Научная статья на тему 'Аппроксимация профиля рельефа, заданного на нерегулярной сетке'

Аппроксимация профиля рельефа, заданного на нерегулярной сетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
248
44
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ ПОЛИНОМ / ПРОФИЛЬ РЕЛЬЕФА / ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ РЕЛЬЕФА / АППРОКСИМАЦИЯ / ORTHONORMAL POLYNOM / RELIF PROFILE / DTM / APPROXIMATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Коркин Вадим Сергеевич

В статье рассматривается математический алгоритм построения цифровой модели профиля рельефа по нерегулярной сетке исходных данных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Approximation of the relief profile preset in the irregular grid

The author presents the mathematical algorithm for constructing DTM by the irregular grid of initial data.

Текст научной работы на тему «Аппроксимация профиля рельефа, заданного на нерегулярной сетке»

АППРОКСИМАЦИЯ ПРОФИЛЯ РЕЛЬЕФА, ЗАДАННОГО НА НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ

Вадим Сергеевич Коркин

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент, тел. (383) 236-12-66

В статье рассматривается математический алгоритм построения цифровой модели профиля рельефа по нерегулярной сетке исходных данных.

Ключевые слова: ортонормированный полином, профиль рельефа, цифровая модель рельефа, аппроксимация.

APPROXIMATION OF THE RELIEF PROFILE PRESET IN THE IRREGULAR GRID

Vadim S. Korkin

Ph.D., Assoc. Prof., Siberian State Academy of Geodesy, 10 Plakhotnogo, 630108 Novosibirsk, phone: (383) 236-12-66

The author presents the mathematical algorithm for constructing DTM by the irregular grid of initial data.

Key words: orthonormal polynom, relif profile, DTM, approximation.

Одним из методов моделирования рельефа является профиль или система параллельных профилей. Исходными данными для построения профиля служат отметки рельефа, заданные на нерегулярной сетке. В данной статье предлагается следующий алгоритм аппроксимации функции рельефа.

Предположим, что на некотором участке моделирования [a,b] вдоль профиля измерена функция рельефа f(X) в N точках с координатами XNe [а, Ь], расположенных хаотично. Разобьем область моделирования [a,b] на элементарные участки АХ:

АХ: а = d± < d2 < ••• < dc < — < dm = b.

На каждом элементарном участке [d, d+i ] будем аппроксимировать функцию рельефа полиномом вида

где а■ - неизвестные коэффициенты; Т^Х) (¿ = 0, ...3) -

ортонормированные полиномы, которые получены путем нормирования ортогональных полиномов Чебышева 1-го рода

Т0(Х) = 1; Тх(Х) = X; Т2(Х) = 2Х2 - 1; Т3(Х) = 4Х3 - 3Х. (2) Совокупность N значений функции fl(XN) представляет собой вектор ^ = (Ъ^2,—^ы) N мерного евклидового пространства ЕИ. Тогда аппроксимирующий полином также образует вектор Р1 = (^,^ а2 а3) в

з

(1)

¿=0

пространстве пространства EN. {Ti(X)} - элементы ортонормированного базиса , т.к.

Ш),Цх))йх= \*]}. (3)

i0, I ±j]

1, l=j.

-1

Задачу будем решать по методу наименьших квадратов. Запишем минимизируемый функционал:

N 3

ф= Yy1 (х*) - Y а‘ т> (х*))2=min- (4)

к=1 i=О

Дифференцируя выражение (4) по неизвестным получим систему нормальных уравнений дФ

ъ = 0 (5)

решая которую найдем коэффициенты а\. На каждом элементарном участке [db dt+±] функция рельефа аппроксимируется независимо. В результате на каждом элементарном участке будем иметь коэффициенты а\ (I = 1, ...,т-1).

Однако, полученная модель рельефа будет иметь на концах элементарных участков [dt, dt+разрывы. Для обеспечения непрерывности моделируюмой функции рельефа выполним вторичную аппроксимацию непрерывных функций вида (1) на отрезках [db dt+±].

Запишем минимизируемый функционал:

1 ( 3 3 \2

Ф = J (Y a\f,(X) - Y ^(Х) ) dX = min (6)

-1 \t=0 ¿=0 /

и условия непрерывности на границах элементарных участков [dt, dt+±]:

з \

Y

¿=0

3

Y

щТі(-ї) - p(d,) = о

äilTtd) - P(dt+J = 0

(7)

і=0

В выражениях (6) и (7) щ - коэффициенты полинома (1), полученные из первичной аппроксимации; щ - новые искомые коэффициенты полинома вида (1); - значения полиномов Чебышева на границах элементарного

участка [-1,1]; Р(^),Р(^+±) - усредненные значения полиномов (слева и справа) на концах элементарных участков [^, ^+± -.

После интегрирования (6), получим: з

Y

2

(а\ -а\) = min. (8)

¿=о

Для решения (8) и (7) составим функцию Лагранжа:

L(a\, &,$) = ^(a \-а\)2 + ^[('^aifi(-1) - P(^)) + i=0 \i=0 /

+ ^(Z aJ'(1)-p(di+1 )) (9)

Найдем частные производные функции L по неизвестным а{,^[,^2 и

приравняем их нулю. В результате получим систему уравнений:

dL | | !~ , ~

— = -2at + 2di + ^1Ti(-1) + ^2Ш = 0 а\

з

dL

7П7 = Уа1Т1(-1) - p(di) = 0 у. (10)

¿-o

з

dL v1

-p- = ^aiTt(1)-P(dl+±) = 0

"2 i - o

Выразим из первого уравнения системы (10) а\:

_ , 7, ли-!)+ишъ

ai = ai--------------------2--------------------------. (11)

Подставим (11) во второе и третье уравнения (10), получим систему из двух уравнений:

d\i\ + е^2 = I2 ] e^i[ + d^l2 = ll+1}’

где

d = 'LUifi(i)T,i(i); e = n=o4-i)?i(i);

ll = 2(I f-o Щ%(-1) - P(d,)); ll+1 = 2(xf-o Щ fi(1) - P(d,+0);

ll и Il+1 - свободные члены.

Решая (12) найдем:

\i\ = (dll - ell+x)/(dd - ее))

^2 = (dll+1 - ell)/(dd - ее)}

Далее вычисляются значения а2 по формуле (11).

Таким образом, получаем цифровую модель профиля рельефа непрерывную на всем отрезке [a,b].

Данный алгоритм позволяет моделировать рельеф в виде системы непрерывных параллельных профилей. Расстояние между профилями выбирается таким, чтобы обеспечить линейную интерполяцию между ними. Этим обеспечивается требуемая точность определения отметок рельефа на всем участке моделирования. Это подтверждено рядом экспериментальных данных, полученных по составленной программе.

© В.С. Коркин, 2012

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.