Модели воздействия средств радиоэлектронной борьбы на систему связи на основе методов популяционной динамики Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 623.624

МОДЕЛИ ВОЗДЕЙСТВИЯ СРЕДСТВ РАДИОЭЛЕКТРОННОЙ БОРЬБЫ НА СИСТЕМУ СВЯЗИ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ С. И. Макаренко

В статье предлагается модель динамической оценки числа абонентов системы связи и количества противодействующих им средств радиоэлектронного подавления на основе методов популяционной динамики -модели Лотки-Вольтерры и модели Холлинга-Тэннера

Ключевые слова: система связи, радиоэлектронная борьба, радиоэлектронное подавление, модель Лотки-Вольтерры, модель Холлинга-Тэннера

Использование методов популяционной динамики, в частности, моделей Ферхюльста и Вольтерры [1], для решения задачи и

моделирования оптимального распределения ресурса системы связи (СС) между абонентами рассмотрено в работе [2]. Вместе с тем модели теории популяционной динамики позволяют описать не только конфликт абонентов за ограниченный ресурс СС, но и предоставляет возможности по моделированию воздействия

средств радиоэлектронной борьбы (РЭБ) на СС.

При использовании моделей популяционной динамики, отношения между абонентами в СС и средствами РЭБ возможно рассмотреть как

отношения «хищник»-«жертва». В этом случае возможно за счет соответствующих моделей (в данном случае, моделями Лотки-Вольтерры и Холлинга-Тэннера [1] ) описать динамику изменения количества активных абонентов СС и средств РЭБ эффективно подавляющих СС.

Рассмотрим абонентов одной группы использующих ресурс СС и воздействующих на абонентов с целью подавления средств РЭБ. При отсутствии средств РЭБ, количество абонентов N в составе СС можно наращивать неограниченно. В этом случае количество абонентов описывалось бы моделью Мальтуса [1]. Для подавления абонентов СС используются средства РЭБ. При снижении количества абонентов, количество средств РЭБ У необходимых для эффективного подавления, соответственно убывает с коэффициентом у > 0:

су = _ У <И 7 , откуда

У = У0е~г‘,

где У0 - начальная численность средств РЭБ.

Росту численности абонентов СС препятствуют противодействующие им средства РЭБ. Частота конфликтов между абонентами и средствами РЭБ пропорциональна их численности.

В этом случае скорость изменения числа абонентов в СС описывается уравнением:

Макаренко Сергей Иванович - ВАИУ, канд. техн. наук, е-таіі: mak-serg@yandex.ru

(1)

где а>0 - коэффициент определяющий возможности по наращиванию количества абонентов; р>0 -коэффициент определяющий сокращение количества абонентов, вследствие их подавления средствами РЭБ.

Аналогично, рост количества абонентов ведет к необходимости соответствующего роста количества средств РЭБ:

йУ=-у (,-зу),

(2)

где 3>0 - коэффициент описывающий

эффективность РЭБ и определяющий то как часто средства РЭБ подавляют абонентов.

Из (1) и (2) получим нелинейную систему:

— = N (а-вУ ) Ж У ’

йУ

(3)

= -У (г-ЗУ)

Найдем стационарное решение системы (3). Если численность абонентов и средств РЭБ постоянна то соответствующие производные обращаются в ноль:

[0 = N (а_ РУ)

[0 = _У (у_8У )

откуда

[ N = 0 и Г N2 =у/д 1У=0и [У2=ав'

Производные (3) обращаются в ноль на прямых N = у/8 и У =а]р, следовательно

численности абонентов и средств РЭБ имеют здесь экстремумы (рис. 1)

Как видно на рис. 1 точка (N1; У]) является особой седловой точкой. Фазовые траектории вблизи данной точки имеют вид гипербол. Исследуем поведение фазовых траекторий относительно стационарной точки (N2; У2).

Разложим правые части системы (3) вблизи стационарной точки (N2, У2), рассмотрев малые отклонения из положения равновесия:

п = N - Ы2 = N -

£ = У - У2 = У -

где п - отклонение по численности абонентов СС, ^ - отклонение по численности средств РЭБ.

Тогда система (3) преобразуется к виду:

<■=-№-&■(

аґ д

ад

— = дп£ +--п

<ґ р

(4)

Поскольку и ^ —— 0 , следовательно, вП — 0 и дц^ — 0 . В этом случае (4) преобразуется к виду:

П = -їввр

аг о

ад

___

~ж~ ~вч

Характеристическое уравнение системы (5)

-2 -ур/д

(5)

ад/ р -2

= 0

имеет корни

^ = ¡у[ау , Л2 = -Цау .

Корни характеристического уравнения, мнимые, следовательно, особая точка (Ы2; У2) -центр. Фазовые траектории описывают вокруг центра замкнутые кривые (рис. 1).

Количество абонентов СС и необходимое для их подавления количество средств РЭБ испытывают несовпадающие по фазе колебания. При эффективном наращивании количества абонентов СС (зона I на рис. 1), необходимость в количестве средств РЭБ эффективно подавляющих их увеличивается (зона II на рис. 1). В результате группировка РЭБ сначала активно противодействует наращиванию абонентской базы СС (зона II на рис. 1), а в дальнейшем эффективно подавляет уже активных абонентов в составе СС (зона III на рис. 1). Эффективное подавление абонентов СС снижает требования к количественному составу группировки РЭБ (зона IV на рис. 1) и после снижения количества средств РЭБ менее необходимого для противодействия СС,

абонентская база СС может быть увеличена (зона I на рис. 1).

Приведенные выражения, основанное на модели Лотки-Вольтерры обладают существенным недостатком - модель неустойчива к малым возмущениям, то есть не является грубой [1]. Поскольку в реальных условиях противодействия СС средствами РЭБ присутствует много возмущающих факторов, не учтенных в модели Лотки-Вольтерры, эта модель описывает процесс изменения числа абонентов и средств РЭБ весьма идеализированно.

Для более точного описания изменения численности абонентов СС и средств РЭБ необходимых для ее подавления, возможно применить модель Холлинга-Тэннера [1]. В соответствии с данной моделью скорость изменения количества средств РЭБ задается выражением

ау=^ (1 - и.

а I N

(6)

которое выбрано из следующих соображений. Когда абонентов СС много N , количество средств РЭБ наращивается по правилу Мальтуса [1, 2] с показателем & С уменьшением числа абонентов СС скорость роста числа средств РЭБ падает и при N < 3 У становится отрицательной (что

соответствует допущению о том, что одно средство РЭБ эффективно подавляет не более 3 абонентов СС).

Скорость изменения количества абонентов СС состоит из трех компонент:

<т

■ = aN------N2 —

wУN

(7)

Ж К Б + N

где а>0 - коэффициент определяющий возможности по наращиванию количества абонентов; К -коэффициент определяющий снижение

возможностей по наращиванию количества абонентов вследствие конкуренции между собой; V, Б - коэффициенты определяющие снижение количества абонентов вследствие воздействия средств РЭБ.

Таким образом, первый член выражения (7) а N соответствует закону Мальтуса [1, 2], второй -аN 2/К описывает конкуренцию абонентов СС между собой, вследствие ограниченности ресурсов СС. Третий компонент скорости изменения абонентов СС описывает их взаимодействие со средствами РЭБ и имеет вид / (Б+Щ (где

V, Б > 0). Это выражение более адекватно описывает межвидовое взаимодействие, нежели член -вNУ выражения (1) в модели Лотки-Вольтерры. В ней число абонентов, подавляемых одним средством РЭБ за единицу времени, равно ^ и растет пропорционально числу абонентов, что неправдоподобно. В модели Холлинга-Тэннера коэффициент подавления абонентов средствами РЭБ равен wNУ / (D+N). Он не может превышать величины м>/Б и при N ^ж неограниченном росте количества абонентов стремится, монотонно возрастая, к числу м>/Б, выражающему предельные

возможности средств РЭБ по подавлению абонентов СС.

При отсутствии средств РЭБ, рост количества абонентов описывается выражением

^ т,т( а

----= NI а-----N

Ж \ К

Воздействие средств РЭБ описывается системой уравнений модели Холлинга-Тэннера, физический смысл коэффициентов в которой указан выше

wУ

dN ! а

----= NI а-------N----------

Ж V К Б + N

= SУ (1 - Л Ж I N

(8)

Проведем исследование системы (8) для поиска стационарного решения. Найдем особые точки системы (8). Из первого уравнения системы (8) следует, что dN /Ж = 0 если количество абонентов N=0. Однако этот случай не соответствует смыслу поставленной задачи и рассматриваться не будет. Во-втором случае dN Ш = 0 при

а лг

а------N-■

К

= 0,

откуда

у=а I1 -1Р+*).

(9)

Выражение (9) определяет особую траекторию - параболу с точками пересечения с осью 0N в точках (-Б; 0), (К; 0) и координатами вершины ^К-Б)/2. Данную параболу фазовые траектории пересекают в вертикальном направлении (рис. 2).

Рис. 2.

Из второго уравнения системы (8) получим, что ШУШ = 0 если У=0, что не соответствует смыслу поставленной задачи, или при

У = N /3. (10)

Уравнение (10) определяет вторую особую линию, которую фазовые траектории пересекают в горизонтальном направлении (рис. 2).

Особые линии, задаваемые выражениями (9) и (10) имеют две точки пересечения, однако по условию задачи имеет смысл только особая точка с положительными координатами. Обозначим ее

(N3; У3). Изменим масштаб переменных, разделив их на N3

п = N / N3 ; у = У / N3 .

Тогда с учетом введения переменных п и у система (8) примет вид

ёп ( п ] Юу

— = па I 1------I------—

Ж I к I ё + п

± = Sy І1 -

аґ I п

(11)

где к = К / ^; Ш = Б / N.

Особая точка после изменения масштаба будет иметь координаты (п3; у3) = (Ы3 / N3; У3 / N3) = = (1; у3). Подставив значение п3 = 1 во второе уравнение системы (11), получаем у3 = 1/3. Из первого уравнения находим, что

„з=а(к - .«с+1).

Проведя линеаризацию системы (11) вблизи особой точки (п3; у3 ), перейдя к переменным

п = п - П3; у = у - У3, получим

Шп

■ = а

( \ 1 Ю

-----1----------------:

к аЗ (1 + ё )

V

ё + п

(12)

ёу S _

^— = — п - Ьу З

Определитель матрицы коэффициентов системы (12) при положительности основных коэффициентов системы всегда больше нуля:

( \

det

1

---+ “

к аЗ (1 + ё )

Ь

З

ё + п

-Ь

> 0,

(13)

( \

1 wd

---1----------

ч к а3 (1 + Ш) у

следовательно выражение а(к - Ш - 2) к (1 + Ш ) ,

может иметь любой знак. Это значит, что особая точка системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым узлом [1]. В случае неустойчивой особой точки в системе будет иметься предельный цикл. Таким образом, наличие предельного цикла для фазовых траекторий изменения количества абонентов и средств РЭБ определяется условием а(к -Ш -2)

-Ц--------!--5 > 0,

к (1 + Ш)

откуда, переходя к коэффициентам К и Б, получим

а( К - Б - 2)

(14)

К (1 + Б)

Графическая интерпретация модели Холлинга-Тэннера применительно к оценке изменения количества абонентов СС и количества РЭБ

а

эффективно подавляющий СС приведено на рис. 3. Фазовая картина на рис. 3 в общем случае совпадает с рис. 1. Однако за счет уточнения модели, данный фазовый портрет более адекватно описывает колебания количества абонентов СС и средств РЭБ.

На рис.3 также как и на рис. 1 можно выделить четыре зоны соответствующие различным фазам » противоборства в конфликте между абодО ша СС/ и средствами РЭБ. Зона I на рис. 3 - эффективного наращивания количества абонентов СС. Зона II на рис. 3 - рост количества абонентов СС и средств РЭБ. Зоны III, IV на рис. 3 - эффективное

подавление абонентов СС вследствие чего снижение количественного состава группировки РЭБ. Вместе

с тем модель Холлинга-Тэннера позволяет найти условия (выражение (14) ) при который количественный состав абонентов СС и группировки РЭБ, сходятся к предельному циклу и в дальнейшем независимо от начальных условий количество абонентов и средств РЭБ испытывают колебания в его пределах. Такой предельный цикл выгоден, так как дает возможность вычисления как необходимого количества средств связи при известном числе средств РЭБ противника, так и вычисления необходимого количества средств РЭБ для подавления заданной СС. При невыполнении условия (14) фазовые траектории колебания количеств абонентов и средств РЭБ будут «раскручиваться» пока одна из конфликтующих сторон не исчерпает свой численный ресурс.

Литература

1. Тарасевич Ю. Ю. МатемаГ^еск^ III и компьютерное моделирование. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 144 с.

2. Макаренко С. И. Моделирование совместного использования ресурсов системы связи методами популяционной динамики // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2010. Т. 6. № 9. С. 63-65.

Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж)

3<TPEMoDELS OF INFLUENCE OF THE RADIO-ELECTRONIC COUNTERMEASURES EQUIPMENT ON THE COMMUNICATION

SyStEm ^^PULATfSNPY^AMf METHflDâ II

S. I. Makarenko

The article contains the model of the estimate for numbers of the communication system subscriber and the electronic countermeasures equipment in during the radio-electronic conflict. The Lotka-Volterra and the Holling-Tanner methods are used for modeling

Key words: the communication system, the electronic countermeasures, the radio-electronic suppression, the Lotka-Volterra method, the Holling-Tanner method