нф ,0). Тогда из уравнений Максвелла в цилиндрической системе координат следует, что Ez = Ez (р, z) и Ер = Ер (р, z) не зависят от ф.

2. Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения для системы дифференциальных уравнений

Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн с зависимостью exp (iyz) от продольной координаты, где у - вещественная постоянная распространения волны.

Внутри волновода полагаем, что Ц = |М) , £ = ££ , где £0, М0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства; &0 = ю2М0£0, *0 - волновое число свободного пространства.

Из уравнений Максвелла, учитывая ТМ-поляризацию, получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:

ЭE

i у^--^ = гЮц0Н ф,

уН ф =ю£о£Eр, (8)

- ^ (рНф) = -ю£0 £Ez.

рЭр

Выражая из первого уравнения системы Нф и подставляя его во второе и третье уравнения, приходим к системе из двух уравнений:

у Ep + іу

І д

Op

= koE,

. . „ ( E І д f dEz

(PEp)---г- P—^

P д p P д p І д p

= k02єEz .

Обозначая

Е- ( р, у, z) = «1(р, УУ ^, /Ег ( р , у, z) = ^2 ( р, у)егуг и к22 = ^02е2 _У2 , получим систему дифференциальных уравнений:

-k2 ui +уи2 = fh

І /І ' / 2

-у'_ ( pи1)Г ( pи2 )- k0 є2и2 = f,

р р

где производная обозначает дифференцирование по р и

2 2 2 2

f1 = k0a|u| ui-’ f2 = k0a|u| u2 ;

|u|2 = |u-|2 + |u2|2, u = (u-,U2)T .

(9)

(10)

(ii)

(12)

(ІЗ)

Будем предполагать, что ^( р , у), ^( р , у) - вещественные функции. Вне волновода решение имеет следующий вид [7]:

и2 = Ez = СК0(к1 р ) ; (14)

и1 = Ep = - — CK0 (kip) ,

(ІЗ)

2 2 2 (1) где k1 =у - ^0 £1, C = const, K0 (z) = — H0 (iz) - функция Макдональда.

Условия сопряжения на границе раздела сред:

[^] = 0, [ещ ] = 0 .

(16)

Спектральным параметром задачи является у .

Сформулируем теперь краевую задачу на собственные значения, к которой свелась исходная задача о распространяющихся поверхностных волнах цилиндрического волновода. Требуется отыскать ненулевые, ограниченные и непрерывно-дифференцируемые на полубесконечном интервале р >0 функции щ(р ),^( р ) и соответствующие собственные значения у такие, что Щ ( р ), ^2(р) удовлетворяют системе уравнений (11), соотношениям (14), (15), условиям сопряжения (16) и условиям экспоненциального убывания функций щ ( р ), и2 ( р ) на бесконечности при р ^^ .

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

3. Функция Грина и ее свойства

Рассмотрим систему нелинейных уравнений (11). Из первого уравнения системы выражаем и1 :

1 '

Щ =—т(уи2 - /1),

и подставляем во второе уравнение: 1 , 1

-у • — (р—т(уи2 - /1))'-(ри2 )'- к0£2и2 = /2.

р к2

р

Оно приводится к дифференциальному уравнению второго порядка относительно и2 :

Ьи2 = (ри2 )' + к22ри2 =

2

(

к02£2

Л

■ (р/1)'—р/2

(17)

' ^ 2

где линейная часть Ьи2 = (ри2 )' + к2 ри2 включает линейное слагаемое и производную второго порядка.

Уравнение (17) может быть переписано в виде

(ри2 )' + к2 ри2 = Е, 0<р<Я.

к 2 ( ^

—2 _^2(р/1)' -р/2

к0 £2 I к2

Построим функцию Грина для краевой задачи:

Г ЕС = 8(р-г),

[С р=0 - ограничена, С\р=Я = 0, где дифференциальный оператор определяется формулой

(18)

Ь = р—2 + + к2 р.

ё р ё р

Функция Грина имеет вид [8]

(4) (к2р) N0 (к2Г) Jo (к2 Я) - Jo (к2р) J0 (к2 г) N0 (к2 Я))

С(г, р) = |

Jo(k2 Я)

(N0 (к2р) ^0 (к2г) Jo (к2 Я) - Jo (к2р) J0 (к2 г) N0 (к2 Я))

, р<г <Я,

(19)

Jo(k2 Я)

, г <р< Я.

Функция Грина существует при таких значениях параметров, что

•Л}(к2Я) ф 0 .

2

4. Сведение краевой задачи к системе нелинейных интегральных уравнений

Рассмотрим систему нелинейных уравнений (11). Используя вторую формулу Грина, получаем представление решения внутри волновода:

Я

«2 (г) = | О (г, р) Е (р)^ р + Яи2 (Я — 0) |^(г, Я);

(20)

Я

иі(г) = ЛЇ 10(г, Р)Е(Р)^Р-^ + ^г «2(Я - 0) ^О.(г, Я). (21)

к22 Эг £ к22 к22 ЭрЭг

Э 2О

ЭрЭг

Вне волновода решение имеет вид (14), (15).

Условия сопряжения на границе раздела сред примут вид

М = 0;

є2 и1 \г=я-0 — Є1 и1 \г =Я+0 + аи11

= 0.

г =Я —0

(22)

(23)

Легко видеть, что при умножении в (1) функций Е, Н на произвольную

константу С0 Ф 0 и коэффициента нелинейности а на С 2 система уравнений Максвелла не изменяется. Это обстоятельство дает возможность выбора дополнительного условия нормировки. Выберем условие нормировки в виде С = 1, тогда и2 (Я - 0) = К0 (к^Я) и

е2 и1 |г =Я—0 + аи1 |и|'

= —Е1 К0 (к1Я).

г =Я-0 к1

Отсюда получаем дисперсионное соотношение:

Д(у) = е2и1 (Я - 0) + аи1 (Я - 0) |и(Я - 0)|2 + е1 • — • К0'(к1Я) = 0 . (24)

к1

Применяя условие и2 (Я + 0) = и2 (Я - 0), получим систему

у - /1(г) , уЯ,„ „ЧЭ2С

«1(г)=

к22 Эг

I О(г, р) Е (р^ р — Щ и2 (Я + 0) — (г, Я),

■> ъ 2 ъ-2 ЭрЭг

Я

(25)

«2(г ) = | О(г, р) Е (р)^ р + Яи2( Я + 0) (г, Я)

Эр

Я

где

_ л2

к0е2

Я

Я

2 0 ' 0

После преобразований получим окончательный вид системы интегральных уравнений:

2 Я ^2С к дг 1

щ(г) = —2Т—2 [р—2~ [ 1ГР^Р—2А(г) + Мг),

ко^одгЛР к^о дг к%

Я

и2 (г) =-2~ [ 1ГР№Р [ СРР2^Р + к2 (г),

к0 Є2 0 дР ко2 Є2 0

& 2Я

(26)

где кх (г) = ^2 д ^,Я) Ко (к\Я); к 2 (г) = Я^(г, Я)Ко (кхК). к22 дРдг дР

Для представления системы в виде матричного оператора введем матрицу ядер:

К ^ г) = |\кшп(г, Р)|2ти=і =-Р

^И^Рг Чі2^г Ч21^Р 422^

(индексы обозначают частные производные) с матрицей

411 412 = 1 "(У / к2)2 У

_ 421 422 _ е2 _ У 1 22 к

е=

а также матричный линейный интегральный оператор К = ||К тп|| тп=і, занный с системой (26):

Я

Кі = | К (Р, г )%(Р)ё Р,

свя-

т

гДе % = (&Ъ §2) •

Тогда система интегральных уравнений может быть записана в операторном виде

|2 ч т/| |2

и = аК(|и| и) - а 1(|и| и) + Ь ,

(27)

где Ь = {к_,к2 У , I = -2.

2

І

к2

1 0 о о

. Отметим, что операторы К,1 являются ли-

неиными.

Будем рассматривать уравнение (27) в пространстве непрерывных функций С[0, Я] = С[0, Я] х С[0, Я] с нормой| |и||2 = ЦмЦ2 + Цм^]2.

5. Исследование ядер интегральных операторов

Используя свойства функций Бесселя и Неймана, легко проверить, что функции кц (р, г) и ^22 (р, г) непрерывны в прямоугольнике П = [0, Я] х [0, Я].

Функции к^(р, г) и к21(р, г) ограничены в П и непрерывны в Т+ \{0} и

в Т ~ \{0}, где

Т + ={(р,г)еП,р>г},Т ={(р,г)еП,р<г} .

В проверке нуждается только поведение функций кц (р, г), к22 (р, г), к^(р,г) и к21(р,г) в нуле. Вычислим пределы функции Грина и ее производных при г — 0, р — 0 . При х — 0 имеем

2 2 ' 2 ' х

No(х)-1п-, N (х)-, 30(х) ~ 1, 30 (х) ~ --.

я х ях 2

Функция Грина имеет вид (19), тогда

ііш Gр

г ^о Р^о

р<г

= о, Ііш Gр

г ^о Р^о

= о;

г <Р

до

дг

п 1

до

дг

Р<г 2 3о (к2Я)

до

дг

п 1

к2 3о (к2Р) I N (к2 г) 3о (к2 Я) - 3о к г) N к Я) I;

•Р

Р<г

•<Р 2 3о (к2Я)

• к23о (к2г)(^Э(к2р)3о(к2Я) -3о(к2Р)^о(к2Я)) ;

1. до

Ііш---------Р

г^о дг Р^о

= о;

г <Р

до

дР

= п 1

Р<г 2 3о(к2Я)

• к23о (к2Р)| (к2г)3о (к2Я) - ^ (к2г)N (к2Я));

1. до

Ііш---------Р

г^о Зр Р^о

= о;

до

др

п 1

г<р 2 3о(к2Я)

р<г

к23о(к2г) I ^о (к2р)3о(к2Я) - 3о (к2р)^Э(к2Я) I;

дО Ьт — -р

г ——0 др р—0

Для вторых производных находим

= 1.

г<р

д 2о

дРдг

р<г

— т (, Я) • к223о (к2р)( ^ (к2г)3о(к2Я) - 3о (к2гЖо(к2Я) ); 2 3о(к2 Я)

д2о

Ііш

г^о дрдг р^о

•Р

= о;

р<г

д 2о

дРдг

г<р

■2 Т (к Я) ' к23о (к2г)I ^ (к2р)3о(к2Я) - 3о (к2рЖо(к2Я) ); 2 3о(к2 Я)

д2о

Ііш

г^о дрдг р^о

•Р

=о.

г <р

Вычисленные пределы доказывают указанные выше свойства ядер интегральных операторов.

Перечисленные свойства ядер позволяют утверждать [9] ограниченность оператора К: С[0, Я] — С[0, Я]. Очевидно, что оператор I: С[0, Я] — — С[0, Я] также ограничен.

6. Итерационный метод решения системы интегральных уравнений и численные результаты

Приближенные решения щп (г), и2 (г) системы интегральных уравнений (26) могут быть определены с помощью итерационного процесса метода сжимающих отображений:

и1п+1(г) = -

ау2 Я д2С(г, р)

I

Є2к| о дгдР

ип (Р)

иП (№ р-

Я

ау гдС(г, р)

є2 1 дг р

2о

ип (р)

и2 (р¥ р-

ако2

2

к2

ип (р)

и1п (р) + к (г);

Я

и2п+1(г) = -

ау гдо (г, р)

є2к2 о др

ип (Р)

и1п (р)^ р-

ак

2Я

о (г, р)р

ип (Р)

и2 (р¥ р + к2(г).

(28)

Последовательность и™ (г), и2п (г) равномерно сходится к решению системы уравнений (26) вследствие того, что правая часть системы уравнений (28) определяет сжимающий оператор. Точнее, верна

Теорема 1. Пусть Вг ={и : ||и| < го} - шар радиуса го с центром в нуле

и выполнены два условия:

2

1о

д := 3 |а|г02||К- Ц < 1; (29)

|а|га3| |К-Т|| + || Ь|| <га. (30)

Тогда существует и единственно решение и е Вг0 уравнения (27), и последовательность приближенных решений ип системы уравнений (27), определяемых посредством итерационного алгоритма

п+1 и = аК

Л

(

Л

+ ь

(31)

(или (28)), сходится в норме пространства С[0, Я] к (единственному) точному решению и е Вг0 системы уравнений при любом начальном приближении

и0 е Вг0 со скоростью геометрической прогрессии с показателем д .

Доказательство. Рассмотрим операторное уравнение и = А(и) с нелинейным оператором А(и) = ак| |и|2 и |-а 11 |и|2 и | + Ь в пространстве С[0, Я]. Пусть и, V е Вг . Тогда

||Л(и) - А( у)|| = |а|

КI |и|2 и - |у|2 у) -1||и|2 и - |у|2 у

<

< з НІ |к - Л г2 ||и - у||.

(32)

Из оценок (29) и (32) следует, что оператор А является сжимающим в шаре Вг0 .

Так как

1|А(и)|| =

аК| |и|2 и)- а 11|и|2 и 1 + Ь

< |а|го3 ||К- Л + I" ,

то при выполнении условия (30) оператор А отображает шар Вг^ в себя. Тогда все утверждения теоремы следуют из принципа сжимающих отображений [9]. Теорема доказана.

Нетрудно видеть, что выбрав достаточно большой радиус шара г0, чтобы выполнялась оценка |Ь| < гд , а потом выбрав достаточно малое |а|, можно

удовлетворить оценкам (29) и (30).

Для получения численных результатов решалась система интегральных уравнений при у у =У0 + .А), У = 0,..., N -1 с некоторым (достаточно мелким) шагом ^0 . Затем вычислялось значение Д( у у) и определялись отрезки перемены знака Д( у у). На каждом отрезке значение локализованного корня уравнения Д(у) = 0 уточнялось методом дихотомии.

На рис. 1 представлены результаты расчетов в графическом виде.

Е.

а)

R

б)

Рис. 2. Зависимость постоянных распространения у от радиуса волновода. Выбор параметров: диэлектрическая проницаемость среды вне волновода ej = 1; радиус волновода 1,5 < R < 10; волновое число свободного пространства &0 = 1; диэлектрическая проницаемость среды внутри волновода е2 = 6 (а), e 2 = 10 (б); коэффициент нелинейности а = 0,1 (а), а = 0,01 (б)

Список литературы

1. Eleonskii, V. M. Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. - 1972. - V. 35. - № 1. - P. 44-47.

2. Смирнов, Ю. Г. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нели-

нейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Известия высших учебных заведений Поволжский регион. - 2003. - № 6. - С. 29-42. - (Естественные науки).

3. Никольский, В. В. Электродинамика и распространение радиоволн /

B. В. Никольский. - М. : Наука, 1978.

4. Schurmann, H.-W. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides / H.-W. Schurmann, Y. Smirnov, Y. Shestopalov // Physical Review E. -

2005. - Т. 71. - № 1. - Р. 016614-1-016614-10.

5. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,

C. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44. - № 10. - С. 1850-1860.

6. Смирнов, Ю. Г. Распространение электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов,

Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. -

2006. - № 5. - С. 106-114. - (Естественные науки).

7. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1968.

8. Zeidler, E. Applied Functional Analysis / E. Zeidler. - Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1997.

9. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М. : Наука, 1993.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: _medv@mail.ru

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: smirnovyug@mail.ru

Хорошева Эльвира Александровна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

Chorosheva Elvira Alexandrovna Postgraduate student,

Penza State University

УДК 517.9 Медведик, М. Ю.

Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волн в круглых диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 1 (13). - С. 2-13.