CC BY
51
УДК 515.2
МЕТОД ВИЗНАЧЕННЯ ОСОБЛИВИХ ТРАСКТОР1Й КОЛИВАНЬ ВАНТАЖУ 2D-ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
О.М. Семк1в, к.т.н., ст.н.сп., Нацюнальний ун1верситет цивильного захисту УкраУни, м. Харкчв
Анотаця. Розроблено метод визначення засобами диференщального числення та комп'ютерног графти геометричног форми особливог траекторИ перемщення по площит ва-нтажу 2d-пружинного маятника залежно eid маси вантажу, початковог довжини пружини у ненавантаженому стат, коефщента жорсткостi пружини та початкових умов виникнення коливань.
Ключов1 слова: 2d-пружинний маятник, ттегральна крива, фазова траекторiя, коефщент жорсткостi пружини, комп'ютерна графта.
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА 2D-ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
О.М. Семкив, к.т.н., ст.н.с., Национальный университет гражданской защиты Украины, г. Харьков
Аннотация. Разработан метод определения средствами дифференциального исчисления и компьютерной графики геометрической формы особой траектории перемещения по плоскости груза 2d-пружинного маятника в зависимости от массы груза, начальной длины пружины в ненагруженном состоянии, коэффициента жесткости пружины и начальных условий возникновения колебаний.
Ключевые слова: 2d-пружинный маятник, интегральная кривая, фазовая траектория, коэффициент жесткости пружины, компьютерная графика.
THE METHOD OF DETERMINING SPECIAL LOAD OSCILLATION TRAJECTORIES OF THE 2D-SPRING PENDULUM
O. Semkiv, Ph. D. (Eng.), Sr. Researcher, National University of Civil Protection of Ukraine
Abstract. A method for determining a geometric shape of a special trajectory of movement of the 2D-spring pendulum weight on the path by the means of differential calculus and computer graphics, depending on the load weight, the initial length of the spring in the unloaded condition, the coefficient of spring rigidity and the initial conditions of oscillation occurrence is developed.
Key words: 2D-spring pendulum, integral curve, phase trajectory, spring rigidity coefficient, computer graphics.
Вступ
Пружинним маятником називають коливаль-ну систему з мехашчною пружиною (або за-мшником И функцш - деяким еластичним матерiалом), що закршлена одним кшцем
стащонарно, а на шшому кшщ знаходиться вантаж певно! маси. При цьому заведено вважати, що вантаж коливасться виключно завдяки зусиллям пружини - як у бш И стис-нення, так i у бш И розтягнення, i що конструктивно забезпечусться поперечне «незги-
нання» пружини. Звичайно пружину розгля-дають за умови нерухомостi И ош. Тобто зазначене «одновимiрне» коливання пружини здшснюеться переважно завдяки еластич-ним властивостям матерiалу, з якого и виготовлено.
Але конструкторiв може зацiкавити [1-3] i «двовимiрне» коливання тша пружини у вертикально площинi хОу навколо стацiонарно закршленого кiнця, подiбно до коливання традицшного математичного маятника (рис. 1).
Рис. 1. Схема 2а?-пружинного маятника
Далi зазначену коливальну конструкцiю бу-демо називати 2а?-пружинним маятником (тобто такою, яка здшснюе коливання у площиш). Траeкторieю коливання вантажу назвемо слщ на площинi, одержаний в результат його перемiщення. Особливою трае-кторieю вважатимемо таку лiнiю, геометрич-на форма яко! вiдрiзнятиметься деякою зако-номiрнiстю порiвняно з траекторiями перемiщення вантажу в результатi хаотичних коливань 2а?-пружинного маятника.
Аналiз публжацш
Доцiльнiсть дослiдження 2^-пружинних мая-тниюв виникла у зв'язку з виявленими мож-ливостями !х «нестандартних» використань як у теоретичному плаш, так i на практицi [1-5]. Дшсно, вiдомi зв'язки пружинних мая-тниюв з фазовими траекторiями динамiчних систем на поверхш тора, а також iз теорiею математичних бiльярдiв [7]. У робот [10] наведено розрахунки коливань 2^-пружин-ного маятника, але без аналiзу впливу його
параметрiв. Крiм того, диференцiальнi рiв-няння коливань 2^-пружинних маятникiв по-дiбнi до рiвнянь задач «хижак-жертва» [6], що вiдкривае напрям дослiджень. При зазна-чених коливаннях цiкавiсть викликае геомет-рична форма траектори перемщення по площинi хОу вантажу [8-10]. Ця траекторiя iлюструе розв'язок вщповщних диференща-льних рiвнянь (1), що описують коливання 2^-пружинного маятника. Одержат геомет-ричнi форми траекторiй перемщення по площиш вантажу допоможуть шюструвати розв'язки певних задач (наприклад, задачi «хижак-жертва» [6]), i !х розгляд дозволить аналiзувати (подiбно до того, як у теори коливань застосовують фiгури Лiссажу) характер розв'язюв у сумiжних за змютом задачах.
Мета i постановка завдання
Метою роботи е розробка методу визначення засобами диференщального числення та комп'ютерно! графши геометрично! форми особливо! траектори перемiщення по площи-ш вантажу 2^-пружинного маятника залежно вщ його параметрiв, де головним параметром буде значення коефщента жорсткостi k пружини. На характер коливань 2^-пружинного маятника впливатимуть такi параметри: маса вантажу, початкова довжина пружини у не-навантаженому сташ, коефiцiент жорсткосп пружини i початковi умови шщдавання коливань - такi як початковий кут вщхилення осi пружини, початкова швидюсть кута вщ-хилення 2^-пружинного маятника та швид-юсть початкового подовження тiла пружини. Для практичних впроваджень необхiдно роз-робити метод визначення набору значень цих параметрiв, якi б забезпечили особливi траектори перемiщення вантажу.
Моделювання коливань 2^-пружинного маятника
Описувати коливання 2^-пружинного маятника будемо [9] за допомогою системи дифе-ренцiальних рiвнянь
4 в )-
йх2 V '
2 ^ (') I 9 (') + 9,81§1П (в ('))
--7Г\—;-; (1)
Ь (X) + Ь0
£ ь (, и ь (х)+)(| в(х ))2 -
+ 9,81cos (0 (()),
т
де 0(0 - кут вщхилення осi маятника вщ вер-тикалi; к - коефщент жорсткостi пружини; т - маса маятника; L(t) - функщя змiни до-вжини пружини; L0 - початкова довжина маятника. Крiм того, необхiдно задати умови: початковий кут 0(0) вщхилення тша маятника; початкову швидкiсть ^0(0) вiдхилення тiла пружини; початкову швидюсть DL(0) подовження тiла пружини, а також межi часу iнтегрування.
Фшсуемо значення всiх параметрiв, що впли-вають на характер коливань, ^м одного (по-значимо його як р), який назвемо головним i який буде змшюватися у наперед визначених межах.
Для певного значення р систему рiвнянь (1) розв'яжемо чисельним методом Рунге-Кутти. Це дозволяе у фазовому просторi одержати послiдовнiсть точок з координатами
(t), L (t), (} або |0 ((), 0 ((), (]•, як визна-
чатимуть певну iнтегральну криву розв'язку системи (1) (тут крапкою позначено похiдну за (). Ортогональною проекщею штегрально! криво! з фазового простору на фазову пло-щину буде фазова траекторш [11, 12].
На рис. 2 наведено зображення штегрально! криво! та фазово! траекторi!, якi в загальному випадку матимуть хаотичний характер.
За змши значення головного параметра р мають змшюватися як форма штегрально! криво!, так i форма фазово! траекторий Необ-хiдно визначити таке значення р, за якого фазова траекторiя набуде вигляду регулярно! криво!.
Взаемопроещюючими точками штегрально! криво! назвемо таю !! точки, ортогональш проекцi! яких на фазову площину матимуть однаковi (або близькi вiдносно точностi об-числень) координати.
Щц критичним значенням параметра р вва-жатимемо таке, коли штегральна крива набу-де форми, за якою !! точки стануть взаемо-проецiюючими. Наочно критичне значення параметра виявляеться у тому, що фазова траекторiя матиме вигляд регулярно! криво! (рис. 3).
Рис. 2. 1нтегральна крива та фазова траекто-рiя в загальному випадку
Рис. 3. 1нтегральна крива та фазова траекто-рiя у випадку критичного значення головного параметра р
За результатами вщтворення коливань 2^-пружинного маятника критичне значення кО вiдiб'еться в особливiй траектори форми коливання вантажу на площиш хОу.
У загальному випадку пропонуеться такий алгоритм пошуку особливих траекторш.
Крок 1. Обираемо поточне значення р i шляхом розв'язання системи рiвнянь (1) одержу-емо поточкове подання штегрально! криво! системи (1).
Крок 2. Будуемо поточкове зображення фа-зово1 траекторiï як проекци на фазову пло-щину iнтегральноï кривоï.
Крок 3. Здiйснюемо ощнку кiлькостi точок на фазовiй площиш, за умови ïx можливих сумщень при проецiюваннi; ця кiлькiсть точок вщповщатиме поточному значенню р.
Крок 4. Починаючи з кроку 2 виконуемо у цикл обчислення для ушх необxiдниx зна-чень головного параметра р.
Крок 5. Залежно вщ значення параметра р формуемо функцда Np(p) кшькосп точок на фазовiй площинi, як визначають зображення фазовоï траекторiï, та обчислюемо екстрему-ми цiеï функци.
Крок 6. За визначеними критичними значен-нями параметра р перевiряемо «дда» 2^-маятника шляхом побудови засобами комп'ютерно1' графiки слiду вiд коливання вантажу.
Далi узагальнений алгоритм детально проь люструемо на прикладi побудови слщу вiд коливання вантажу 2^-маятника залежно вiд головного параметра k - коефiцiента жорст-костi пружини.
Оскшьки розв'язок диференцiальниx рiвнянь одержано чисельним методом, то штегральна крива складатиметься з окремих точок. На фазовш площиш проекци цих точок можуть сшвпадати, тому фазову траекторда в момент виявлення критичного значення k0 зобража-тиме менша кшьюсть точок. На базi розроб-леного алгоритму для середовища Maple бу-ло складено програму обчислення кшькосп точок, якi утворюють зображення фазово1' траекторiï на фазовiй площинi за умови вра-хування можливих сумщень точок проекци.
Для цього було залучено команди пакета ImageTools для формування та аналiзу точ-кових зображень проекцш на фазовiй площиш 0цiнка виражаеться значеннями побу-довано1' функцiï Np(k). Критичне значення k0 визначаеться мiнiмальною кiлькiстю точок фазово1' траекторiï, що на графiку функ ци Np(k) мае проявлятися як екстремум (мшмум).
У результатi виконаних обчислень одержано графш Np(k) функци змiни кiлькостi точок-проекцiй на фазовш площиш (рис. 4). Ця фу-нкщя мае глобальний мшмум при k = 18,12, а також множину локальних мшмушв, серед яких два будуть яскраво вираженими при k = 23,0 i k = 28,84.
Наприклад, розв'яжемо систему рiвнянь (1) з параметрами m = 1; L0 = 1 i початковими умовами: початковий кут 9(0) = 0 вщхилен-ня; початкова швидюсть D9(0) = 0,5 вщхи-лення тша пружини; початкова швидюсть DL(0) = 0 подовження тша пружини; час t штегрування обрано у межах 0-8 л. Параметр k змшювався на iнтервалi 15 < k < 35, який було роздшено на S=250 частин. Значення вшх обраних параметрiв взято в умовних величинах.
Для визначення взаемопроецдаючих точок штегрально1' криво1' було побудовано посль довнiсть анiмацiйниx зображень фазових траекторш на фазовiй площиш, здшснених засобами комп'ютерно1' графiки.
Наочно процес вибору критичного значення параметра мае вигляд на фазовш площиш «як наведення на рiзкiсть» зображення, утво-реного хаотично переплетеними фазовими траекторiями (порiвняти рис. 2 i 3).
S = 250; kmin = 15; 130001,
kmax =35
Рис. 4. Графiк функци вщ k змiни кiлькостi точок на фазовш площиш
На рис. 5-7 наведено вщповщш цим випад-кам штегральш кривi та 1'х фазовi траекторiï. На кожному з рисунюв 5-7 зображено вщпо-вщно до знайденого значення k фазову траекторда:
а
к- 18.12000000
/ 0.4
1 ¿V
0.2
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
-0.2 г1
\ -0.4
г
к= 18.12000000
0.4 \(>.2
-1.5 -1 -:: у /и / -0.4 Ч и 5 1 1.5 ^^ ски
к = 18.12000000 л*
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
\ ~1Л
\ 12
\ 13
\ ~1,4
\ V 15
\ -1.6
\ "1,?
\ -18
\-1.9
Рис. 5. Фазовi траектори для «особливого» значення параметра £=18,12
а) як проекщю штегрально! криво! у фазовому просторi {Ь (t), L (t), ^ ;
б) на площинi {Ь (t), Ь (t)};
в) на площинi {б (t), 9 (t ;
г) на площинi |б (t), 1 (t)} ;
д) на площинi (t), 9 (t , а також
е) траекторда коливання вантажу 2а?-пружин-ного маятника на площиш хОу.
Для побудови на площиш хОу особливих траекторш коливання вантажу 2а?-пружин-ного маятника за обраних значень параметрiв т=1, Ьо=1, 6(0) = 0, D9(0) = 0,5, DL(0) = 0, а також за визначеного значення k = 28,85 не-обхiдно розв'язати систему рiвнянь (1).
Це зручно здiйснити за допомогою Мар1е-оператора dsolve, де через deg1 i deg2 позна-чено вщповщш диференцiальнi рiвняння си-стеми (1). На рис. 8 наведено текст Мар1е-програми.
б
в
е
д
Рис. 7. Фазовi траектори для значення параметра k = 28,84
k := 2 8.85: # коефiцieнт жорсткостi пружини
m := 1: # маса вантажу маятника
thetaO := 0: # початковий кут в^хилення маятника L0 := 1: # початкова довжина пружини
Dtheta := 0.5: # початкова швид^сть в^хилення маятника DL0 := 0: # початкова швид^сть подовження пружини
deql := diff(theta(t),t,t) = -(2*diff(L(t),t)*diff(theta(t),t)+
9.81*sin(theta(t)))/(L0 + L(t)); deq2 := diff(L(t),t,t) = (L0 + L(t))*diff(theta(t),t)A2-k*L(t)/m + 9.81*cos(theta(t)); sol := dsolve({deq1, deq2, L(0)=L0, theta(0)=theta0, D(L))(0) = DL0, (D(theta))(0) = Dtheta}, {L(t), theta(t)}, numeric, output=listprocedure);
Далi упорядкуемо одержаний розв'язок: solu := subs(sol, L(t)); # розв'язок L (t)
solv := subs(sol, theta(t)); # розв'язок 0 (t)
Пiдготуемо масив з N=2 5 0 точок для побудови слщу за умовний час T=2 0:
for i from 0 to N do
x[i] := solu(T*i/N); y[i] := solv(T*i/N); x1[i] := (L0+x[i])*sin(y[i]): y1[i] := - (L0+x[i] )*cos(y[i] ) : end do:
В результатi будуемо зображення особливо! траекторii коливання;
display(curve([seq([x1[i], y1[i]], i = 0 .. N)]);
Рис. 8. Мар1е-програма побудови на площинi xOy особливих траекторш коливання вантажу 2^-пружинного маятника
0.5-
у -у,5 1/
/ о
\ -0.5
\__-t-
V 5
k = 78,48; Dtheta = 6,6
в.5-
-1.5 у Г -0.5 0 0.5 \ Ч 15
-0.5-
--н-
k = 78,48; Dtheta = 8,08
k = 78,48; Dtheta = 10,32
Dtheta = 10..
h = 49,05; Dtheta = 4,216
h = 49,05; Dtheta = 8,6
k = 49,05; Dtheta = 10
Рис. 9. Особливi траектори на площиш xOy коливання вантажу залежно вщ значень k i Dtheta (початок)
—
0.5-0.5 0.5
У о
\ -0.5-
\1 5
£=166,77; Dtheta = 5,74
k = 166,77; Dtheta = 11,6
£ = 166,77; Dtheta = 13,95
0 -0.2-
-0.4-
-0.6-
-0.8-
/-1.2
/ -1.4-
£ = 29,43; Dtheta = 3
£ = 29,43; Dtheta = 6,68
£ = 29,43; Dtheta = 13,9
Рис. 9. Особливi траектори на площиш хОу коливання вантажу залежно вщ значень £ i Dtheta
(закшчення)
У наведеному прикладi головним параметром обрано коефщент жорсткостi пружини £. Але таким може бути будь-який параметр, який впливатиме на геометричну форму слщу коливання вантажу 2а?-пружинного маятника.
Прошюструемо алгоритм на прикладi вибору iншого головного параметра, наприклад, по-чатково! швидкостi кута вщхилення маятника ^6(0). Для цього зафшсуемо значення т=1, Х0=1, 6(0) = 0, DL(0) = 0. Залежно вщ вибору значень D6(0) обчислювався коефiцiент жор-сткостi £. На рис. 9 наведено вщповщш особ-ливi траектори на площинi хОу коливання вантажу 2^-пружинного маятника. 1х деякi геометричнi форми можна порiвняти з результатами роботи [10].
Висновок
Розроблений метод дозволяе визначати гео-метричш форми особливих траекторш при коливаннi вантажу 2^-пружинного маятника
залежно вщ маси вантажу, початково1 дов-жини пружини у ненавантаженому станi, ко-ефiцiента жорсткостi пружини, а також вщ початкових умов шщювання коливань - таких як початковий кут вщхилення тша пружини, початкова швидкють кута вщхилення 2^-пружинного маятника та швидкють поча-ткового подовження тiла пружини.
Запропонований метод дозволяе визначати множину значень параметрiв, якi забезпечу-ють формування особливих траекторiй пере-мiщення вантажу по площинi. Для прикладу у данш роботi детально дослщжено вплив на форму траектори коефщента жорсткостi пружини.
Метод дозволяе створювати алгоритми ви-значення множини критичних значень головного параметра, як вiдповiдатимуть особ-ливим траекторiям коливання вантажу 2^-пружинного маятника. Крiм того, попутно можна визначити рiзноманiтнi фазовi траектори, розташованi на фазових площинах,
вщповщних обчисленому критичному зна-ченню головного параметра.
Все це дозволяе здiйснювати аналiз коливань 2й?-пружинного маятника на яюсному рiвнi.
Лiтература
1. Rusbridge M.G. Motion of the spring pendu-
lum / M.G. Rusbridge // American Journal of Physics. - 1980. - Vol. 48, no. 2. -P. 146-151.
2. Breitenberger E. The elastic pendulum: a non-
linear paradigm / E. Breitenberger, R.D. Mueller // Journal of Mathematical Physics. - 1981. - Vol. 22, no. 6. -P.1196-1210,
3. Lai H.M. On the recurrence phenomenon of a
resonant spring pendulum / H.M. Lai // American Journal of Physics. - 1984. -Vol. 52, no. 3. - P. 219-223,
4. Georgiou I.T. On the global geometric struc-
ture of the dynamics of the elastic pendulum / I.T. Georgiou // Nonlinear Dynam. -1999. - Vol. 18. - P. 51-68.
5. Girgin Z. Investigation of Elastic Pendulum
Oscillations by Simulation Technique / Z. Girgin, E. Demir // Journal of Engineering Sciences. - 2009. - 15 (1). - Р. 81-86.
6. Богданов К.Ю. Хищник и жертва. - Режим
доступу: http://bio. fizteh.ru/student/files/ biology/biopharticles/bioph 15-arpfelurcdc.pdf.
7. ODE ARCHITECT Companion (Consortium
for ODE Experiments). - New York: John Wiley & Sons, Inc. - 286 p.
8. Broucke R. Periodic solutions of a spring-pendulum system / R. Broucke, P.A. Baxa // Celestial mechanics September. - 1973. -Vol. 8, Iss. 2. - P. 261-267.
9. Gavin Henri P. Generalized Coordinates,
Lagrange's Equations, and Constraints. CEE 541 / Gavin Henri P. // Structural Dynamics. - Duke University. - 2014. - 23 p.
10. Chen Y.F. Scientific computing and visualization. Spring pendulum system, top.4. - Режим доступу: http://ocw.nctu.edu.tw/upload/classbfs1209 054703145981.pdf.
11. Андронов А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981. - 568 с.
12. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной
динамикой / В.С. Анищенко. - Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. - 144 с.
Рецензент: В.М. Колодяжний, професор, д^з-мат.н., ХНАДУ.
Стаття надшшла до редакци 2 листопада 2015 р.
