Моделирование совместного использования ресурсов системы связи методами популяционной динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.7

МОДЕЛИРОВАНИЕ СОВМЕСТНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ СИСТЕМЫ СВЯЗИ МЕТОДАМИ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

С.И. Макаренко

В статье предлагается модель совместного распределения ресурсов системы связи между абонентами на основе методов популяционной динамики - модели Ферхюльста и модели Вольтерры

Ключевые слова: ресурс, система связи, популяционная динамика, модель Ферхюльста, модель Вольтерры

Для решения задачи оптимального разделения между абонентами ограниченных ресурсов системы связи (СС), таких как: общей полосы частот, пропускной способности канала связи (КС) и др. применяются модели теории массового обслуживания, Марковские цепи, теория графов, однако данные апробированные методы не учитывают динамическую конкуренцию абонентов за ограниченный ресурс СС. Методы теории игр позволяют получить набор устойчивых решений по распределению ресурса СС, но не отражают динамику конкуренции абонентов. В данной работе предлагается моделировать совместное распределение и использование ограниченного ресурса СС методами популяционной динамики, что позволит отразить динамику конкуренции абонентов СС.

Популяционная динамика рассматривает изменение численности особей различных видов в случае их конкуренции за ограниченный источник пищи или при возникновении отношений «хищник»-«жертва». Рассматривая особи как абонентов СС и ограниченный источник пищи как ресурс СС, возможно применить методы данной теории к решению вышеуказанной задачи.

Рассмотрим абонентов одной группы конкурирующих только между собой за ресурс СС. В этом случае внутри однородной группы численностью N будет возникать конфликты за использования ресурса (например, в случае проблемы электромагнитной совместимости (ЭМС), число которых будет пропорционально количеству абонентов №. В этом случае необходимо снизить количество абонентов, для уменьшения конфликтных ситуаций. Количество активных абонентов, в такой ситуации возможно описать уравнением Ферхюльста [1]:

dN

dN

dt

= N (a-pN),

(1)

где а>0 - коэффициент определяющий возможности по наращиванию количества абонентов; р>0 -коэффициент определяющий необходимость сокращения количества абонентов, вследствие наличия конфликтов.

Разделив переменные в уравнении (1) получим

Макаренко Сергей Иванович - ВАИУ, канд. техн. наук, e-mail: mak-serg@yandex.ru

= J dt + C,

(2)

-1 N (a-pN)

используя метод неопределенных коэффициентов вычислим интеграл в левой части уравнения:

ln

N

- PN y откуда, находим

■ = Kea .

= t + C

N

(3)

(4)

a-pN

Коэффициент К найдем из условия, что в начальный момент времени (/=0) число абонентов было равно N0.

K = -

N0

a-PNo

тогда

N (t) =

aN0ea

a- pN0 +PN0ea

причем

lim N (t) =

в

(5)

(6)

(7)

Удобно ввести безразмерное время т = а/ и параметр г = а/в, определяющий возможности по наращиванию количества абонентов над необходимостью их сокращения при наличии конфликтов. Тогда, изменение численности абонентов определяется только отношением N0/г. Равенство (6) задает логистическую функцию (рис. 1), определяющую возможности по совместной работе N абонентов при заданных а и в.

Рис. 1. Поведение логистической функции при различных параметрах а и в

Рассмотренная модель является наиболее простым случаем и учитывает только возрастание конфликтов между абонентами одной группы при возрастании их количества. Однако, как правило, за

а

ограниченные ресурсы СС конкурируют абоненты различных групп (в группы абоненты могут быть объединены по признаку доступа к конкретному ресурсу СС). Для решения задачи моделирования динамики конкуренции двух групп абонентов (в общем случае можно построить аналогичную модель и большего количества групп) используется модифицированная модель Вольтерры [1].

Динамика числа абонентов Nj и N2 конкурирующих за ресурс СС определяется системой

dN,

dt

dN,

dt

(8)

где: а,-, Д - имеют то же значения, что и для выражения (1), у, - коэффициент описывающий влияние конкурирующей группы абонентов. Все коэффициенты положительны.

Система (8) имеет следующие особые точки (N1 ; N2):

A(N,;N2); B

N,;

a2

в

C

2 J

a,

р

D

f a2Y2 -в7а1 . aJx - №7 ^

YY -в,в2 ’ YY -PP

2 J

Если бы вторая группа абонентов отсутствовала, то численность первой группы описывалась бы логистическим уравнением (6). В этом случае, при большом начальном количестве абонентов их численность необходимо было бы уменьшить до величины а/Д. На координатной плоскости (рис. 2) такая вырожденная система соответствует оси N1 ^2 = 0) и фазовые траектории направлены к точке С. Аналогично рассуждая получим, что в случае отсутствия первой группы абонентов фазовые траектории направлены по оси N в точку В. Исходя из того, что количество конкурирующих абонентов не может быть отрицательно (Ы1 > 0, N > 0), то точка Б должна соответствовать этому условию. Это соответствует условиям:

а2у2 - в7а\ > 0

а1у1 - вха2 > 0 или

YY в,в2 > 0 Проведем анализ

a2Y2 - в7а\ < 0

a,Y, - в,а2 < 0 (9)

YY в,в2 < 0 фазовых траекторий

задающихся системой (8), проанализировав линии перегиба фазовых траекторий, в которых производные системы (8) обращаются в ноль

N2 =а--в N1 Y2 Y2 N2 =Оа—YYNl' 2 в Рг

Определим знаки производных в различных частях первой четверти координатной плоскости

dN,

dt

N, -в N,

•> 0

dt

N2 <а-YYN,

2 вг вг

(9')

Y2 Y2

Рассмотрим первый случай, когда в системе имеется только три особые точки А, В и С. Это возможно при выполнении условий

— > —

Y2 в2 а, ап — > — в Y, На

Y2 в2

а, «2

Р < Y,

(,0)

рис. 2

показаны области динамики изменения численности абонентов первой и второй группы для первого случая при решении первой системы выражения (10). Точка В является седловой точкой, так как фазовые траектории направлены к ней и от нее. Точка С является устойчивым узлом так как фазовые траектории входят в нее. Точка А -неустойчивый узел. Таким образом, если в СС существуют две группы абонентов конкурирующих за единый ресурс то по первому случаю абоненты второй группы, будут полностью вытеснены абонентами первой группы. После этого они начнут конкуренцию между собой до стабилизации численности первой группы на уровне а1/Д1.

а2 / в2 < ^

Рис. 2. Абоненты первой группы «захватывают» ресурс СС

Аналогичное решение получается и для случая, когда абоненты первой группы будут вытеснены абонентами второй группы. В этом случае имеет место вторая система выражения (10) и фазовые траектории будут направлены в точку В.

Рассмотрим второй случай, когда особая точка Б лежит в первой четверти (рис. 3, 4). Возможно два варианта для данного случая. В первом варианте этого случая имеет место условие

Y2 в2

а, а2

Р > Y,

(И)

и

Рис. 3. Неустойчивое состояние в котором абоненты одной из групп «захватывают» ресурс СС

В этом случае (рис. 3) какое-то начальное время абоненты конкурируют за ресурс СС, пока фазовые траектории стремятся к седловой точке Б, а после прохождения линий перегиба фазовых траекторий одна из групп абонентов вытесняет другую и полностью захватывает ресурс СС (точки А и В).

Во втором варианте второго случая, когда особая точка Б лежит в первой четверти (рис. 4) соблюдается условие

> —

Y2 р

а, а

р Y,

(,2)

А

В этом случае некоторое начальное время абоненты конкурируют за ресурс СС, пока фазовые траектории не пересекут линии перегиба фазовых траекторий. После чего, число абонентов в обоих группах совместно использующих ресурс СС стремиться к устойчивому стационарному состоянию (точка Б).

Рис. 4. Устойчивое состояние в котором абоненты двух групп совместно используют ресурс СС

ГГ

1^ч<

Условие (12) определяет необходимое условие наличия устойчивого решения задачи распределения сурса СС между абонентами. Окончательно, с етом координат точки Б получим необходимое и достаточное условия такого решения:

а/Y2 >а/А а/А > а/Yl

а2 Y 2 — в2а1

N, =

N2 =

YY

aY - №2

(,3)

Y^Yг — РЛ

Проведенное моделирование и полученное решение (13) может быть положено в основу динамического моделирования конфликтных ситуаций за ресурс СС, в том числе при решении задач оптимального распределения частотного ресурса, пропускной способности КС с множественным доступом, моделирования случайного, временного, кодового разделения каналов, решении проблем электромагнитной совместимости радио-абонентов.

Литература

L Тарасевич Ю. Ю. компьютерное моделирование. 2003. - !44 с.

Математическое и

- М.: Едиториал УРСС,

Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж) THE MODEL OF THE RESOURCE DISTRIBUTION FOR COMMUNICATION SYSTEM BY THE DYNAMICS POPULATION METHODS S.I. Makarenko

The article contains the model of the resource distribution for communication system with use the dynamics population methods. The Verhulst method and the Volterra method use for modeling

Key words: the resource, the communication system, the dynamics population methods, the Verhulst method, the Volterra method