CC BY
58
МАТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ АНАЛИЗА ОТРАСЛЕВОГО ИНВЕСТИЦИОННОГО МЕНЕДЖМЕНТА
Кустов Е.Ф., д.ф.-м.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Лозенко В.К., д.т.н., профессор, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Кузавко А.С., аспирант, Филиал ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ» в г. Смоленске
Предложен матричный метод анализа инвестиционного менеджмента. Получены основные соотношения между выпусками, производственными затратами, поставками на рынок, стоимостями продукции, прибылью и оплатой труда секторов.
Ключевые слова: менеджмент; экономический анализ; матричный метод.
MATRIX MODELS FOR THE ANALYSIS OF THE INVESTMENT MANAGEMENT INDUSTRY
Kustov E., Prof., FGBOU VPO «National Research University» «MEI»
Lozenko V., Professor, FGBOU VPO «National Research University» «MEI»
Kuzavko A., The post-graduate student, Branch FGBOU VPO «National Research University» «MEI» in Smolensk
We propose a matrix method of analysis of investment management. The basic relation between the release, production costs, supply to the market value of production, income and wage sectors.
Keywords: management; economic analysi;, the matrix method.
Основу экономического анализа составляет матричное уравнение типа:
(1 - Aik ) Ук = ci , (!)
где А.к.-матрица затрат, y^. -вектор столбец валового выпуска k отрасли экономики, ck - вектор столбец поставок на рынок каждого
сектора.
Матричные элементы типа А.. показывают количество единиц продукции сектора i, использованных на производство единицы продукции этого же сектора, элементы типа - количество продукции сектора i, использованных на производство единицы продукции сектора k.
В векторной форме уравнение (1) и ему обратное будут иметь вид:
C = (1 - A) X Y, Y = (1 - A)-1 X C (2)
Первое уравнение определяет уровни поставок C секторов на рынок при определенных уровнях выпуска продукции Y каждым сектором. По второму уравнению решается обратная задача: определятся уровень валового выпуска секторов Y, обеспечивающих требуемые уровни их поставок С на рынок.
Уравнения для уровня выпуска и стоимости продукции [1] следующие:
(1 - Aik) Ук = ci,
~ , ( 3)
(1 - Aik) Рк = vi
ik'
где pk - цена продукции, v - добавленная стоимость, матрица с волнистой чертой это транспонированная технологическая матрица, в
которой строки и столбцы поменялись местами: Aik = Aki .
По этим уравнениям и известным величинам выпуска y^. продукции секторов можно определить объемы продукции этих секторов c., поставляемой на рынок. Аналогично по известным стоимостям продукции секторов pk можно определить добавленную стоимость v. этих секторов.
Обратную задачу можно решить по следующим уравнениям:
У к = (1 - Aki)-1 ci ’
~ _1 ( 4)
pk = (1 - Aki) vi
Уравнения для уровней выпуска и цены можно представить в виде:
(1 - A) 0 У c
0 (l - A P v
( 5)
По известному объему поставок на рынок с. продукции всех секторов каждый сектор может определить план выпуска своей продукции ук. По предполагаемой добавленной стоимости V., получаемую отраслями можно определить цену единицы продукции каждого секторарк, которую следует установить, чтобы обеспечить нужный уровень добавленной стоимости. Валовой выпуск продукции УР определяется произведением уровней выпуска секторов ук на стоимость рк, просуммированную по всем секторам экономики к:
YP = 1 ykPk = I [(1 -Atl)-1 с,(1 -Aj -1 Vj
k k, i. j
( 6)
В соответствие с уравнениями (4) управление производством можно осуществлять через величину добавленной стоимости. Уровни выпуска и поставок продукции определяется уровнями спроса и потребления и во всех случаях - технологией производства. Единственная величина, которая зависит от управленческих решений, это структура добавленной стоимости.
Добавленную стоимость у. можно разделить на две части:
V
■km + ri>
( 7)
Ч - 1 ч>
где г. -уровень прибыли, получаемой на единицу продукции данного сектора, 1. - количество труда, затрачиваемого на единицу продукции, м. - стоимость единицы трудовых ресурсов данного сектора, 1.м. - стоимость трудовых ресурсов или заработанная плата работников соответствующего сектора экономики.
Из равенства (7) следует несколько заключений. Стоимость единицы продукции равна удельным расходам производства. В них включаются стоимость затрат ресурсов, закупленных у других секторов, выплаченная заработанная плата и прочая добавленная стоимость или прибыль. Поэтому вектор у. равен удельной сумме заработанной платы или удельной стоимости трудовых ресурсов, использованных в данном секторе и удельной прочей добавленной стоимости или прибыли.
Величины 1. должны определяется уровням выпуска продукции сектора и количеством человека - часов, использованных для выпуска единицы продукции этого сектора. Этот коэффициент является технологическим коэффициентом производительности труда. Структура последнего уравнения (4) и равенства (7) показывает, как определяется стоимость продукции каждого сектора. Компонента
Р^ А ji определяет затраты на материальные ресурсы производства всех секторов, составляющая Wjlj -затраты на оплату трудовых
ресурсов данного сектора, составляющая г.-прибыль от экономической деятельности данного сектора. Увеличение всех этих трех компонент увеличивает стоимость единицы продукции данного сектора. Соотношение между 1.м. и г. определяется организационной структурой управления производством или менеджментом. Из равенства (7) для ставки оплаты труда можно получить уравнение «гиперболы менеджмента»:
w =
vi - ri _ pi - ri - Aikpk
li
li
( 8)
На рис. 1 приведена зависимость ставки оплаты труда w. от производительности труда I. при постоянной разности добавленной стоимости и ставки прибыли V. -г..
Рис. 1. Зависимость ставки оплаты труда от производительности труда при п(/стоянной разности добавленной стоимости и ставки прибыли.
Линией обозначена ситуация, когда норма прибыли и оплаты труда соответствует добавленной стоимости, получаемой отраслью. Если оплата труда при одинаковой норме затраты труда на единицу продукции возрастает, система переходит в область выше равновесной линии, что будет соответствовать уменьшению нормы прибыли г.. Если же норма прибыли остается постоянной, то должна увеличиться величина добавленной стоимости у. и соответственно стоимость продукции р.. Это увеличение стоимости продукции ( отрасли через матрицу затрат отразится в стоимости продукции, добавленной стоимости, норме прибыли или ставке оплаты труда других отраслей.
Для того, чтобы определить функцию управления экономикой необходимо ввести обратную связь с уровнем прибыли г. каждой отрасли. Допустим, что вся прибыль I отрасли идет на инвестиции в эту отрасль. Инвестиции в отрасль изменяет потребности отрасли в продукции других отраслей. Однако в технологическом плане основным импульсом инвестиций будет уменьшение потерь собственного производства. Для этого следует ввести в матрицу затрат фактор инвестиций в виде коэффициента инвестиций 1.:
r
Ii = к; —.
Pi .
V
liwi + ri
( 9)
Если в отрасли отсутствует прибыль, то г=0 и 1=0. Величина уровня инвестиций будет зависеть от соотношения между уровнем прибыли г. и стоимостью р. продукции, а также коэффициентом к., который определяет эффективность инвестиций в отрасли.
В этом случае уравнения ( 3) и ( 4) будут иметь вид:
1- Aki(l~8kiIi). 1 - [(І Ski1;)
yk = ci >
Pk = vi
( 10)
и обратные уравнения будут:
yk =
-і
ci > -і
Pk = (1 - Aki(1 - Ski1 i)) vi
W
Подставляя в эти уравнения фактор инвестиций (9) и выражение для добавленной стоимости ( 7), получим:
1 - Aji
1 - Aji
1 — ^ jiki ~ Pi
1 -Sjiki
Pi
и обратные уравнения будут:
yj
Pj
yj
Pj = liwi + ri
-1
( 12)
1 - Aji
1 - Aji
1 -8jiki — Pi
1 -8jiki — Pi
-1
(liwi + ri)
( 13)
Уравнения (12) и (13) являются общими уравнениями менеджмента, а матрицы этих уравнений являются матрицами затрат-инвестиций.
Используя матричный метод можно многофакторную экономическую систему свести к двухсекторной модели и анализировать условия их взаимного развития и изменения структурных и инвестиционных показателей. В рамках двух секторных моделей можно анализировать мировую экономику развитых и развивающихся стран. В этом случае матрицы затраты - выпуск сворачиваются до двумерных матриц, которые модифицируются обобщенными коэффициентами инвестиций:
1- аи (1-11)
У1 - а12 У2 = с1
а21У2 +
У2 = с2■
- а12 P2 +
1- a11( - h )]1 - а21 P2 =
( 14)
p2 = v2
Если вместо параметров инвестиций I подставить их величины, то уравнения (14) преобразуются в уравнения:
1 - а
11
а21y1 +
1 - к1-1 P1
1-а
У1 - а12 У2 = с1
22
У2 = с2^
1-а
11
1 - кА P1
P2
P1 - а21 P2 =
а12 P1 +
1 - а
22
1 - к 2 -2-P2
P2 = v2
( 15)
Упрощая эти уравнения, получим:
У1
1 - ац + к-[
P1
- а21У1 + У2
' а12 У2 = с1
\
1 - а22 + к 2
И.
P2
с2
( 16)
с
с
Pi(i - a11)- a21 P2 = (1 - k1 )r1 + 11w1 ■
- a12 Pi + P21 - a22 r= (i - k2 )r2 + 12w2
r1 ' ( r r2
Вводя соотношения
P1
P2
можно упростить эти уравнения:
У1(2 - a11 - r1/)- a12 У2 = cb - a21 y1 + y2 i2 - a22 - r2 r= c2
1 - a
ІІ
a P2 = r / + 11w1
a21------= r1 +----------
P1 Pl
Pi , 12w2
a12-+1 - a22 = r2 +----------------
P2 P2
Другая форма уравнений (16) имеет вид:
УІ
P2 1iwi ^
1 + a21---------+------
P1 P1
- a21У1 + У2
a12 У2 = c—
\
1 + a P1 + 12w2 1 + ai2------\------
І2 P 2 P 2
С2
P1(l - a11)- a21 P2 = (1 - k1 )r1 + 11w1 ■
- a12 Pl + P2 (l - a22 r= (l - k2 )r2 + 12w 2
( 17)
( 18)
По уравнениям (18) для определенных значений коэффициента инвестиций кр к2,прибыли гх, г2 и оплаты труда 1^ , определяются стоимости продукции рх,р . Далее по определенным значениям поставок на рынок сх, С2 и уравнениям (17) определяются уровни выпуска продукции ух, у2 отраслей.
Для того, чтобы превратить уравнения (18) в технологические уравнения необходимо ввести удельные коэффициенты прибыли и оплаты труда:
УІ
' a12 У 2 = С—
- a2i Уі + У 2 (l + ai2 x + W2 ) = c2
( 19)
1 - a
a21
ІІ
x
= (l - k1 )R1 + W—
- ai2 x +1 - a22 =(l - k 2 )R2 + W:
( 20)
2
где удельные коэффициенты прибыли и оплаты труда и отношение стоимости продукции будут:
Щ = И., Щ = 1^. X = Р.
Р1 Р1 ' Р2 .
Основной вывод: инвестиции - прибыль - затраты труда это взаимное влияние факторов управления экономикой отдельных отраслей. Изменение уровней инвестиций, прибыли и затрат труда одной отрасли через матрицу затрат и инвестиций влияет на стоимость продукции и структуру управления добавленной стоимостью всех других отраслей экономики.
Из уравнений (19) можно получить соотношение взаимного влияния менеджмента двух секторов экономики:
1 - aii - a2i — = (l - ki )Ri + W1 ■
x
- a—2x +1 - a22 = (l - k 2 )r2 + W2
Из первого уравнения (21) можно получить значение х а21
x
1 - а-.-. - (1 - к1 )^?1 - W-[
Подставляя это значение во второе уравнение (21) получим соотношение инвестиции - прибыль - затраты труда двух секторов:
а12а21
1-
1 - а-,-, - (1 - к1 )?1 - W]
(1 - к 2 )R2 + W2 + а22
1
Аналогичное соотношение можно получить для другой базы отношений:
а12а21
( 22)
1-
1 - а22 - (1 - к2 )R2 - W
(1 - к1 )R1 + W1 + ,
41
2
( 23)
Соотношение нормировки удельных коэффициентов прибыли и оплаты труда можно получить из условий положительности левой части уравнения (22) и (23):
а12 а21 < 1 - ац - (1 - к1 )R1 - W1 или
(1 - к1 )R1 + W1 < 1 - ац - а12 а21 (1 - к2 )R2 + W2 < 1 - а22 - а12 а21
( 24)
На рис. 2 показаны соотношения уровней оплаты труда в первом W1 и втором W2 секторах при различных значениях факторов инвестиций к! и к2 и при следующих значениях остальных параметров: ап=0.25, а12=0.28, а21=0.4, а22=0.3, И^= ^=0.2.
Рис. 2. - Соотношения уровней оплаты труда в первом Wl и втором W2 секторах при различных значениях факторов инвестиций к и
к2 и при ап=0.25, а12=0.28, а21=0.4, а22=0.3, ^=0.2.
Как видно из рисунка, при к1 =к2=0 увеличение уровня оплаты труда во втором секторе влечет уменьшение уровня оплаты труда в первом секторе. Инвестиции в первом секторе к1=0.1, к2=0 влечет увеличение уровня оплаты труда в этом секторе. Аналогичная ситуация наблюдается при инвестициях во второй сектор. Однако общий уровень оплаты труда в обоих секторах увеличивается при инвестициях в любой сектор, но это увеличение происходит больше в секторе с инвестициями.
Полный анализ финансового и производственного менеджмента можно получить из анализа полных уравнений для уровней выпуска продукции (19) и ее стоимости (20) при решении системы:
У1
P2 ^1w1 ^
1 + а21 +------------
P1 P1
/
- а21У1 + У2
а12 У 2 = с1>
\
1 + а P1 + !2W2
1 + а12-------1--------
12 P 2 P 2
с2
/
P1(l - а11)- а21 P2 = (1 - к1 )r1 + *1w1 ■ - а12 P1 + P21 - а22 )= (1 - к2 )r2 + l2W 2
Литература:
1 . Кустов Е.Ф. Аналитическая экономика. - Тамбов, 2005.
2. Леонтьев В. Экономические эссе. - М.: Издательство политической литературы, 1990.
