Методическое и программное обеспечение принятия многокритериальных решений по нечетким исходным данным, критериям и выводам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 338.2

МЕТОДИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРИНЯТИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ПО НЕЧЕТКИМ ИСХОДНЫМ ДАННЫМ, КРИТЕРИЯМ И ВЫВОДАМ

© 2010 г. В.В. Пыряев

Волгодонский институт (филиал) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института)

Volgodonsk Institute (Branch) of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Politechnic Institute)

Описано методическое и программное обеспечение принятия многокритериальных решений на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях руководителя, заданных в виде нечетких суждений. Рассмотрена и решена на конкретном примере управленческая задача, в которой исходные данные, критерии и выводы являются лингвистическими переменными.

Ключевые слова: многокритериальные решения; лингвистические переменные; нечеткие множества.

Methodical and software of taking a multicriterial decision on the basis of composite rule of aggregating descriptions of alternative with the information about manager's preferences, given as indistinct opinions is described. Management task in which initial data, criterions and conclusions are linguistic variables is considered and solved on a concrete example.

Keywords: multicriterial decisions; linguistic variables; indistinct set.

В процессе управления руководитель в ряде ситуаций делает выводы с помощью сложных условных суждений с несколькими основаниями. Характерной особенностью подобного рода рассуждений и соответственно выводов (решений) является то обстоятельство, что как исходные данные (основания), так и заключения являются лингвистическими переменными. В результате рассуждений образуется несколько нечетких суждений (выводов), сформированных из различного сочетания нескольких нечетких оснований. Необходимо определить наилучший вывод (решение).

Задача № 1. Для создания нового бизнеса предприниматель С.Г. Борисенко выбирает себе партнера, рассуждая при этом следующим образом. Если партнер имеет учредительский взнос, равный взносу предпринимателя, и он способный организатор, проявляет интерес к данному виду бизнеса, то он удовлетворяющий (отвечающий требованиям). Если вдобавок к вышеописанным требованиям у него есть некоторый опыт работы в данном бизнесе, то он - более чем удовлетворяющий. Если он вдобавок к предыдущим требованиям имеет способности находить заказчиков продукции, то он - безупречный.

Если он соответствует всем вышеописанным требованиям, кроме опыта работы в данном бизнесе, то он - очень удовлетворяющий. Если кандидат имеет соответствующий взнос, имеет способность найти

заказчика и интерес к данному бизнесу, но не обладает способностями организатора, он все же будет удовлетворяющим. Если он не имеет соответствующего взноса или не проявляет никакого интереса, он - неудовлетворяющий.

Необходимо выбрать одного партнера среди нескольких кандидатов, имеющих различные возможности, интерес, способности.

Аналогичные задачи возникают при отборе кандидатов при приеме на работу, при выборе помещения под торговую точку.

В формализованном виде задача подобного типа выглядит следующим образом. Пусть множество решений характеризуется набором критериев Х1 , Х2 , ..., Хр, т.е. лингвистических переменных на базовых мно-

жествах U1, U2,

Up соответственно. Например,

переменная Х1 «Арендная плата» может иметь значение ВЫСОКАЯ, а переменная Х2 «Расположение торговой точки» - значение ХОРОШЕЕ и т.п. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение (ЛПР), об удовлетворительность (приемлемости) решения. Переменная «Удовлетворительность» также является лингвистической. Пример высказывания: d1: «Если Х1 = ВЫСОКАЯ и Х2 = = ХОРОШЕЕ, то 5 = ХОРОШЕЕ». В общем случае высказывание di имеет вид

di: «Если Х1 = Ац иХ2 = А2, и ... Хр = Ар, то 5 = В,». (1)

Автором данной работы предлагается методика решения задач подобного типа на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях ЛПР, заданных в виде нечетких суждений. При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

Методика решения задач с использованием правила нечеткого вывода выглядит следующим образом.

Этап 1. Анализируется рассуждение, устанавливаются критерии Х1, Х2, ... Хр, формируются условные высказывания d1, d2, ... di. Например, в результате анализа рассуждения предпринимателя в задаче выбора партнера по бизнесу формируется шесть высказываний и для разработки и принятия решения устанавливаются пять критериев: Х1 - учредительский взнос; Х2 - организаторские способности; Х3 - интерес; Х4 -опыт работы; Х5 - способность находить заказчика. Если измерять эти переменные на базовом множестве и кандидатов, то, обращаясь к шести фрагментам, получаем: d1: «Если Х = ДОСТАТОЧНЫЙ и Х2 = СПОСОБНЫЙ и Х3 = ВЫСОКИЙ, то Y = УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»; d2: «Если Х = ДОСТАТОЧНЫЙ и Х2 = СПОСОБНЫЙ и Х3 = ВЫСОКИЙ и Х4 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ, то 7= БОЛЕЕ ЧЕМ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»; d3: «Если Х = ДОСТАТОЧНЫЙ и Х2 = СПОСОБНЫЙ и Х3 = ВЫСОКИЙ и Х4 = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ и Х5 = СПОСОБНЫЙ, то 7 = БЕЗУПРЕЧНЫЙ»; d4: «Если Х = ДОСТАТОЧНЫЙ и Х2 = СПОСОБНЫЙ и Х3 = ВЫСОКИЙ и Х5 = СПОСОБНЫЙ, то 7 = ОЧЕНЬ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»; d5: «Если Х = ДОСТАТОЧНЫЙ и Х2 = НЕСПОСОБНЫЙ и Х3 = ВЫСОКИЙ И Х5 = СПОСОБНЫЙ, то 7 = УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ»; d6: «Если Х = НЕДОСТАТОЧНЫЙ или Х3 = ОТСУТСТВУЕТ, то 7 = НЕ УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ».

Этап 2. Устанавливается область значений функции принадлежности переменной 7, например, на множестве J = {0; 0,1; 0,2;.; 1}. Выбираются функции принадлежности значений переменной 7. При этом один из термов, например УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЙ, играет роль первичного терма, а остальные задаются с помощью операторов концентрирования, растяжения, отрицания и других. Значения переменной 7 в задаче выбора партнера заданы с помощью функций принадлежности, приведенных авторами работы [1].

Этап 3. Для лингвистических переменных Х1, Х2, ... Хр с помощью метода парных сравнений, основанного на обработке матрицы оценок, отражающих мнение ЛПР, строятся функции относительной принадлежности элементов множеству или степени выраженности свойства, формализуемого множеством.

Для решаемой задачи № 1 выбор производится из четырех кандидатов на множестве и = {и1, и2, и3, и4}.

В результате парных сравнений предпринимателем и обработки матриц с помощью программы в среде MathCAD получены следующие оценки каждого кандидата: А = УЧРЕДИТЕЛЬСКИЙ ВЗНОС = {1/и1; 1/и2; 0,5/и3; 0,1/и4;}; В = ОРГАНИЗАТОРСКИЕ СПОСОБНОСТИ = {0,6/иь 1/и2; 0/и3; 0,5/и4;}; С = ИНТЕРЕС = = {0,8/иь 0,9/и2; 0,4/и3; 0,7/и4;}; D = НЕКОТОРЫЙ ОПЫТ РАБОТЫ = {1/иь 0,3/и2; 0,9/и3; 0/и4; }; Е = = СПОСОБНОСТЬ НАХОДИТЬ ЗАКАЗЧИКА = = {0/иь 0,5/и2; 1/и3; 0,8/и4;}.

Для использования программной среды MathCAD по экспертным оценкам ИП С.Г. Борисенко сформируем матрицу оценок каждого кандидата

( 1 1 0.5 0.1 ^

0.6 1 0 0.5

А := 0.8 0.9 0.4 0.7

1 0.3 0.9 0

V 0 0.5 1 0.8 у

Этап 4. Выполняется операция пересечения функций принадлежности для левых частей фрагментов высказываний. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности. Используя данное правило, получаем

для dl : Цм1 (и) = тт(ца (и), цв (и), (и)); М1 = {0,6/и1; 0,9/и2; 0/и3; 0,1/и4};

для d2 : цм2 (и) = тт(ца (и), Цв (и), Цс (и), ЦD (и)); М2 = {0,6/иь 0,3/и2; 0/и3; 0/и4};

для dз : Цм1 (и) = тт(ца (и), Цв ("), Цс ("), ЦD ("), Це (")); М3 = {0/иь 0,3/и2; 0/и3; 0/и4};

для d4 : Цм4 (и) = тт(Ца (и), Цв (и), Цс (и), Це (и)); М4 = {0/и1; 0,5/и2; 0/и3; 0,1/и4};

для d5 : Цм5(и) = тт(ца (и),1 -Цв (и), Цс (и), Це (и)); М5 = {0/и1; 0/и2; 0,4/и3; 0,1/и4};

для d6 : Цм6 (и) = min(1 - ца (и), 1 - Цс (и));

М6 = {0/и1; 0/и2; 0,5/и3; 0,3/и4}.

В среде MathCAD функция шт(А0,0, А10, А20) находит минимальный элемент из А00, А10, А20.. В результате выводятся значения в виде матрицы Х:

X =

0,6 0,9 0,6 0,3

0,3 0,5 0 0

0 0 0 0

0,4 0,5

0,1 0 0 0,1 0,1 0,3

Этап 5. Высказывание общего вида (1) di: «Если Х1 = А1i и Х2 = А2,- и ... Хр = Ар, то = в» записывается в виде d1: «Если Х = Аi , то 5 = Bi».

Теперь фрагменты высказываний решаемой задачи будут выглядеть следующим образом: d1: Если Х = М1, то Y = 5; d2: Если Х = М2, то Y = М5; d3: Если Х = М3, то Y = Р; d4: Если Х = М4, то Y = V5; d5: Если Х = М5, то Y = 5; d6: Если Х = М6, то J = С/5.

Этап 6. Используя правило преобразования импликации «Если Х = М, то Y = в выражении ц0 (и,0 = шт(1,1 - цМ (и) + ЦQ (и)), для каждой пары

(и,0 е и х J получаем подмножества из и х J .

В среде MathCAD формируются элементы матриц D1 При формировании матрицы используется функция шт, которая находит минимальное значение из заданных в скобках аргументов. Аргументы функции отделяются друг от друга запятой.

В задаче выбора партнера по бизнесу нечеткие отношения на и х J следующие:

D, =

D, =

u, u2 u3 u4

u,

u2 u3

u4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 1 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1111111111 0,9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,4 0,43 0,490,560,650,750,860,96 1 1 0,7 0,73 0,790,860,95 1 1 1 1 1 1111111111 1111111111

D3 = U2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Uj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

u2 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,

u3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

u4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

D4 = u2

u3 u4

D5 = U2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1111111111 0,5 0,510,540,590,660,750,860,99 1 1 1111111111 0,9 0,910,940,99 1 1 1 1 1 1

D6 = U2

Этап 7. В результате пересечения отношения D1, ... D6 получаем общее функциональное решение:

D = D n D2 П D3 n D4 n D5 n D6,

т.е. для каждого (u,i) eUх J находим (u,i) = = min (цD (u,i)):

y=1,6 ^

D6

U1

u2

u3 u4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0,4 0,43 0,490,560,650,750,860,96 1 1 1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7

0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

0,9 0,91 0,940,99 1 1 1 1 0,9 0,8 0,7

Этап 8. Определяем удовлетворенность каждой из альтернатив, применяя правило композиционного вывода в нечеткой среде: Е, = Gh о D, где Ей - степень удовлетворения альтернативы к, О. - изображение альтернативы k в виде нечеткого подмножества С; D -функциональное решение. Тогда

Ек(1) = тах(шш(цо (и), цDh (и,0)).

иеи " "

Кроме того, в этом случае цЕ (и) = 0, и Ф и.;

цЕк (и) = 1, и = ик. Отсюда (i) = ^ (uh,i). Другими

словами, Е, есть кя строка в матрице D.

Для первой альтернативы Е1 = {0,4/0; 0,032/0,1; 0,058/0,2; 0,075/0,3; 0,089/0,4; 0,101/0,5; 0,111/0,6; 0,121/0,7; 0.014/0,8; 0/0,9}.

Вычисляем уровневые множества Е;а. Их мощ-

п X

ность М(Е,а ) находится по формуле: М(Е,а) = .

=1 n

где 0 <а< 0,4; da = 0,5;

Е1а = {0; 0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1}; M (E^) = 0,5;

0,4 < а < 0,43;dа = 0,03;

Е1а = {0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9; 1}; M (Ea) = 0,55;

0,43 < а < 0,49; dа = 0,06;

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Uj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Е1а = {0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9; 1};

u2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M (^) = 0,6;

u3 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1 1 1 1 1 1 0,49 < а < 0,56;dа = 0,07;

u4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Е1а = {0,3;0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1};

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 M (^) = 0,65;

U1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,56 < а < 0,65;dа = 0,09;

u2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

u3 1 1 1 1 1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Е1а = {0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M (Е1а) = 0,7;

u4 1 1 1 1 1 1 1 1 0,9 0,8 0,7 0,65 < а < 0,75;dа = 0,1;

7

u

Eia = {0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M (Eia ) = 0,75; 0,75 < a < 0,86;da= 0,11; Eia = {0,6; 0,7;0,8; 0,9;1}; M (Eia ) = 0,8; 0,86 < a < 0,96;da = 0,1; Eia = {0,7; 0,8; 0,9; 1}; M (Eia ) = 0,85; 0,96 < a < 1; d a = 0,04; Eia = {0,8;0,9;1}; M (Eia ) = 0,9; Найдем точечную оценку E1 :

1 amax 1 1

F(Ei) =- J M(Eia)da = - JM(Eia)da = 1/1(0,5*0,4+

amax 0 i0

+ 0,55*0,03 + 0,6*0,06 + 0,65*0,07 + 0,7*0,09+0,8*0,1 + +0,8*0,11+0,85*0,1+0,9*0,04) = 0,643.

Поступила в редакцию

Для второй альтернативы Е2 = {0,1/0; 0,1/0,1; 0,1/0,2; 0,1/0,3; 0,1/0,4; 0,1/0,5; 0,1/0,6; 0/0,7; 0/0,8; 0/0,9}. Точечная оценка F(E2) = 0,65. Для третьей альтернативы Е3 = {0,6/0; 0,1/0,1; 0,1/0,2; 0,1/0,3; 0,1/0,4; 0/0,5;-0,1/0,6; -0,1/0,7; -0,1/0,8;-0,1/0,9}; F(E3) = = 0,295. Для четвертой альтернативы Е4 = {0,9/0; 0,01/0,1; 0,03/0,2; 0,05/0,3; 0,01/0,4; 0/0,5;0/0,6; 0/0,7; -0,1/0,8; -0,1/0,9}; F(E4) = 0,423.

Таким образом, точечная оценка удовлетворительности для альтернативы: и1 = 0,64, и2 = 0,65, и3 = = 0,295, и4 = 0,423. Наилучшей является альтернатива и2, имеющая максимальное значение.

Литература

1. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига, 1990. 184 с.

2 ноября 2009 г.

Пыряев Виктор Васильевич - д-р экон. наук, доцент, зав. кафедрой «Экономика и управление производством», Волгодонский институт (филиал) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. (8639) 22-52-37. E-mail: NPI-Каf-econ@yandex.ru

Pyryaev Victor Vacilievich - Candidate of Economic Sciences, assistant professor, head of department «Economics and Production Management» Volgodonsk Institute (Branch) of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Politechnic Institute). Ph. (8639)22-52-37. E-mail: NPI-Kaf-econ@yandex.ru