Научная статья на тему 'Квазиклассические симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором'

Квазиклассические симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
149
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
нелинейные уравнения / операторы симметрии / квазиклассическое приближение

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лисок Александр Леонидович, Трифонов Андрей Юрьевич, Шаповалов Александр Васильевич

Исследуются свойства симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором. Проведена редукция исходной нелинейной задачи к линейной. В явном виде построены семейства операторов симметрии исходного нелинейного интегро-дифференциального уравнения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Лисок Александр Леонидович, Трифонов Андрей Юрьевич, Шаповалов Александр Васильевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Properties of symmetry of Hartree type equation with quadratic operator are investigated. Reduction of initial nonlinear problem to the linear one was carried out. Families of operators of symmetry of initial nonlinear integro-differential equation were constructed in explicit form.

Текст научной работы на тему «Квазиклассические симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором»

УДК 530.1:517.957

КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЯ ТИПА ХАРТРИ С КВАДРАТИЧНЫМ ОПЕРАТОРОМ

А.Л. Лисок, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов*

Томский политехнический университет *Томский государственный университет E-mail: lisok@mph.phtd.tpu.edu.ru

Исследуются свойства симметрии уравнения типа Хартри с квадратичным оператором. Проведена редукция исходной нелинейной задачи к линейной. В явном виде построены семейства операторов симметрии исходного нелинейного интегро-дифферен-циального уравнения.

Ключевые слова:

Нелинейные уравнения, операторы симметрии, квазиклассическое приближение.

Введение

Теория группового анализа дифференциальных уравнений дает эффективный универсальный инструмент построения точных аналитических решений дифференциальных уравнений, имеющих важные физические приложения [1]. Идеи и методы группового анализа можно распространить на более широкие классы многомерных уравнений математической физики, в том числе на некоторые классы интегродифференциальных уравнений. Эту задачу удается решить, в частности, с помощью формализма квазиклассических асимптотик, основанного на методе ВКБ-Маслова (см., например, [2]), теории комплексного ростка [3, 4] и их модификаций в различных задачах линейной и нелинейной математической физики [5-10]. Симметрия нелокальных уравнений исследовалась многими авторами, отметим, в частности, работы [8, 11-13]. В работе [13] на основе метода квазиклассических асимптотик построены операторы симметрии и оператор эволюции для многомерного уравнения Фоккера-План-ка-Колмогорова с квадратичным потенциалом и квадратичной нелокальной нелинейностью.

Основной целью данной работы является построение операторов симметрии для многомерного уравнения типа Хартри с оператором, квадратичным по независимым переменным и производным. Операторы симметрии, согласно определению, оставляют инвариантным множество решений уравнения и позволяют по известным решениям построить новые решения нелинейного уравнения.

Уравнение типа Хартри представляет собой нелокальное обобщение нелинейного уравнения Шредингера [14] и имеет важные приложения, например, в теории бозе-эйнштейновских конденсатов [15, 16] при учете нелокальных взаимодействий, в моделях квантовой теории многочастичных систем, в нелинейной оптике, в биофизике при описании коллективных возбуждений в молекулярных цепочках и в других приложениях.

Метод построения операторов симметрии, примененный в данной работе, опирается на результаты работ [5, 6, 13]. Отметим, что хотя квазикласси-ческий подход является приближенным по своей

природе, в некоторых частных случаях он позволяет получить точные решения исходной задачи. Подобная ситуация имеет место для уравнения типа Хартри с квадратичным оператором по независимым переменным и их производным, рассмотренная в [8, 9], где на основе квазиклассического подхода построено точное решение задачи Коши.

1. Уравнение типа Хартри с квадратичным оператором

Запишем уравнение типа Хартри в виде {-1ЛЗ {+ Н Ц)У¥ (х, 0 =

= {-те {+ н (0+кУ'у,х¥ (0)}^ (х г) = о, (1)

Т(х, Г) е ),

где У(Г,Т(Г)) = ^ йу Т*(у, Г)¥(2, У, Г)Т(у,Г),

к - пареметр нелинейности.

Здесь линейные операторы Н(0=Н(£,/) и Г^й,/) являются псевдодифференциальными операторами [17] от некоммутирующих операторов

г = (р, х) = (-¡НЗ/Зх, х), у = (_ ¡ЬЗ/Зу, у) х уе Кп,

удовлетворяющих следующим коммутационным соотношениям:

[¡к,2]]_ = [Ук,у]_ = ¡Му,[э,у]_ = 0, к,] = 1,2и.

Здесь ||Л;||2„х2„ - элементы единичной симплек-тической матрицы

' 0 -I'

kj\

I 0

2пх2 п

а 1=1пхп - единичная ихи-матрица. Для функций от некоммутирующих переменных мы будем использовать упорядочение по Вейлю [17]. В этом случае, например, для оператора Л(/) с вейлевским символом Л(1,/)=Л(р,х,1) можно записать

2(/)Т( х, I, К) = - 1

(2 жП)п

J dydp exp 1^ ((x - y), p >1A (p, ,

t №(y, t, Й).

2n

Здесь <.,.> - евклидово скалярное произведение «-мерных и 2«-мерных векторов

П

(p,х) = £ PjXj, p,xе Rn, j=i 2п

(z. W=E

j=1

Z;W; , z, w е

соответственно.

Многомерное уравнение типа Хартри (1) с переменными коэффициентами общего вида не интегрируемо известными методами, такими, например, как метод обратной задачи [14, 18] и др. Поэтому в общем случае аналитические решения этого уравнения можно построить лишь приближенно. Эффективный метод построения таких решений предоставляет аппарат квазиклассических асимптотик. Так, например, для нелинейных операторов типа самосогласованного поля теория канонического оператора с вещественной фазой для решения задачи Коши была построена в [19, 20]; для спектральных задач, включая сингулярные потенциалы, - в работах [20, 21] (см. также [22-24]). Со-литоноподобные решения для уравнения типа Хартри и некоторых видов потенциалов взаимодействия построены в [25]. Специфика уравнения типа Хартри (1), в котором нелинейность присутствует только под знаком интеграла, проявляется в том, что оно в определенном смысле близко к линейным [17]. А именно, среди решений уравнения существует подмножество, регулярно зависящее от параметра нелинейности. По аналогии с когерентными состояниями квантовой механики в [5, 6] был определен класс функций

Р =

[т, ,т„ ч +<р(,х_х(О>! (х _ X(г) Л]

= <!Т : Т (х, /) = е п ф1——, г, Й

сосредоточенных на некоторой фазовой траектории 1^(1)=(Р(1),Х(1)). Функции ф(^,1,Н) принадлежат пространству Шварца и регулярно зависят от Н, а 5(/),Р(/),Х(/) - дифференцируемые функции, определяющие класс. На классе функций Р, названных траекторно-сосредоточенными, задача построения квазиклассических асимптотик нелинейного уравнения сводится к вспомогательной задаче построения асимптотических решений линейных ассоциированных уравнений Шредингера. В результате метод комплексного ростка Маслова [3, 4] удалось обобщить на уравнение (1). В частности, были построены формальные решения задачи Коши, асимптотические по малому формальному параметру Н (Й^0) с точностью до 0(НЩ), где N -произвольное натуральное число, и главный член асимптотики спектральной задачи [7]. В работах [8, 9] для уравнения (1) с квадратичным нелокальным потенциалом удалось построить оператор эволюции. В этом случае линейные операторы Н(£,0 и ¥(£,Н>,/) квадратичны по операторам £, н:

H( z, t) = ^ < z, Hzz (t) z> + < Hz (t), z>, (2)

V (z, w, t) =

= 2<z, Wz (t)z> + <z, Wzw (t)w> + 2< w, Www (t)w>. (3)

Здесь H(t), Wa(t), WJt), WJt) - 2nx2n заданные матрицы, а Hz(t) - заданный 2«-вектор.

Уравнение типа Хартри (1)-(3) интегрируется точно [8, 9] и обладает богатым набором симметрий, изучение которых позволяет получить различную информацию о решениях уравнения и показать, как многомерное уравнение свести к одномерному, построить классы точных или приближенных его решений. Поскольку уравнение (1)-(3) содержит нелокальную нелинейность, оно представляет особый интерес для симметрийного анализа, связанный с тем, что в общем случае не существует регулярного способа определить структуру симметрий уравнения, не являющегося дифференциальным. Уравнение (1) позволяет обойти эту проблему, поскольку его симметрии тесно связаны с симметриями соответствующего ассоциированного линейного уравнения.

2. Операторы симметрии и задача Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1)

¥(х, t, h) |t=0 =7(х), уе р0, ||7(х)||2 = 1. (4)

Система Гамильтона-Эренфеста второго порядка, соответствующая задаче Коши (1), (4), имеет следующий вид [8]:

'zT = J{Hz (t) + [Hzz (t) + K( Wzz (t) + Wzw (t))]zT },

‘ ДT 2 = J[Hzz (t) + W (t)]Д^2 -

-Ду2 [Hzz (t) + W (t)]J,

~=kIIyII2.

В уравнении (1) сделаем замену: от функции T(x,t) перейдем к функции Ф(х,0 следующим образом:

i{S(t)+(P(f),x-X(t) >}

T (х, t) = eп Ф( х - X (t), t), (5)

где S(t),P(t),X(t) - некоторые дифференцируемые функции, подлежащие определению.

Для Ф(х,0 получим следующее уравнение:

{-ihdt + S(t) + < P(t), х - X (t)> -< P(t), X (t)> +

+2 <z Ф, Hzz (t) z ф> + < Hz (t), z ф> +

+ к|кп фф* (|<zФ, Wzz (t)zф > + <zФ, Wzw(t^ф> +

+ 2 < Wф,Www (t ) Wф > )Ф}Ф = 0,

где Zqr(-ihd/dx+P(t),x), \v9=(-ihd/dy+P(t),y). Сделаем замену переменных x=u+X(t) и обозначим Ф(и+Х($,1)=Ф(и,$. Получим следующее уравнение:

{-ihdt + ih(^ X (t), -dUj+S (t)+< P (t), И> --< p (t), X: (t)>+2 < z Ф«, hzz (t) z ФИ > +

+<Hz (t), zФи > + к j dy Ф*(y, t) x

x[2 < z Фи, Wzz (t) гфи > + < Zфu, Wzw (t )\^Фи > + + 2 < Wфu , Www (t^Фи >]Ф(y, t)}Ф(U, t) = 0,

(6)

где обозначено .Фи=.и+Д0, Нфи=1у +Щ, 1и=(-1Щди,и), ¿У=(-/ЙЭ/оу,у).

Функции Ф(и,0 по построению являются центрированными, т. е. удовлетворяют условию

| Ф*(и,г)гиФ(и, г) ёи = 0.

к"

Начальное условие (4) для уравнения (6) имеет вид

_ -- {5(0)+<Р(0), и>}

ф(а0 \(=0 = е й 7(и+ х(0)).

Пусть вектор .^(¡)=(Р(1),Х(1)) удовлетворяет уравнению

2 (г) = 3{Пг (г) + [ пгг (г) + К^гг (г) + Wzw (г ш (г)} (7)

с начальным условием Z(0)=(y(x)\Z\у(х)), а функция 3(0 определяется соотношением

г

Б (г) = | {< Р (г), X (г)>- Н (г)}ёг,

где

Н (г) = 2 < 2 (г), [Нгг (г) +1? (Ггг (г)+2Гги, (г)+

+^ (г)]2 (г)>+<пг (г), г (г)> + ^(^ (г)Д 2).

Здесь 2нх2н - матрица Д2 удовлетворяет уравнению Д 2 = J [Нгг (г) + К ггг (г )]Д2 - Д2 [ Н (г) + #гг (г)]./ (8) и начальному условию

Д2(0) = ■1||7(х) \ {Д2}Д+Д¿кД2;-} \ 7(х)||.

Тогда функция Ф(и,/) является решением линейного ассоциированного уравнения

-лз1 + 2/г и, (Н (г) + кшгг) г Л 1ф (и, г) = 0 (9)

с начальным условием

_ - -{Б (0)+< Р(0), и+Х(0) >}

Ф(иг) \г=0 =ф(и) = е й 7(и).

Пусть Л(и,/)=Л(. и,0 - некоторый оператор с вейлевским символом Л(.,0, удовлетворяющий соотношению

и начальному условию

Л(и, г) \г=0 = а (и),

где ¿(и):3^3 -произвольный оператор. Тогда в силу (10) оператор Л(и,{) является оператором симметрии уравнения (9) и переводит Ф(и,7) - решение уравнения (9) в некоторое другое его решение. Соответственно функция, определяемая соотношением

Ф А (и, г) = — 2(и, г )Ф (и, г),

«А

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где аЛ=\\а Ф(и,0)\\ - также решение уравнения (9). При = получим

Ф а (и, 0) = — а (и)ф(и) =Фа (и).

«А

~ Здесь \\фЛ(и)\\=1, откуда автоматически следует \|ФЛ(и,/)\\=1. Однако в общем случае функция ФЛ(и,0 может и не соответствовать никакому решению исходного нелинейного уравнения, поскольку не для всех Л(и,7) она является центрированной:

[ ФА (и,0)гиФА (и,0) ёи = 0.

к"

Поэтому, чтобы построить решения исходного нелинейного уравнения, которые бы соответствовали Ф(и,/), обозначим

Я = (и,0)гиФА(и,0) ёи = | фА(и)гифА(и)ёи

Я(г) = [ Ф А (и, г) гиФ А (и, г) ёи.

к"

Непосредственной проверкой можно убедиться, что если Я(/) - решение следующей задачи Коши:

Я($) =

яц)=j (Hzz (t)+W (t ))Я(t),

1Я (t) 1

Яи (t).

, Я(0) = Я0 =

и

то функция, построенная по формуле

- {Бя(1 )+<Л,(0 ,и+А„( г) >}

ГЯ 1

P0

Яи

V и0 J

Ф a (u, t) = e й

Ф A (U+4(t), t),

где

-ibdt + ^2^zu, (Hzz(t) + Wzz)zи ^, ^4(u, t)

:0 (10)

SA (t) = j {<Яр (t ),JLu (t )> - H (t)}dt (11)

H (t) = Я^), [Hzz (t) + K(Wzz (t) + 2Wzw(t) +

+ Www (t))Я)) + 2К' Sp(Www(t)Ä2)

является решением уравнения (9) и удовлетворяет условию

j ФА (u,t)zuФA (u,t)du = 0.

П

и

~ Сопоставив функциям Фл(и,0=Ф(х+ХХ0,0 и Ф^^Ф^+Х^У) по формуле (5) функции TA(x,t) и T(x,t) соответственно, получим

--{SA (t)+< PA( t), х-X a( t) >}

T a (х, t) =

1 )+<Яр (t) ,х-Xa( t) +Я( t) >}

=-----e й

—{S (t )+<P( 0,х-X (t) >}

xA(х - Xa (t) + Яи (t), t)e h

xT (х + X (t) - Xa (t) + Яи (t), t),

откуда

T a (х, t) = e h

-{SA (t)+<PA (t) ,х-Xa( t) >}

1 -{SA(t)+<Ap(t) ,х-Xa( 0+Я( t) >}

—{S (t)+< P(t) ,х-X (t) >}

xA(х - XA (t) + Яи (t), t)e h x

(12)

xT (х + X (t) - Xa (t) + Яи (t), t).

Оператор

T A (х, t) = Am T (х, t),

определяемый соотношением (12), является оператором симметрии исходного нелинейного уравнения.

3. Операторы симметрии нелинейного и вспомогательного линейного уравнения

Пусть <5:Pfi0—>Pß0 - некоторый оператор. Поставим для уравнения (1) следующие задачи Коши:

T(х, t, h) |t=0 = а(х), Y(х) е P0, ||7(х)||2 = 1 и

Tа (х, t, h) |t=0 = ay(х) =Ya (х),

Ya (х) е p“> ¡Ya (х)||2 =1

В уравнении (1) сделаем замену: от функций TA(x,t) и T(x,t) перейдем к функциям <3>(u,t) и Ф^^Опо формулам (5), (7), (8), тогда функция Ф(и,0 удовлетворяют уравнению

-ihÖt + 1 <zu, (Hzz (t) + Wzz )zu>U = 0

и начальному условию

_ --4s(0)+<P(0),u+X(0))}

Ф(U,t) |t=0 = e h Y(u+ x(0))

где вектор Z(t) является решением уравнения (7) с начальным условием Z(0)=(y(x)|z Iy(x)). Аналогично ФA(u,t) является решением уравнения

-ihÖt +1 <zu, (Hzz(t) + Wzz)zu>lc&А(U, t) = 0 (13)

с начальным условием

Вектор ZA(t) удовлетворяет уравнению (7) с начальным условием Za(0)=\ya(x)\z Iya(x)), а

t

Sa (t) = j {<Pa (t), Xa (t) - Ha (t)>}dt,

где

Ha (t) = 2< Za (t),[ Hzz (t) + k (Wzz (t) + +2Wzw (t) + Www (t))]Za (t)} + + (Hz (t), Za (t)) + ^Sp(Www (t )Д 2 а ).

Матрица Ä2A(t) является решением уравнения (8) с начальным условием

Ä2а (0) = 2|| Ya (х, t) | {Д z jÄ zk + Д zkÄ z j }| yа (Y t)||.

Соотношение YA(x)=i*Y(x) определяет оператор -(u), такой что ФA(u,t)=-(u)Ф(u,t).

Для оператора ^4(u,t)=A(zu,t) рассмотрим следующую задачу Коши:

[-ihÖt + 2(zu,{Hzz(t) + Wzz(t)}zu), A(Ut)] = 0 (14)

с начальным условием

A(u, t) |t=0 = a(u).

Тогда в силу (14) оператор A(u,t) является оператором симметрии уравнения (13) и переводит ФХ^О - решение уравнения (13) - в его решение ФА(^0.

~ Сопоставив функциям Ф^^Ф^+ХО^) и Ф(u,t)=Ф(x+X(t),t) по формуле (5) функции TA(x,t) и T(x,t) соответственно, получим

—{SA(t )+< Pa( t), х-X а( t) >}

T а (х, t) =

—{S(t)+< P(t) ,х-X (t) >}

= A(х - XA (t), t)e h x

xT( х + X (t) - X A (t), t)

или

-{SA(t )+< PA(t),X-X a( t) >}

ФА (U, t) |t=0 = e Й

-{Sa(0)+< Pa(0),u+X a(0) >}

Ya (u+ Xa (0)).

Т а (х, г) = е

Т-{Б(0+< Р(г) ,х-X (г) >} хА(х - хА(г),г)еЙ х

хТ (х+X (г) - хА (г), г). (15)

Оператор

т а (х, г) = АпТ (х, г),

определяемый соотношением (15), также является оператором симметрии исходного нелинейного уравнения.

4. Заключение

При построении операторов симметрии мы воспользовались тем фактом, что исходному нели-

А

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X

X

А

нейному уравнению можно сопоставить ассоциированное линейное уравнение, а для квадратичных операторов вида (2), (3) эти ассоциированные уравнения совпадают. В общем случае это не так, поэтому аналитические решения уравнения типа Хартри удается построить лишь приближенно. Многие приближенные подходы основаны на выборе подходящего анзаца, представляющего общий элемент класса функций, в котором строится приближенное решение. К таким методам можно отнести, например, метод коллективных переменных [26-30], лагранжев метод [31-33] и адиабатическое приближение [34]. Наиболее эффективным в различных многомерных задачах математической физики оказывается метод квазиклассических асимптотик, который используется в данной работе. Особенностью данного метода, отличающей его от обычного метода возмущений (разложения в степенной ряд по малому параметру), является то, что асимптотический малый параметр входит в решение как регулярно, так и сингулярно, что позволяет, в частности, строить локализованные решения, имеющие важный физический смысл. Эта возможность существенно в нелинейных задачах, где устойчивые локализованные возмущения, такие

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 399 с.

2. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976. - 296 с.

3. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. - М.: Наука, 1977. - 384 с.

4. Белов В.В., Доброхотов С.Ю. Квазиклассические асимптотики Маслова с комплексными фазами. I. Общий подход // Теоретическая и математическая физика. - 1988. - Т. 92. - № 2. -С. 215-254.

5. Belov V.V., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The trajectory-coherent approximation and the system of moments for the Hartree type equation // Int. J. Math. and Math. Sci. - 2002. - V. 32. - № 6. -P. 325-370.

6. Белов В.В., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Квазиклассическое траекторно-когерентное приближение для уравнения типа Хартри // Теоретическая и математическая физика. - 2002.

- Т 130. - № 3. - С. 460-492.

7. Белов В.В., Литвинец Ф.Н., Трифонов А.Ю. Квазиклассиче-ские спектральные серии для оператора типа Хартри, соответствующие точке покоя системы Гамильтона-Эренфеста // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 150. - № 1.

- С. 20-32.

8. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. Exact solutions and symmetry operators for the nonlocal Gross-Pitaevskii equation with quadratic potentional // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2005. - V. 1. - P. 1-14.

9. Lisok A.L., Trifonov A.Yu., Shapovalov A.V. The evolution operator of the Hartree-type equation with a quadratic potential // J. Phys. A: Math. Gen. - 2004. - V. 37. - P. 4535-4556.

10. Bellucci S., Trifonov A.Yu. Semiclassically-concentrated solutions for the one-dimensional Fokker-Planck equation with a nonlocal nonlinearity // J. Phys. A: Math. Gen. - 2005. - V. 38. -P. 535-456.

как, например, солитоны, являются объектом исследования. Достоинством метода квазикласиче-ских асимптотик является то, что он позволяет дать оценку точности построенного решения с заданной степенью асимптотического параметра.

Другие возможности построения аналитических решений дает симметрийный анализ [1, 35-37], который, исходя из свойств инвариантности уравнения, приводит к классам частных решений, которые могут служить прототипами анза-цев классов частных решений. Однако переменные коэффициенты, как правило, сужают симметрию уравнения или исключают ее, что ограничивает возможности симметрийного анализа в таких случаях. Кроме того, непосредственное вычисление операторов симметрии для нелинейных уравнений связано с интегрированием производящего уравнения, что представляет отдельную трудоемкую задачу [11, 12]. Сравнение двух указанных подходов приводит к задаче построения приближенных симметрий уравнения типа Хартри в формализме ква-зиклассических асимптотик [38].

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Президента РФ НШ-871.2008.2; АВЦП Министерства образования и науки РФ № 2.1.1/3436.

11. Пухначев В.В. Преобразование эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений // Доклады АН СССР. Сер. Математика. - 1987. - Т. 294. - С. 535-538.

12. Meirmanov A.M., Pukhnachov V.V., Shmarev S.I. Evolution equations and Lagrangian coordinates. - Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1994. - 311 p.

13. Shapovalov A.V., Rezaev R.O., Trifonov A.Yu. Symmetry operators for the Fokker-Plank-Kolmogorov equation with nonlocal quadratic nonlinearity // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2007. - V. 3. - P. 1-16.

14. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики.

- 1971. - Т. 61. - С. 118-134.

15. Cornell E.A., Wieman C.E. Nobel lecture: Bose-Einstein condensation in a dilute gas, the first 70 years some recent experiments // Rev. Mod. Phys. - 2002. - V. 74. - P. 875-893.

16. Ketterle W. Nobel lecture: When atoms behave as waves: Bose-Einstein condensation and the atom laser // Rev. Mod. Phys. - 2002. -V. 74. - P. 1131-1151.

17. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. - М.: Наука. 1991. - 368 с.

18. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980. - 319 с.

19. Маслов В.П. Уравнения самосогласованного поля // Современные проблемы математики. - 1978. - Т. 11. - М.: ВИНИТИ, 1978. - С. 153-234.

20. Карасев М.В., Маслов В.П. Алгебры с общими коммутационными соотношениями и их приложения // Современные проблемы математики. - 1979. - Т. 13. - М.: ВИНИТИ, 1979. -С. 145-267.

21. Карасев М.В., Перескоков А.В. Правило квантования для уравнений самосогласованного поля с локальной быстро убывающей нелинейностью // Теоретическая и математическая физика. - 1989. - Т. 79. - № 2. - С. 198-208.

22. Бабич В.М., Булдырев В.С., Молотков И.А. Пространственновременной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 272 с.

23. Молотков И.А., Вакуленко С.А. Сосредоточенные нелинейные волны. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1988. - 240 с.

24. Вакуленко С.А., Маслов В.П., Молотков И.А., Шафаре-вич А.И. Асимптотические решения уравнения Хартри, сосредоточенные при в малой окрестности кривой // Доклады РАН.

- 1995. - Т. 345. - № 6. - С. 743-745.

25. Во Хань Фук, Четвериков В.М. Обобщенные солитоны уравнения Шредингера с унитарной нелинейностью // Теоретическая и математическая физика. - 1978. - Т. 36. - № 3. - С. 345-351.

26. Sanchez A., Bishop A.R. Collective coordinates and length-scale competition in spatially inhomogenious soliton-bearing equations // SIAM Rev. - 1998. - V. 40. - № 3. - P. 579-615.

27. Mertens F.G., Schnitzer H.J., Bishop A.R. Hierarchy of equations of motion for nonlinear coherent excitations applied to magnetic vortices // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56. - № 5. - P. 2510-2520.

28. Rice M.J. Physical dynamics of solitons // Phys. Rev. B. - 1983. -V. 28. - № 6. - P. 3587-3589.

29. Rice M.J., Mele E.J. Phenomenological theory of soliton formation in lightly-doped polyacetylene // Solid State Commun. - 1980. -V. 35. - № 6. - P. 487-491.

30. McLaughling D.W., Scott A.C. Perturbation analysis of fluxon dynamics // Phys. Rev. A. - 1978. - V. 18. - № 4. - P. 1652-1680.

31. Malomed B.A. Perturbative analysis ofthe interaction of a phi4 kink with inhomogeneities // J. Phys. A: Math. Gen. - 1992. - V. 25. -№ 4. - P. 755-764.

32. Kivshar Y.S., Fei Z., Vazquez L. Resonant soliton-impurity interactions // Phys. Rev. Lett. - 1991. - V. 67. - № 10. - P. 1177-1180.

33. Fei Z., Kivshar Y.S., Vazquez L. Resonant kink-impurity interactions in the sine-Gordon model // Phys. Rev. A. - 1992. - V. 45. -№ 8. - P. 6019-6030.

34. Белов В.В., Доброхотов С.Ю., Тудоровский Т.Я. Асимптотические решения нерелятивистских уравнений квантовой механики в искривленных нанотрубках: I. Редукция к пространственно одномерным уравнениям // Теоретическая и математическая физика. - 2004. - Т. 141. - № 2. - С. 267-303.

35. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. - M.: Наука, 1989. - 639 с.

36. Fushchych W.I., Shtelen W.M., Serov N.I. Symmetry analysis and exact solutions of equations of nonlinear mathematical physics. -Dordrecht: Kluwer, 1993. - 435 p.

37. Fushchich W.I., Nikitin A.G. Symmetries of equations of quantum mechanics. - N.Y.: Allerton Press Inc., 1994. - 480 p.

38. Shvedov O.Yu. Semiclasical symmetries // Ann. Phys. - 2002. -V. 296. - P. 51-89.

Поступила 11.02.2009 г.

УДК 537.874.4

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТОНКИХ ПРОВОДНИКОВ НА БИСТАТИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЭЛЛИПСОИДА

Ю.А. Келлер

Томский государственный университет E-mail: kua1102@sibmail.com

На основе метода вспомогательных источников получено решение задачи рассеяния электромагнитных волн на трехмерном магнитодиэлектрическом теле при наличии вблизи него тонких проводников, расположенных произвольным образом в пространстве относительно тела. Построенный алгоритм реализован в виде компьютерной программы для расчета характеристик рассеяния ряда структур, отличающихся взаимным расположением тел, входящих в них. Исследовано влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния диэлектрического эллипсоида.

Ключевые слова:

Метод вспомогательных источников, диэлектрическое тело, тонкие проводники, математическое моделирование электромагнитного рассеяния.

Задачи рассеяния электромагнитного поля на структурах, состоящих из диэлектрического тела и тонких проводников, возникают в различных областях науки и техники, например, в антенной технике и радиолокации. Тонкие проводники часто используют в качестве передающих и приёмных антенн. При расположении таких антенн вблизи диэлектрических тел возникает проблема оценки влияния диэлектрических тел на параметры антенны, решение которой требует решения поставленной задачи рассеяния. В радиолокации при оценке радиолокационной заметности сложного объекта часто возникает ситуация, когда часть объекта - это

диэлектрическое тело с расположенными вблизи него тонкими проводниками. Расчет бистатическо-го сечения рассеяния (БСР) такой части объекта также требует решения поставленной задачи. Если расстояние между диэлектрическим телом и проводниками меньше или сравнимо с длиной волны, то корректная постановка исследований подобного рода приводит к необходимости решения граничных задач теории рассеяния с учетом электромагнитного взаимодействия между рассеивателями. Существующие численные методы [1] позволяют решать подобные задачи. Применительно к задачам, рассматриваемым в данной статье, из наиболее

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.