CC BY
23
Хорошева Э. А. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТМ-ВОЛН В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДАХ С НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДОЙ, ВЫРАЖЕННОЙ ЗАКОНОМ КЕРРА
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-07-89063-а
В статье изучаются электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений.
Введение
Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или в волноведущей структуре с нелинейной средой, описываемой по закону Керра, активно исследуется в течение последних двух десятилетий [1,2]. Эффекты самофокусировки и «самоканализации» луча в лазерах и оптоэлектронных устройствах также изучаются и применяются на практике [3]. При распространении резко неоднородной волны -«луча» лазера, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию. В этом случае процесс распространения волны происходит подобно распространению волны в диэлектрическом волноводе с нелинейной средой, описываемой по закону Керра. Распространение ТЕ - поляризованных волн в диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой, подробно исследовано в [2]. В этих работах были получены аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений, выраженные с помощью эллиптических функций, а также представлены численные результаты расчетов. Однако при изучении других структур, например круглого диэлектрического волновода, уже не удается получить аналитические решения, но возможно применение численных методов. Кроме того, для анализа вопроса о существовании и единственности решений краевой задачи приходится привлекать методы функционального анализа исследования нелинейных операторов.
В этой статье изучаются электромагнитные волны, распространяющиеся в диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Проблема сводится к нелинейной системе дифференциальных уравнений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу о собственных волнах цилиндрического диэлектрического волновода. Пусть все трехмерное пространство R3 заполнено изотропной средой без источников с 8 = const . В эту среду помещен цилиндрический диэлектрический волновод однородного заполнения с образующей, параллельной оси Oz , и поперечным сечением W = {x: xj2 + x22 < R2} . Пусть диэлектрическая проницаемость 8 внутри цилиндра определяется по закону Керра:
8 = (8 + a\E\2)80 ,
где a и 8 - вещественные положительные константы. Здесь 8 - постоянная составляющая проницае-
мости 8 ; a - коэффициент нелинейности. Требуется отыскать поверхностные волны, распространяющиеся вдоль образующей волновода, т.е. собственные волны структуры. Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет системе уравнений Максвелла:
\rotH = -№8E,
\ (1)
[rotE = тцН
условиям непрерывности касательных составляющих поля H и E при переходе через границу волновода и условиям затухания поля на бесконечности.
Перейдем к цилиндрической системе координат (Р,Ч>,z) • Тогда уравнения Максвелла примут вид
1E -—£= iWjuH р dm dz
, (2а)
dEP dEz . „
ъ-^ = mLlHq> dz dp
——(pEm) - -—p = ia>/j.Hz pdp ’ p dm
-^ ' p dm dz
dHP-H = -,„E.
(2б)
(2в)
& др
1 д 1 дНр
~—(рИ9) - --р = -шеЕ2 р др р дт
В случае ТМ- поляризации предположим, что Е = (Ер ,0, Е2), Н = (0, Нр,0) . В результате уравнения (2)
приведутся к виду
1 дЕ,
---^ = 0
p dm
(За)
dEp dEz . „
*-* =i a^H m
dz dp
І -Ep
-------p = 0 , (Зб)
p dm H
---- = -imєL „
dz p
~pjp{pHv) = -ims;Ez • Рг)
-iюєE0 , (Зв)
Из (3а) и (3б) следует, что Ег = Ег (р, г) и Ер = Ер (р, 2) не зависят от у. Из уравнений (3в) и (3г) находим
Е = — дН^, Е =——1—{рНф ) •
р /ше дх Шердр '
Решение задачи будем искать в форме осесимметричных волн
Ер(р,х) = у(р)е'ух,Ех(р,х) = и(р)еу , (4)
где у- вещественная постоянная распространения волны.
Внутри волновода /и = , е = ёв0 , где £0,/^0 — диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного
пространства, к20 = , где к0 — волновое число свободного пространства.
Из (3а) получаем
Н =—(дЕрр'—дЕ) =—у—и'ууг
т/и дг др т/и
Из (Зв) находим
УИ,Р = сое^ёЕр 1 Г-(рН,Р) = -ш80ёЕ2
рдр
уЕр—^ = ши Ну
ТТ 6)£0£ 77
Отсюда следует, что п =-----------И
у у
В итоге получим нелинейную систему дифференциальных уравнений:
' дЕг
др
уН1р=<»е0ёЕр (5)
~(гН,,) = -1со80ёЕг Г дг
Из первого уравнения системы выражаем Ни подставляем во второе уравнение:
\ ^ дЕ„ у „ 1 дЕ,
Н?=—а уер—^т ) = Ер—~ я ,
ш/и др ши ш/и др
У2 Г У дЕ2 ~г ----Ер-~--------*■= ае0еЕ
со/и0 др
Г2Ер+1У^ = %ёЕр,
1 г) г)Т^
-—{рЦГЕр--^)) = к1ёЕ2, р др др
Приходим к системе из двух уравнений:
г1Ер+1Г^ = к20ёЕр
(6)
. 1 5 1 5 ЙЕ 2 1 '
1Г~—(рЕр)--------------—(р—-) = к0ЕЕ2
рдр р др др
Обозначая Ер = V,Е2 = и,к22 = к0^2 — У2 , получим систему: '
—к2 V +уи = —у •—(ррг У —(ри— к0еи = Л р р
. —:Л~\тЛ217 г _;,2„1г12гг I г12
где
/ = к02«|Е|2 V , Л = к02«|Е|2 и , |Е|2 = V2 + и2
Из первого уравнения системы выражаем V и подставляем во второе уравнение, которое и будем решать.
V = А(уи'— /), (8)
к2
1
-У — р
1
V к2 У
\_
р
р^2(уи — /) — -(ри )' — ко2е2и = /2 ,
ут • -(ри ) ' + У • - (р/1) ' - - (ри') ' — ко2е2и = /2,
/2
к2 2 р" ' к2 2 р” " ‘ ' р —2 •! 2 2—ко2е2и = /2 — 2 2 2)'
к2 р
-(ри )' + к2ги =-^г-р к0 Є2
' 7 ^ 2
(ри ) ' + к2 2рО =
Г ■ -(р/1)' - /
V к2 р
1_
к0 2є2 I к22
&Л)' -рЇ2
Р (р) =
к22 Г
-(р/і)' -^./2
(ри )' + к22ри = Р,0 <р< я
Построим функцию Грина для краевой задачи
(10)
{ЬО = —8(р — г),
О| _0 — ограничена,С| = 0 '
где Ь = р——— +— --+ к2 р
СІ ^ -2
—2 + — + к 2 dр dр
1
О (г ,р) = у
Л( к2 Я) 1
(Л (к2р)N0 (к2г)10 (к2Я) — 10 (к2р)-/0 (к2г)^0 (к2Я)), р ^ г ^ Я ((к2р)-/0 (к2г)10 (к2Я) — 10 (к2р)-/0 (к2г)(к2Я)), г ^ р ^ Я
(11)
, ^0( к2Я)
Функция Грина существует при таких значениях параметров, что У0(к2Я) ^0. Используя вторую формулу Грина, получаем
дО
и (г) = Г О(г,р)Р (р)dр + яи (Я — 0) —(г, Я) 0 др
(12)
К (г) = ГТ ІI °<г- р)р # + г2 и (я — 0) р (г,я)
к2 к2
(13)
Вне волновода решение имеет вид:
и - Ех = СКо( к-р) (14)
V-Ер=—УСКо'(к-р) , (15)
где =у — кое1 , С = , Ко — функция Макдональда.
Условия сопряжения на границе раздела сред:
[Щ = 0, [еК] = 0 (16)
Тогда
[ёК] = [еК] + а\Е\2 Г\г=к_0 = в2 Г\г=к_0 - еуг=к+0 + а¥\Е\2 = 0
г = Я—0
Выберем условия нормировки в виде:
е2 У\г=я—0 + аУ\Щ2|_ п= 1 ' Ш)
= 1 и С = —
1г = Я — 0
следовательно, є У\
к1
Є1уК0 (кЯ)
к1 К0(к1Я) и (Я + 0) =-------------------------1-, 1 у (18)
е-У К0(к1я)
Дисперсионное отношение можно записать в виде:
V (Я — 0) =
1
є2+ а\и (Я — 0)|2
(19)
Применяя условие и (Я + 0) = и (Я — 0) , получим систему
V (г) = У 7ТI °(г>р)р (р)ар — Т? + 2 и (Я + 0) Я)
к2 дг^ к2 2 к2 2 дрд г
к2 2 к2
,дв.
и (г) = Г О(г, р)Р (р)d р + Яи (Я + 0)—(г, Я) 0 др
(20)
I О(г, р)Р (р)dр = -^----------I ^ р/1 ар—\ Ор/2 йр
> к22 0 др 0
где
к є к 0 є2
г Я до
Тогда
и (г) = -к2(^-Г1 ]8-Gрfldр-ЯGрf2dр) — Я до (г, я)^2к0-k-Я-), кдЄ2 к2 0Эр 0 Эр є1Г К0(к^Я)
V«г» =~^'[ 4<|-Ё^» —./1<г))+/2 ^г.р/р] — 1 —Я ^ г Кт.
к0є2 к2 0 дгдр к2 0 дг к2 к2 дрдг є1 Кд (кЯ)
Я
Я
Я
После преобразований получим окончательный вид системы:
u (r)=-r Rf-Gpfd dp-kh о Gpfi dp-r -g (r, r) ^ кт,
k0Vo dP k01ЄlJ0 dP єіГ K0(kR)
r2 R d2G r RdG І Rk2 d2G(r,R) K0(kR)
V(r) = -, 2 , 2 J^P^P-?^-R-^PWP-!!-f!(r)-1г--------^---------0^_
/т.2 ^ nrnn к2р. •> nr кр. к. p dpdr K (k R)
2R
(21)
kfa2 k2 2 R drdp'
kolєl 0 dr
k є
лОє2
k2 Є
Утверждение 1. Краевая задача на собственные значения интегральных уравнений (21) с дисперсионным соотношением (19), отображений, аналогично работе [2].
(1), (4), (14)-(18) эквивалентна системе
которая решается методом сжимающих
ЛИТЕРАТУРА
1. V.M. Eleonskii, L. G. Oganes'yants, and V.P. Silin
et physics JETP. - 1972. - Vol. 35, № 1. - P 44-47.
2. Ю.Г. Смирнов, С. Н. Куприянова. Численный метод в задаче о распространении электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах науки. Математика. - 2003.- № 6.
3. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн.
Cylindrical Nonlinear Waveguides // Sovi-
лек
заполненных нелинейной средой. // Естественные М.: Наука, 1978.
