CC BY
50
УДК 528.72 В.С. Коркин СГГ А, Новосибирск
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
Предлагается алгоритм построения цифровой модели рельефа (ЦМР) по нерегулярной сетке исходных точек, с соблюдением непрерывности моделируемой поверхности.
Пусть в некоторой области Q r в N точках с координатами К К
Xк, YK е Qr измерены значения неизвестной функции рельефа АХу),
n
определенной на всей области моделирования Q= У Q/, где Qi Q Q j = 0
i= 1
для Vi, j .
Будем аппроксимировать данную функцию бикубическим полиномом:
3 3
PK (x, у) = ££ aRf (x)Tj (у), (1)
i=0j=0
_К
где a;j - неизвестные коэффициенты; T (x),fj (у) - ортонормированные
полиномы Чебышева, получены путем нормирования полиномов Чебышева l-
2 3
го рода: f0 (x) = 1, f1 (x) = x, T2 (x) = 2x -1, ^3 (x) = 4x - 3x, номера i и j
указывают на степень полинома.
Согласно методу наименьших квадратов запишем функционал
N 3 3
ф= S (fR (xkyk) - S S aRf; (xk )fj (yk ))2 = min . (2)
K=1 i=1 j=1
Дифференцируя функционал (2) по неизвестным, получим систему нормальных уравнений, после решения которой найдем коэффициенты ау.
Для решения поставленной задачи разобьем область Q на ячейки QR , имеющие форму квадратов (прямоугольников).
В каждой ячейке сетки аппроксимация выполняется независимо друг от друга. После нахождения неизвестных коэффициентов а1} переходим ко
второму этапу моделирования. На этом этапе выполняется аппроксимация по алгоритму, изложенному в [1], полиномом вида 3 3
P(x у) = S S aijfi(x)fj(у). (3)
i=0j=0
Отличие состоит только в том, что аппроксимировать будем не функцию рельефа, представленную дискретно, а уже полученную функцию (1), которая непрерывна на каждом элементарном участке Q r .
Запишем минимизируемый функционал и условие непрерывности на границах элементарных участков Q r
1 1 ф=11
3 3
3 3
£ £ а*Т (х)Т; (у) -£ 1] (х)Т] (У)
-1-1^ г =0 ]=0
г=0]=0
dxdy = штп
(4)
£ ] (-1) - Ь] = 0
г=0
£ ] (1) - Ь]+1,г = 0 (] = 0,...3)
г=0
Ч]
]
£ аУТ ](-1) - а7 , ]=0
3
I, г
= 0
(5)
£ а*Т] (1) - а\, г+1 = 0 (г = 0,..3)
]=0
В выражениях (4) и (5):
а]] - коэффициенты полинома, полученные из первой аппроксимации; а] - искомые коэффициенты полинома; т, (-№,) (1) - значения полиномов
Чебышева на границах элементарного участка;
- коэффициенты
полиномов профилей, полученных по линиям сетки.
Перед тем, как решать задачу вторичной аппроксимации, предварительно строиться сетка профилей. Полиномы, аппроксимирующие функцию рельефа по линиям сетки, получают из выражения (1) путем фиксирования одной из координат х = de или у = сг.
По линиям сетки, параллельным осям х и у имеем 3 3
Р(х) = £агТг(х), Р(у) = £Ь]Т] (у), (6)
7=0 ]=0
где а = а]Т] (сг), Ь] = ]), (7 = 0,..3; ] = 0,...3).
Теперь задача состоит в том, чтобы обеспечить условие непрерывности по линиям сетки в ее узлах. Для этого вычисляются значения функции (1) в узлах.
Далее приступаем к нахождению новых коэффициентов ai и Ь полиномов (6) при условиях непрерывности в узлах сетки.
Задача решается следующим образом. По линиям сетки параллельным оси у, необходимо найти
1
3 3
£ Ь-,ГТ] (у) -£ Ь]гТ, (у)
\2
-1У = ° 7 =0
при граничных условиях
]]
dy
Ш1П
(7)
3
>
3
3 л
2 Ь1,ГТ7 (-1)- Zl,Г = 0
7=0
3
2 ь1, ГТ7 (1)- zl,Г+1 = о
7=0
Если проинтегрировать левую часть выражения (7) с учетом свойств ортонормированных полиномов Чебышева, получим функционал 3 _ , 3 , „
( 2 Ь-’Г-2Ь1/' )2 = шт. (9)
7=0 7=0
Для решения (9) и (8) составляем функцию Лагранжа
4,., ль л )= (2 ь-,Г - 2 ь7Г )2 + Л ■Г (2 ь) гт (-1) - ^ ■Г) +
7=0 7=0 7=0
3
+ Л'Г(2 ь)ГТ(1)-Zl•'+1),
7 =0
(10)
где Л-1 и ^2" множители Лагранжа, которые являются дополнительными
неизвестными; Zl ’Г, Zl, Г+1 - усредненные значения функции (1) в узлах сетки О к.
I Г
Находим частные производные функции L по неизвестным Ьj , Я[, ^,
приравниваем их к нулю и после преобразований получим систему из двух уравнений
(11)
с1А1{ + = 11,Г
еЯ1{Г + с1Я1{ = !1’Г+1
3 3 3
где а = 2 Т) (1)Т, (1) = 2Т, (-1)Т, (-1), е = 2Т, (-1)Т, (1),
7=0 7=0 7=0
3 3
I1,Г = 2( 2 Ь,,ГТ7 (-1) - Zl,Г), I1,Г+1 = 2( 2 Ь,,ГТ7 (-1) - Zl,Г+1).
7=0 7=0
Решая (11) находим и и вычисляем значения ь по формуле
и,,Г ь‘,Г -(^1 ■ ГТ7(-1) + 4ГТ7(1))
7 2 .
Построение профилей, параллельных оси х, и нахождение коэффициентов а7 выполняется аналогично. Теперь решается задача (4) и (5)
для определения коэффициентов а- каждого элементарного участка с соблюдением условий непрерывности на границах.
Запишем функцию Лагранжа
(
3 3
2 2 а,г -2 2 а 7
^■=0 7=0 /=0 7=0 )
33
\
2
г
+
+ V'
,, Г
л
2 а\,Т, (-1) - Ь
V 7=0
(
I,г 7
\ (
I+1, г 7
3
2 а7ГТ (1) - Ь
V. 7=0
I + 1,Г 7
+
2 а, гТг (-1) -
а
,, Г
V 7
=0
+а
л
2 аУТ, (1) -
а
I, Г +1
V 7
=0
, (7 = 0,...3),(7 = 0,...3).
(12)
Найдем частные производные (12) по переменным (а„, V ^^, щ ,а7) и
прировняем их к нулю
= -2а,.’Г + 2а^г + ГТ,■ (-1) + 7 ГТ, (1) + +Щ,ГТ] (-1) + а1, Г+1Ту (1) = 0
7
3
81 = 2 а^гТ(-1) - Ь,.,Г = 0,
8^
^ =22 4’ГТ7(1)+1 Г =0, (7=°,...3)
3
= 2 а7ГТ7(-1) - а,Г = 0
8Ь
Я I, г ^ 7
8щ, 7=0
—I ,г
8Ь
8а
I, г+1 7
= 2 а'-Т (1) -
7=0
ТГ1, Г +1 -
а
= 0, (7 = 0,...3)
(13)
Выразим из первого уравнения (13) 077
, г а7г - ^гт (-1)+7гт (1)+Щ'Т (-1)+а,,г+т (1)
"Т/ - 2
(14)
и подставим в следующие уравнения системы (13).
В результате получим систему нормальных уравнений с шестнадцатью неизвестными множителями Лагранжа. Коэффициенты а,I и С0,...,с9 системы нормальных уравнений имеют постоянные значения и зависят только от значений ортонормированных полиномов Чебышева на концах интервала [-1,1].
3 3
а = 2Т (-1)Т (-1); , = 2Т (-1)Т (-1),
7=0
7=0
Г
со = 70(1)70(1), С = 70(1)71(1), С2 = 70(1)72(1), сз = 70(1)73(1), С4 = 71(1)71(1),
сз = 71(1)72(1), с6 = 71(1)73(1), С7 = 72(1)72(1), с8 = 72 (1)73(1),
С9 = 73(1)73(1),
л)Г = 2
11, г 0
и1 =2
^ 3
X а) % (-1) - ь)
V/=0
^ 3
^—/, Г ( 14 1./ + 1, г
а) 7 (-1) - Ь) ’
в/,Г
V /=0 Г 3
и
2
X а) ГЬ(-1) - а\’Г
Vu=0
в1, Г=2
где Г
3
—/, Г^ / 1\ /, Г +1
аи 7и(-1) - а
Vи=0
/1, Г
м
, в1/,Г, в',
свободные члены уравнений.
Решая полученную систему, находим множители Лагранжа и вычисляем
для каждого элементарного участка а/,Г коэффициенты аппроксимирующего
и
полинома (3). Необходимо заметить, что обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений постоянна и все решения сводятся к вычислению свободных членов и умножению обратной матрицы на вектор свободных членов преобразованной системы.
Таким образом, получаем аппроксимирующую поверхность рельефа, описанную полиномом (3) в каждом элементарном участке при соблюдении условий непрерывности по всему полю моделирования.
Точность аппроксимации будет зависеть от размера элементарного участка, плотности расположения исходных точек на поверхности рельефа и сложности самого рельефа.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Журкин И. Г., Коркин В.С. Об одном подходе к построению цифровой модели рельефа // Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 1983. - № 4. - с. 66-71.
©В.С. Коркин, 2005
