CC BY
49
Том ХЬН
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2011
№ 5
УДК 532.517.013.4
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВИТИЯ ВТОРИЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ МЕТОДОМ ПАРАБОЛИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
М. В. УСТИНОВ
Разработан эффективный численный метод нахождения кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое, модулированном периодическими первичными возмущениями большой амплитуды. Он основан на расчете развития возмущений, создаваемых внешней силой в виде бегущей волны, с помощью модифицированного метода параболизо-ванных уравнений устойчивости (PSE). В отличие от обычного PSE-метода при этом не требуется задавать адекватные граничные условия в виде собственной функции неустойчивой моды, что существенно снижает трудоемкость расчета. Предложенный метод применен для анализа вторичной неустойчивости полосчатой структуры, порожденной продольной завихренностью в набегающем потоке.
Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, вторичная неустойчивость, пограничный слой, полосчатые структуры, параболизованные уравнения устойчивости.
Ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое начинается с нарастания первичных почти периодических возмущений. В зависимости от конкретных условий они представляют собой бегущие в направлении потока волны Толлмина — Шлихтинга или стационарные периодические в поперечном направлении полосчатые структуры, вихри Гертлера или моды неустойчивости поперечного течения на стреловидном крыле. Когда амплитуда первичных возмущений становится большой, исходный слабонеоднородный пограничный слой приобретает периодическую модуляцию. Такое периодическое течение становится неустойчивым по отношению к вторичным возмущениям, быстрый рост которых является непосредственной причиной распада ламинарного режима течения. При переходе, вызванном волнами Толлмина — Шлихтинга, наиболее быстрорастущие вторичные возмущения представляют собой пары косых волн с частотой и
продольным волновым числом совпадающими с соответствующими параметрами первичной волны неустойчивости либо вдвое меньшими их. В этом случае вторичная неустойчивость появляется при амплитуде волны Толлмина — Шлихтинга порядка нескольких процентов скорости потока, когда модуляция пограничного слоя остается почти гармонической. Из-за простоты основного течения для получения инкрементов нарастания вторичных возмущений достаточно учитывать единственную гармонику первичной волны и несколько гармоник вторичных возмущений [1]. Анализ вторичной неустойчивости модулированного в поперечном направлении пограничного слоя требует значительно больших усилий. Дело в том, что заметная вторичная неустойчивость появляется при амплитуде первичных возмущений — полосчатых структур, вихрей Гертлера или мод неустойчивости поперечного течения, — превышающей 20% скорости потока. Первичные возмущения такой
амплитуды перестают быть гармоническими и приобретают весьма
О
УСТИНОВ Максим Владимирович
доктор физико-математических наук, заместитель начальника отделения ЦАГИ
сложную форму. Для нахождения инкрементов нарастания вторичных возмущений приходится анализировать устойчивость двумерного течения без каких-либо упрощающих предположений. Пульсации скорости вторичных возмущений в таком течении сосредоточены в узких областях, и для аппроксимации их собственных функций требуется учитывать большое количество гармоник в поперечном направлении. В результате, нахождение инкрементов нарастания сводится к задаче на собственные значения для матрицы очень большой размерности. С учетом широкого диапазона частот вторичных возмущений, задача нахождения огибающей их кривых нарастания, необходимой для предсказания положения перехода, становится очень трудоемкой [2, 3]. В ряде случаев предпочтительным становится расчет развития возмущений, порождаемых вдувом-отсосом газа через стенку, на основе решения полных уравнений
Навье — Стокса [4]. Такие расчеты под силу только нескольким ведущим вычислительным группам в мире, и они не могут рассматриваться в качестве инструмента для предсказания ламинар-но-турбулентного перехода на крыле самолета. Целью настоящей работы является создание относительно простого способа нахождения кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое, модулированном периодическими возмущениями, имеющими сложную пространственную форму. Предлагаемый подход основан на расчете развития возмущений, порождаемых периодической по продольной координате и времени внешней силой. Он, в известной степени, аналогичен решению задачи о распределенной генерации волн Толлмина — Шлихтинга внешними возмущениями в виде бегущей волны. В [5, 6] показано, что распределенная генерация может быть описана в рамках амплитудных уравнений, решаемых маршевым методом. В неустойчивой области получаемое решение практически совпадает с кривой нарастания волны Толлмина — Шлихтинга. В данной работе для описания распределенной генерации вторичных возмущений применяется модификация метода параболизованных уравнений устойчивости (PSE-метода) [7, 8]. Сначала основные идеи метода иллюстрируются на простом примере волнового уравнения, имеющего аналитическое решение. Затем описывается реализация метода параболизованных уравнений устойчивости с силой для общего случая пограничного слоя на скользящем крыле, модулированного произвольными периодическими первичными возмущениями. Наконец, рассмотренный метод применяется для построения кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое с полосчатой структурой, созданной продольной завихренностью в набегающем потоке. В данной работе для простоты рассматриваются течения несжимаемой жидкости, однако предлагаемый подход может быть легко обобщен на дозвуковые течения сжимаемого газа.
1. Р8Е-МЕТОД С ВНЕШНЕЙ СИЛОЙ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Развитие первичных или вторичных неустойчивых возмущений описывается линеаризованными уравнениями Навье — Стокса. В наиболее распространенном случае конвективной неустойчивости они представляют собой распространяющиеся в направлении потока или под некоторым углом к нему бегущие волны. Наиболее простой моделью, описывающей такие решения линеаризованных уравнений Навье — Стокса, является одномерное волновое уравнение в которое добавлен член с первой производной по х:
д2ы 1 д2ы „ . ч ды „ ., 1Ч
—--2у(х)— = 0. (1.1)
дх2 с2(х) Ы2 дх У '
Коэффициенты с и у, определяющие фазовую скорость и инкремент нарастания возмущений, предполагаются медленно меняющимися функциями х. Их изменение моделирует влияние неоднородности пограничного слоя на характеристики неустойчивых возмущений. Инкремент нарастания у предполагается достаточно малым для того, чтобы периодические по времени решения (1.1) представляли собой бегущие волны, амплитуда которых мало меняется на длине волны. Более точно, будем считать, что у<<ю/с . Периодическое по времени решение (1.1), в предположении постоянных коэффициентов, соответствующем плоскопараллельному приближению в теории гидродинамической устойчивости, имеет вид:
и=се
1 (а*х—Ш
+ с2е
1 (а*х+Ш
(1.2}
При положительном у первое слагаемое в нем соответствует неустойчивому возмущению, распространяющемуся вниз по потоку, а второе — затухающей волне, движущейся против него.
Локализованный источник периодических по времени возмущений порождает расходящиеся от него волны: за собой — с положительной, а перед собой — с отрицательной фазовой скоростью. Вверх по потоку от него возмущения затухают, а вниз по потоку развивается растущая волна, определяемая первым слагаемым в (1.2). Поэтому именно оно соответствует неустойчивому возмущению в пограничном слое. Аналогично ведут себя возмущения, порождаемые локализованным источником в пограничном слое, однако в нем имеется большее количество волн или мод с различными фазовыми скоростями и инкрементами нарастания. За источником присутствуют только моды, имеющие положительную фазовую скорость. Одну из них, которая нарастает или наименее быстро затухает вниз по потоку, будем называть доминирующей модой. На достаточно большом расстоянии от источника решение практически полностью определяется доминирующей модой и его можно использовать для определения кривой нарастания последней. Вверх по потоку от источника распространяются моды с отрицательной фазовой скоростью, которые очень быстро затухают. Если не знать об источнике этих возмущений, то можно заключить, что они очень быстро усиливаются вниз по потоку. По этой причине любое решение линеаризованных уравнений Навье — Стокса, содержащее моды с отрицательной фазовой скоростью, очень быстро нарастает вниз по потоку. Однако скорость его роста не имеет отношения к инкременту нарастания доминирующей моды. Для определения кривой нарастания последней требуется найти не произвольное решение линеаризованных уравнений Навье — Стокса, а решение, не содержащее мод с отрицательной фазовой скоростью. В рамках рассматриваемой модельной задачи такое решение дается (1.2) с С2 = 0 . Его кривая усиления определяется интегралом от инкремента нарастания А:
Последний называется А-фактором и служит критерием ламинарно-турбулентного перехода.
Предположим теперь, что аналитическое решение модельного уравнения (1.1) нам неизвестно и требуется разработать эффективный численный метод нахождения его решения, имеющего вид бегущей волны, распространяющейся по потоку. Поставленная задача может быть решена методом параболизованных уравнений устойчивости (PSE). Он состоит в представлении решения в виде произведения амплитуды А(х) на почти периодический фазовый множитель
Амплитуда А(х) и производная фазовой функции а(х) = й^ /йх , определяющая волновое число возмущений, предполагаются медленно меняющимися функциями х. Характерный масштаб, на котором они изменяются на свою величину Ь ~1/ у , порядка длины участка нарастания возмущений. Он значительно превышает длину волны последних, т. е. Ь ~ 1/у >> 1/а .
Подстановка (1.4) в (1.1) и пренебрежение второй производной от А приводит к дифференциальному уравнению первого порядка для амплитуды. В него входит еще одна неизвестная функция — волновое число а(х) = й^ /йх , — которая должна быть определена в ходе решения. В случае модельного уравнения (1.1) начальное условие для амплитуды может быть выбрано произвольным, так как его решение пропорционально начальной амплитуде. Однако выбор начального значения волнового числа и способ нахождения его изменения в ходе решения существенно влияют на точность получаемой кривой нарастания. Для нахождения вторичных возмущений пограничного слоя PSE-методом требуется задание начальных условий в виде распределения возмущений скорости в поперечном сечении. Чтобы его найти, требуется решить задачу об ус-
х
(1.3)
х0
и = А( х)в'(х)—Ш)
(1.4)
тойчивости сложного двумерного основного течения, которая сводится к задаче на собственные значения для матрицы большой размерности. Из ее собственных значений необходимо отобрать то, которое соответствуют неустойчивой моде. Если начальное сечение расположено за точкой потери устойчивости, то достаточно выбрать собственное значение с минимальной мнимой частью а. Однако нахождение кривой нарастания необходимо начинать в устойчивой области, где трудно выделить ту моду, которая затем станет наиболее неустойчивой. Чтобы ее найти, приходится отслеживать эволюцию неустойчивой моды при движении вверх по потоку в устойчивую область, что требует неоднократного решения трудоемкой задачи на собственные значения. Это сводит на нет преимущества PSE-метода перед ем -методом, основанным на интегрировании инкрементов нарастания, найденных из решения задачи на собственные значения в каждом сечении.
Чтобы избавиться от небходимости задания начальных условий, предлагается использовать для поиска кривых нарастания вторичных возмущений решения лианеризованных уравнений Навье — Стокса, порожденные внешней силой в виде бегущей волны. Из элементарных физических соображений ясно, что чем ближе длина волны силы к длине волны вторичных возмущений, тем больше будет амплитуда вынужденного решения. Если неустойчивые моды отсутствуют, вынужденное решение после короткого переходного процесса будет оставаться примерно постоянным, а при наличии неустойчивости — расти, как и решение однородной задачи. Эти свойства вынужденного решения позволяют определить точку потери устойчивости и волновое число вторичных возмущений. В дальнейшем на примере модельного уравнения (1.1) будет показано, что вынужденное решение может быть найдено интегрированием параболизованных уравнений устойчивости с правой частью при однородных начальных условиях. Рассмотрим уравнение (1.1) с правой частью
р = е (). (1.5)
Продольное волновое число силы р предполагается близким к соответствующему параметру неустойчивой волны этой же частоты. Периодическое по времени решение неоднородного уравнения (1.1), как и в традиционном PSE-методе, будем искать в виде (1.4), используя предположение о медленной зависимости амплитуды и волнового числа от х. Подставляя (1.4) в модельное уравнение (1.1) с правой частью (1.5) и пренебрегая второй производной от амплитуды, приходим к неоднородному уравнению для амплитуды:
йА а ю2 2 2(/а-у)— +1-А + (— -а2 -2/ау)А = 1. (1.6)
йх йх С
Для определенности будем рассматривать его решение для однородного начального условия А(0) = 0 . При постоянных коэффициентах с, а, у это решение имеет вид:
А = Ао
а
е(г5+у*)х - 1
( „2 \ „2 . 2 _2
(1.7)
ю2 ' 5 2(а2 +у2)
а2 - ^ + 21ау с2
ю 2 _ 2
— -а2-2 У2
Vс2 /
ю + а с 1 =У2с2 (а2 +у2).
Даже решение, найденное при произвольном положительном а, позволяет судить о наличии или отсутствии неустойчивых возмущений данной частоты. Действительно, знак инкремента нарастания экспоненциального члена у в выражении для амплитуды совпадает со знаком у. Следовательно, при отрицательных у решение постоянно при больших х, а при положительных — растет экспоненциально. Однако правильный инкремент нарастания вынужденного решения получается только при а, близком к волновому числу неустойчивого возмущения а* = д/ю2 /с2 -у2 .
К счастью, в неустойчивой области вынужденное решение, вне короткого начального участка, полностью определяется экспоненциальным членом, что позволяет предложить простой итерационный алгоритм нахождения а* . Как и следовало ожидать, изменение аргумента этого члена
компенсирует отклонение предписанной фазы решения ах от «правильной^ зависимости а*х , т. е. при малых отклонениях а от а* :
(а +5)х « а*х.
Следовательно, ожидаемое значение волнового числа неустойчивой моды ас определяется соотношением:
а =а + 5 «а
( 2 2 2 Л , ю2 - а2с2 1 + -
V
2а2 с2
(1.8)
/
где последнее приближенное равенство получено в предположении о малости у по сравнению с а и ю / с . Двух итераций по формуле (1.8) достаточно для получения очень хорошего приближения для волнового числа неустойчивой моды из любого разумного начального значения а0 . Так для а о = 0.5ю / с и 2ю / с после двух итераций имеем одинаковое приближение а с = (40/41)ю / с . При численном решении параболизованных уравнений устойчивости коррекция волнового числа может проводиться непосредственно в ходе интегрирования. При этом скорость изменения фазы решения определяется по изменению аргумента на одном шаге по х и (1.8) принимает вид:
, 1 (А( х + к) ^
а( х + к) = а( х) + - arg ——— к I А(х)
(1.9)
где к — шаг интегрирования по х.
Описанная процедура коррекции волнового числа обеспечивает точное его равенство собственному значению а* . Однако в этом случае предэкспоненциальный множитель А0 в решении (1.7) сильно зависит от инкремента нарастания у, обращаясь в бесконечность при у = 0 :
А
1
у(2/а* - у)
В реальном пограничном слое инкременты нарастания вторичных возмущений зависят от продольной координаты, обращаясь в нуль на нижней и верхней ветвях нейтральной кривой. Поведение вынужденного решения при прохождении через нейтральную точку не может быть описано в рамках однородного приближения и требует специального анализа. Рассмотрим с этой целью параболизованное уравнение устойчивости (1.6) с постоянными а, с и линейной зависимостью инкремента нарастания от продольной координаты у = у0х . Его решение для однородного граничного условия в начальной точке х0 имеет вид:
А( х) = - 2
I (у 0 /а)
2юс2
х0
(у0 х - /а) 2у0с в~
При а = а*(0) = юс и относительно малых х■а/у0 можно получить следующую асимптотику этого решения:
А(х) - —
2/ю
х0
I exP £2
exp| ^х2 |.
(1.10)
Если начальное сечение находится перед точкой потери устойчивости на расстоянии, значительно превышающем 1/^/у0, то нижний предел интегрирования можно заменить на -да.
Тогда амплитуды возмущений в точке потери устойчивости и на достаточно большом расстоянии за ней легко вычисляются и имеют вид:
А(о) = ; А = -^ ехр X2 I. (1.11)
2ю V 2уо ю \ 2уо V 2
Полученный из них ^-фактор
= 1п( А / А(0)) = х2 + 1п2
отличается от точного значения Ыг =уох2/2, полученного интегрированием инкремента нарастания согласно (1.3), лишь на константу. Таким образом, кривая нарастания, найденная из вынужденного решения, заметно отличается от точной только в малой окрестности нейтральной точки х ~ 1/>/г0, где происходит генерация возмущений внешней силой.
2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА КРИВЫХ НАРАСТАНИЯ
Опишем численный метод расчета кривых нарастания вторичных возмущений в модулированном пограничном слое на основе решения параболизованных уравнений устойчивости с внешней силой. Рассмотрим наиболее общий случай пограничного слоя на скользящем крыле бесконечного размаха, обтекаемого вязкой несжимаемой жидкостью с кинематическим коэффициентом вязкости V.
Для описания пограничного слоя введем криволинейную систему координат, связанную с поверхностью крыла. Начало координат поместим на линии растекания, ось х направим вдоль поверхности по нормали к передней кромке, ось у — вдоль линии растекания. Вертикальная координата г определяется как расстояние от точки до поверхности крыла по нормали к ней. Введем безразмерные переменные, используя в качестве масштабов скорости и длины скорость набегающего потока их и толщину пограничного слоя 5 = (уЬ / на расстоянии Ь от передней
кромки. Составляющие безразмерной скорости V вдоль осей х, у, г обозначим и, V, V, а безразмерное давление, отнесенное к удвоенному скоростному напору, р. Течение описывается уравнениями Навье — Стокса с условиями прилипания на поверхности крыла. Их решение будем искать в виде суперпозиции основного течения Vb и бесконечно малых возмущений Vp . За основное течение примем пограничный слой с имеющимся в нем первичным неустойчивым возмущением конечной амплитуды. Последнее представляет собой наклонную или прямую стоячую либо бегущую волну с медленно меняющейся по х амплитудой. Такой общий вид описывает практически все виды первичных возмущений в пограничном слое: волны Толлмина — Шлихтинга, вихри Гертлера, полосчатые структуры, стационарные и нестационарные моды неустойчивости поперечного течения на стреловидном крыле. Вследствие конечной амплитуды первичное возмущение не является чисто гармоническим, а включает в себя несколько гармоник основной волны и представляется в виде конечного ряда Фурье
Г 11 Мъ
Vb =К У,,^Жо\(х,г) + X К, VI, wbm,}(х,г)ет[ф(х)+Роу-ог], (2.1)
где первое слагаемое соответствует исходному слабонеоднородному пограничному слою, а второе — периодическим по пространству и времени первичным возмущениям. Характерный масштаб изменения исходного пограничного слоя и амплитуд гармоник первичных возмущений вдоль х есть величина порядка числа Рейнольдса Яе = их5 /V , которое предполагается большим. Пространственный период первичных возмущений есть величина порядка единицы. Поперечное
волновое число Р0 и частота ю0 первичных возмущений не зависят от х вследствие однородности исходного пограничного слоя по у и /. Их продольное волновое число ао = ёФ / ёх медленно изменяется по продольной координате. Основное течение может быть найдено с помощью нелинейного метода параболизованных уравнений устойчивости.
В соответствии с теоремой Флокэ неустойчивые возмущения чисто периодического течения есть произведения периодических функций с тем же периодом на фазовый множитель ехр [/(ах + в у -юО] с произвольными параметрами а, в и ю. При медленном изменении основного течения по продольной координате естественно искать вторичные возмущения в этом же виде с медленно меняющимся продольным волновым числом а и амплитудами гармоник разложения формы возмущений в ряд Фурье:
Параметры а(х) = ё^ / ёх, в назовем продольным и поперечным волновыми числами возмущений, а ю — их частотой. Будем искать вторичные возмущения порождаемые объемной силой:
в виде бегущей волны, совпадающей с фазовым множителем возмущений и направленной вдоль оси х.
Чтобы получить параболические уравнения для амплитуд гармоник возмущений, подставим (2.2) в линеаризованные относительно основного течения (2.1) уравнения Навье — Стокса. В полученных уравнениях исключим члены содержащие:
производные по х от всех медленно меняющихся функций, описывающих основное течение и вертикальную скорость Ж в исходном однородном пограничном слое;
вторые производные по х от амплитуд гармоник возмущений скорости и давления; производные по х от продольных волновых чисел первичных и вторичных возмущений. Такой подход не имеет строгого асимптотического обоснования. Он эквивалентен рассмотрению эволюции вторичных возмущений в локально-однородном приближении, когда непараллельность основного течения учитывается только его зависимостью от х как от параметра. В результате имеем следующую систему уравнений для амплитуд гармоник скорости и давления вторичных возмущений:
м
р
(2.2)
т=- М
Р
^ = *0( 7 )в'^( х)+ву),
+ - ^т 1втПт + ^т,
дП
= -аПт + Кт +5т0*0(7),
т
(2.3)
с№
+ Фт^т +-ГГ = 0 т = -Мр^ Мр,
где
Ьт =1 (От -ют ) + (О0 -2/ат )
_д___( я2
дх Яе дг2
линейный дифференциальный оператор; Пт — амплитуда возмущений полного давления т-й гармоники; Вт = ати0( г) + Рт^(2) — скалярное произведение волнового вектора на скорость основного течения; Ят, Ят, ЯП — нелинейные члены, описывающие вклад остальных гармоник; ат = а + та0 , Рт =Р + тв0 ; ют = ю + тю0 — продольное, поперечное волновые числа и частота т-й гармоники; у2т = а2т +вгп , — символ Кронекера. Путем исключения давления Пт система уравнений для каждой гармоники сводится к двум уравнениям для вертикальной и поперечной к направлению волнового вектора составляющих скорости пт и ,т = ит _ (ат / Рт ),т :
Ь
д 2 п 2
а?_ п
2а(и-ю)-
д 2и,
0
дг
(/аЯи + /РЯУ + /а5т0 *0( 2) )-у 2 Яп,
дп д 2 и --7-— П =
дх дг2 (2.4)
Ь, = + Яи +а Я +5т0 *0( 2),
дг р
где V = В0 _ (а / Р)^0 — поперечная к волновому вектору составляющая скорости в пограничном слое. Здесь индекс <<т>>, обозначающий номер гармоники, для краткости опускаем. При выводе (2.4) отброшены производные по х от нелинейных членов, а также входящие в них производные по х от амплитуд скорости всех остальных гармоник. Сделанное упрощение принципиально важно, потому что позволяет решать уравнения для отдельных гармоник независимо, используя итерации для вычисления нелинейных членов. Строго говоря, отброшенные члены не являются малыми в общем случае, однако ими можно пренебречь, если амплитуды гармоник первичного возмущения малы, по сравнению со скоростью потока, или инкременты нарастания вторичных возмущений малы, по сравнению с их продольным волновым числом.
Система уравнений (2.4) с однородными начальными условиями решалась маршевым методом. Для аппроксимации решения по х применялась неявная схема второго порядка. Нелинейные члены на каждом шаге находились с помощью итераций методом свертки [9]. Дискретизация уравнений по 2 производилась методом коллокаций. В качестве базисных функций использовались ^ = 2в~2/240)(г) (I = 0,1,...,Q _ 1), где г) — полиномы Лаггера. Такие базисные функции автоматически обеспечивали выполнение граничных условий при 2 = 0 и 2 ^да.За узлы коллокаций принимались нули полинома 1др(2) .
На примере решения волнового уравнения в п. 1 показано, что вынужденное решение хорошо описывает кривую нарастания собственной функции однородной задачи, если продольное волновое число а близко к ее собственному значению а* . Там же предложен алгоритм коррекции волнового числа в ходе решения, позволяющий найти зависимость а* (х) в неустойчивой области. К сожалению, он не пригоден в начале расчета, когда растущая неустойчивая мода не успевает выделиться из набора возмущений, возникающих при старте. Поэтому до достижения решением некоторой пороговой амплитуды волновое число предполагалось постоянным и равным некоторому начальному значению а0 . Затем включался алгоритм коррекции волнового числа на каждом шаге интегрирования. Для этого сначала по формуле (1.9) находились скорректированные волновые числа отдельных гармоник ат , причем в качестве амплитуды А в нее подставлялся интеграл по 2 от пт . Затем находилось значение волнового числа ас , обеспечивающее наилучшее приближение предписанных волновых чисел всех гармоник ат = ас + та{) к оценкам, вычисленным по (1.9), т. е. обеспечивающее минимум нормы
M
A= I
p 1 a -ac |2
^m ^m I
m=-MP
| a„
Наконец, начальное значение волнового числа уточнялось с помощью итераций, основанных на интерполяции найденной после достижения пороговой амплитуды зависимости a(х) в начальное сечение.
3. РАСЧЕТ УСИЛЕНИЯ ВТОРИЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
С ПОЛОСЧАТОЙ СТРУКТУРОЙ
Применим описанный метод к расчету кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое на плоской пластине с полосчатой структурой, порожденной периодической по размаху продольной завихренностью в набегающем потоке:
-р2 x
юх = a cos Р0 ye R .
Параметры а и Р0 определяют амплитуду и поперечное волновое число вихревого возмущения. Аналогичные полосчатые структуры появляются в пограничном слое при повышенной степени турбулентности потока. Линейная задача о восприимчивости пограничного слоя к периодической продольной завихренности потока решена в [10]. Воспользуемся этим решением для задания основного течения, нормировав его так, чтобы максимальная амплитуда неоднородности продольной составляющей скорости в пограничном слое составляла 0.32uK, . В выражении для основного течения (2.1) при этом профиль скорости в пограничном слое имеет только продольную компоненту, определяемую решением Блазиуса, продольное волновое число и частота первичного возмущения равны нулю и оно имеет отличные от нуля гармоники с m = ±1. Последующие расчеты развития вторичных возмущений выполнены для основного течения с R = 1000 и Р0 = 0.6. Зависимости амплитуд составляющих скорости первичных возмущений um = 2max(u1(z)), vm = 2max(v1(z)), wm = 2max(w1(z)) от медленной продольной координаты х = х/R = х'/L построены на рис. 1. Они показывают, что первичное возмущение представляет собой, главным образом, периодическую по размаху модуляцию профиля продольной скорости в пограничном слое. Возмущения остальных составляющих скорости пренебрежимо малы везде, за исключением короткого начального участка, и при х ~1 составляют несколько процентов
от um . Продольная составляющая возмущений скорости в полосчатой структуре сначала нарастает линейно по х, затем достигает максимума на расстоянии, пропорциональном квадрату поперечного периода, и, наконец, медленно затухает. Вертикальные профили продольной составляющей возмущений скорости на разных расстояниях от передней кромки представлены на рис. 2. Построенные в зависимости от автомодельной переменной
П = z /л/х они практически не зависят от х до точки максимума um (х), а затем максимум возмущений смещается от стенки. При малых и умеренных х они хорошо описываются асимптотическим решением
u ~ п ^0 (п), найденным
в [11]. Такой характер развития полосчатой структуры хорошо согласуется с выводами работ [12, 13], где он был впервые объяснен.
Для расчета нарастания вторичных возмущений применялся описанный в п. 2 численный метод с ампли-
О 0.5 1 1,5 г
Рис. 1. Зависимости амплитуды неоднородности трех составляющих скорости в полосчатой структуре при К = 1000, р0 = 0.6 от продольной
Рис. 2. Вертикальные профили неоднородности продольной скорости в полосчатой структуре при разных расстояниях от передней кромки
О 0.4
Рис. 3. Зависимости среднеквадратичной амплитуды вторичных возмущений от продольной координаты:
--решения однородной задачи;---------вынужденные
решения
тудой силы
^(х,г) = п^хп; П = (3.1)
Такая сила имеет максимум внутри пограничного слоя и быстро затухает при больших п, что требует применяемый здесь численных метод, использующий однородные граничные условия для решения на большом, но конечном расстоянии от стенки. Большинство расчетов выполнено при х = 0.2. Количество гармоник в ряде Фурье для вторичных возмущений (2.2) и число узлов коллокации во всех расчетах выбирались равными М р = 11 и 2 = 81. Методические расчеты показали, что такое разрешение достаточно для нахождения решения с точностью 1 — 2%. Описанный здесь метод параболизованных уравнений устойчивости для решения однородной задачи (с ^ = 0) достаточно хорошо опробован. Кривые нарастания вторичных возмущений, найденные этим методом с начальными условиями, полученными из решения задачи на собственные значения в локально-однородном приближении [14], будут считаться эталонными. Целью проводимых исследований является подтверждение возможности получения аналогичных результатов на основе анализа решения параболизованных уравнений с внешней силой и однородными начальными условиями, не имея априорной информации о собственных значениях соответствующих неустойчивых мод. Зависимости амплитуды вынужденных решений для различных значений частоты от продольной координаты вместе с аналогичными кривыми нарастания решений однородной задачи показаны на рис. 3. Начальные значения волнового числа аг-для вынужденного решения в этих расчетах соответствовали фазовой скорости с = 0.3 . Интегрирование однородных уравнений начиналось в точке потери устойчивости, а неоднородных — при х = 50 или х = 0.05 . Рис. 3 показывает, что решение вынужденной задачи позволяет судить о наличии или отсутствии неустойчивых мод данной частоты. После короткого переходного процесса в начале амплитуда вынужденного решения остается практически постоянной до нейтральной точки, а начало ее последующего роста свидетельствует о появлении неустойчивости. За нейтральной точкой вынужденное решение практически повторяет форму кривой нарастания возмущений данной частоты. Наибольшее расхождение формы кривой нарастания и вынужденного решения имеет место при низкой частоте ю = 0.05. Возможное объяснение этого факта дает аналогия с решением модельного уравнения (1.1) в окрестности точки потери устойчивости. Из этого решения (1.10) видно, что амплитуда порождаемой силой волны неустойчивости, определяемая интегралом в квадратных скобках, увеличивается от нуля до своего предельного значения на
Рис. 4. Распределения продольной скорости вторичных возмущений в поперечном сечении при ю = 0.15, х = 1, найденные из вынужденного решения (а) и решения однородной задачи (б)
Рис. 5. Зависимости продольного волнового числа (а), инкремента нарастания (б) и ^-фактора вторичных возмущений частоты ю = 0.15 от продольной координаты:
-----соответствуют решениям вынужденной задачи на 1-й, 2-й и 3-й итерациях для начального значения а,-;--решение однородной задачи; ••• — собственные значения неустойчивой моды в плоскопараллельном приближении
интервале шириной порядка 1/^/у0 с центром в нейтральной точке. При низкой частоте производная инкремента нарастания вторичных возмущений в нейтральной точке весьма мала (по сравнению со случаем более высокой частоты ю = 0.15 и 0.2) и ширина области генерации ма велика. Из-за малых инкрементов нарастания в этой области вынужденное решение в ней существенным образом определяется предэкспоненциальным множителем, что и объясняет его расхождение с кривой усиления решения однородной задачи. В частности, нарастание денного решения для ю = 0.05 начинается задолго до нейтральной точки, расположенной примерно при х = 0.6. При отсутствии неустойчивости, как в случае ю = 0.3, вынужденное решение остается практически постоянным и не позволяет судить о скорости затухания возмущений. сле достижения достаточной амплитуды вынужденное решение с высокой степенью точности соответствует собственной функции неустойчивой моды. Это демонстрирует рис. 4, где показаны распределения среднеквадратичной амплитуды пульсаций продольной составляющей скорости в поперечной плоскости, полученные из решений однородной и вынужденной задач.
Нарастание вынужденного решения до определенной критической амплитуды можно использовать в качестве альтернативного критерия ламинарно-турбулентного перехода. Однако такой подход не совсем корректен из-за зависимости решения вынужденной задачи от ряда факторов, например, вертикального профиля силы или начального значения а. Более рациональным представляется использовать вынужденное решение для нахождения общепринятых характеристик неустойчивости течения — кривых нарастания или ^-фактора возмущений заданной частоты. Решение модельной задачи для волнового уравнения показывает, что наилучшее совпадение вынужденного решения с чистым неустойчивым возмущением достигается при совпадении волнового числа с действительной частью собственного значения неустойчивой моды. Поэтому наи-
лучшее описание кривой нарастания должно обеспечить вынужденное решение, полученное для начального волнового числа, соответствующего собственному значению неустойчивой моды в начальном сечении. Для нахождения этого значения аг- применялся следующий итерационный
алгоритм. Сначала для произвольного значения ао выполнялся расчет развития вынужденных возмущений до включения коррекции волнового числа в точке х„ и на расстоянии 2Ах за ней. Затем с помощью линейной экстраполяции, полученной на участке от х„ + Ах до х„ + 2Ах симости а(х) в начальную точку хо находилось новое приближение для начального волнового числа а1. Длина отрезка Ах выбиралась достаточно большой для устранения влияния ности определения волнового числа на оценку производной ёа / ёх . Итерации заканчивались при изменении начального волнового числа менее чем на 5%. Зависимости а(х), полученные
в результате трех итераций при ю = о.15, показаны на рис. 5, а. Соответствующие зависимости инкрементов нарастания, найденные численным дифференцированием вынужденного решения, построены на рис. 5, б. Там же для сравнения приведены аналогичные результаты решения однородной задачи и инкременты растания, найденные из решения задачи на собственные значения. Рис. 5 показывает, что найденное итерациями начальное значение а обеспечивает значительный сдвиг начала ты алгоритма коррекции волнового числа являющийся в виде скачка на зависимости а(х)) вверх по потоку. Это обеспечивает
щественное улучшение оценки скорости роста вторичных возмущений, получаемой из жденного решения при малых х. В целом, этот итерационный алгоритм и коррекция го числа обеспечивают достаточно точное
хождение собственных значений вторичных возмущений в большей части неустойчивой области. Значительные ошибки в инкрементах нарастания имеют место только в окрестности точки потери устойчивости. Однако вклад этой области в суммарный Л-фактор относительно мал из-за ее малой длины и малости инкрементов нарастания в ней. Поэтому в качестве амплитуды в точке потери устойчивости при построении кривой нарастания из вынужденного решения можно выбрать ее значение в произвольной точке от окончания переходного процесса в начале интегрирования до места начала коррекции волнового числа. Опыт показывает, что получаемая ошибка определения начальной амплитуды не превышает одного порядка или трех единиц Л -фактора. Для определенности, в качестве начальной амплитуды выбиралось ее значение в точке минимума зависимости с(х). Зависимости N(х), найденные таким способом из вынужденных решений на первых трех итерациях, построены на рис. 5, в вместе с кривой нарастания, найденной из решения однородной задачи. Видно, что описанный метод обеспечивает приемлемую точность нахождения кривой нарастания АЛ — 1 — 1.5 начиная со второй итерации. Определение Л-фактора с большей точностью не имеет смысла, так как неопределенность его критического значения для вторичных возмущений составляет не менее 3 — 5 единиц. Влияние параметра х, определяющего профиль силы (3.1), на кривую нарастания возмущений показывает рис. 6. На нем видно, что изменение расстояния от стенки до максимума силы в 4 раза не приводит к существенному изменению результатов.
Рис. 7. Кривые нарастания вторичных возмущений различной частоты и их огибающие (-), найденные из решений однородной (-) и вынужденной (--------) задач
О 0.4 0,8 1.2
Рис. 6. Влияние параметра х, определяющего профиль силы, на зависимости среднеквадратичной амплитуды вынужденного решения (1) и получаемой из него кривой нарастания (2) от продольной координаты
Кривые нарастания возмущений различной частоты и их огибающие, найденные разработанным здесь методом и с помощью решения однородных параболизованных уравнений устойчивости, построены на рис. 7. Он показывает, что метод параболизованных уравнений устойчивости с силой несколько завышает Л-фактор для низкочастотных возмущений и занижает его для высокочастотных. При промежуточных частотах, которые и определяют огибающую кривых нарастания, его погрешность минимальна и не превышает 1 — 2 единиц.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Создан эффективный численный метод нахождения кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое, модулированном периодическими первичными возмущениями конечной амплитуды. Он основан на расчете развития возмущений, порождаемых объемной силой в виде бегущей волны, с помощью модернизированного метода параболизованных уравнений устойчивости. В отличие от традиционного PSE-метода, требующего тщательного задания начальных условий в виде собственной функции задачи об устойчивости двумерного течения, развитый подход использует однородные начальные условия. Разработанный метод верифицирован путем построения кривых нарастания вторичных возмущений в пограничном слое со стационарной полосчатой структурой. Однако он пригоден и для анализа устойчивости более сложных течений — произвольных периодических по пространству и времени пограничных слоев, медленно меняющихся в продольном направлении. Концепция анализа неустойчивости с помощью нахождения вынужденного решения параболизованных уравнений устойчивости может найти применение и для предсказания развития первичных неустойчивых возмущений в существенно трехмерном пограничном слое, например, на треугольном крыле или в корневых сечениях стреловидного крыла.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 09-01-00375-а, 10-08-01271-а) и МНТЦ (проект № 2633).
ЛИТЕРАТУРА
1. Herbert Th. Secondary instability of boundary layers // Ann. Rev. Fluid Mech. 1988. V. 20, p. 487 — 526.
2. Li F., Malik M. Fundamental and subharmonic secondary instability of Goertler vortices // J. Fluid Mech. 1995. V. 297, p. 77 — 100.
3. Malik M., Li F., Choudhari M., Chang C. L. Secondary instability of crossflow vortices and swept-wing boundary layer transition // J. Fluid Mech. 1999. V. 399, p. 85 — 115.
4. Wasserman P., Kloker M. Mechanisms and control of crossflow-vortex-induced transition in a three-dimensional boundary layer // J. Fluid Mech. 2002. V. 456, p. 49 — 84.
5. Тумин А. М., Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости в пограничном слое на вибрирующей поверхности // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1983. № 3, c. 72 — 79.
6. Crouch J. D., Bertolotti F. P. Nonlocalized receptivity of boundary layer to three-dimensional disturbances // AIAA paper N 92-0740.
7. Bertolotti F. P., Herbert T., Spalart P. R. Linear and nonlinear stability of the Blasius boundary layer // J. Fluid Mech. 1992. V. 242, p. 441 — 474.
8. Herbert T. Parabolized stability equations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1997. V. 29, p. 245 — 283.
9. Пономарев С. Г., Стойнов М. И. Решение уравнений Навье — Стокса проекционными методами: вычисление нелинейных членов // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша. 1987, № 58, 17 с.
10. Устинов М. В. Восприимчивость пограничного слоя на плоской пластине к турбулентности набегающего потока // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 3, с. 56 — 68.
11. Crow S. C. The spanwise perturbations of two-dimensional boundary layers // J. Fluid Mech. 1965. V. 24. Pt. 1, p. 153 — 164.
12. L u c h i n i P. Reynolds-number-independent instability of the boundary layer over a flat surface: optimal disturbances// J. Fluid Mech. 2000. V. 404, p. 289 — 309.
13. Andersson P., Berggren M., Henningson D. Optimal disturbances and bypass transition in boundary layers // Phys. Fluids. 1999. V. 11, N 1, p. 134 — 150.
14. Устинов М. В. Устойчивость течения в полосчатой структуре и развитие возмущений от точечного источника в нем // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 1, с. 13 — 25.
Рукопись поступила 17/IX 2010 г.
