CC BY
28
УДК 639.2.081.001.57
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАЛОВОЙ ДОСКИ С УЧЕТОМ ТЕЧЕНИЯ
В.И. Габрюк; В.В. Кудакаев; В.В. Чернецов, Дальрыбвтуз, Владивосток
В работе приведены основные уравнения связи между характеристиками траловых досок, полученные из геометрических условий, условий равновесия и устойчивости равновесия для двух случаев, когда траление осуществляется параллельно течению и под углом к течению.
Системы координат, используемые в механике траловых досок, и связь между ними
При исследовании траловых досок используют три системы координат (Габрюк, 2005): земную (хуг), связанную (хууугу) и
поточную (х^у^г^ ), рис. 1.
а б в
Рис. 1. Системы координат траловой доски: а - земная (ЗСК); б - связанная (ССК); в - поточная
Ось х земной системы координат выбирается параллельно скорости судна, т.е. х ТТ \/5, а ось г направлена по отвесу ііі д . Ось х^ поточной системы координат антипараллельна скорости потока, т.е. Ху 14 V, а ось уу лежит в плоскости стрингеров доски (х1у1). Поточная система координат (хуу¥іу) используется для задания гидродинамических сил, действующих на доску. Связанная с доской система (ху^) используется для задания положения точек крепления к
доске ваера и кабелей, а также положения центра масс доски и центра давления.
Для определения характеристик траловых досок (площади в плане, массы доски, координат точек крепления ваера и лапок к доске; проекций сил, действующих на доску) необходимо установить связь между этими системами координат.
Связь между базисами поточной (хуу¥іу ) и связанной (хуугу) систем координат
От поточной к связанной системе можно перейти путем двух поворотов на углы а и р.
Эти повороты описываются матричным уравнением
'V
К
7
созасоэД -этасоэД єіп/? эта; соэа; О -созаэтД этаэт/?; соэ/?
(1)
Связь между базисами связанной (ху^) и земной (хуг) систем координат
От земной к связанной системе можно перейти путем трех поворотов на углы Я, рьа1 (рис. 2):
хуг -^—х'у'ґ ^ х"у"2" ау х.у.і,. х, х' у', у” г", г1
Эти повороты описываются матричным уравнением (Габрюк, 1995).
к.
^сова., сов/?.,; віпа.,совя + сова.|віп/?.|віп/і,; ^ віла., віпЯ - сова., ві^ /?1 сов Л
- Біла., сов/?.,; сова. совЯ-віпа., віп/?., віпЯ; сова., віпЯ + віла., віп/?., совЯ ві^/?.; -совД, віпЯ; совД,совЯ
Рис. 2. Углы аь/ЗьЛ , задающие ориентацию связанной с доской системы координат хугу относительно земной системы хуг
Связь между базисами поточной и земной систем координат
Подставляя (2) в (1) и выполняя умножение матриц, получим матричную связь между базисами поточной ( х у г ) и земной систем координат (хуг)
cos/?. cos(a - а.,); - cos/lsin(a - a.) + sin/?. sin/lcos(a - a.);
- sin/!.sin(a -a1)-s\np1 cos/i.cos(a -«-.)
cos/?. sin(a - a.); cosXcos(a - a.) + si^/?. sin/lsin(a - a.);
sin/tcos(a - a.)- sin/?. cos/tsin(a - a.)
sin/Z.; -cos/^sinl; cos/^cos!
k
V. У
(3)
Выражение углов аьрьЛ через проекции скорости течения Vst
Проецируя уравнение V = Vst-Vs =-Viv на оси земной системы координат и учитывая, что
¡у = eos у®, eos (a., -a)¡ + Jos Я sin (ar., -a) + sin/?., sin Я cos(a.| -a)~j_| +
+ |¡nA sin(a., -a)-sin/?.|COS/lcos(or.|
получим:
V
V
- V cos рл cos («•,-«) = VSix - \/s;
-V JosAsin (ал -a) + sin Д sínicos (a^ -a)3= Vsty -V Jinisin (a^ - a)-sin Д cosicos (ал -a)3= Vst!
sin(a - a.,) = (\/siycosA + \/sizsin/i)/\/; tgß-i = (^sini-VstzcosÄ)/(Vstx - vsy,
V = Vst-Vs,V2 = 4stx -VSZ + v!ty + vltz,
sin a-i = A sin a-B cos a; A = (Vs -Vstx)IV соэД; cos a1 = A cos a + B sin a; S = (Vstycos Я-\/5Ьз1п X)IV\ d(tgßi)IdA. =-tg (a-a^)/cosß{, d (cosß1 )ldÁ = sinß1 cosß1 tg (a - a1); d(sin ßy)ldÄ = -cos2ß^tg(a-a^)\ d(sin a^)ld/1 = -sinД cosa.,; d(cos a^)ldX = sin Д, sin a{, d(sin a^lda = cos a{, d(cos a^lda = -sin ar
cos 2, = /, ■ к = cos a.| sin 1 (1 + tg ал sin Д ctg Ä).
Здесь VSÍ,VS - скорость течения и скорость судна; Vstx,Vsty,Vstz -проекции скорости течения на оси земной системы координат.
Векторные уравнения равновесия доски
Так как траловая доска является твердым телом, то для нее выполняются условия равновесия твердого тела, т.е. геометрическая сумма всех внешних, действующих на доску сил, и сумма моментов этих сил относительного произвольного полюса должны равняться нулю:
T0+T^+T2+R + Q-0] (5)
Mot
Уравнения равновесия доски в проекциях на оси земной системы координат (х у z)
Когда траление осуществляется под углом к течению. При этом скорость потока не параллельна оси х. В этом случае условия равновесия имеют вид:
Т0 =|0,5 Rl +ях°|/х0;
g _ TÍ sin к, +T2s\nv2 -ÿ0/x0 °'5K| _ ~ 0,б|я?х|
” Су -СхУо 1*0 0,5pV2~ 0,5pV2'
Qz = [-(1 + \сЦ§)z0 / x0 - tge - CZDS] • 0,5|RXT | = Q0,^RTx\
x0 = cosa0cosxcosv/-sina0cos^(sinv/cos(30 + sin^gíg/); y0 = sina0 sinç70 cos у - sina0 cos^0sin/sin^/ + cosa0 sin/cos^; !> (10) z0 = -sina0 cos</?0 cosí// - cosa0 sin^;
sinц/ = (Vstz - VDz )IV; tgy = (Vsty - )l(Vstx - );
C° = Сxv cos рл cos(a -«•,) + CyV cosрл sin(a -a^) + C°v sin Д ;
C° = -Cxv |os/tsin(a -ал) - sin рл sin Acos(a - a.,)^
+ CyV |os Я cos(a - «i ) + sin рл sin /I sin(ce - ал ) 3- C°v eos рл sin Л;
C° = -Cxv (¡n ^sin(ar - ал) + sin рл eos Я cos(a -ал\^
+ CyV fin A cos(a - a1 ) - sin рл cos 1 sin(a - ал )Jc°v eos рл eos A .
Здесь C^v ,CY¡V,CD - коэффициенты силы сопротивления, подъемной и боковой сил доски; VDX,VDy,VDZ - проекции скорости доски на оси земной системы координат.
(7)
(8) (9)
Моментные уравнения равновесия доски
Проецируя уравнение (6) на оси связанной с доской системы координат, получим
Е^1 С У 0 =} а2х0 -а,у0 = Ьь ТМУ^кУо^>а3х0-а^0=Ь2: (11)
2^x1 С< ^ 0 => а3у0 -а2г0 = Ь3. а/ = ^1/ + % / + + О/! 1 е (12; 3);
= 2^1 — 1^1 ^22*2 ~ Т2лУ2 + *0^2 ~ У0^1 + *С®2 — ’
^2 = 3*1 — 1г1 + 1~23х2 ~ ~^2^2 + *0^3 “ ZD^'\ + ХС^З ~ ZcQ'\ >
Ьз = 7"1зУ1 — "^1 2^1 + ^23У2 — Т~22г2 + У 0^3 ~ ^0^2 + УсОз ~ ¿С®2<
где (х0, у0, г0; х.,, у.,, ^; х2, у2, г2 ) - координаты точек крепления ваера, верхней и нижней лапок к доске в связанной системе координат; х0, ус, г0; хс, ус, гс -координаты центра давления и центра тяжести доски; T11,T12,T1з;T21,T22,T2з -проекции натяжений верхнего Г, и нижнего Г2 кабелей на оси связанной системы координат; ^, И2 ,Я3 О , О2 ,03 - проекции гидродинамической силы Ё и веса доски в воде О на оси связанной с доской системы координат.
Условие совместности моментных уравнений равновесия доски
Моментные уравнения равновесия доски (14) являются системой линейных алгебраических уравнений. Эта система только тогда совместна (непротиворечива) и имеет решение, когда выполняются условия теоремы Кронекера-Капелли, т.е. когда ранг расширенной матрицы В равен рангу матрицы А из коэффициентов при неизвестных. Здесь А и В следующие матрицы:
А =
а2,-а{, О Л а3; 0; -а1 0; а3; -а2
В =
(а2\-а^\ 0; ^ 4 а3; 0;-а.,;Ь2 0; а3;-а2;Ь3
Ранг матрицы А равен двум. Действительно, приведенный ниже минор второго порядка этой матрицы отличен от нуля
И = о;
-а.,; 0 0;- а.
а2;—а1 ь а2 0; ь! -а^О; Ь!
а3; 0; ь2 = а3 - аь Ь2 = 0; - а1; Ь2
0; аз; ьз 0; -а2; Ь3 аз~ а2 1 Ь3
Здесь Т01 - проекция натяжения ваера у доски Т0 на продольную ось доски х , которая всегда отлична от нуля.
Ранг матрицы В равен двум, если все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, т.е.
= а,(а^Ь3 + Ь^а3 - а2Ь2) = 0.
Откуда следует условие совместности моментных уравнений равновесия доски
(а^з + Ь^а3 - а2Ь2) = 0, раскрывая которое, получим
(аз^12 — а2^1 з)Х1 + (а17~1 з -а3Ти)у1 + (а2Т, - а1Т12)г1 +
+ (а3Т22 ~э2Т23)х2 + (а^Т23 -а3Т21)у2 +(а2Т21 -а^Т22)22 +
(а3И2 — а2И3) хв + (а^з — а3Н1) ус + (а2И1 — а^И2) 2^ +
+ (а302 -а203)хс +(^03 -азО^Ус +(3^ -а102)гс =0.
(12)
Таким образом, координаты точек крепления верхней и нижней лапок к доске (ху, уу, ^; х2, у2, г2) удовлетворяют уравнению (12). Поэтому нельзя произвольно выбирать положения точек крепления верхней и нижней лапок к доске. Они должны выбираться так, чтобы выполнялось условие (1 2).
Так как ранг матрицы А равен двум, то из трех уравнений системы
(14) только два независимы, а третье является их линейной комбинацией. В системе (11) любые два уравнения независимы. Таким образом, система моментных уравнений (1 1 ) и уравнение совместности
(15) дают три уравнения для определения девяти координат точек крепления ваера и лапок к доске.
Обычно точки крепления верхней и нижней лапок к доске располагаются на прямой, параллельной оси ^ , поэтому выполняются
условия: х1 = х2, у1 = у2.
Условия устойчивости равновесия доски
Равновесие траловой доски будет устойчивым, если выполняются следующие условия (Габрюк, 2000):
• /3 = 0 - вектор скорости потока параллелен стрингерам доски;
• а<акр - угол атаки доски меньше критического;
• дМЛ/дХ = М*<0, дМъ/да = М%<0 - производные от главных
моментов всех сил, действующих на доску, отрицательны:
М? = (Ус - У о) ОзЯ - (2С - ?-0) 02л + (у1 - у о) %\ - (^ - г0) +
+ {у 2 - У о) Т2\ - (г2 - г0) Т2\ < 0;
М3“=(х0-х0)«2“-(у0-у0)«1“ +
+ (хс -х0)О2 -(ус -у0)О“ + (*1 -х0)Т1а2-(у1 -у0)?її +
(13)
+ (х2 - х0)Т2а2 -(у2 -Уо)Т21 + ха0И2 -у%И, < 0.
Для определения входящих в (11), (12) и (13) проекций сил, действующих на доску на оси связанной системы координат, воспользуемся соотношениями:
(і 'і (і ' 'V /' ■ \ '1
О = О к = {0 !,О 2,03) /і : R = (RXV^RYV^RZV) ь — (Йі, Я2, Я3) /і А
Т, =-Тіті = (совуісоэО,; вігі V,-;-сое і',- віпв,)
= (Т„,ТІ2,ТІЗ)
\
'1
/і
кл
'><;2
Подставляя в (14) матричные уравнения (1-3) и выполняя перемножение матриц, получим выражение проекций сил для двух случаев, приведенных ниже.
Траление осуществляется параллельно течению (Vs // Vst):
Q = QsinasinA;Q2 =Qcos«sinl;Q3 =Qcosl;
R, = Sf-jCxvlcosa+ CyVsina);R2 =S(|c°v|sina + CyVcosa);R3 = S-CZV;
Tn = 7} (-cosv,- cos0¡ cosa -sinv, sinacos/l + cosv, sin6», sinasinA),
% = sin(6>2 - 0) / cos 0 cosv, sin(6>2 -0 );
?i2 = 7} (cosv,- cos <9, sina - sinv, cosacos/l + cosv, siné', cosasinl),
T2 = sinf#, — 0)1 cosacos v2 sin($2 - 6 );
Ti3 = 7) (sinv,-sin Я + cosv, sin#,-cos Я), /е С 2^
Траление осуществляется под углом к течению:
Q1 = Q(sinasinA - cosa., sin Д cosA); Q2 = Q(cosa., sin A + sina! sin ¡3y cosA);
Q3 = Qcos/2, cosA;
R, = S{CXV cosa + CYV sina); R2 = S{-Cxv sina + CYV cosa); R3 = SCZV;
T„=T,
~ -cosvi cos0, cosa! eos Д - sin v, (¡na., cosA + cosa., sin Д sin A j-+ eos v¡ sin в¡ (in ay sin Я - cosa! sin eos
Ti2=Ti
cosv, cos0, sina! eos/?! -sinv, (osa., cosA-sina-, sin /?! sin A j-+ cosv, sin 6¡ (osa., sin A + sin ал sin Д, eos A^ ’
fi3 = fj (cosv, cos0, sin Д +sin v, eos/?! sin A + cosv, sin0, eos/?! cosAj^ i = (;2^
Проекции полной гидродинамической силы доски И на оси земной системы координат ( х у г ) легко получить, используя соотношения:
V <1 /
R ~ (RXV 1 RYV 1 rzv ) Jv — (R1|R2|R3) J1 II R X YR -< R z j
kv ki k
V / V /
(J \
<1 /
CR = (CXV i CYV i CZV Jv = (С1,С2|Сз) J1 - (CX |CY |CZ ) j
kv / k V / k V /
Подставляя в (15) и (16) соотношения (1-3), получим значения проекций гидродинамической силы для двух вариантов.
Траление осуществляется параллельно течению (\/3 //\/31):
Rx = (Rxv cosa + RYV sina)cosa + (Rxv sin a - RYV cosa)sina; Ry =(Rwcosa' + RyVsina')sinacos/l-~{RXV sina-Ryvcosa)cosacosi ;
Rz = Rzv cosa.
Траление осуществляется под углом к течению:
Rx = Rf cos ал cos рл -R2s\r\ ал cos рл + R3 sin [Sb
Ry = Resina., cos/t + cosa., sin/?! sin/t) +
+ Rjfcos«! eos Я - sin ал sin Д, sin Л) - R3 eos Д, sin Á;
Rz = Resina., sin Я - cosa., sin pA eos A) +
+ R2(cosa1 sin Я + sin a! sin/?! со sA) + R3 eos/?., cosA. Коэффициент распорной силы доски
Траление осуществляется параллельно течению (VS // VSt):
Су = CyV cos Я - CzV sin Я .
Траление осуществляется под углом к течению:
Су = (XV cosa + CyV sin a Jíina., cos Я + cosa., sin /?, sin Я j-
+ ( CxV sin a + CyV cosajfosa., eos Я + sin ay sin Д sin я'У CzV eos Д sin Я.
Производные от проекций сил по углам a и А
Траление осуществляется параллельно течению (VS // VSt):
Q“ = Q cos a sin Я; Qf = -Q sin a cos a; Qj = Q cos a cos Я; Q3 = -Q sin Я; R“ = S(|Cxl/|sina - |cxl/|cosa + CYV cos a + CYV sina);
R% = S(|Cxl/|cosa - |c£y|sina - CYV sina + CYV cos a);
7}“ = f)(cosK, cos#, sina - sin к, cosa cos Я + cosí/, sin#, sin a sin Я);
T¡2 = T¡ (eos v¡ eos#, cosa + sin к, si na eos Я - cosí/, sin#, этаэтЯ);
Tjí, = 7)-(sinv,- соэаэтЯ + cosí/, sin#, соэЯ);
7)3 = f¡(s\nv¡ соэЯ - cosf, sin#, sinЯ); i e C;2^
Траление осуществляется под углом к течению:
Q“ = Qf-sinAcosa! + sinД cos/Lsin«!);
R“ = S(CxV cosa-Cxv sina + C^ sina + CYV cosa);
R% = S(-Cxv sina -Cw cosa + C^, cosa-CYV sina);
= 7)-[cos v,- cos©, cos Д sina! - sin v¡ (cos Я cosa! - sin Д sin Я sina!) + + cos к, sin©, (sin Я cos a! + sin Д cos Я sin a!)];
Q2 = Q cos Я cos «! cos2 Д [- tga-\tg(a - a-, )У]
Оз = QcosД Jin ß4g(« - ал) - sin Я_;
Ту2 = 7^{—cosv-, cosö, sinД cos/?![cosa! - sinaytg{a-ay )] +
+ (sin v-, sin Я + eos f, sin 0, соэЯЯсоэа! cos2 Д - cos2 Д sin aytg (a -ay)]}
T¡l=f¡ cos V ¡ cos {cos в¡ cos Д tg (а - ал) + tg v, si n Д si n Mg (а — ал) +
+ ?ду/созЯ + зіп0/[зіпД?(а-а1)созЯ-зіпЯ]}; /=
В работе получены основные уравнения связи между характеристиками траловых досок, вытекающие из геометрических условий, условий равновесия и устойчивости равновесия, когда траление осуществляется под углом к течению. Эти уравнения позволяют определять площадь траловой доски в плане, ее массу, координаты точек крепления к доске ваера и лапок, а также обеспечивать устойчивое движение траловых досок, а значит и всей траловой системы.
Описанная выше математическая модель может быть использована для оптимальной промысловой настройки траловых систем с учетом течений.
Библиографический список
1. Габрюк В.И., Габрюк А.В., Осипов Е.В., Чернецов В.В. Механика траловой рыболовной системы. Владивосток: ТИНРО-Центр, 2005. C. 28.
2. Габрюк В.И. Компьютерные технологии в промышленном рыболовстве. М.: Колос, 1995. С. 224.
3. Габрюк В.И., Кулагин В.Д. Механика орудий рыболовства и АРМ промысловика. М.: Колос, 2000. С. 218.
