CC BY
37
303(3)
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000
УДК 539.12
В.Г.БАГРОВ', В.В.БЕЛОВ", А.Ю.ТРИФОНОВ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИ СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
В работе проведен краткий обзор основных результатов, полученных в рамках подхода Эренфеста в квазиклассическом приближении.
Традиционное квазиклассическое приближение в квантовой механике показывает, в каком смысле уравнение Гамильтона - Якоби является пределом при Й -> 0 соответствующего квантово-механического уравнения Шредингера
(-Шд( + Н(0)4/ = 0, ¥ е 1г{Я"), (1)
где самосопряженный в Ь2{ Я") оператор Гамильтона Н{1) есть функция некоммутирующих канонических переменных хк, р„, к, 5=1,2,...,«, с заданным порядком действия операторов
Хк,Рх = —¿Нд/дхх:
Щ) = Н(р,х,0, р = (ри...,р„,...,р„), х = (хи...,х5,...,х„). (2)
Здесь и далее используется стандартное обозначение Ь2( Я") - Я" ,сГх), где Ь2( Я" ,<Л\х) - гильбертово пространство со скалярным произведением
<ф1|ф2>= |ф1фгФ,
а ¿2-норма есть ||(р|| = (ф|ф).
В свою очередь, интегрирование уравнения Гамильтона - Якоби эквивалентно интегрированию характеристической системы Гамильтона в фазовом пространстве Я2" = {г = (р^с), р е Я"р,
х е Я"} классической механической системы
2 = 3 = , I =11 §/||вхл > (3)
V7 и /2их2и
где Я = Н(р^с,0 - вещественная гладкая функция на Я2" х я!,
— символ Кронекера, а
При построении квазиклассических асимптотик центральную роль играют специальные п-параметрические семейства решений системы (3): г = г(/,а), а е иаа Я£, порождающие в фазовом пространстве «-мерные лагранжевы поверхности (многообразия) [1,2]:
Л? = {г, г = *(/,<*), ае иа^Я2"},
на которых форма рсЬс замкнута.
Квазиклассические методы [1, 3-12], основанные на процедуре квантования ЭБК-ВКБ-Мас-лова, сопоставляют такому семейству траекторий = (/>(/,а), х(/,а)) квазиклассические волновые функции как в случае задачи Коши, так и в случае спектральной задачи (при дополнительном
условии инвариантности поверхности Л" с Я2" относительно сдвигов по траекториям гамильто-новой системы (3): Л"= Л®, / е Я). Напомним, что лагранжево многообразие Ло называется инвариантным, когда Ло = g, А0, где gí - оператор сдвига по траекториям гамильтоновой системы. Для задачи Коши
тш = я(о т, я(0 = Щр, х, о, р = -тч, (4)
* Институт сильноточной электроники СО РАН " Московский институт электроники и математики
Т|,=0 = cp0(x)e's°w/*, So, Фо е C°(R"), (5)
где фо имеет компактный носитель, фронт осцилляций ВКБ-решения, имеющего почти всюду (вне окрестности фокальных точек) анзац вида [1, 3]
= £ф0(л:)еВД/Уяц', Ц/ = const е Z, (6)
J
полностью определяется областью «света» - проекцией nxAnt = D"(t) поверхности А" на конфигурационное пространство
limsupp 4(x,t,h) = D?(t).
Именно в этом смысле ВКБ-решения (6) при Й —> О сосредоточены (локализованы) в момент времени t в окрестности ограниченного множества D" (t) с: R" , заполненного семейством «лучей»: х — x(t,cc), а е Ua.
Мы начинали наше исследование со следующей проблемы: существуют ли динамические состояния квантовых систем, сосредоточенные в пределе при й -»■ 0 в момент времени t в окрестности точки D® (t) = {х, х = x(t,z0)} произвольного, но фиксированного луча х = x(t,zo), 0 < t < Т, где (p(t,z0), x(t,z0)) = z(t,z0) - гамильтонова траектория системы (3), фиксированная начальным условием z0 = (ро, х0) £ R2".
Очевидно, что полное решение этой проблемы должно включать ответы на следующие вопросы:
1. В каком смысле квантовые динамические состояния сосредоточены при Й —> 0 в окрестности точки л: = x(t^о)?
2. Каков «правильный» анзац таких состояний и каков класс начальных данных K = K(z0), z е R2" для задачи Коши (4), (5), приводящий к сосредоточенным при Й -» О состояниям?
3. Каков фактический безразмерный (возможно, изменяющийся со временем) параметр (пропорциональный некоторой степени Й, где Й - постоянная Планка) меры сосредоточенности и на каком интервале времени [0, 7] (Г= T(z0, Й) - время разрушения точности) понятие сосредоточенности квантовых состояний при Й —> О имеет смысл? (Здесь уместно напомнить весьма важную точку зрения, которую впервые четко высказал Ж. Лере [12]: «...квантование Маслова - это процесс некоторых приближенных вычислений, когда Й считается бесконечно малой величиной и в процессе вычислений не сравнивается ее истинное физическое значение с порядком других рассматриваемых величин. Оно - истинное значение h - приписывается после завершения вычислений, предполагающих Й бесконечно малой...» и «этот процесс будет оправдан, когда будут получены численные результаты, которые для наблюдаемых величин согласуются с экспериментом».)
Ответы на первые два вопроса для многомерной нестационарной нерелятивистской квантовой системы, описываемой уравнением Шрёдингера (1), даны в [13, 14].
Пусть zc\(t,z0) = z(tjо) = {p(!,zo), x(t,zQ), 0 < t < Т) - фазовая траектория классической системы Гамильтона (3) с функцией Гамильтона Н = H(pjc,t), где Н - вейлевский символ гамильтониана
Я(0 (2).
Обозначим через Й) волновую функцию в ^-представлении, а через ¥ (x,t,h) - волновую функцию в /»-представлении. Они связаны соотношением
Пр,1,П) = FKx^{p,t,K) =-Ц ^ j"dxe-'^4f(p,t,n), (7)
(271/Й) R"
где FKx^,p - Г1 - преобразование Фурье [3]. Обозначим через центрированный относительно
классической траектории zd{t,z0) момент k-ro порядка (к = 1,2,...) оператора z = (р,х), р = -г'ЙУ в состоянии ¥ = 4?(x,t,h):
А-^СГЛ,*)»^^, (8)
где Д^р» - оператор с вейлевским символом AdJ^(p,x,t) = АраАх^ ; |а| + |Р| = к; а, р - мультиин-17*
дексы а = (аь...,а„) е 2п+, Р = ........... е Лхр = Ах^-Ах*' ; Ара = Др,°" •■• Ар«" ; Дх, = х,-
Ар, = р, - /, 7 = 1,«.
Аналогично определим квантово-механические моменты &-го порядка в состоянии
(9)
где Д(ц р = Да р - оператор с вейлевским символом
А%(р,х,0 = (р-(р)Г(х-(х)?, (р) = (Ч>\р\Ч),2, (х) = (Ч?\х\У)12.
Понятие сосредоточенности при Й 0 состояний квантовой системы (1) подробно обсуждалось для одномерного [15] и многомерного [16] уравнений Шредингера, и нами [16] было дано следующее определение:
Определение 1. Пусть = {(р(/), х(ф, 0 < г < Т) - произвольная фазовая кривая в В2" (вообще говоря, не являющаяся решением классической системы Гамильтона (3)).
Состояние квантовой системы (1) назовем квазиклассически сосредоточенным клас-
са СВД/),Л0 = СЯьЫОЛ К) е если-.
(1) существуют обобщенные пределы
Нт | Ш{х,1,К) |2= Ь(х-х(0),
~ , , ч (10) Пш|^(р,/,й)|2=5 (р-р(О);
й-> о
(и) существуют квантовые моменты
Д^Й), 0 <к<к
Было доказано на физическом уровне строгости [16], что если существует решение уравнения Шредингера (1) класса СБто
1) фазовая траектория есть фазовая траектория соответствующей классической системы (3), т.е. = 2С|(^0), г0 = г(0);
2) при условии максимальной классичности (ЦДх^Ц-ЦД рк ТЦ ~ Й, к = 1,и ) в этих состояниях справедливы следующие асимптотические при (Й —» 0) оценки:
А%((,П) = 0(Пк'2), А= 0(ПШ), к = (11)
причем Дц(р''й), Д(^р(/,Й) определены в (8), (9) соответственно.
Очевидно, что условие (и) есть требование на существование гладких порядка N и быстро убывающих на бесконечности решений уравнения (1), а (10) - условия на анзац таких решений.
Замечание 1. Для квазиклассически сосредоточенных состояний вида =
= ЛГ„ехр{[а(0 + (3(/)х + у(()х2]/П} это утверждение было фактически доказано для одномерного [17-20] и многомерного [18] уравнений Шредингера методом минимизации функционала
С¥\(-тд, + Н{О )|ЧУ) (см. также [21]).
Из (11), в частности, следует, что квазиклассически сосредоточенные состояния (если они существуют) реализуют соответствие квантовой (1) и классической (3) систем в «слабом» смысле: квантовые средние по таким состояниям от операторов координат и импульсов в пределе при Й —» 0 являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения
Ит(г) = *„,(/,*<>), 0</<Г. (12)
я->о
Условие (12) было названо [22, 23] условием траекторной когерентности.
Существенно отметить, что условие (12) имеет предельный (й 0) характер. Уже в случае гамильтониана Шредингера
п2
Н = -^- + У(х), хеЯ", р = -Ж, (13)
2т
выполнение точного равенства
(z) = zd(t¿о), Vfte]0,l[, (14)
при всех значениях параметра й возможно (как следует из теоремы Эренфеста [24]) лишь для квадратичного потенциала (в многомерном случае - для гамильтонианов, «квадратичных по координатам и импульсам»).
Замечание 2. Именно в этой ситуации Шредингер привел пример такого состояния стационарного осциллятора [25], для которого справедливо равенство (14), причем при любом выборе начальной точки z0 фазового пространства классической системы. Впоследствии критерий Шредингера (14) «максимальной классичности» состояний квантовой системы привел к открытию подобных состояний для электромагнитного поля, которые стали называться когерентными [26, 27] (обобщенными когерентными, или сжатыми, состояниями) и для других квадратичных квантовых систем [28-36] (более полная библиография по этому вопросу приведена, например, в [28, 29, 35]).
Замечание 3. Многомерное обобгцение результата Шредингера (для произвольного нестационарного квадратичного по операторам х,р- -iñV гамильтониана) впервые было получено, по-видимому, Н.А. Черниковым [34].
Замечание 4. Для неквадратичных систем специального вида в серии работ Нието с соавторами [37—41 ] были построены когерентные состояния как точные решения уравнения Шредингера.
Предельный характер условий (10) и асимптотический - условий (11) дает естественную возможность использовать при построении квазиклассически сосредоточенных состояний не точные, а приближенные при Й —> 0 решения исходного уравнения (1) при условии, что известна оценка их точности по параметру Й, Й —> 0.
Пусть Та8 - асимптотическое (mod ñM, М> 1 + 5, 5 > 0) при Й -> 0 решение уравнения (1) на интервале [0, 7], т.е.
4V\x,t,ñ) = gm(x,t,h), (15)
М> 1+5, 5 > 0, / = 2М-3,
где
max\\gtM\x,t,h)\\L2 = 0(ñM), Й —» 0.
0<1йТ
Тогда стандартными рассуждениями доказывается существование такого точного решения Т уравнения (1) при t е [0, 7], что
4> = v«\x,t,h)+g{M\x,t,h), (16)
где
max || g\M\x,t,K)\\L, = 0{hM-x), Й-+0.
0SIS7'
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение 2. Будем называть квазиклассически сосредоточенными с точностью до 0(fi ~ '), Й —> 0, (mod Ti ) на фазовой траектории z(t,z0) состояниями квантовой системы с гамильтонианом H(t) (4) асимптотические (mod Йм, Й —» 0) решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям Определения 1 для моментов порядка k е N, k < N. Множество таких состояний обозначим CSfM)(z(t),N).
Замечание 5. Как следует из (18), если для произвольного 1 <М< оо уравнение (4) имеет решения из класса CSj?M\z(t),N), то оно имеет (точные) решения и из класса CSs(z(t),N).
В работе [14] мы построили квазиклассически сосредоточенные с любой степенью точности по Й -> 0 состояния Та(5м) класса CS¡¡M+3)(z(/),°°), М- 0,оо, для многомерной нестационарной
квантовой системы с гамильтонианом H(í), вейлевский символ которого удовлетворяет предположению 1. Затем в качестве нетривиального приложения мы дали строгое обоснование следующему утверждению: в классе квазиклассически сосредоточенных состояний уравнение типа Шре-
-m~+H(t) ot
дингера ( 1 ) эквивалентно (с любой степенью точности по Й, Й -> 0) (в смысле вычисления квантовых средних для произвольных наблюдаемых с символом, удовлетворяющим предположению 1) системе обыкновенных дифференциальных уравнений, названной системой Гамильтона-Эренфе-ста (М-системой).
Эта система определяет (в каждом порядке по й, Й -> 0) «фазовую траекторию» квантовой частицы
z(t, л) = {ч> | z | ч>), g сад/, z0), N+3),
в пространстве средних с учетом влияния всех квантовых флуктуаций р, 1 < к < N + 3.
В частном случае квадратичного символа оператора H(t) квантовые флуктуации не влияют
на фазовую траекторию частицы, и система уравнений для первых моментов z(t,K) становится замкнутой и совпадающей с соответствующей классической системой. Этот факт хорошо известен со времен первых работ по квантовой механике [24, 25].
Замечание 6 .Для одномерного [18-20] и многомерного [18] случаев система уравнений, эквивалентная с точностью до 0(h ) системе уравнений Гамильтона - Эренфеста, была получена (без оценки точности) путем минимизации функционала
(4>\(-ihdl+H(t))\4>)
по состоянию
а новыми динамическими переменными фактически являются реальная и мнимая части Q(t). В серии работ [42-46] были рассмотрены простейшие свойства и приложения этой системы уравнений.
В качестве приложения квазиклассически сосредоточенных состояний были построены в явном виде квазиэнергетические спектральные серии [47] для периодически зависящих от
времени гамильтонианов. Такие серии в пределе Й —> 0 отвечают движению классической системы по замкнутой устойчивой фазовой траектории. Для этих квазиэнергетических состояний вычислена в квазиклассическом приближении (с точностью до
0(Пт)) геометрическая фаза Ааронова-Ананда yEv [48] (см. также обзор [49]). Здесь важно подчеркнуть, что указанная точность приближения для фазы yEv диктует необходимость использовать состояния , удовлетворяющие
исходному уравнению (1) с точностью не ниже 0(Й5/2). (Напомним, что подобная ситуация имеет место в теории спонтанного излучения [51, 52].) Далее был рассмотрен случай, когда гамильтониан квантовой системы зависит от времени t через набор медленно меняющихся Г-периодических функций R(t) = {Rj(t)}, j ~\,N . Получено асимптотическое разложение величины Yev п0 параметру адиабатичности Т~\ Показано, что в нулевом приближении фаза Ааронова-Ананда yEv совпадает с фазой Берри [50].
Для построения базиса {Ч^м)(х,/,Й), v = (vb ..., v„), | v |= l,co} в пространстве квазиклассически сосредоточенных состояний CS(sM+3) (z(t),ca) мы использовали технику квазиклассических асимптотик с комплексными фазами, основанную на так называемой теории комплексного роста Маслова [53, 54].
Состояния 4'lN\x,t,h,z0), которые мы построили в рамках этого подхода, названы квазиклассическими траекторно-когерентными состояниями (ТКС) [22, 23]. Они являются решениями исходного уравнения типа Шредингера (1) с точностью до 0(hM), где М= (N + 3)/2, N = 0,оо, и удовлетворяют условию траекторной когерентности (12). Они имеют вид ВКБ-решений с комплексной фазой
4<>N\x,tAzo) = e^x-,y*4>iN\x,t,h,Zo), Im S (x,t) > 0, (17)
S(x,t) = A(t) +{b(t), (x - xd(t))) + | ((x-xcl(t)),Q(t) (x - xc](t))),
S(t) + p(t) + (x- x(t)) + — Q(t)(x - x(t)f
Im Q(t) = D{t) > 0, A{t) е R, b(t) e R", где множество нулей мнимой части фазы S есть в точности «луч» jc = xQ\{t,za), а амплитуда ср^ представляется асимптотическим рядом по полуцелым степеням Й, Й —> О,
k=О
При этом оказывается, что главный член асимптотики = e's(xJ>!h9 'v°' ( jc , /, Й ) удовлетворяет условию траекторной когерентности (12) точно, т.е. критерию (14) - при любых значениях муль-тииндекса v <= Z+, й е ]0,It-
Вакуумное траекторно-когерентное состояние, отвечающее v = 0, имеет форму гауссова волнового пакета, минимизирующего обобщенное соотношение неопределенностей Шредингера-Ро-бертсона [55] (см. также [56, 57]) в следующем смысле: ранг 2п х 2п матрицы F равен п, где
F = Д2(0 + ifiJH, (18)
Д2(t) - матрицы дисперсий в состоянии (jc, i, Й, го )|v_0»
Л2(°=[lz Z)=ст----=+^ _' (19)
J— единичная симплектическая матрица (3).
Для квадратичных квантовых систем является точным (квазиклассически сосредоточенным) решением уравнения Шредингера (1). В этом случае квазиклассические ТКС дают нестандартную параметризацию множества всех сжатых когерентных состояний (подробнее об этом см. [58]) посредством ансамбля классических фазовых траекторий z{t,zo), где z0 = ipo,xo) е R2", и начальных дисперсий Д2(0) волнового пакета ^0)|(_0 •
Кратко остановимся на истории развития понятия квазиклассической сосредоточенности.
В физической литературе представление о квантово-механических состояниях в форме волновых пакетов, локализованных в окрестности классического движения, возникло сразу же, как только Эренфест сформулировал свой подход [24] к проблеме соответствия результатов нерелятивистской квантовой и классической механик. Прагматическая сторона этого подхода по существу связана с построением волновых пакетов как решений (точных или приближенных по Й —» 0) уравнения Шредингера (13), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (12).
Основная идея конструкции таких решений базируется на квадратичной аппроксимации точного гамильтониана в окрестности фазовой классической траектории и имеет долгую историю. Как отмечал Литлджон в своем обзоре [59], «it has certainly been used in many isolated instances for many years, ..., for example, in the use of «Gaussian beams» (Келлер [60], Дешамп [61])».
Одной из первых строгих работ, реализующих эту идею для одномерного уравнения Шредингера, была работа Хеппа [62]. В рамках операторного формализма в ней была выделена унитарная группа, описывающая в первом приближении по Й -» 0 эволюцию квантовых флуктуаций около фазовой классической траектории zc\(t,zo). На всюду плотном в LiiR) множестве начальных когерентных состояний *Р(0), центрированных относительно произвольной точки z0 = (ро, дсо) фазового пространства, эта группа сильно сходится при Й -> 0 к оператору эволюции квадратичной системы, гамильтониан которой есть чисто квадратичная часть линеаризации точного гамильтониана около Zci(/,Z0).
Как следствие, Хепп вычислил классический предел для квантово-механических функций корреляции и получил, в частности, соотношение (12). Впоследствии Зуччини [63] обобщил эти
результаты с любой степенью точности по степеням л/й , й -» 0, на многомерное уравнение Шредингера во внешнем электромагнитном поле
-тд1+—(р--А(х)\ + еФ(х) V = 0, xeR", 2т V с J
а Мошелла [64] - на случай внешних полей Янга-Миллса. Существенным техническим моментом
этих работ является предложенное в [62] симметричное представление канонических коммутационных соотношений для операторов координат и импульсов в виде
хп=л/й^, (20)
Но, по-видимому, В.М. Бабич и Ю.П. Данилов первыми последовательно использовали идею аппроксимации точного гамильтониана
Й2
Н = -—А + Г(х), хеЯ", (21)
для построения асимптотических по Й —» 0 (в смысле (15)) решений многомерного уравнения Шредингера, локализованных в окрестности классической траектории. В малоизвестной и все еще малодоступной (ссылки на нее отсутствуют в монографии [65]) работе [66] они предложили анзац таких локализованных решений в виде произведения многомерного гауссова пакета и осциллирующей амплитуды фу, V = где фу - многомерный аналог полиномов Эрмита. Технические детали этой работы основываются на локальной замене координат ^ = х-х^) в окрестности «луча» лгс!(/) в предположении, что ||£'||«||дс - *с|(0Н- Очевидно, что переход к координатам = л/й^' эквивалентен переходу к симметричному представлению (20) канонических коммутационных соотношений относительно операторов «малых» отклонений от классической фазовой траектории АхЛ = х - хс]
(О = л/й£, Арп = р - ра (/) = -гл/п&дВ, . Ими же были построены высшие приближения для амплитуды ф0 [66].
В физической литературе аппроксимацию такого же типа использовал Хеллер (но без исследования, как и в [59], вопроса: с какой точностью приближенные волновые пакеты гауссовой формы аппроксимируют точное решение). В замечательной серии работ Хеллера с соавторами [67-77] были рассмотрены различные аспекты динамики гауссовых пакетов и даны приложения к широкому кругу прикладных проблем, включая и классические хаотические системы.
Для многомерного нестационарного уравнения Шредингера с гамильтонианом (21) строгое рассмотрение эволюции гауссова пакета как асимптотики по Й —> 0 с оценкой точности 0(Йш) в норме Ь2(Я") было проведено Хагедорном [78]. Он же получил [79] для одномерного уравнения Шредингера со скалярным потенциалом (13) асимптотические решения задачи Коши с точностью 0(Йш) для достаточно больших / в классе начальных условий, представляющих собой произведение сжатого состояния е'Р°(-х~х«Ут'е^«(-х-х^2/2п 5 1т 0О > 0, сосредоточенного в окрестности точки 2о ~ (роМ) фазового пространства, и амплитуды у./([х - х0]^1хпО^/у[Ь) , где ф./(у) - конечная линейная комбинация стандартных полиномов Эрмита Н„(у), 0 < п < J. В контексте данной работы такие решения суть конечная суперпозиция квазиклассических траекторно-когерентных состояний класса СУ^(*(/),со), N=1.
Впервые квазиклассические траекторно-когерентные состояния (ТКС) для скалярных уравнений квантовой механики - Шредингера, Клейна-Гордона, релятивистского аналога уравнения Шредингера в произвольном электромагнитном поле А\х,{) = (Ф(л:,Г)у4(х,Г)), х е В3 - были построены в работах [22, 23]. Они представляют собой асимптотические решения этих волновых уравнений с точностью до 0(Йш) в норме Ь2(В.3), удовлетворяющие условию траекторной когерентности (12). (В релятивистском случае классическая траектория 2С|(?,г0), г0 е Л6, есть решение соответствующих уравнений Лоренца в гамильтоновой форме.) В частности, для оператора Шредингера квазиклассические ТКС Ч^0)(л:,/,Й,го), V = (V], у2, У3), = 0, оо, удовлетворяют этому
условию точно (см. (14)), образуют ортонормированный базис в Ь2(В?) при фиксированных Й и и имеют вид
(22)
л/У!
Здесь То°' = ^0)(х,I,й,г0) - вакуумное траекторно-когерентное состояние суть сжатое состояние квадратичной квантовой системы, гамильтониан которой есть линеаризация оператора Шредингера (1) в окрестности заданной фазовой траектории 2С|(/,20).
Квазиклассический волновой пакет имеет вид [22, 23]
= N„ ехр{/Г1 [Sd (J, z0 ) + (pcl (t, z0 ), (x - xcl (t, z0 ))} +
Vdet[Ime(i,Zo)], (23)
+ ((X - Xd (t, Zq )), Q(t, Zq )(x - Xcl (t, Zq )))
где Sc\(t, zq) - классическое действие на траектории zjj, z0), Nh - нормировочная постоянная, и 3><3-матрица Q(t, z0) - комплексное решение матричного уравнения Рикатти:
Q + Hxx(t) + QHpx(t) + Hxp(t)Q + QHpp(t)Q = О,
6(0) = diag (bu b2, Ьз), Im bj > 0, y =1,2,3. Здесь Hxx(t), Hpx(t), Hxp(t), Hpp(t) обозначают матрицы, составленные из соответствующих производных, вычисленных в точке z(t, z0) классической траектории, а именно: Hxx(t) = Hxx(p(t, z0), x(t,z0), t).
В формуле (21) операторы â+ (/, z0 ) = (â]+, â\, à\ ) и эрмитово сопряженные к ним операторы â(t,z0) = (â\,â2,âT,) - обобщенные операторы рождения и уничтожения (со стандартными коммутационными соотношениями) суть приближенные с точностью до Ô(h3/2) динамические симметрии уравнения Шредингера [22].
Вакуумное ТК-состояние минимизирует в момент t = 0 соотношения неопределенностей Шредингера [56]:
axjxjapjpj -а2рл >й2/4, j= 1,2,3, (24)
и при / > 0 удовлетворяет условию (i) определения квазиклассически сосредоточенных состояний.
Коммутируя в (22) операторы â+(t, z0) с Т^0', квазиклассические траекторно-когерентные состояния (класса CS'sN> (z(i),m), N = 3) можно представить в виде
4>?\x,t,z0,h) = 4>™ [Л+(^)]М. (25)
Vv!
Здесь [A+(/,z0)]v -1 - обобщенные трехмерные полиномы Эрмита [83, 84], образующие ортонор-мированный набор (при каждом фиксированном значении h, z0, t) в гильбертовом пространстве L2(R3, ф), где нормированная мера d\x = |%(0)|2Л.
В случае многомерного уравнения Шредингера (со стационарным скалярным потенциалом (21)) Хагедорн использовал [80] несколько иной (не фоковский) базис в L2(R3, ф.) многомерных полиномов Эрмита для построения асимптотических решений (с невязкой, норма которой L2( R")
имеет порядок HN/2, N> 3), сосредоточенных при h -> 0 (см. Определение 1) в окрестности произвольного решения zd(t, z0) соответствующего уравнения Ньютона. Обоснование асимптотики здесь, как и ранее [63, 81, 82], проводится на основе формулы Троттера для произведения [85], поэтому стационарность потенциала существенна.
Для строго гиперболических систем Ральстон [86] построил локализованные асимптотические
решения без использования ортогонального в ¿2( R") базиса. Аналогичные решения, локализованные около фазовой траектории, исследовались B.C. Булдыревым и В.Е. Номофиловым [87] для эллиптических систем.
Траекторно-когерентные состояния высших порядков (модуль невязки которых по норме L2( R") имеет порядок hm, N> 3) для операторов Шредингера, Клейна-Гордона и для уравнений волнового типа соответственно в случае переменных по t коэффициентов, зависящих от одной пространственной координаты, были построены В.В.Беловым и А.Г.Караваевым [88-90].
Отметим, что из явного вида траекторно-когерентных состояний Ч^0-1 [22, 23] следует его представление в виде
e'<io-Po^4(04^i^,zo) = e^^f(z(i,z0))M(5(0)|v)A, (26)
где T(z) - гейзенберговский оператор сдвига на вектор z = (р, х) в фазовом пространстве классической системы,
у(0 = Sd (z(t, z0 )) + ^ (х0, ро) - ^ (x(t, Zq ), p(t, z0)), M(S(t)) - метаплектический оператор
T(z(t))M(S(t))bkM+ (S(t))T+ (z(t)) = ak(t,z0), (27)
bk |0)fc=0, k = u.
Состояние |0)л есть гауссов волновой пакет формы
|0)й =NHex р
-Я
2Й
bj е С, Im bj >0, j = l,n.
В известном обзоре [59] Литлджон предложил представление аналогичного вида в качестве квазиклассического пропагатора волновых пакетов (a near orbit approximation) для волновых пакетов |0), не являющихся гауссовыми (фактически для CS^(z(t),oo)), и установил связь квазиклассической динамики волновых пакетов с теорией метаплектических групп и преобразований.
Метод построения квазиклассически сосредоточенных состояний класса CS(sN+3) (z(t),crj) с аналитической точки зрения основывается, как уже было отмечено, на аппроксимации точного гамильтониана (1) рядом Тейлора по степеням операторов Ах/ = хj -xjci(t,z0), Арj = pj -pjd(t,z0),
Pi = -ihd/dxj, j ~\,n, для которых справедливы асимптотические оценки (15). С той же точки
зрения эти операторы описывают «малые» при Й -> 0 отклонения операторов координат и импульсов от классической фазовой траектории на функциях ВКБ-типа с комплексной квадратичной фазой, в частности на квазиклассическихтраекторно-когерентных состояниях Т'0'(х,t,fi,z0) (21). Эти же оценки справедливы и для линейных комбинаций таких состояний
v=0
при условии, что коэффициенты cv убывают при |v| оо быстрее любой степени v, в частности, для любого состояния
где *F(ti, t) - функция из класса Шварца S{R") по переменной г). Недавно Ариа [91] исследовал свойства квазиклассических асимптотик такого типа для одномерного уравнения Шредингера.
Поэтому главная техническая проблема обоснования локализованных асимптотик
(mod 0(hM),
см. формулу (16)) заключается в оценке остаточного члена Rm операторного ряда Тейлора на
функциях такого класса. Мы наложили на вейлевский символ оператора H(t) такие условия (см.
[85]), при которых остаточный член заведомо имеет требуемую точность по Й 0 в норме L2(R"). Но детали полного доказательства этого факта мы опускаем (ограничившись физическим уровнем точности) из следующих соображений.
Для символа Н = рг12 + V(x), х е R", техника получения таких оценок хорошо известна и приведена, например, в [62] для п = 1 и в работах Робинсона [81, 82] (см. также [63]) для многомерного случая. Для рассматриваемых нами символов общего вида аналогичные оценки могут быть получены из общей теории псевдодифференциальных операторов, например на основе операторных методов [53].
Отметим, что построение полного ортонормированного набора состояний Ч^' е CS^+3)(z(t),oo) эквивалентно построению с точностью до
) асимптотики функции Грина уравнения (1) в классе начальных данных, являющихся также квазиклассически сосредоточенными в окрестности начальной точки z0 = (ро,х0) е R2". Соответствующее асимптотическое разложение приведено нами в [13].
Близкий подход к построению функции Грина в классе состояний, квазиклассически сосредоточенных в окрестности классической траектории х = Дт,хо,ДС|), s < т < t, являющейся решением краевой задачи = , = х0, = * = и не имеющей фокальных точек, развит Осборном с соавторами [92-95]. В частности, ими рассмотрен вопрос о сходимости асимптотического разложения функции Грина для некоторых классов возмущений [94].
Заметим, что можно использовать другие базисы асимптотических решений в пространстве квазиклассически сосредоточенных состояний CS^N+3\z(t),x>). Например, функции
^N\x,t,z0,K)=YJ^iN\x,t,Zo,n) (28)
М=о v!
образуют переполненную по параметру а систему. Такие состояния для N = 0 были исследованы В.В. Додоновым, В.И. Манько и Д.Л. Осиповым [58].
Комбескье [96], используя технику сжатых состояний, построила квазиклассически сосредоточенные состояния, локализованные в окрестности фазовой классической траектории, для одномерного уравнения Шредингера с зависящим от времени потенциалом и в окрестности точки покоя - для многомерного уравнения Шредингера.
В заключение отметим, что метод построения квазиклассических состояний для уравнения типа Шредингера (1) может быть перенесен на случай релятивистских волновых уравнений, в том числе и в кривом пространстве-времени. Соответствующие квантово-механические состояния для операторов Клейна-Гордона, Дирака, Дирака-Паули были построены в цикле работ [23, 102-115], а также для некоторых классов нелинейных уравнений [116, 117].
Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований № 00-02-17696 и Минобразования РФ №.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Маслов В.П. Теория возмущения и асимптотические методы. - M.: Изд-во МГУ, 1965. - 549 с.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989. - 472 с.
3. Маслов В.П., Федор ю к M . В . Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976.-296 с.
4. Keller J . В . // Ann. Phys (N.Y.). - 1958. - V. 4.-№ 2. - P. 180-188.
5. Маслов В.П. Метод ВКБ в многомерном случае // Д ж . Хёдинг. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). - М.: Мир, 1965. - С. 177-237.
6. Мищенко A.A., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. - М.: Наука, 1978. - 351 с.
7. Буслаев B.C. Квантование и метод ВКБ // Тр. МИАН. - 1970. - Т. 110. - С. 5-28.
8. Berry M.V., Mount К . E .//Rep. Prog. Phys. - 1972.-V. 35. - P. 315-397.
9. Voros A.//Ann. Inst. Henri Poincaré. - 1976,- V. 24A. - P. 31-90.
10. Кравцов Ю.А.// Акустический журнал. - 1968. - T. 14. - Вып. 1. - С. 1-24.
11. Thomson С.J.,Chapman С . H .//Geophys. J. R. astr.Soc. - 1985. - V. 83. - P. 143-168.
12. Л e p e Ж . Лагранжев анализ и квантовая механика. - М.: Мир, 1981. - 264 с.
13. Bagrov V . G ., В e 1 о v V . V Tr i fo п о v А . Y u .//Annals of Phys. - 1996. - V. 246.-№ 2. - P. 231-290.
14. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А . Ю . // Лекционные заметки по теоретической и математической физике.-Т. 1,ч. ¡.-Казань, 1996.-С. 15-136.
15. Багров В.Г., Белов В.В., Рогова А . M .//Теор. матем. физика. - 1992.-Т. 90.-№ 1. - С. 84-94.
16. Bagrov V . G ., В e 1 о v V.V.,Rogova А . M ., T г i fo п о v А . Y u .//Modern Phys. Lett. В. - 1993. - V. 7. -№26.-P. 1667-1675.
17. Рогова A.M.//Изв. вузов. Физика. - 1991.-Т. 34,-№7.-С. 77-80.
18. Намиот В.А., Финкельштейн В . Ю . // ЖЭТФ. - 1979. - Т. 77. -№ 3. - С. 884-898.
19. Tsue Y., Fujiwara Y., Kuriyama A., Yamamura M .//Progress of Theor. Phys. - 1991. - V. 85.-№ 4. -P. 593-616.
20. Tsue Y., Fujiwara Y .//Progress of Theor. Phys. - 1991.-V. 86.-№ 2. - P. 443-466.
21. Kay К.G.//Phys. Rev. A.-1990.-V. 42.-№7.-P. 3718-3725.
22. Багров В.Г., Белов В.В., Тернов И . M .//Теор. мат. физика. - 1982.-Т. 50.-№ 3.-С. 390-396.
23. Bagrov V . G ., В e 1 о v V.V.,Ternov I. M .//J. Math. Phys. - 1983. - V. 24.-№ 12. - Р. 2855-2859.
24. Ehrenfest Р. // Zeits. f. Phys. - 1927. - Bd. 45. - S. 455-457. (Рус. пер. Эренфест П.// Относительность. Кванты. Статистика. - М.: Наука, 1972. - С. 82-84.)
25. Schrödinger Е .//Naturwissenschaften. - 1926. - Bd. 14. - H. 28. - S. 664-668. (Рус. пер. Шредингер Э . // Избр. тр. по квантовой механике. - М.: Наука, 1976. - С. 51-55).
26. Glaub er R . J .//Phys. Rev. - 1963. - V. 130.-№ 6.-P. 2529-2539.
27. Glauber R.J.// Ibid. - V. 131. - № 6. - P. 2766-2788.
28. Додонов В.В., Курмышев Е.В.,Манько В . И .//Тр. ФИАН. - 1986.-Т. 176. - С. 128-150.
29. Малкин М.А., Манько В . И . Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. - М ■ Наука, 1979.-320 с.
30. Рашевский П . К .//Усп. мат. наук. - 1958.-Т. 13. - Вып. 3. - С. 3-110.
31. Klauder J . R . // J. Math. Phys. - 1963. - V. 4.-№. 8.-P. 1055 -1058.
32. Klauder I .R .//Ibid.-P. 1058-1073.
33. Klauder J . R.//Ibid.- 1964.-V. 5.-№2.-P. 177-187.
34. Черников H . A .//ЖЭТФ. - 1967.-Т. 53. - Вып. 3.-С. 1006-1017.
35. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение. - М.: Наука, 1987. - 271 с.
36. Вольф К. Б., Klauder J . R . // Тр. ФИАН. - 1986. - Т. 176. - С. 96-127.
37. Nieto М.,Simmons L .// Phys. Rev. D. - 1979.-V. 20.-№ 6. - P. 1321-1331.
38. Nieto M„ Simmons L .//Ibid. - P. 1332-1341.
39. Nieto M., Simmons L .//Ibid.-P. 1342-1350.
40. Nieto M.//Ibid. - 1980.-V. 20. -№2. -P. 391-402.
41. Nieto M.,Simmons L Gutschick V . P .// Phys. Rev. D. - 1981. - V. 23.-№ 4.-P. 927-933.
42. Tsue Y ., F u j i w a r a Y .//Progress of Theor. Phys. - 1991.-V. 86.-№ 2. - P. 469-489.
43. Fukui Т.,Tsue Y .//Ibid. - 1992.-V. 87.-№ 3.-P. 627-649.
44. Yamamura M.,Kuriyama A.,Tsue Y .11 Ibid. - 1992. - V. 88.-№> 4.-P. 719-729.
45. Tsue Y . // Ibid. - 1992. - V. 88. -№ 5. - P. 911-932.
46. Tsue Y., Kuriyama A.,Yamamura M .4 Ibid. - 1994. - V. 91.-№ 1. - P. 49-67.
47. Trifonov A.Yu., Yevseyevich A . A .//J. Phys. A: Math. Gen. - 1995. - V. 28. - P. 5653-5672.
48. Berry M . V . // Proc. Roy. Soc. London. - 1984. - V. A 392. - № 1802. - P. 45-58.
49. Виницкий С.И., Дербов В.Л., Дубовик В.М.и д р .//УФН. - 1990.-Т. 160.-№ 6.-С. 1-49.
50. Trifonov A.Yu., Yevseyevich А . А .//J. Phys. А: Math. Gen. - 1994. - V. 27.-№ 18. - P. 6267-6286.
51. Bagrov V . G ., В e 1 о v V . V ., T r i f о n о v A . Y u .//J. Phys. A: Math. Gen.- 1993. - V. 26. - № 22. - P. 6431-6449.
52. Belov V.V., Boltovskiy D.V., Trifonov A.Yu.// Int. J. Mod. Phys. B. - 1994. - V. 8. - № 18. - P. 2503-2524.
53. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 544 е.; Maslov V.P. Operational Methods. — Moscow: Mir, 1976. - 503 p.
54. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. - М.: Наука, 1977. - 384 е.; Maslov V.P. The Complex WKB Method for Nonlinear Equations. I. Linear Theory. - Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1994.-304 p.
55. Robertson H . P . // Phys. Rev. - 1934. - V. 46. -№ 9, — P. 794-801.
56. Додонов В.В.,Манько В . И .//Тр. ФИАН. - 1987. - Т. 183. - С. 5-70.
57. Dodonov V.V., Man'ko V.l.// Group Theoretical Methods in Physics. V. 1. - London, Paris, New York: Harwood Acad. Publ., 1985. -P. 591-612.
58. Dodonov V. V.,Man'ko V . I., О s i p о v D . L .//Physica A. - 1990.-V. 168.-P. 1055-1072.
59. Littlejohn R . G .//Phys. Rep. - 1986. - V. 138.-№ 1-2. - P. 193-291.
60. Keller J . В .//J. Opt. Soc. Am. - 1971. - V. 61.-№ 1.-P. 40-43.
61. Deshamps G . A .//Proc. IEEE. - 1972. - V. 60.-№ 9. - P. 1022-1035 (Рус. пер. Д e ш а м п Ж . А. // Тр. ин-та инженеров по электронике и радиоэлектронике. - 1972. - Т. 60. - Вып. 9. - С. 5-20.)
62. Нерр К. //Commun. Math. Phys.- 1973,- V. 35. -P. 265-277.
63. Zucchini R.//Ann. ofPhys. (NY). - 1985.-V. 159.-№2.-P. 199-219.
64. M о s с h e 11 a U . // Ann. Inst. H. PoincarVe. - 1989. - V. 51. - № 4. - P. 351-370.
65. Бабич B.M., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. - М.: Наука, 1972.-465 с.
66. Бабич В.М., Данилов Ю.П.// Математические вопросы теории распространения волн. 2.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Т. 15.-Л., 1969.-С. 47-65.
67. Heller Е . J . // J. Chem. Phys. - 1975. -V. 62. 4. -P. 1544-1555.
68. Heller E . J .4 Ibid. - 1976. - V. 65. -№ 4. - P. 1289-1298.
69. Heller E . J .11 Ibid. - 1977. - V. 66. -№ 12. -P. 5777-5785.
70. Heller E . J .11 Ibid. - 1977. - V. 67.-№ 7. - P. 3339-3351.
71. Heller E.J.// Ibid. - 1981. - V. 75. -№ 6. - P. 2923-2931.
72. Heller E . J .//Phys. Rev. Lett. - 1985. - V. 53. - P. 1515-1518.
73. Heller E . J .//Phys. Rev. A. - 1987.-V. 35.-№ 3. - P. 1360-1370.
74. Davis M. J ., H e 11 e r E . J .11 J. Chem. Phys. - 1979.-V. 71.-№ 8.-P. 3383-3395.
75. Davis M. J.,Heller E . J .11 Ibid. - 1981.-V. 75.-№ 8. - P. 3916-3924.
76. Davis M. J., Heller E . J .//Ibid. - 1984.-V. 80.-№ 10. - P. 5036-5048.
77. Davis M.J., Stechel E.В.,Heller E . J .//Chem. Phys. Lett. - 1980.-V. 76. - P. 21-26.
78. Hagedorn G . A.//Commun. Math. Phys. - 1980. - V. 71. - P. 77-93.
79. Hagedorn G . A .//Ann. Phys. - 1981. - V. 135. - P. 58-70.
80. Hagedorn Q.K. H Ann. Inst. Henri Poincare. - 1985. - V. 45. - № 4. - P. 363-374.
81. Robinson S . L . // J. Math. Phys. - 1988. -V. 29. -№ 2. -P. 412-419.
82. Robinson S . L . // Ann. Inst. H. Poincare. - 1988. - V. 48. - № 4. - P. 281-296.
83. Бейтмен Г., Эрдейи A . Высшие трансцедентные функции. Т. 2. - M.: Наука, 1967. - 301 с.
84. Додонов В.В., Климов A.B., Манько В . И .//Тр. ФИАН. - 1991. - Т. 200. - С. 56-105.
85. Рид М.. Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. - М.: Мир, 1977. - 360 с.
86. Ralston J . V. // МАЛ Studies in mathematics, ed by W. Lillman. V. 23. - Mathematical Association of America, 1982.
87. Buldurev V . S ., N о m о f i 1 о v V . E .//J. Phys. A: Math. Gen. - 1981. - V. 14. - № 7. - P. 1577-1585.
88. Белов В.В., Караваев А . Г .// Изв. вузов. Физика. - 1987.-Т. 30.-№ 10. - С. 14-18.
89. Белов В.В., Караваев А . Г . // Там же. - 1989.-Т. 32.-№ 5. - С. 43-48.
90. Белов В.В., Караваев А . Г .//Там же. - 1988.-Т. 31. - № 7. - С. 54-58.
91. Arai Т.//Ann. Inst. Н. Poincare.- 1993.-V. 59.-№3.-Р. 301-313.
92. Molzahn F.H., Osborn Т.A., Fulling S . А .//Ann. of Phys. (N.Y.) - 1990. - V. 204. - № 1. - Р. 64-112.
93. Molzahn F.H., Osborn Т.A., Fulling S . A .//Ibid. - 1992.-V. 214.-№ 1.-P. 102-141.
94. Molzahn F.H., Osborn T . A . // Ann. of Phys. (NY). - 1994. т- V. 230. -№ 2. - P. 343-394.
95. Corns R.A.//J. Phys. A: Math. Gen. - 1994,- V. 27. -№ 2. -P. 593-607.
96. Combescure M .// J. Math. Phys. - 1992. - V. 33.-№ 11. - P. 3870-3880.
97. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А. Ю .-Томск, 1989.-42 с. / Препринт ТНЦ СО АН СССР № 5.
98. Bagrov V.G., Belov" V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A. A .11 Class. Quantum Grav. -1991.-V. 8. - P. 515-527.
99. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A . A .//Ibid. - P. 1349-1359.
100. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A . Y u . / e-print quant-ph 9806017, 23 p.
101. Bagrov V.G., Belov V . V ., К о n d r a t у e v a M.F., Rogova A.M., Trifonov A.Yu. //J. Moscow Phys. Soc. - 1993.-V. 3.-P. 1-12.
102. Белов В.В., Маслов В . П .//ДАН СССР. - 1989. - Т. 305. - № 3. - С. 574-577.
103. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A . A .//Class. Quantum Grav. - P. 1833-1846.
104. Bagrov V.G., Trifonov A.Yu., Yevseyevich A . A .//Ibid. - 1992. - V. 9. - P. 533-543.
105. Белов В.В., Маслов В . П .//ДАН СССР. - 1990.-Т. 311. - Вып. 4. - С. 849-854.
106. Белов В.В., Кондратьева М . Ф . //Теор. матем. физика. - 1992. -Т. 92. -№ 1. -С. 41-60.
107. Белов В. В.-Томск, 1989.-33 с./Препринт ТНЦ СО АН СССР №56.
108. Багров В.Г., Белов В.В., Кондратьева М . Ф .//Теор. матем. физика. - 1994. - Т. 98.-№ 1. - С. 48-55.
109. Белов В. В.-Томск, 1989.-46 с./Препринт ТНЦ СО АН СССР №58.
110. Bagrov V.G., Belov V.V., Kondratyeva M.F., Rogova A.M., Trifonov A.Yu.// Particle Physics, Gauge Fields and Astrophysics: Proc. 5th and 6th Lomonosov Conf. on Elementary Particle Physics. -Yaroslavl, April 1992; Moscow, August 1993. - Rome: AccademiaNazilonale dei Lincei, 1994.-P. 132-142.
111. Багров В.Г., Белов В.В., Трифонов А.Ю.// Междунар. конф. «Геометризация физики - истоки, развитие и современные направления»: Тр. конф. - Казань, 1-5 ноября 1993 г. - Казань: Ремарк, 1994. - С. 66-77.
112. Bagrov V.G., Belov V.V., Trifonov A.Yu.// Quantum Systems: New Trends and Methods: Proc. Inter. Workshop. - Minsk, 23-29 May 1994. - Singapore: World Scientific, 1994.
113. Белов В.В., Кондратьева М . Ф .//Мат. заметки. - 1994. -Т. 56. - Вып. 6. - С. 27-39.
114. Белов В.В., Кондратьева М . Ф .//Мат. заметки. - 1995.-Т. 58. - Вып. 8. - С. 233-245.
115. Белов В.В., Болтовский Д.В., Караваев А . Г .//Изв. вузов. Физика. - 1990. - Т. 33. - № 6. - С. 114-117.
116. Shapovalov A.V., Trifonov А . Y u .//J. of Nonlinear Mathematical Physics. - 1999.-№ 2. - Р.127-138.
117. Жданеев О.В., Сережников Г.Н., Трифонов А.Ю., Шаповалов А . В .//Изв. вузов. Физика. - 1999.-Т. 41. - № 7. - С. 15-23.
