Матричный метод анализа двухсекторной экономики на примере финансового и реального секторов экономики Смоленской области Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

38 (80) - 2011

Математические методы анализа

в экономике

УДК 338:330.341.4

матричный метод анализа ДБУхсЕКтогной экономики на примере финансового и реального секторов экономики смоленской области

е. ф. кустов,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики электротехнических материалов, компонентов и автоматизированных электротехнологических комплексов E-mail: Kustovyf@mail.ru Московский энергетический институт -Национальный исследовательский университет

м. и. дли,

доктор технических наук, заведующий кафедрой менеджмента и информационных технологий

в экономике K-mail: midli@mail.ru

а. с. кузавко,

аспирант кафедры менеджмента и информационных технологий

в экономике E-mail: kuzavkoanton@rambler.ru Филиал Московского энергетического института -Национального исследовательского университета

в г. Смоленске

В статье представлен метод анализа двухсек-торной экономики на примере финансового и реального секторов Смоленской области. Применение данного метода на практике позволит установить зависимости уровня выпуска от объема поставок

продукции конечным потребителям, цены на продукцию от добавленной стоимости, а также ряд других зависимостей.

Ключевые слова: матричный метод, экономика, финансы, сектор.

Во многих случаях отраслевая структура экономических отношений допускает свертывание до двухсекторной модели. В рамках двухсекторных моделей можно анализировать мировую экономику развитых и развивающихся стран, промышленное производство и экологию окружающей среды, экономическую взаимосвязь основного производства и производственной инфраструктуры, рассматривать финансовый и реальный секторы экономики.

Используя матричный метод, можно многофакторную экономическую систему свести к двухсектор-ной модели и анализировать условия их взаимного развития и изменения структурных показателей.

В трудах [1, 2] разработан метод построения матриц «затраты - выпуск», «цена - добавленная стоимость», позволяющих проводить экономический анализ исходя из конкретной структуры всей экономики или взаимно замкнутой ее части.

Основа экономического анализа составляет матричные уравнения типа [1]

(1 - А) л = с,-,

(1 - А к ) Рк = Уг.

(1)

где А.к - матрица «затраты - выпуск»;

ук - вектор-столбец валового выпуска к отрасли экономики;

с - вектор-столбец, описывающий совокупное потребление по секторам; Ак - транспонированная матрица «затраты -выпуск»;

рк - цена продукции; V. - добавленная стоимость. Матрица «затраты - выпуск» состоит из технологических коэффициентов, которые показывают автономные и взаимные потребления единиц продукции по различным секторам.

Матричные элементы типа А., показывает количество единиц продукции сектора , использованных на производство единицы продукции этого же сектора. Матричные элементы типа А.к показывают количество единиц продукции сектора , использованных на производство единицы продукции сектора к. Столбцы матрицы Ак определяют затраты различных секторов на единицу продукции сектора ,. Поэтому цена продукции этого сектора складывается из цен продукции других секторов по тому же типу матричного уравнения, только с транспонированной матрицей А к. Если из цены единицы продукции отрасли вычесть затраты на поставку продукции из других отраслей по их ценам, то останется добавленная стоимость каждого сектора.

По этим уравнениям и известным величинам выпуска продукции каждого сектора можно определить объемы продукции этих секторов, поставляемой на рынок. Аналогично по известной стоимости продукции, поставляемой на рынок каждым сектором, можно определить добавленную стоимость или прибыль этих секторов.

Обратную задачу можно решить по следующим уравнениям:

Ук = (1 - Аи )-1 с,,

Рк = (1 - А, )-1 V,.. (2)

Используя эти уравнения, можно по известному объему поставки на рынок продукции каждого сектора определить план выпуска. А по предполагаемой прибыли, получаемой отраслями, - определить цену, которую следует установить, чтобы обеспечить нужный уровень прибыли.

Добавленная стоимость V состоит из двух составляющих:

V =, + Г, (3)

где I, - общие трудовые затраты в отрасли; ^. - цена трудовых затрат; т. - прибыль.

Из равенства (3) следует несколько определений. Элемент вектора - строки добавленной стоимости, описывает связь между стоимостью всех товаров и услуг на единицу продукции каждой отрасли и выплаченной добавленной стоимостью.

Стоимость единицы продукции равна удельным расходам производства. В них включаются стоимость затрат ресурсов, закупленных у других секторов, выплаченная заработанная плата и прочая добавленная стоимость. Поэтому вектор V. равен удельной сумме заработанной платы или удельной стоимости трудовых ресурсов, использованных в этом секторе, и удельной прочей добавленной стоимости или прибыли. Удельная величина определяется затратами, приходящимися на единицу продукции данного сектора.

Вектор - строка ¡{ должен быть известной величиной, поскольку известны выпуск продукции сектора и занятость в ней или количество человеко-часов, затраченных на выпуск единицы продукции.

Этот коэффициент является технологическим коэффициентом производительности труда. Отрасли, характеризуемые высокой производительностью труда, расходуют меньше трудовых ресурсов на производство единицы продукции, и в этих секторах значение коэффициента будет меньше.

Структура второго уравнения (2) показывает, как определяется стоимость продукции каждого сектора.

Вторая компонента этого равенства pjAji определяет затраты на материальные ресурсы производства. Третья составляющая ^^ - затраты на оплату трудовых ресурсов. Четвертая составляющая - прочая добавленная стоимость или прибыль от экономической деятельности данного сектора. С увеличением нормы прибыли или добавленной стоимости увеличивается и стоимость продукции. Увеличение всех этих трех компонент влечет возрастание стоимости единицы продукции данного сектора.

Валовой выпуск продукции УР определяется произведением уровней выпуска секторов ук на стоимостьрк, просуммированную по всем секторам экономики к:

УР = 1 УкРк =![(1 - )-1 С (1 - А^ )-1 Vj ].

к к,/. j

Для двухсекторной экономики уравнения для поставок и добавленной стоимости секторов в соответствии с уравнениями (1) примут следующий вид:

С = (1 - ап) У1 - а^

С2 = - а2Л + (1 - а22) У2, VI = (1 - ац) РХ-а2^Р2,

V = - а12Р1 + (1 - а22) Р2.

В соответствии с выражением (2) уравнения для уровней выпуска и цены продукции секторов будут иметь такой вид:

цен продукции у и добавленных стоимостей 5

У1 =

У 2 =

Р =

Р2 =

(1 - а22 )С1 + а12С2

аи ^22 ап а22

+1

а21С1 + (1 - а11 )С2

аи ^22 а12а21 ап а22

+1

(1 - а22 >1 + а2^2 аи &22 а 12 а 21 а^ц 0^22

+1

а12У1 + (1 - ап )У2

аи &22 а12 а 21 а11 ^22 + 1

У = Р2, 5 = V!,

Р1

получим

а =

а211+ (1 - ап )Р а12 +(1 - ап)5 1 - а22 + а12Р

у_.

1 - а22 + а215

Относительные валовые выпуски ау секторов

будут равны ау _

а21 +(1 - а11 )РХ а12

1 - а22 + а12Р

+ (1 - ап )5

1 - а22 + а215

Парциальные структурные параметры как отношения уровня выпуска продукта к уровню поставок и цены продукта к добавленной стоимости каждого сектора будут таковы:

(1 - а22 ) + а12Р

У_ __

с аи &22 а12 а 21 а11 ^22

+1

У2 _ а21Р-1 + (1 - а11)

С 2 аи &22 а12 а 21 а11 ^22

+1

(5)

(1 - а22) + а215

Р_ __

аи &22 21 а11 ^22

+1

а125-1 + (1 - ап)

Р2_ __

аи &22 а12 а 21 а11 ^22 + 1

(6)

В работе [3] анализируется динамика изменения структурных показателей экономики России в виде структурных сдвигов, причем структурными показателями могут быть величины продукта, занятости, капитала, инвестиций и т. д. Разработанная теория двухсекторной экономики может ответить на некоторые вопросы закономерностей структурных сдвигов экономики для взаимно обособленной по структурным показателям двухсекторной модели. Для этого надо ввести относительные величины структурных показателей двух секторов по выпуску продукта и добавленным стоимостям.

Переходя к относительным величинам выпуска

V с

а и уровней поставок на рынок в: а_ — , Р_ —;

VI С1

Поскольку матрицы экономических систем являются матрицами с положительно определенными коэффициентами, которые должны быть меньше единицы [2], то из уравнений (5) и (6) можно видеть, что эти величины не могут быть отрицательными.

Для того чтобы матрица выпуска имела обратную матрицу, необходимо, чтобы определитель матрицы не был равен нулю. Кроме того, из уравнений (5) и (6) следует, что этот детерминант Б должен быть больше нуля:

Б _ а11а22 - а12а21 - а11 - а22 +1 > 0;

а11а22 +1 > а12 а21 + а11 + а22.

Валовые параметры выпусков (валовой внутренний продукт) будут равны векторному произведению уровней выпуска на цену продукции для каждого сектора:

у1с1 (а^2 + а12 а21 - 2а22 +1) +

ур _ +У1С2 (-а12а22 - а12а11 + 2а12 ) + (аца22 аи а-22 +1 аа_2 ^^21) у2с1 (-а21а22 - а11а21 + 2а21) +

+

+у2с2 (а121 + а12 а21 - 2а11 +1) (ап а22 аи а-22 +1 аа_2 )

Структура валового продукта определяется четырьмя частями:

УР _ Щ +112 б12 + 121Б21 +12 Б2 .

где 11 = с1у1, 12 = е2У2 - интегральная добавленная стоимость первого и второго секторов; 112=е1У2,121 = е2У1 - корреляционные части, равные произведению поставок под спрос одного сектора на добавленную стоимость другого. Вклад этих частей определяется технологическими коэффициентами Л1, D2, D12, D21:

п — п — л — ^21 л — ^22

л — п,л12 — п ,л — п,л — п • ^ — (1 - а22 )2 + а12а21, ё12 — а12 (-а22 - а11 + 2),

^21 — а21 (-а22 - а11 + 2),ё22 — (1 - а11 )2 + а12а21. Поскольку технологические коэффициенты Л1, Л2, D12, D21 положительны, то структурные изменения ВВП аддитивно, с положительными коэффициентами складываются из структурных изменений валового выпуска отдельных секторов. Кроме того, следует учитывать корреляционные члены, когда, к примеру, инвестиции в первый сектор вызывают изменение выпуска второго сектора, и наоборот.

Аналогично валовые уровни поставок будут равны векторному произведению уровней поставок продукта на добавленную стоимость для каждого сектора:

СУ — - У2^12 - У^21 + УА,

где У1 — У1Р1 ,У12 — У1Р2 ,У21 — У2Р1 ,У2 — У2Р2 .

Если рассматривать финансовую систему и систему производства продукта, то эту многофакторную систему можно свести к двухсекторной модели финансового и реального секторов. Это аналогично тому, что многомерную систему отраслей экономики анализировать по проекциям на плоскость.

Рассмотрим реальный сектор (РС) и финансовый сектор (ФС) Смоленской области. Очевидно, эти сектора взаимодействуют между собой, один производит продукцию, поставляемую внутри сектора и конечным потребителям, другой кредитует конечных потребителей, а также реальный сектор экономики (предположим, что реальный сектор расплачивается по кредитам частью выпускаемой продукции). Тогда в соответствии с описанными потоками можно составить матрицу «затраты - выпуск» А к (см. таблицу).

Матрица «затраты - выпуск» реального

и финансового секторов, млрд руб. [4, 5]

Сектор Затраты РС Затраты ФС Конечное потребление с Валовой выпуск у

РС 52 49,7 47,45 149,15

ФС 49,7 7 23,3 80

Для удовлетворения нужд потребителей РС производит продукцию на сумму 47,45 млрд руб., в рамках самого сектора РС производится и используется для собственных потребностей продукция на сумму 52 млрд руб. Для финансирования производства РС привлекает заемный капитал из ФС на сумму 49,7 млрд руб., за который рассчитывается произведенной на ту же сумму продукцией (в соответствии с ранее оговоренными условиями).

Финансовый сектор кредитует физических лиц (конечных потребителей) на сумму 23,3 млрд руб., юридических лиц и индивидуальных предпринимателей (которые, по сути, и представляют собой РС экономики) на сумму 49,7 млрд руб., также внутри ФС осуществлялись заимствования на сумму 7 млрд руб. для удовлетворения спроса на заемный капитал со стороны потребителей этого сектора. Для удовлетворения потребностей и затрат ФС должен выдать кредитов на общую сумму 80 млрд руб.

Рассчитаем удельные коэффициенты собственных затрат каждого из секторов, а также удельные коэффициенты поставок.

Удельный коэффициент собственных в отношении к валовому выпуску затрат РС равен 52 / 149,15 = = 0,35. Финансовый сектор кредитует РС на 49,7 млрд руб., и удельные значения предоставленных кредитов на единицу выпуска РС будут равны: 49,7 / 149,15 = 0,33. Следовательно, для производства продукции на 1 млрд руб. РС необходимо 0,35 млрд руб. продукции, произведенной в рамках самого сектора, и 0,33 млрд руб. финансовых вливаний со стороны ФС.

Удельный коэффициент внутреннего финансирования в рамках ФС равен 7 / 80 = 0,09. Реальный сектор расплачивается по взятым кредитам у ФС 49,7 / 80 = 0,62. Следовательно, для финансовой деятельности на каждый млрд руб. финансовому сектору необходимо 0,09 млрд руб. перераспределять в рамках своего сектора и обеспечивать кредитные отношения с РС на сумму 0,62 млрд руб.

На основании проведенных расчетов можно построить матрицу А.к:

0,35 0,62

0,33 0,09.

Взаимодействие между РС и ФС связано с естественной проблемой неплатежеспособности организаций, привлекающих для организации своего функционирования заемные средства. Поэтому в случае невыплаты по предоставленным кредитам параметр а12 будет а12 - 9, где 9 - удельная доля не-

А—

(7)

возвращенных кредитов в млрд руб., или удельная доля риска.

В этом случае матрица затрат и выпуска будут иметь вид:

А= йц 0^12 - 9 , 1 - А = 1 - ап -а12 + 9

#21 #22 -021 1 - а22

В нашем случае за цену продукции ФС необходимо принять объем выдаваемых кредитов. Очевидно, это будет усредненное значение, а добавленная стоимость - это ставка процента, под который выдается кредит.

Исходя из матрицы затрат (7), с учетом рисков невозврата кредитов матрица выпуска и транспонированная матрица будут иметь вид

1 - А =

0,65 -0,62 + 9 -0,33 0,91

1 - А =

0,65 -0,33 -0,62 + 9 0,91 . Решение уравнений «затраты - выпуск - цена» (4) приводит к следующим значениям уравнений выпуска и цены продукции:

У =

0,9Ц + 0,62с2 -9с2 0,3869 + 0,339

У 2 =

Р1 =

0,33сх + 0,65с2 ; 0,3869 + 0,339' 0,9Ц + 0,33у2 ; 0,3869 + 0,339'

(8)

Р2 =

0,62^ + 0, 65 v2 -9v1

сительного выпуска продукта и цен РС замедляется и стремится к насыщению. Также при увеличении ставки процента по кредитам (параметр v2 возрастает) происходят изменения стоимости продукта РС с большей скоростью и большим уровнем насыщения, чем в предыдущем случае.

Зависимость парциальных параметров выпуска У Р

— и цены — от относительных величин поставок

С. V-

'С ' V

Р = — и добавленных стоимостей 5 = — двух сек-

С1 V!

торов представлена на рис. 2.

При увеличении кредитования ФС домашних хозяйств (с2 увеличивается) при постоянном уровне с1 удельный выпуск РС ух должен возрасти. Это означает, что в этих условиях кредитование РС уменьшится, и он должен увеличить выпуск своей продукции, для того чтобы сохранить поставки на прежнем уровне. 1,7

1,5 1,3 1,1

0,9 0,7 0,5 0,3

0,3869 + 0,339 Уравнения поставок и добавленных стоимостей имеют вид

С = 0,65я - (0,62 -9)>>2 С2 =-0,33 Ух + 0,91у2; v1 = 0,65рх -0,33р2;

v2 = -(0,62-9) р1 + 0,91р2. Графический анализ выведенных уравнений можно провести с помощью построения графика зависимостей (рис. 1). На нем показаны зависимос-

Р2

ти относительных цен продукции у = — и выпуска

Р1

У2 о с2

а = — от относительных величин поставок р = —

Ух v С1

и добавленных стоимостей 5 = — двух секторов при 0 = 0. ^

С увеличением поставок ФС или увеличением кредитования (параметр с2 возрастает) рост отно-

-1-1-1-1

0 2 4 6 8

Р, 8; 0 = 0

Рис. 1. Зависимость относительных цен продукции у и выпуска а от относительных величин поставок Р и добавленных стоимостей 5 двух секторов

17-, 1513119

753 1

0

■

3, 8; 0 = 0 ■ У1/С1 - Р2/V2 ■

' У2/С2

Рис. 2. Зависимость парциальных параметров выпуска У'' / с. от относительных величин поставок Р и цены Р. / V . от отношения добавленных стоимостей 5 двух секторов

6

8

Зависимость относительных параметров выпуска от относительных величин поставок показана на рис. 3.

Из анализа рис. 3 видно, что для увеличения поставок РС с1 на рынок необходимо увеличивать выпуск продукции двух секторов. Причем, начиная производство (сх = 0), необходимо чтобы уровни выпуска двух секторов совпадали. Дальнейшее увеличение выпуска со стороны РС будет идти большими темпами в сравнении с ФС, что свидетельствует о том, что РС находится не в абсолютной, а относительной зависимости от ФС. Примерно лишь каждая третья новая единица продукции, произведенная РС, будет финансироваться за счет привлечения заемного капитала из ФС. Тем не менее очевидно, что без увеличения выпуска ФС не произойдет увеличения выпуска в РС.

Эффективность производства можно определить отношением поставок потребителям к общему выпуску продукции каждой отрасли п = с1 / у1 и

П = С2 / У 2:

п — 0,65 - (0,62-9) ^, У

п — 0,91 - 0,33У.

1 У 2

На рис. 4 приведены зависимости эффективности РС = с1 / у1 и ФС п2 = с2 / у2 производств от соотношения уровней выпусков У1 / У2.

Эффективность РС увеличивается, поскольку ФС все в большей степени удовлетворяет потребности РС. На практике для рынка ФС и эффективности РС трендовая динамика характеризуется достаточно

1-1-1-1-1

0 0,5 1 1,5 2 2,5

р, 8; 0 = 0

Рис. 3. Зависимость относительных параметров выпуска у1 /с2, у2 /с2 от относительных величин поставок с1 /с2 и цены р1 / v2 р2 / v2 от отношения добавленных стоимостей у1 / v2 двух секторов

0,7 -■ 0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 -0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

У1 / У2; е = 0

---с1 / у1 - сг1 У2

Рис. 4. Зависимость эффективности производств РС п1 = с1 / у1 и ФС п2 = с2 / у2 от соотношения уровней выпусков у1 / у2 при 9 = 0

стабильным ростом на всем протяжении рассматриваемого интервала данных с постепенной стабилизацией после соотношения у1 / у2 = 2. В то же время эффективность ФС падает вследствие уменьшения кредитования физических лиц, описываемого величиной с2. Эти зависимости наблюдаются до соотношения выпусков обоих производств у1 / у2=2,8, после чего эффективность ФС становится отрицательной. Это означает, что развитие РС может происходить за счет уменьшения финансирования физических лиц. При этом максимальное значение эффективности РС может быть достигнуто до уровня, равного единице. Это значение является технологической величиной и определяется матрицей затрат.

Можно выделить три этапа взаимного развития РС и ФС. На начальном этапе у1 /у2 < 1,7. Для того чтобы наладить выпуск РС, необходимо иметь определенный уровень выпуска ФС. Нулевой выпуск продукции РС соответствует значению 0,6 с2 / у2 (см. рис. 4). На втором этапе 1,7 < у1 / у2 < 2,7 развитие двух секторов проходит с хорошей эффективностью, однако рост продукции РС сопровождается уменьшением ФС кредитования домашних хозяйств. Третий этап - 2,7 < у1 / у2, развитие РС сопровождается полной концентрацией финансовых ресурсов ФС на кредитование РС в ущерб физическим лицам. Более того, для дальнейшего наращивания производства и поставок продукции РС конечным потребителям РС придется искать дополнительные источники финансирования на внешних финансовых рынках.

Чтобы увеличить поставки под спрос РС с1 на 1 млрд руб. при 9 = 0 по уравнениям (8), надо

увеличить выпуск этого сектора на Ау1 = 2,35 и выдачу кредитов на Ау2 = 0,85 млрд руб. Увеличение уровня финансирования меньше увеличения уровней выпуска продукции, так как РС помимо заемного капитала использует собственные источники финансирования.

Увеличение ставки кредита v2 на единицу при 0 = 0 приводит к увеличению цены продукции основного сектора на Ар1 = 0,85 , а цены кредитов на Ар2 = 2,35 ед. Цена кредитов увеличивается быстрее, поскольку увеличение ставок кредита воздействует на цену кредита непосредственно, а в цену продукта ставка процента входит через коэффициенты затрат.

Увеличение невозврата кредита 0 на 1 млрд руб. (от нуля) при сохранении на прежнем уровне поставок РС и выдачи кредитов домашним хозяйствам приводит к уменьшению выпуска продукции РС на Ау1 = 1,08с1 + 2,13с2 , а выдача кредитов - на Ау2 = 0,39с1 + 0, 77с2 ед. Те же самые уровни поставок в РС и ФС могут быть в условиях невозврата кредитов проведены с меньшим уровнем производства и выдачи кредитов.

Увеличение невозврата кредита 0 на единицу при сохранении на прежнем уровне добавленной стоимости v1 РС и ставки процента v2 приводит к уменьшению цены продукции РС на АР = 1,08 V + 0,39v2 и цены кредитов на Ар2 = 2,13^ + 0,77 V ед. При том же уровне добавленной стоимости РС и ставки процента невозврат кредитов приводит к уменьшению цены производства и кредитов. Причем это уменьшение цены кредитов нельзя компенсировать, например, поднимая ставку процента.

На рис. 5 показана зависимость отношения выпусков к поставкам РС У1 / с1 и ФС У2 / с2 от уровня невозврата кредитов 0. Это приводит к уменьшению уровня производства и выпуска обоих секторов.

На рис. 6 показана зависимость цен продукта РС Р1 / v1 и кредитов ФС Р2 / v2 от уровня невозврата кредитов 0. Это приводит к уменьшению цен производства и выпуска обоих секторов, причем цены кредитов падают быстрее.

Все эти зависимости определяются матрицей затрат и технологией РС и ФС и зависят от особенностей рассматриваемой экономической системы. Применение разработанного метода должно начинаться с определения матриц затрат РС и ФС. В качестве начального этапа матрицу затрат можно определить на основе экспертных оценок с последующим уточнением по параметрам реальных производств РС и ФС. При этом с изменением па-

4,5

4 -3,5 -3

2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 -0

0

0,2 0,4

с1 = c2; t = teta ^—y1lc1 .............. y2Ic2

0,6

0,8

Рис. 5. Зависимость эффективности производств РС У1/с1 и ФС У2/с2 от уровня невозврата кредитов 0

3,5 -|

3 -

2,5 -

2 -

1,5 -

1 -

0,5 " 0

0,2

0,4

v1 = v2; t = teta Pilvi ..............

0,6

0,8

P2IV2

Рис. 6. Зависимость цены производств РС p1 I v1 и кредитов ФС p2 I v2 от уровня невозврата кредитов 9

раметров матрицы затрат изменяется количественные представления параметров, но качественные,

структурные особенности сохраняются.

Список литературы

1. Кустов Е. Ф. Аналитическая экономика. Тамбов: Пер-шина, 2005.

2. Леонтьев В. Экономические эссе. М.: Политиздат, 1990.

3. Сухарев О. С. Структурные проблемы экономики России: теоретическое обоснование и практические решения. М.: Финансы и статистика, 2010.

4. Промышленность России 2010. Федеральная служба государственной статистики. URL: http:llwww.gks. ruIbgdIreglIb10_48IMam.htm.

5. Состояние банковского сектора Смоленской области в 2010 году. Департамент экономического развития и торговли Смоленской области. URL: http:IIecon.admm-smolensk.ru/~ekonIdeyatelnost/fmansoviy_rinokIsostoyanie_ bankovskogo_sektora_smolenskoy_oblasti_v_2010_godu.

0