Модельное представление когерентной структуры в развитом турбулентном пограничном слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 5

УДК 533.6

МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОГЕРЕНТНОЙ СТРУКТУРЫ В РАЗВИТОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ

В. А. ЖАРОВ

Рассмотрен слабонелинейный вариант волновой модели развитого турбулентного пограничного слоя. Определены дисперсионные характеристики волн наименее затухающей моды, проанализированы условия множественного 3-волнового резонанса этой моды волн Толлмина — Шлихтинга. На основе метода многих масштабов получены уравнения для когерентной и стохастической части пульсаций. В дискретном представлении когерентной структуры показано, что сумма квадратов модулей амплитуд волн в состоянии множественного 3-волнового резонанса, умноженных на действительные весовые множители, является инвариантом исходной динамической системы. Найдена область волновых чисел, в которой эти весовые множители положительны. В этой области динамика системы финитна. Получены укороченные уравнения для когерентной и стохастической частей потока. Сформулирован закон подобия. Проанализирована структура напряжений Рейнольдса.

Ключевые слова: турбулентный пограничный слой, несжимаемая жидкость, когерентные структуры, слабая нелинейность.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] наряду со стохастической составляющей поля скорости турбулентного пограничного слоя (ТПС), по-видимому, впервые была обнаружена когерентная составляющая. Последующие экспериментальные исследования (например, [2, 3]) подтвердили ее наличие. В связи с этим получили развитие модели ТПС, основанные на физических свойствах турбулентных течений, которые связаны с обнаружением в ТПС низкочастотных когерентных структур, обусловливающих генерацию завихренности в поток [2, 3]. Разделение пульсаций ТПС на когерентную и стохастические части подтверждается и современными расчетными и экспериментальными исследованиями [4, 5]. Согласно многочисленным экспериментальным исследованиям [2, 3], вблизи стенки обнаруживаются области с повышенной продольной завихренностью. В работе [6] этот факт объяснен на основе кинематических свойств стохастического вихревого поля скорости, где результат доведен до визуализации пристеночной структуры в виде стриков. Но есть данные, которые позволяют дать другое объяснение. Ранее был предложен очень содержательный подход исследования турбулентных течений, основанный на учете внутренних резонансов динамической системы [7] и применения к ней методов неравновесной статистической механики [8]. Поскольку, тем не менее, интенсивность продольной завихренности примерно в 10 раз меньше характерной поперечной завихренности течения в ТПС [3], то к этой системе можно применить методы теории возмущений. Соответствующий малый параметр использовался для вывода логарифмической зависимости средней продольной скорости от поперечной координаты [9]. Эти методы позволяют также развить физический волноводный подход [10, 11] к объяснению упомянутых вихревых структур на основе явления множественного 3-волнового резонанса [12 — 16], используя наличие малого параметра в исходных уравнениях.

ЖАРОВ Владимир Алексеевич

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ

Существуют и другие теоретические подходы. Например, в работе [17] развит феноменологический подход к описанию движения несжимаемой жидкости в пограничном слое. Существенным моментом этого подхода является конститутивный метод построения тензора напряжения, который оказывается нелинейным. Численные решения уравнений с таким тензором напряжений демонстрируют наличие продольных вихревых структур вблизи стенки. В экспериментальных работах, например [18], наличие таких структур интерпретируется как присутствие сильно нелинейных образований (волн), описывающихся точными решениями уравнений гидродинамики. При этом, для объяснения свойств турбулентного течения привлекается один из вариантов теории динамических систем [19]. В данной работе развит асимптотический подход к описанию когерентных структур при больших числах Рейнольдса с использованием указанного малого параметра.

Для стохастического компонента амплитуды волн Толлмина — Шлихтинга (Т-8) [20] описываются кинетическим уравнением. Теория этих волн является слабонелинейной и основана на дисперсионных соотношениях и матричных элементах. Это несколько противоречит имеющимся в данной области представлениям, согласно которым нелинейность является сильной. Однако, как замечено в работе [21], существует аналогия между рядом свойств ламинарного и турбулентного пограничных слоев. Аналогии этой работы можно продолжить, заметив, что как в развитом турбулентном пограничном слое, так и в значительной части ламинарного пограничного слоя существует вполне определенное «среднее» поле, на фоне которого развиваются малые возмущения, описываемые слабонелинейной теорией.

1. Далее строится слабонелинейная теория развитого ТПС с явным выделением когерентной структуры [11, 15]. ТПС образован при обтекании плоской пластины, расположенной под нулевым углом атаки, несжимаемой жидкостью. При этом продольный градиент давления отсутствует. Набегающий поток предполагается ламинарным и стационарным. В качестве исходных уравнений приняты уравнения Рейнольдса для осредненных величин в приближении пограничного слоя и уравнения для пульсаций, которые получаются вычитанием из уравнений Навье — Стокса уравнений для осредненных величин.

Анализ экспериментальных работ, посвященных исследованию тонкой структуры развитого ТПС [3] показал, что следует выделить следующие наиболее характерные свойства этого течения:

наличие среднего профиля и структуры продольной компоненты скорости, содержащей логарифмический подслой (см., например, [3, 9]);

наличие нестационарных когерентных структур;

закон подобия для частоты берстов [3] (Тиж /5 = 6±2, Т — средний период берстов, 5 — толщина ТПС, их — скорость набегающего потока);

интенсивность продольных вихрей составляет —1/10 от характерной поперечной завихренности; наличие малого параметра [9] в2 =5**/ Ь — /2 « 0.01, Ь — характерный продольный масштаб, 5 — толщина потери импульса, т№ — безразмерное касательное напряжение на стенке;

развитая турбулентность реализуется при Я >> 1, в2Я >> 1, Я — число Рейнольдса по толщине потери импульса;

поле течения допускает тройную декомпозицию [22]; наличие обратного потока энергии по спектру [23].

Для построения слабонелинейной теории необходим теоретический аппарат, который был разработан на протяжении последних десятилетий. В этот аппарат входит спектральная задача для уравнений Орра — Зоммерфельда (0-8) и Сквайра на полубесконечном интервале, существование непрерывного и дискретного спектров, ортогональность и теорема полноты собственных функций [24 — 26], особенности собственных функций уравнения 0-8 и Sq в области малых волновых чисел [27], дисперсионные соотношения трехмерных волн Т-8 и Sq и их особенности [28 — 30], волновые пакеты, уравнения для огибающих волновых пакетов, матричные элементы, особенности матричных элементов при малых волновых числах [29 — 31]; 3-волновой резонанс, множественный 3-волновой резонанс [13]; аппарат корреляционных функций, задача Коши для корреляционных функций, метод многих масштабов при наличии малого параметра [32].

В работах [11, 15] рассмотрены некоторые возможности нелинейного описания течений в турбулентной области пограничного слоя на пластине с помощью разложения поля течения

в ряд по собственным функциям уравнения 0-8. В общем случае необходимо также рассмотрение уравнения Sq, так как решение уравнений Навье — Стокса относительно поля скорости {и, V, w} и давления р можно представить [33] в виде совокупности решений уравнений 0-8 и Sq относительно вертикальных компонент скорости ^ и завихренности Пк с нелинейными правыми частями.

2. Далее рассмотрена модель течения в ТПС в одномодовом приближении [11]. Рассматривается вариант, содержащий нестационарные динамические когерентные структуры вместе со стохастическими флуктуациями.

Поле скорости разлагается на три составляющие: среднюю по времени и флуктуирующую когерентную и стохастическую части. В итоге получаем тройное разложение [22] поля скоростей турбулентного течения.

Пусть й — характерный поперечный масштаб течения. Поскольку при оценке величин в исходных уравнениях сравниваются силовые характеристики, то й ~ 5**. Обозначим через и и V средние продольную и поперечную компоненты скорости, через и, V, w, р — пульсационные компоненты скорости и давление, V — кинематическую вязкость. Введем безразмерные величины: и = и / их , в2V = V / их , в щ = иг / их , ер = р / ри2, X = хг / й , Т = / й , X = х / Ь , Т = ьию/Ь, {иг} = (и,V, w), {хг} = (х,у,г), г = 1,2,3, Я = июй / V, в2 = й /Ь , й ~ 5**. Тогда уравнения для и и V в приближении пограничного слоя запишутся в виде:

1 ди ^

ди -ди -ди д Г 7 ч

-+ и-+ V-= —I -<т) . „

дт дх дУ дУ I в2я дУ

ди дV

= 0,

(и V ) = 1™ ~ I 1 I 11т ~ I*

у ' и и ->0 ^t„Jl

1 Гг0__

Л

и ^йь

Г^сю 1 ь0¿0 0

дХ дУ 1, ¿0 = ь/( / и„), ¿1 = в^,

а для иг, р, г = 1, 2, 3,

^+и ^+^ =

дь дх1 дхг Я

1

V2щ +в^г - в2Ог + о(тах[в2,1/Я]),

I = 0, ) = Г

и2 ди,0,0 ду

Л

, (иг ) = (и, V, w), (хг ) = (х, у, г), г = 1,2,3,

(1)

^ _ ди — ди ^ _ дV — ду д^ ^ — дw

= и-+ V—, О = V-+ V— =-, Q = V—.

х дХ ду у ду ду ду г ду

Здесь С,1 = д((й1й^ -й1й]-) / дх]-. В качестве граничных условий системы уравнений (1) примем: иг = 0 , г = 1, 2, 3, при у = 0, ю , р = 0 при у = ю . Относительно числа Я предполагается, что Я >> 1, в2Я >> 1.

Исключая давление, получим уравнения для вертикальной компоненты пульсационной скорости и завихренности соответственно в представлении Фурье, ак (у) = **а(х,у,г)егкгйг,

а(х,у,г) = (1/(2п)2 )*ак (у)е"гк гйк, г = (х,г), к = (а,р),

дТ

-10

08

--к 2

^к + Ь0SVk = ]Ск ] в 2] ■

Ьо8 = (( -10)08 )

- к 2

- га-

д2и -

ду2 Я

(

(2)

- к 2

д Т

+ |пк + 4 Пк + Ф ^^к = 8А^ С к ] -8 2 ^ }0к ],

Ь =(и -)к -Я

2

--к2

Пк,

где обозначено

_ ди -дйк _ _ дУ тлдук дукУ

х = "к У-тт-, бку = ^—+У=

дХ ду ду ду ду

д /_.

бк 2 = У

Ск / = 5т ((и/ит ) 5 (к )- {"/, ит }к ) = ду 5 (к )- ' }к '1,т

дч

ду = 12 3

5/ =

1

д 1 г

, —,Ф , {,"т }к = "--Г I ик1 /ик2 т^Ь к2 = к - к1-

ду ^ к (2п) 1 2

Здесь и далее проводится суммирование по одинаковым целочисленным индексам. Для фурье-компонентов й"к и из уравнений (1) получим:

иь = -

к2

а-

-вПк

к 2

аПк

Положим в уравнении (2) в качестве ю08 собственное число наименее затухающей моды волн Т^

ю0« = ю(0)

(к) = юд (к) +(к) = юя (к) +/е2у(к) 12 =-1, Я (к) = Яе[ш00) (к)], ю7 (к) = 1ш[«О0) (к)],

ю,

82 =5*Чшах / и^=5**/Ь, у(к ) = Ш7 (к )/ю1ш ох, ю1ш ах = Ш1П I Ю (к )1

к

и, умножив на собственную функцию фт (у) сопряженной спектральной задачи уравнения Орра — Зоммерфельда, проинтегрируем по у от нуля до да. Получим уравнение для амплитуды А этой моды. Однако в это уравнение входит вертикальная компонента завихренности, для которой существует дополнительное уравнение. Решение этого уравнения можно приближенно (с точностью до 8 включительно) выразить через амплитуду волны Т-8, если отсутствует резонанс этой волны с модами Sq. Для этого вертикальную скорость в виде

^ (у ) = А фк0) (у Ую(к )Т

подставим в уравнение (8) для вертикальной компоненты завихренности и проитерируем по (8). С точностью о(8) для индуцированной части решения получим

Пк = АРук (уу'юТ +81А^'И"1 Мк2))% Ак2екк1 к2 (у), к2 = к -к1.

Здесь ук (у) удовлетворяет уравнению

ИТТ 1 ( И 2

1 (-ю(к) + аи) (у) + фк0) (у)-Я - к2 Ук (у ) = 0,

ау Я ау )

Ук (0) = Ук (то) =

Функция екк1 к2 (у) определяется уравнением

- 1 (а 2 г

1 (-Ю(к1 )-Ю(к 2 ) + аи ) к2 (у )-~ УГ - к2 екк! к2 (у ) =

к ^ ау )

= ~ ^ ■ ■ ((аа1 +РР1 )(-Ра2 +аР2 ^^Уц (у)Ук2 (у) +

(2п) к12к:2

-(Ра1 -аР1)(Ра2 -аР2)Р2Ф'к! (у)Ук2 (у)-(аа1 +РР1 )(аа2 +РР2)Р1УЦ (у)ф'к2 (у)- (5)

-(-Ра1 +ав1 )(аа2 +РР2)ф'к! (у)ф'к2 (у) +

+

(аа1 +РР1 )к22Р1 О- ( (у )фк2 (у ))-(Ра1 -аР1 )к22 (ф 'к! (у )фк 2 (у))

к2 = к - кь

с граничными условиями

екк,к2(0) = екк, к2(») = 0.

Здесь фк0) (у) — решение уравнения 0^, соответствующее наименее затухающей моде. Штрих означает производную по у. В силу определений (4) и (5) функции ук (у) и екк1 к2 (У) удовлетворяют соотношениям

У-к( у) = -Ук(У), е-к-к! -к 2 (у) = екк1к 2 (У).

Разложим вертикальную компоненту скорости по собственным функциям уравнения 0^, а в вертикальной компоненте завихренности учтем только индуцированную часть. Тогда в одно-модовом приближении, считая, что между дискретными модами Sq и модами Т^ резонанс отсутствует, пренебрегая модами непрерывного спектра, получим:

*к (у) = Акфк0) (у)е~Шк' + •••,

ПК1' (у) = Ак рук0) (у У+ 81 ак1в-( (к! )+ЮК (к 2 ) Ак 2 ©кк!к 2 (у) + •

к2 = к к^

(у ) =

(а^^Ак-рпк- (у)

V

w,

(у )=

/

р

Аа ф0) (у)

Ак +аПКпй (у)

Введем обозначения

то то

Ч? = |фТ (у ] С к ]ау, Чд = |фТ (у )Dos ]бк ]ау.

0 0

В силу биортогональности собственных решений уравнения 0^ Nos(фT, ^) =

то

,ф) = Ак, ^((ф„) = 5/й . В итоге, благодаря тому, что |фт (у)!^^— = 0, урав-

нение (2), умноженное на решение сопряженной задачи, с помощью подстановки

A = A*-«*(k)t, «OS = «* (k) + i«7 (k)

запишется в виде

d d

+« (k )Ak =-dtAk + is2y(k ) A = -s 2\ A,

здесь k 2 = k - k j или

dAk

dt

sJ''^kk1 k2 Ak Ak-k1 ^j +s2 (^k A J ^k kj k2 k3 Ak1 A2 Ak-k1-k2 ^ ),

k3 = k -k1 -k2, s2 = min ю7 (k)l = d / L, ю7 (k) = ю7 (k) / min ю7 (k), Qk = ю7 (k) + hk,

k k (6)

H-k -kj -k2 = Hk kj k2 , F-k -kj -k2 -k3 = Fk kj k2 k3 ,

H = H (k )-ю* (k1 )-ю* (k 2 ))t F = F *((* (k )-i «* (k1 )-i «* (k 2 )-i «* (k 3))

Jikkj k 2~1 kk1 k 2V ' 'kk1k 2 k 3 _ Jkk1 k 2 k 3e

3. Разделим пульсации на когерентную и некогерентную части:

Ak = Ak + 4, (Ak) = АС, A) = 0, (7)

где — усреднение по случайным фазам пульсаций. Для среднего по ансамблю от произведения амплитуд случайных полей, в предположении об однородности пульсаций в масштабе 5**, положим [32]:

(Ak 1A 2) = Г2 (kj )5(kj +k 2), A A 2 AkJ = бГ3 (kj, k 2 )5( +k 2 +k3), (A1 Ak 2 Ak 3 Ak Л) = бг4 (kj, k 2, k 3 )5(kj +k 2 +k 3 +k 4 ) + Г2 (kj )Г2 (k 3 )5(kj +k 2 )5(k 3 +k 4) + +Г2 (kj )Г2 (k 2 )5(kj + k 3 )5(k 2 + k 4 ) + Г2 (kj )Г2 (k 2 )5(kj + k 4 )5(k 2 + k 3)

и т. д. Уравнение для когерентной части, с учетом определений (7) и (8), с точностью до членов

2

порядка s представится в виде:

= -sjHkkj k2 A^Ak dkj +s2(( - J(( -kjk +Fkkkj kj +Fkkj k -kj )Г2 (k^dkj)

k 2 =k -kj 2

-s2 J Fkkj k 2 k3 Aj A 2 ^3 dk1dk 2.

s2 ^

k3 =k-k1-k 2

Пусть

Ak = aj5 (k - k0 )+£ {a25 (k - k0 ) + a35 (k - k0 )} + a*5 (k + k0 ) +£ {a*5 (k + k2 ) + a3*5 (k + k0 )}, (10)

Здесь ReU(00)] = Re I ю(00) + ю(00) I, k0 = k2 + k0, ю-0) = -ю(((0), 5(k) — 5-функция Дирака

^ ] = Re ^ + 0° к 0 = к 0 + к 0 о(0) =-0*(0)

векторного аргумента (в общем случае когерентная составляющая содержит бесконечную совокупность субгармоник, находящихся в 3-волновом и гармоническом резонансе с основной гармоникой). Сумма в выражении (10) берется по всем резонансным тройкам (рис. 1).

В уравнение (9) входит интеграл от корреляционной функции Г2 (к )по всем волновым

числам, что обеспечивает взаимодействие между длинноволновой и коротковолновой частями спектра. Уравнения для моментов 2-го и 3-го порядков для стохастических пульсаций запишутся следующим образом:

8(р + к)

дГ2 (к )

ы

= 8 ((к р+к -р + Нк -р к+р

) (р) + (( к+р -к + Нр -к р+к)Г2 (к))р+к -

825(р + к)]"(( к-к,Г3 (-к,к!) + Н-к -к1 -к+к,Г3 (к,-к!))) +

+825(р + к )( Г2 (-к) + 0-к Г2 (к)) -

-82Г

к, -рк-к,+р + -р к, к+р-к, + ^к к, р+к-к, -]

-82Г.

^р )(( (к)( К. к

-825(р + к)Г2 (-к){(

, -р )) А+р -к, ^

(И)

-кр-к, +к + Кр -к к, р+к-к, + ^р к, к+р-к

К

-я

4 -к )) Ар-к,+к dk1 к к к,-к^ Кк к, к-к, + ^к к, -к,к (к1 )dk1 --825(к + р)Г2 (к)(( -к -к,к, + К-к -к, -кк, + К-к -к, к,-к) (-к^^

с/, (к,р)

5 (к + р + г)——-- =

_ V ' ей _

-5(к +р + г)(Н(-к-р,-р,-к)Г2 (к))() + Н(-к-р,-к,-р)Г2 (к)Г2 (р)-

_ + Н(р,-к,к + р)Г2 (к)Г2 (к + р)Н(р,к + р,-к)Г2 (к)Г2 (к + р) + +Н (к,-р,к + р) (-р)Г2 (к + р) + Н (к,к + р,-р)Г2 (-р)Г2 (к + р)) + 0(8).

02)

Уравнение для корреляционной функции Г2 (к), определенной в широкой области волновых чисел, содержит члены, пропорциональные А, и их произведения. В общем случае эти функции не пропорциональны 5 (к) и сосредоточены в малой области вблизи начала координат

пространства волновых векторов, соответствующей области наименьшего затухания собственных функций на турбулентном профиле продольной скорости. Это сильно усложняет задачу решения полученных уравнений, так как требует обобщения условий (8) однородности корреляционных функций. Поэтому будем предполагать далее, что в уравнениях для корреляционных функций Г2 (к) выполняется условие Ак ~ 5 (к), оставляя в соответствующих аргументах матричных элементов те значения волновых векторов, которые соответствуют области определения когерентной части. Это позволяет устранить 5-функции из уравнений (П) и 02).

Для касательного напряжения

ц ( . г0 \

^ху = -{иу) = - итЯ| Нт-Я}

1 0—,

и УШ,

о V 0 о

стохастическая и когерентная составляющие выглядят следующим образом:

то то

? ху

(2п)4

ра | й РГ2 (к) -^Ьп ((0)др£0)/д у )

фк0)

к 2а\и ( у

Рис. Ь Совокупность волновых векторов множественного 3-волнового резонанса

2

2 3 сх = 2 у

(2п) ,=1

((|а,|2)^0 1ш[Ф0(к0)дФ0(к0)/ду] (|а,|2) (в0)2|Ф0(к0))21ш[с(к0)] ^^

|к0| |к 0|2 а0 |и (у)-с (к 0 )| ду

+^ ( Я

10

где к0 = (а,,р,), , = 1,2,3, удовлетворяют условиям 3-волнового резонанса. В силу того, что

к0 = (а1,0), член с , = 1, пропорциональный ди/ду, отсутствует. В случае множественного

3-волнового резонанса Сху будет содержать сумму членов по всем резонансным тройкам

(см. рис. 1) и симметричным к ним относительно горизонтальной оси.

Представленные выражения допускают следующую физическую интерпретацию полученных результатов:

1) касательные напряжения сху зависят от времени в масштабе Т1 = 5** / (вида) - 5 / ;

2) связь сху с профилем средней продольной скорости функциональная;

3) сху зависит только от и (у ), и' (у ) и и" (у );

4) Касательные напряжения, состоящие из суперпозиции когерентной и стохастической составляющих сху = сХСу + С'ху, представимы в виде а (у) + Ь (у) ди / ду + О (1/ Я), и стремятся к нулю при у ^ 0 и у ;

5) член сху, пропорциональный ди / ду , обусловлен корреляцией вертикальной скорости

с вертикальной компонентой завихренности, т. е. Т^-волн с Sq-волнами;

6) вклад в а(у) дают волны Т^ с волновым вектором к вдоль потока, вклад в Ь(у) дают волны Т^ с волновым вектором к поперек потока; существует подобласть [28], в которой функции а(у), Ь(у) являются линейными функциями от у, что дает логарифмическую зависимость профиля скорости от у.

4. Наличие малого параметра в позволяет искать решение уравнений (9), (11) и (12) для амплитуд в виде разложения по этому параметру. Кроме того, появляется иерархия масштабов по времени: т0 = 5** / , т1 = т0 / в, т2 = т0 / в2,.... Далее рассмотрим уравнение (9) для когерентной составляющей.

Для решения уравнения (9) воспользуемся методом многих масштабов [32]. Представим производную по времени, амплитуду Лс^ и корреляционную функцию Г2 (к) в виде разложений

по параметру в:

д д д 2 д

— =-+ в— + в2-+...,

дt дt0 д^ дt2

= Лс(0) + вЛСк(1) + в2Лс(2) + Г2 (к) = Г20) (к) + вГ21) (к) + в2Г(22) (к) +

ю(-к) = -ю(к), ю(к) = Re(юо£ (к)).

Предположим, что Г2 (к1) не зависит от ^ и ^ (это подтверждается при рассмотрении уравнения для Г2 (к)). Собирая члены при одинаковых степенях в, в итоге получаем последовательность из трех уравнений. Разрешая эти уравнения последовательно в масштабах Т0, т и исключая секулярные члены, получим из первых двух:

dAc(0)

•Г=-Г ('.-'2 )■ ^ k^K™.^,, (13)

k 2 = k - k., Q3 = ra(k )-ю(к. )-ю(к 2 ), H(x) = 1, x = 0; H(x) = 0, x Ф 0.

Отметим свойство уравнения (13) для A c(0) в масштабе '.: уравнение инвариантно относительно замены

Ak(0) ('1, '2 ) = ф('2 ),4к(0) ('.'), '1 =Ф('2)'. (14)

(в модельном варианте am ('1,'2) = ф('2)am (ф('2)'1), m = 1,2,3).

Рассмотрим теперь третье уравнение теории возмущений. Для анализа физического смысла полученного уравнения рассмотрим дискретный аналог множественного 3-волнового резонанса [31] (см. рис. 1). Если когерентная составляющая представлена в виде дискретной совокупности волн, подчиненных 3-волновому резонансу

A^(0) = a15 (k - k(0)) + a25 (k - k<0)) + a35 (k - k30)) + a*5 (k + k(0)) + a*5 (k + kf) + a3*5 (k + k30)),

где ai, i = 1, 2, 3 — амплитуды гармоник в 3-волновом резонансе, k(0) : ra(k(0))=ra(k20))+ra(k30)), i = 1, 2, 3, k(0) = k 20) + k 30) — волновые векторы гармоник, то для амплитуд этих волн получим:

da1 da2 * da3 *

—^Л^a3, — = Л2a1a3 , —- = Л3a1a2 (15)

d'1 d'1 d'1

Здесь Лi, i = 1, 2, 3 — комплексные числа, не зависящие от времени, определяемые через матричные элементы.

Ищем ограниченные решения системы уравнений (15). Выпишем уравнения для квадратов модулей амплитуд, сложим попарно эти уравнения и умножим каждое уравнение на некоторое положительное число q¡, i = 1, 2, 3. Выбирая множители q¡ так, что (q^1 + Л2 + #3Л3) = 0,

получим д(q1 | a112 + q2 | a2 |2 + q3 | a3 |2 ) / д'1 = 0. Для q2 / q1 и q3 / q1 получаем алгебраическую

систему уравнений, решение которой существует, если детерминант этой системы уравнений не равен нулю. При этом для амплитуд ai, i = 1, 2, 3, получаем «энергетический» инвариант системы трех волн (см., например, [34]) q11 a112 + q2 | a2 |2 + q3 | a3 |2 = const в масштабе т1. Ограниченность решения системы дифференциальных уравнений (15) тогда будет следовать из условий q2 / q1 > 0, q3 / q1 > 0, которые надо проверять, исходя из определения коэффициентов Лi, i = 1, 2, 3. Если эти условия выполняются, то динамика системы происходит на поверхности 6-мерного эллипсоида.

Результаты обобщаются на случай множественного 3-волнового резонанса:

da-i ^^ / / 7 da2 ; /* da3 i /*

—1 =>A/a2a3, —2 = Л2 a^3 , —3 ^a^, / = 1,2,..., n . (16)

d' d' d'

В этом случае условия положительности величин q2 / q1, q3 / q1 должны выполняться для каждой i-й тройки волн в отдельности. Далее предполагается, что динамика системы финитна, т. е. условия положительности весовых множителей выполнены.

Рассмотрим теперь свойства «энергетического» инварианта когерентной структуры. Вос-

пользуемся преобразованием (М) а1 =ф(и2)а (ф(и2и2) , Ф — действительная функция от и2 для нормировки инварианта. Из условия нормировки ^ | <al |2 I а?2 |2 + 43 I а?3 |2) = К Тогда

для ф получим уравнение в масштабе т2 :

дф2 dt2

= +Xф2 -Фф4,

2

__ f 3

Ф = <'"'

= (ф(,<5;) , X = (лЛ! +Л*^ja^ + ZlZ(Äi + ЛMä i2),

V i=2

T

(...) = lim — Г dt1. \ /ii т TJ 1

0

Здесь Ф (a, a*) состоит из суммы одночленов четвертого порядка от амплитуд аг, а;, l = 1, 2, 3, коэффициенты которых определяются матричными элементами k2 k3. Решение этого уравнения (в предположении, что г20) (k) не зависит от времени) дает Ф(2) = et2X/2VX / Ve2Xf + Фet2X . Здесь f — произвольная постоянная, которая существенна в неравновесном случае. Если X > 0, то

ф (<») = ■/

= >/Х/ Ф , (17)

если Х <0, то ф(то) = 0 . Последний случай соответствует отсутствию когерентной структуры в потоке. Отметим здесь, что, поскольку Ок < 0, в ТПС существование когерентной структуры определяется поведением величины Кк 8 -8к + Як к 8 8 + Як 8 к -8 )г20) (8 )е?8 , зависящей от Г,0 (8) .

Поскольку квадраты средних величин амплитуд входят в определение тензора напряжений, величина ф2 (то) будет определять величину тензора напряжений, создаваемых когерентной структурой. Кроме этого величина ф(то) определяет частоту пульсаций, так как входит во временную зависимость амплитуд.

Рассмотрим теперь систему уравнений (П) для двухточечной корреляционной функции. Первые два уравнения показывают, что Г2 (к) зависит от времени только в масштабе т2 . Отметим появление в уравнении для Г2 (к) источников пульсаций, зависящих от амплитуд когерентных пульсаций. Наличие этих членов требует обобщения условий однородности для стохастических пульсаций. Такое обобщение приводит к существенному усложнению задачи. Однако ее можно упростить, считая, что источниковые члены существенны только вблизи начала координат пространства волновых векторов. При этом амплитуды а1, I = ^ 2, 3, берутся в главном приближении.

Учитывая преобразование подобия 04), окончательно получим для Г20) (к) уравнение, которое с учетом подстановки к - к = 8, о. = е?8 имеет вид:

Рис. 2. Сравнение закона подобия с экспериментальными данными: 1, 2 — [37]; 3 — настоящая теория

г Ох

к, / \

< Г20) (к) _

&2

(

([П(к)]-|/(к)Г2 (к!)<к)Г2 (к)-ф23(к)-

^2у(к,к1 )Г2 (к)Г2 (к!)+ V в (к, к! )Г 2 (к - к! )Г 2 (к1)

Рис. 3. Кривая 3-волнового резонанса (к, = (а,, р„ , = 0, 1, 2)

2п Яе

+4Ьш[у(к ,к! ))Г 2 (к )Г 2 (к! )Р

1

5( (к, к! ))-

«3 (к, к0

(к,к1 )_ю(к)-ю(к -к1 )-ю(к1).

<к,

//

(18)

Р (1/х) — главное значение интеграла в смысле Коши. В уравнении (18) / (к, к!), в(к, к!), у(к,к!), ат (к), т = 1, 2, 3 выражаются через матричные элементы, а

3(к,¿2)_-ф2 (Ла^2) С1 (к)+ £

И 'Ч

12\ и2

(к )-

(к)1 (( (к)).

) )

В равновесном случае величина ф определяется выражением (17) и зависит от Г2 ) (к) . Для

Г20) (к) получено уравнение кинетического типа (18). Оно содержит источник стохастических пульсаций, обусловленный наличием когерентной структуры. Для решения всей задачи в целом надо найти такое ненулевое положительное решение уравнения (18), которое удовлетворяет условию (17).

5. Для проверки принятых предположений проведены вычисления на турбулентном профиле продольной скорости. Вычисления спектральных характеристик проводились в соответствии с методикой работы [31]. Профиль продольной скорости ТПС и (у, задавался в аналитическом виде [35]. Использовались стандартные программы пакета МАТНЕМАТ1СА [36].

Из соображений подобия и размерности можно написать:

-_ а Ш1П

<Х к

1ш

ю

и^5*

' _ со^.

**

Интегрируя это уравнение, получаем зависимость 5** (X). Результат, представленный на рис. 2, получен отсюда пересчетом профиля скорости на толщину пограничного слоя 5( X) и определением начального значения 5(X) и величины q из сравнения с экспериментальными

данными [37]. Теоретическая линия 3 искривлена слабо, что обусловлено, по-видимому, неточностями при решении спектральной задачи при больших числах Рейнольдса из-за резкого изменения профиля продольной скорости вблизи границы, точнее, его производных вблизи стенки.

Полученные описанным выше способом дисперсионные зависимости и собственные функции использованы для построения кривой 3-волнового резонанса (рис. 3) и матричных элементов H (k, k1, k 2 ) , по которым вычислены весовые множители квадратичного по амплитудам инварианта. Верхние и нижние точки на рис. 4 соответствуют участкам резонансных кривых, попадающим в область существования когерентной структуры. Кривые на этом рисунке соответствуют k0 = («0,0), а0 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 14, 18, 19, R5 = 104 .

Система уравнений (16) решалась численно. На рис. 5 представлены зависимости средних квадратов амплитуд пульсаций когерентной структуры в соответствии с ее модельным представлением в виде совокупности гармоники и двенадцати субгармоник вместе с симметричными по ß (всего 24 субгармоники). Величины средних относительны, так как неизвестен множитель ф2, который находится из решения нелинейного уравнения (17) для двухточечной корреляционной функции. Из рисунка видна анизотропия пульсаций по компонентам, а также то, что пульсации сосредоточены вблизи стенки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Из уравнений Навье — Стокса благодаря ряду физически обусловленных упрощений получено уравнение для турбулентных пульсаций в развитом турбулентном пограничном слое. Эти упрощения основаны на предположении, что существует малый параметр s2 ~ 5**/L, L ~ Ux/<7,

где <7 = min ю7 (k) , ю7 (k) = Im[ra(k)] при фиксированном числе Рейнольдса R, которое удовлет-k

воряет соотношениям R » 1, s2R » 1. Этот малый параметр сопоставляется с величиной амплитуды пульсаций. При переходе от поля скоростей движения жидкости к амплитудам парциальных волн в исходных уравнениях этот параметр становится малым параметром задачи, по которому раскладывается решение полученного приближенного уравнения. Указанная здесь величина s необходима для согласования членов разложения получаемого ряда. Это с одной стороны дает закон подобия: d5** / dx ~ 5**га7 / Ux, а с другой — является некоторым аналогом флуктуа-ционно-диссипативной теоремы. Далее следует отметить, что в основу приближенного уравнения для спектральных амплитуд пульсаций вертикальной компоненты скорости положен учет только одной моды дискретного спектра уравнения O-S и индуцированное решение уравнения Sq для

Рис. 4. Область волновых векторов кь в которой весовые множители положительны (при различных а0)

Рис. 5. Среднеквадратичные величины компонентов пульсационной скорости (относительные единицы):

1 — VH ; 2 — 20 («v) ; 3 — ; 4 — yj{ww) ; 5 — U(y),

R5 = 10

вертикальной компоненты завихренности (в предположении, что резонанс мод уравнения O-S с модами уравнения Sq отсутствует). Окончательное решение получено методом многих масштабов. Для его применения задача разбита на две части: когерентную и некогерентную. Для когерентной части удается показать, что динамика, в дискретном представлении спектральной амплитуды, т. е. при ее разложении по резонансным тройкам волн в состоянии множественного 3-волнового резонанса, происходит, при соответствующей нормировке, на сфере размерности 2(1 + 4n) в случае n резонансных троек волн и n симметричных к ним. Кроме того, существует

преобразование уравнения динамики когерентной части в масштабе 5**/(UOTs), которое оставляет его неизменным. Это позволяет получить квадратичный по амплитудам волн инвариант, который в определенной области пространства волновых чисел положительно определен, что обусловливает финитность амплитуд волн в состоянии множественного 3-волнового резонанса. При этом радиус сферы ф изменяется во времени в масштабе 5**/(U^s2). В определение параметра ф входит двухточечная корреляционная функция стохастического компонента. Поэтому полное решение задачи связано с решением нелинейной задачи уравнения для двухточечной корреляционной функции, которое содержит параметр ф. Это уравнение также выводится методом многих масштабов и содержит источник стохастических пульсаций, пропорциональный параметру ф2 . Этот параметр определяется из решения уравнения для корреляционной функции и условия стационарности (17). Решение этой задачи предполагается получить в дальнейшем.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований. Код проекта № 11-08-00832.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kline S. J., Reynolds W. C., Schraub F. A., Runstadler P. W. The structure of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 1967, V. 30, p. 741 — 773.

2. Бойко А. В., Грек Г. Р., Довгаль А. В., Козлов В. В. Возникновение турбулентности в пристенных течениях. — Новосибирск: Наука, 1999, 328 с.

3. Белоцерковский О. М., Хлопков Ю. И., Жаров В. А., Горелов С. Л., Хлопков А. Ю. Организованные структуры в турбулентных течениях. Анализ экспериментальных работ по турбулентному пограничному слою. — М.: МФТИ, 2009, 302 с.

4. Khujadze G., Nguyen Van Yen R., Schneider K., Oberlack M., F a r g e M. Coherent vorticity extraction in turbulent boundary layers using orthogonal wavelets // In 13th European Turbulence Conference. Warsaw, 12 — 15 September 2011. — University of Warsaw, Poland. Book of abstracts.

5. Borodulin V. I., Kachanov Y. S., Roschektayev A. P. Experimental detection of deterministic turbulence // J. of Turbulence. 2011. V. 12, N. 23, p. 1 — 34.

6. Chernyshenko S. I., Baig M. F. The mechanism of streak formation in near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 2005. V. 544, p. 99 — 131.

7. Обухов А. М. Турбулентность и динамика атмосферы. — Л.: Гидрометеоиздат, 1988, 413 с.

8. Струминский В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений. — В кн.: Турбулентные течения. — М.: Наука, 1974.

9. Кадер В. А., Яглом А. М. Законы подобия в пристенных турбулентных течениях. — М.: ВИНИТИ, 1980, с. 81 — 155 (Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. Т. 15).

10. L andahl M. T. A wave-guide model for turbulent shear flow // J. Fluid Mech. 1967. V. 29, pt. 3, p. 441 — 459.

11. Боголепов В. В., Жаров В. А., Липатов И. И., Хлопков Ю. И. Модель турбулентного пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 4, c. 65 — 74.

12. Craik A. D. D. Non-linear resonant instability in boundary layer // J. Fluid Mech. 1971. V. 50, p. 393 — 413.

13. Zelman M. B., Maslennikova I.I. Tollmien — Schlichting-wave rezonant mechanism for subharmonic-type transition // J. Fluid Mech. 1993. V. 25, p. 449 — 478.

14. K a c h a n o v Y u. S. Physical mechanisms of laminar-boundary layer transition // Annual Review of Fluid Mechanics. 1994. V. 26, p. 411 — 482.

15. Жаров В. А. О волновой теории развитого турбулентного пограничного слоя // Ученые Записки ЦАГИ. 1986, Т. XVII, № 5, с. 28 — 38.

16. Маслов В. П. Асимптотическая теория волновых взаимодействий в слабонелинейных средах // Труды Всесоюзной конференции «Нелинейные явления». — М.: Наука, 1991, 214 с.

17. Branko Kosovic . Subgrid-scale modeling for the large-eddy simulation of high-Reynolds-number boundary layers // J. Fluid Mech. 1997. V. 336, p. 151 — 182.

18. Waleffe Fabian. Exact coherent structures in turbulent shear flows / Conference on Turbulence and Interactions TI2006, May 29 — June 2, 2006. — Porquerolles, France.

19. C v i tano v i c P., Artuso R., Mainieri R. et al. Chaosboock.org/version11.8. Aug. 30. 2006.

20. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. — В кн.: Вопросы теории плазмы, вып. 4. — М.: Атомиздат, 1964.

21. B l a c k w e l d e r R. F. Analogies between transitional and turbulent boundary layers // Phys. Fluids. 1983. V. 26. N 10, p. 2807 — 2815.

22. Hussain A. K. M. F. Coherent structure — reality and myth // Phys. Fluids. 1983. V. 26, N 10, p. 2816 — 2863.

23. L a s l i e D. C., Q u a r i n i G. L. The application of turbulence theory to the formulation of subgrid modelling procedures // J. Fluid Mech. 1979. V. 91, p. 65 — 91.

24. Келдыш М. В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов // УМН, 1971. Т. XXVI, вып. 4 (160).

25. Жигулев В. Н., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. О генерации волн неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью // ПМТФ. 1980. № 6, c. 43 — 49.

26. S a l v e n H., G r o s c h C. E. The continuous spectrum of Orr-Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansion // J. Fluid Mech. 1981, V. 104, p. 445 — 465.

27. Гольдштик Л. М., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. — Новосибирск, 1977, 366 с.

28. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 5, c. 39 — 46.

29. Терентьев Е. Д. О формировании волнового пакета в пограничном слое на плоской пластине // ПММ. 1987. Т. 5, вып. 5, с. 814 — 819.

30. Рыжов О. С., Савенков И. В. Асимптотическая теория волнового пакета в пограничном слое на пластинке // ПММ. 1987. Т. 5, вып. 5, с. 820 — 828.

31. Додонов И. Г., Жаров В. А., Хлопков Ю. И. Локализованные когерентные структуры в пограничном слое // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 6, с. 60 — 67.

32. Davidson R. C. Method in nonlinear plasma theory. — N. Y.; L.: Acad. Press, 1972. (Pure and applied physics, V. 37.)

33. Jang P. S., B e n n e y D. J., Gran R. L. On the origin of streamwise vortices in a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1986. V. 169, p. 109 — 123.

34. Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме. — М.: Энергоиздат, 1981, 224 с.

35. Musker A. J. Explicit expression for the smooth wall velocity distribution in a turbulent boundary layer // AIAA J. V. 17, N 6, p. 655 — 657.

36. Mathematica 5.0, Users Guid. Wolfram Research, 2003.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974, 711 с.

Рукопись поступила 19/VI2013 г.