Асимптотические решения уравнения Шредингера в некоммутативной квантовой механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.1

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В НЕКОММУТАТИВНОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

А.Н. Мягкий

Томский политехнический университет E-mail: anm@mph.phtd.tpu.ru

Построены асимптотические решения уравнения Шредингера для заряженной нерелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле в некоммутативном пространстве. Получены классические уравнения движения заряда и спина частицы в первом приближении по параметру некоммутативности.

Ключевые слова:

Уравнение Шредингера, некоммутативное пространство, асимптотические решения, нерелятивистская спиновая частица, прецессия спина.

Key words:

Schrodinger equation, noncommutative space, asymptotic solutions, nonreiativistic spinning particle, spin precession.

Введение

В последние десять лет интенсивно изучаются некоммутативные пространства и теории поля на этих пространствах (некоммутативные теории поля). Популярность некоммутативные теории поля приобрели благодаря тому, что была обнаружена их связь с теорией струн. А именно, некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн во внешних полях специального типа [1]. Вместе с тем некоммутативная теория поля возникает как эффективное описание динамики некоторых квантово-механических моделей. В частности, движения заряженных нерелятивистских частиц в двумерной плоскости под действием постоянного магнитного поля, направленным перпендикулярно этой плоскости. В пределе, когда напряженность магнитного поля стремится к бесконечности, такая система переходит в низший энергетический уровень и операторы координат частиц этой системы перестают коммутировать [2].

Известно, что описание й-мерной квантово-механической системы соответствует некоторому вектору в гильбертовом пространстве Х2(Кй) , в котором наблюдаемые есть линейные самосопряженные операторы.

В обычной квантовой механике классические канонические переменные дк, рк становятся эрмитовыми операторами дк, рк в гильбертовом пространстве Х2(Кй), удовлетворяющими коммутационным соотношениям

[Ч ,Р]] = гЩ, [4 , Ч ] = 0, [д,р] ] = 0, г, ] = 1, й.

В некоммутативной квантовой механике также полагают, что [д‘,р]=Ш8!, но при этом [д‘,ср]ф0, [рг,р;]^0. Мы рассмотрим наиболее простую ситуацию, когда выполнены следующие коммутационные соотношения:

[Ч , Р] ] = гЩ, [Ч , Ч1 ] = ],

[Р., Р] ] = 0, г, ] = 1, й, (1)

где дк и рк - операторы координаты и импульса на некоммутативном пространстве, в=(в‘]) - параметр некоммутативности - антисимметричная матрица с постоянными элементами. В дальнейшем без ограничения общности полагаем 9’>0. Существуют теоретические оценки параметра некомму-тативности (см., например, работу [3]).

Вследствие коммутационных соотношений (1) нетрудно видеть, что координаты д1', в силу принципа неопределенности

Ач‘Ач] > 1в1,

невозможно фиксировать точно.

Для того, чтобы построить коммутативный аналог квантово-механической системы на некоммутативном пространстве, в уравнении Шредингера все операции умножения заменяются на ассоциативную, но не коммутативную операцию умножения «звездочка», определенную по правилу:

в я(1)я(2)

(А * В)(ч) = е>в А(Ч1)В(Ч2)|ч=,2=, =

= А(ч)В (ч ) + 2 {А(ч), В(ч)}+ 0(в2),

где А(д), В(д) - произвольные бесконечно дифференцируемые функции на К1, д= (д‘), /=1,1. Здесь {} - скобки Пуассона, определенные с помощью в‘]. Умножение «звездочка» является нелокальным, так как включает в себя бесконечное количество производных. В связи с этим понятие частицы как локализованного точечного объекта уже не представляется удовлетворительным.

Пусть Й(<р,р,0 - оператор Гамильтона некоторой квантово-механической системы, определенной на некоммутативном пространстве. Уравнение Шредингера для данной системы, но уже на обычном пространстве, запишется в виде

Ш (ч, г) = н (ч , р, г )*у(ч, г).

дt

Такой подход эквивалентен преобразованию операторов координат и импульса вида [4]

q = х --eiJpj, pj = pj.

V(x, t, h) = ésl% ^ (-ih)nyn (x, t),

(3)

где р=-1Нд^ - оператор импульса, сопряженный оператору х‘=х‘. При этом алгебра (1) операторов дк, рк может быть заменена алгеброй

[х ,Р]] = Ш], [х, х ] = 0, [р, Р] ] = 0, г, ] = 1, й.

Таким образом, некоммутативная квантовая механика, связанная с классическим фазовым пространством (д,р), может рассматриваться как обычная квантовая механика, соответствующая фазовому пространству (х,р).

В силу этого

Н(Ч,Р,г) = н{х -1 в1 р ,Р,г

где операторы хк и рк можно рассматривать как операторы обычной (коммутативной) квантовой механики. Следовательно,

Иг—у(х,г) = Н[х -1 ввр ,]э,г|у(х,г). (2)

дг ^ 2 )

Нетрудно видеть, что такой оператор Гамильтона может индуцировать уравнение Шредингера с производными выше второго порядка, и, возможно, также производными бесконечного порядка.

Заметим, что уравнение (2) уже определено на коммутативном пространстве, а все эффекты, связанные с некоммутативностью координат, можно отследить, изучая члены уравнения, содержащие в. Полагая в=0, получим обычную квантовую механику

Решение уравнения (2) будем искать в виде ряда по малому параметру Н:

П = Рк - -A \xi -1 eiJ p¡, t |, k = 1,2,3. (4)

Здесь у - двухкомпонентный спинор, ак (к=1,2,3) - матрицы Паули. Оператор V определяет потенциальную энергию взаимодействия частицы с электрическим полем, причем в первом приближении по в оператор имеет следующую структуру:

V ^хг -1 Г Р], г^ = V(х, г) - 22д у (х, г)в Р+ 0(в2).

Отсюда нетрудно видеть, что в первом приближении по параметру некоммутативности потенциальная энергия учитывает не только взаимодействие электрического поля с зарядом, но и с электрическим моментом частицы.

Будем искать решение уравнения (4) в форме (3). Подставляя функцию (3) в уравнение (4) и приравнивая к нулю коэффициенты при одинаковых степенях Н, получим

f + Í Ia к" - ( '- 2 в' dJS, t" +

1

+у\ х - ^ e,J aJs, t

Vo = (5)

Уравнение (5) имеет нетривиальное решение только в том случае, если коэффициент при функции v (x,y) равен нулю, т. е.

+-L (aks --Ak \ xi -1 eiJa jS, tii +

at 2m { k c \ 2 1

+V\ xi -2oijdjS,t I = 0,

(6)

где S=S(x,t) - вещественная скалярная функция координат и времени. В основном нас будут интересовать лишь первые члены в этом разложении.

Целью данной работы является изучение вопроса о применимости квазиклассического метода к квантовой механике на некоммутативном пространстве.

Асимптотические решения уравнения Шредингера

Рассмотрим уравнение Шредингера для нерелятивистской частицы со спином 1/2 с зарядом e и массой т, взаимодействующей с электромагнитным полем в трехмерном некоммутативном пространстве (d=3),

a p

ih—у( x, t) = H ey( x, t),

at

H e= m (°k ^ к )2 + У I" x -1 e pj, t

или, пренебрегая членами второй и выше степени по параметру в,

д- + 2-Гд,.5 - е А (х, г) + 2-дк А (х, г)выдт Б) ) дг 2т ^ с 2с )

+V (х, г) - 2 д у (х, г)вктдт Б = 0.

Уравнение (6) есть уравнение Гамильтона-Якоби для функции S(x,t), описывающее движение заряженной бесспиновой частицы в электромагнитном поле.

Приравнивая к нулю коэффициент при первой степени Н, получим уравнение на функцию у0(х,О:

dVo + J_ dt 2m

as—a a, (x, t)+

+—a k a a (x, t )ekma mS+

2c

+-a tA¡ (x, t)ekma ma,s

c

Vo

i-

2mc

a¡C¡ (xt )Vo + 0(в2) = 0,

n=0

C(x, t) _ Ht (x, t) - 2dkHi (x, t)Qkmdm S +

2c

s‘jkдmA (x,t)dlAk (x,t)Om

(7)

Bß - - A (x, t) +—дк A (x, t)6kmdm S c 2c

д +

dJ¥ -Щ+ü[ H • <' )•P <' »>,

(8)

тенциал A;(x,t) можно разложить в ряд в окрестности точки (Хк)

A (x, t) = A «x>, t) + dAj (< ^t) Axk +

где Щ(х,1)=е’кд]Ак(х,1) - магнитное поле, соответствующее заданному векторному потенциалу. Здесь производная по переменной / берется вдоль траектории движения, определяемой функцией S(x,t),

й д йг дг

1 д2 A« x>, t)

2 д< xk >д{ xl >

д< xk >

Axk Ax +.

где Axk=xk-(Xk) и использованы обозначения

дA«x>,t) _ дД-«x> + g,t)

д( xk >

3B,k

?_0

д2 Aj« x>, t) д2 A « x> + g, t)

д( xk >д( xl >

+[ д^-—Ак(х,г) 1дтАк(х,г)вт% -2тс V с )

- 2 д у (х, г)вкгдг.

Аналогичным образом можно построить уравнение на функцию у(хД у2(х,/) и так далее, т. е. получить любое заданное количество членов ряда (3).

Уравнения движения заряда

Построим классические уравнения движения частицы в некоммутативном пространстве в присутствии электромагнитного поля. Способ, которым мы воспользуемся для получения классических уравнений, состоит в выводе их непосредственно из квантовой теории, опираясь на известную теорему Эренфеста.

Известно, что в квантовой механике средние значения оператора Р в случае, когда система находится в состоянии у(х,/,Н), определяются следующим образом:

(Р) = |у1 (х, г, Н) Ру (х, г, Н)йх = Ру (г, Н).

к3

На решениях уравнения (4) для средних значений оператора Р имеем [5]:

«_0

Эти же рассуждения можно отнести и к потенциалу У(х,().

Потребуем выполнения следующих условий [5]:

д2 А « х), г)

\A «x>, t)| >> 2

\V « x>, t)| >> 2

д< xk >д( xl > д 2V « x>, t)

д<x >д{ xl >

{PiXPj> >><ApAPj >_ APt _ Pt -<Pi >.

(Axk Ax' >,

(Axk Axl >, h2

4Axj Axj ’

Выполнение данных неравенств возможно при движении частицы с большими импульсами в плавно меняющихся внешних полях.

Запишем уравнение (8) для средних значений операторов х и р, /=1,2,3. Тогда при Н^О получим систему уравнений, определяющую фазовую траекторию классической системы:

й 1 [ р, -—А(х г)+-т-дкА (х г)вИр I-

dt m

c

e

2mc

2c

•ik д kA (x, t) pl +

где [H(),F(t)]=H()Flf)-FP(f)H() - коммутатор линейных операторов Д и F.

Средние по состоянию y/(x,t,h) операторов координат X и сопряженных им импульсов pk являются функциями времени и зависят параметрически от h:

{x >_ xl (t, h\ (Pk>_ p¥k(A h)-

Фазовой траекторией классической системы, соответствующей данному состоянию y/(x,t,h), назовем набор координат

xk(t) _ limxl(t, h) Pk(t) _ limPik(t, h)-

h ^0 r h^ 0 r

Будем полагать, что волновая функция отлична от нуля в небольшой области около (X). Тогда по-

e 1

+- •A (x, t )д kA (x, t) + -&k дk V (x, t) + O(e2),

2 mc 2

^ _-9jV (x, t) + 2 дk д-V (x, +

dt 2

+ — д i Am t) Pm - 2~ дk д,Ч, O^PPm ~ mc 2mc

2mc2

r 2 Am (x, t) дAm (x, t) --Am (x, t)дkд^т (x, t)•P' --д kAm (x t• д1А(^, t) P

\

+ O(^2).

Данные уравнения в первом приближении по параметру некоммутативности соответствуют системе Гамильтона некоторой классической модели, описывающей динамику некоммутативной частицы во внешнем электромагнитном поле. Заметим, что при в=0 система уравнений переходит в обыч-

2

e

ную систему Гамильтона для частицы, движущейся в электромагнитном поле. Полученный выше результат полностью соответствует классической модели частицы на некоммутативном пространстве, предложенной и изученной ранее в работах [6-8].

Математически строгое описание перехода от квантовой к классической теории изложено, например, в [9].

Уравнение движения спина

Подобным образом можно исследовать динамику спина частицы во внешнем электромагнитном поле. С этой целью на основе (8) запишем уравнение для среднего значения оператора спина £=<аг>(/=1,2,3)

еН

^ = — SjkCjCk + O (в2), dt mc

(9)

о = -

mc

1 +

еНв

4c

12 Л

где Ck - величина, определенная выражением (7). Хорошо видно, что некоммутативность пространства вносит свой вклад в величину частоты прецессии спина заряженной частицы.

Рассмотрим движение спина в постоянном однородном магнитном поле Щ=(0,0,Й), определяемом потенциалом А (х) в калибровке следующего вида

А(х) = -2НЕ]3х1, г, ] = 1,2,3.

Из уравнения (9) следует, что вектор будет прецессировать относительно оси Охг с частотой

которая отличается от циклической множителем, зависящим от величины (а также направления) магнитного поля. Заметим, что в случае, если вИ612<0, частота прецессии спина может обратиться в нуль при значении параметра в=4е/вИ.

Следует отметить, что уравнение движения спина частицы зависит от выбора калибровки. Это утверждение, в общем случае, относится и к движению заряда [8, 10].

Выводы

Построены асимптотические решения уравнения Шредингера для заряженной нерелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле в некоммутативном пространстве. На основе квазиклассического метода определена связь между квантовой и классической теориями. Из квантовой теории выведены классические уравнения движения. Этим обоснована адекватность и применимость квазиклассического метода для некоммутативных теорий. Построено уравнение движения спина нерелятивистской частицы в электромагнитном поле в первом порядке по параметру некоммутативности и исследована поправка к частоте прецессии спина в однородном магнитном поле в одной из возможных калибровок. Полученные результаты могут быть использованы в расчетах и постановке экспериментов по определению параметра некоммутативности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Seiberg N., Witten E. String theory and noncommutative geometry // J. High Energy Phys. - 1999. - V. 9. - P. 032.

2. Jackiw R. Physical instances of noncommuting coordinates // Nucl. Phys. Proc. Suppl. - 2002. - V. 108. - P 30-36.

3. Chaichian M., Sheikh-Jabbari M.M., Tureanu A. Hydrogen atom spectrum and the Lamb shift in noncommutative QED // Phys. Rev Lett. - 2001. - V. 86. - № 13. - P. 2716-2719.

4. Mezincescu L. Star Operation in Quantum Mechanics. 2009. URL: http://arxiv.org/abs/hep-th/0007046v2 (дата обращения: 25.09.2009).

5. Давыдов А.С. Квантовая механика. - М.: Физматгиз, 1963. -748 с.

6. Deriglazov A.A. Poincare covariant mechanics on noncommutative space // J. High Energy Phys. - 2003. - № 3. - P. 021.

7. Deriglazov A.A. Noncommutative relativistic particle on the electromagnetic background // Phys. Lett. B. - 2003. - V. 555. - № 1-2. - P. 83-88.

8. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Gauge invariance and classical dynamics of noncommutative particle theory. 2009. URL: http://ar-xiv.org/abs/0910.1341 (дата обращения: 25.09.2009).

9. Багров В.Г, Белов В.В., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Асимптотические методы. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - 166 с.

10. Baldiotti M.C., Gazeau J.P., Gitman D.M. Semiclassical and quantum description of motion on noncommutative plane // Phys. Lett. A. - 2009. - V. 373. - № 43. - P. 3937-3943.

Поступила 21.12.2009 г.