Метод разбалансированных итераций на основе универсального решения для описания гетерогенной нуклеации Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

Сер. 4._Вып. 3

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 533.77 В. Б. Курасов

МЕТОД РАЗБАЛАНСИРОВАННЫХ ИТЕРАЦИЙ НА ОСНОВЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ГЕТЕРОГЕННОЙ НУКЛЕАЦИИ

В данной работе изучается кинетика гетерогенной конденсации. При этом будем использовать следующие предположения:

система однородна в пространстве; все гетерогенные центры имеют одну и ту же природу; полное число гетерогенных центров в системе фиксировано; режим поглощения пара предполагается свободномолекулярным; термические эффекты не рассматриваются.

Для определенности рассматриваем систему единичного начального объема. Неизотермические эффекты конденсации могут быть включены в теорию посредством перенормировок [1-5]. Их дальнейшее исследование привело к возможности обобщения на многокомпонентный случай [6], а значит, и в многомерном случае изучение неизотермических эффектов сводится к перенормировкам.

Идея данной работы впервые была представлена в [7].

Степень метастабильности исходной фазы может быть охарактеризована величиной пересыщения

в которой п и пх - плотность числа молекул пара и насыщенного пара соответственно. Введем величину идеального пересыщения

пх

где /7,„, - полное количество молекул вещества. Она может быть интерпретирована как пересыщение, которое возникло бы в системе без потребления пара каплями.

Уравнение, управляющее нуклеацией в динамических условиях [5], может быть записано

= ^-^«ехр^с-Г^

г

г)(-оо)ехр

(1)

© В. Б. Курасов, 2005

Здесь g(z) - число молекул в жидкой фазе, параметр а = 1/3, Г, с, О.. - параметры аппроксимаций [1-5], г|(-оо) — полное число гетерогенных центров. Вывод данного уравнения и объяснение обозначений приведены в [ 1-5].

Уравнение (1) удобно разделить на пару более простых уравнений:

л(г) - Л(~°°)СХР

п.

Основной идеей для последующих построений будет идея сокращенного описания. Выделим те характеристики спектра/(х) размеров капель, которые существенны для процесса конденсации. Выражение для дописывается величинами

И/ = \х'/(х)с1х.

Когда интенсивное зародышеобразование закончено, эволюция системы описывается только уравнением баланса вещества. Для g в силу быстрого спадания/(х) справедливо следующее выражение:

в котором V - объем системы, а V. - его значение на стадии нуклеации. Теперь эволюция системы характеризуется постоянными значениями полных моментов спектра. Ведущий член в этом выражении будет

= (2)

Результат (2) будет иметь мссто даже в случае, когда закон роста капель отличается от свободно-молекулярного. В любой ситуации ведущий член пропорционален полному числу зародышей или нулевому моменту спектра.

Поворотным моментом рассмотрения будет анализ сходимости итераций. Вычисления показывают, что ошибка возрастает при увеличении параметра

1

а

Тогда ситуация И « I хорошо описана. Но ситуация к » 1 определяется с ошибкой. В то же время окончательные приближения для первоначальной итерационной процедуры [1] находятся напрямую без учета истощения гетерогенных центров.

Когда г] = г] (-со), уравнение баланса для гетерогенных центров исчезает и уравнение баланса вещества имеет форму гомогенной конденсации. В этом случае оно может быть сведено к универсальной форме, которую получим аналитическим продолжением решения как функции параметра / из ситуации, в которой и - момент максимума пересыщения. Введем функцию

<Ига"<

П,

и выведем следующее универсальное уравнение:

о

1

ф(7) + —г |(0-*)-м/аехр(-ф(*))Л= - *)"иехр(-ф(;г))<& (3)

— ОО —00

в переменных, отнормированных подходящим способом. Из (3) следует, что ф(х) является универсальной функцией. Аппроксимация псевдогомогенным универсальным решением служит базой для последующих итераций.

Переход от*, г к с^, сх, от функции g к функции С = и от функции г| к функции 0=г|/г| (-оо) дает такие соотношения:

(7 = А |(2 - *)г/в ©(*) ехр О - С)а6с - В |ехр(х -

0 = ехр

где-

В = — • Для константы А = А^ = — Г (0-*)"1+1/а ехр(-ф{х))сЬс имеем с а 3- °°

некоторое фиксированное значение. Например, Ло=0,136 в случае а = 1/3.

Поскольку влияние на эволюцию процесса осуществляется посредством {ц,}и

ехр(* - С{х))сЬс, необходимо только однократное вычисление. Более того, позиция отправ-

Хоо

ной точки аппроксимаций не столь существенна, точное определение и не требуется, а только

значения /^(х = оо) и (0 - *)~'+|/а /(х)с1х должны быть установлены. Вместо интенсивности •I-«

источника

(1 /а) (0 - х) ехр(-ф(х))с1х можно взять некоторое число (примерно 1/5 в слу-

•Loo

чае а = 1 /3). Результат вычислений и дает полное количество капель. Оно связано с точностью аппроксимаций и должно быть выбрано так, чтобы минимизировать погрешность, вносимую ими.

Решение имеет максимум при z0. Замечание о том, что эта точка должна быть действительно максимумом пересыщения, дает некоторое алгебраическое уравнение на параметры процесса.

Рассмотри^ итерации. Первая итерация принимает во внимание истощение гетерогенных центров

z ( х Л

G(i) = А0 j*£¿t(z ехр -В J^exptf-G.tf)) ехр (x-Gx(x)),

— оо \ —¿о /

где Gx - псевдогомогенное универсальное решение.

N(2)(co)~ \f{x)dx~ Jexp(x-G(l))abf.

— 00 —QO

Поскольку

z

Kv

является универсальной функцией, можно построить универсальное разложение на первом шаге. После разложения экспоненты имеем

\ 00 N;2) (ос) ~ j'dz ехр(_~ - A0Q0 (r))fj D, ,

гае

\

J

i eJ

Q, = ^dx(z - x)Va exp(x -G^ix^N'^ix),

что ведет к следующему представлению:

(4)

"В котором Р,— некоторые константы. Выражение (4) может быть линеаризовано как функция В, поскольку результат будет подставлен в экспоненциальную формулу для числа свободных гетерогенных центров и особо большой точности не требуется. Тогда

N;2)(«>) = P0 + PxB,

здесь

оо оо

Ро = Jexp[* - A0Q0] dx, Pt= Jexp[x - A0Q0] Q,dxA0 .

—oo —oo

Отсюда окончательное выражение будет следующим:

W+(oo) = l-exp[-£(/>0 + />5)].

В случае а = 1/3 характерное значение относительной погрешности данного выражения составит порядка 1%. Аналогичные оценки могут быть даны и для произвольного а. Это означает, что последующие итерации уже не нужны. Выражения для остальных моментов функции распределения могут быть получены по аналогичной процедуре.

Summary

Kurasov И В. The method of unbalanced iterations on the base of universal solution for the description of heterogeneous condensation.

The paper is devoted to the construction of the new description of the nucleation period in the system under the

continuous variation of external influence. The use of unbalanced iterations implies the split of the condensation equation into a pair of more simple equations and the use of iterations balanced in a special way. As the zero approximation the pseudo homogeneous solution, i.e. the solution without the exhaustion of heterogeneous centers is chosen.

Литература

1. Куни Ф. M, Гринин А. П., Курасов В. Б. II Коллоидн. журн. 1990. Т. 52, вып. 3. С. 430-437. 2. Куни Ф. М„ Гринин А. /7., Курасов В. Б. II Там же. С. 437^43. 3. Куни Ф. М„ Гринин А. П., Курасов В. Б. II Там же. С. 443-449. 4. Grinin А. Р., Кит F. М, Kurasov V. В., Lectures on kinetic theory of condensation under dynamical conditions., St.Petersburg, 1996. 5. Куни Ф. M., Гринин А.П., Курасов В. Б. II Механика неоднородных систем / Под ред. Г. В. Гадияка. Новосибирск, 1985. С. 86-110. 6. Kurasov V. В. И Physica. А. 2000. Vol. 280. Р. 219-255. 7. Kurasov V. В. И Phys. Rew. Е. 1994. Vol.49. P. 3948-3956.

Статья поступила в редакцию 17 января 2004 г.