CC BY
34
УДК 65.011.56:681.3 DOI: 10.15587/2312-8372.2015.47952
михайленко о. ю. керування процесом дроблення
руди з використанням Блочно-оР1ЕНТоВАНо'1 прогнозуючо'1 модел1
В статтгрозглянуто питаннярозробки системи прогнозуючого керування процесом дроблення руди. Запропоновано метод формування керувань, який базуеться на твертуванш статичних нелтшностей блочно-оргентованог моделг i апроксимацп траекторш керування системами ор-тонормованих функцш Лагерра. Отримана система продемонструвала високу ятсть перех^дних процеав i низьке обчислюване навантаження на пристрш керування.
Клпчов1 слова: процес дроблення, керування з прогнозуючими моделями, ятсть керування, обчислювальне навантаження, моделювання.
1. Вступ
Одним 3i шляхiв тдвищення ефективност рудотдго-товки на прничо-збагачувальних комбшатах е отримання максимально дрiбноï i однорiдноï руди на стадп дроблення. Таке ршення дозволяе перенести енерговитрати з операцп подрiбнення на менш енергоемний процес. Цього можна досягнути або повним переобладнанням технолопчних лшш, або оптимiзацiею режимiв робо-ти шнуючого технологiчного устаткування за рахунок розробки нових i удосконалення кнуючих методiв та алгоритмiв керування ним. З економiчноï точки зору, перевага надаеться останньому ршенню.
Iснуючi методи i системи автоматизованого керування (САК) процесом дроблення не дозволяють ефективно керувати гранулометричним складом готового продукту, тому розробка адаптивно'1 САК, що дозволить забезпечи-ти високi характеристики крупност в умовах коливань властивостей руди, змши параметрiв технологiчного обладнання та наявностi завад у каналах передачi даних е актуальною науковою задачею.
2. Анал1з л1тературних даних та постановка проблеми
Метод керування з прогнозуючою моделлю (MPC) продемонстрував високу ефектившсть при керуванш технологiчними процесами. Принцип керування по-лягае в прогнозуваннi поведiнки системи на визначе-ному iнтервалi i забезпечення на ньому найкращого наближення виходу об'екту до сигналу завдання [1-3] шляхом ршення оптимiзацiйноï задачь Найбiльш роз-повсюдженою формою цiльовоï функцiï при цьому е квадратичний критерш
Враховуючи нелiнiйнiсть процесу дроблення доцшьно розглянути можливi шляхи ршення задачi прогнозую-чого керування за умови, що прогнозуюча модель також е нелiнiйною (NMPC). Бшьш простий метод полягае в лшеаризацп нелiнiйноï моделi навколо робочоï точки [4] i застосуванш методiв лiнiйного прогнозуючого керування (MPC). Проте, яюсш характеристики такого регулятора значно попршуються при значних вщхилен-
нях вiд номiнального режиму роботи, що пояснюеться нездатнiстю лiнеаризованоi моделi описати глобальну поведiнку нелiнiйноi системи.
Враховуючи, що NMPC-керування е формою задачi нелiнiйного програмування, тому для знаходження опти-мальноi траекторii керуючих дiй можуть бути застосо-ваш методи послiдовного квадратичного програмування або внутрiшньоi точки [5]. Проте, в результат зростае обчислювальне навантаження на пристрш керування
i швидкодiя системи при обчисленнях у режимi реального часу. Це обумовлюеться бiльш складною иеративною процедурою знаходження рiшення задачi нелiнiйного програмування, у порiвняннi з лшшним.
Третiй спосiб базуеться на застосуванш методу швер-с11 статичноi нелiнiйностi [4], який зручно використо-вувати разом з блочно-орiентованими системами через незалежшсть лiнiйного i нелшшного блокiв моделей. При цьому при формулюванш задачi прогнозуючого керування вщбуваеться замiна вихiдних координат, керуючих дш i сигналiв завдання промiжними зворотни-ми змiнними. Тодi для визначення вектора керувань, застосовуються алгоритми лшшного або квадратичного програмування, в залежност вщ вiдсутностi або наявносп обмежень на змiннi входу-виходу. Проте, використання нелшшних компенсаторiв може привести до отримання квазюптимальних, а часто i субоптимальних рiшень модифiкованоi задачi прогнозуючого керування.
Ключовим завданням при керуванш з прогнозуючою моделлю е визначення майбутньоi траекторп керування, тобто послщовносп амплiтуд керуючоi д11 або
ii приростiв. За умов вели^ частоти дискретизацii i тривалих горизонтiв прогнозування число елементiв вектору керувань, якi необхiдно визначити, може бути достатньо значним, що знижуе час знаходження оптимального ршення, внаслщок великого обчислювального навантаження [6].
Дослщження [7] присвячено зниженню часу розра-хункових операцiй МРС-керування за рахунок скоро-чення числа ступенiв свободи послщовносп керувань в межах горизонту прогнозування. В робот [8] обчис-лювальна ефективнiсть визначення траекторii керування тдвищуеться за рахунок ii наближеного представлення
вейвлет-функщями. Аналогiчним чином в [6, 9] апрокси-мацiя траекторп керування здшснюеться системою орто-нормованих базисних функцш Лагерра. Це дозволяе використовувати ушфжовану модель опису послщовно-сп керувань. В результатi пiсля визначення структури моделi (ii порядку), число параметрiв, якi пiдлягають iдентифiкацii значно знижуеться i обмежуеться параметрами набору ортонормованих функцш.
Перевага використання керування з прогнозуючою моделлю в умовах керування виробничими процесами прничо-збагачувальних комбшапв обумовлюеться мож-ливiстю врахування фiзичних i технологiчних обмежень процесу шляхом накладання обмежень на амплиуду i прирiст керування, а також на вихщш координати i пiдтверджуеться дослщженнями [10, 11]. Другою, бiльш загальною перевагою, е визначення керуючих впливiв в режимi реального часу. При цьому швидюсть обмежу-еться лише частотою тактування сучасних апаратних засобiв автоматизацп i швидкiстю збiжностi опгашза-цшних алгоритмiв.
3. 06'ект, ц1ль та задач1 дослщження
Об'ект дослгдження — процеси автоматизованого керування дробленням руди у конусних дробарках при рудотдготовщ на прничо-збагачувальних комбшатах.
Мета дослгдження полягае в розробщ принципiв, структури i системи адаптивного автоматизованого керування процесом дроблення руди на базi прогнозую-чоi моделi, що забезпечують формування та тдтримку заданих однорiдностi дробленого продукту i окремого виходу контрольного класу крупносп при ди неконтр-ольованих збурень, обумовлених коливаннями характеристик рудноi сировини, змiнами параметрiв техно-логiчного обладнання i завадами у каналах передачi даних.
Для досягнення мети були поставлен наступнi завдання:
1. Розробка методу формування прогнозуючого ке-рування процесом дроблення руди.
2. Дослщження якостi перехiдних процеав в замкне-нiй системi i час обчислення керувань при використанш запропонованого методу.
4. Обладнання та методи дослщження якост1 розробленого прогнозуючого регулятора
4.1. Об'ект керування i обладнання, що використо-вувалося при проведеннi обчислювальних експериментiв.
При проведеннi обчислювальних експериментiв в якостi об'екту керування використано багатомiрну аналiтичну модель процесу дроблення руди [12]. При цьому керуючi ди процесу представленi шириною розвантажувальноi щiлини (8) i швидкiстю обертання конусу (ю), а вихiднi координати — коефщентом варiацii характеристики крупносп (CV) i виходом контрольного класу (у).
Обчислення здшснювалися в програмному паке-тi MATLAB на ПК з наступною конфiгурацiею: Intel Core i3-3120M 2,5 GHz 4 Гб ОЗУ Win7 x64.
4.2. Методика визначення показнишв якостi керування процесом дроблення. Для оцшки точностi керування процесом дроблення руди використано коефщент ва-рiацii середньоквадратичноi похибки CV(RMSE) виду:
CV (RMSE ) =
- y i
£ Уг,
(1)
де г — сигнал завдання;^ — вихiд об'екту керування; п — кiлькiсть вимiрiв.
Оцiнка часу iдентифiкацii моделi Лагерра здшснювала-ся стандартними засобами програмного пакету МА^АВ.
5. Результати дослщження якост
перехщних процеыв I обчислювального навантаження при керуванш процесом дроблення руди з використанням прогнозупчо! модел1
Для якiсного формування адаптивного керування повинен бути вщомий адекватний математичний опис об'екту. В данш робот в якостi прогнозуючо'i моделi процесу дроблення використано блочно-орiентовану структуру (БОМ) поеднану з системами ортонормованих функцш (СОФ) Лагерра. Адекватшсть моделi тдтверджена дослiдженням [13].
Враховуючи нелшшшсть гiбридно'i моделi при фор-муванш керувань необхiдно використовувати методи нелшшного прогнозуючого керування (NMPC), котрi складш у реалiзацii та мають невисоку швидкодш через свiй иерацшний характер. Тому було дослiджено дощльшсть застосування методу прогнозуючого керування, котрий базуеться на швертуванш статичних нелшшних функцii входу-виходу гiбридно'i модели що дозволило звести задачу прогнозуючого керування до задачi квадратичного програмування у наступнш формi:
J = ^R -Y J Q ^R -Y J + AY S AU ; R* = Т-1 (R); Y* = Т-1 (Y);Y* = Н-1 (и), (1)
за умов:
и* eM"|Y*min <и <U'max}v{keN|1 <k<Nc -1};
Y GM | Y min < Y < Y max }v{k eN|1 < k < Np },
(2)
де Q' S* — матрицi вагових коефiцieнтiв входу-ви-ходу; H-1(), Т-1() — зворотнi функци нелiнiйностей
входу-виходу;Аи ня AU * =
швертована траeкторiя керуван-
T
Au [k] Au [k +1] — Au [k + Nc -1]
швертований вектор прогнозованих значень вихо-
ду БОМ Y = R
у [k + 1|k] y [k + 21k] •■• y [k + Np |k]
сигнал завдання на горизонт прогнозування R* = [r*[k +1|k] r'[k + 2|k] — r'[k + Np |k]]r; Nc — горизонт керування; Np — горизонт прогнозування.
Було складено структурну схему системи керуван-ня процесом дроблення з прогнозуючою моделлю, що представлена на рис. 1.
Конусна дробарка
Регулятор
Р, V, & t/min^ i/max
Оптикпзащйний алгоритм
Rc/Mf
г,"1 Тг"1
™Г" гу[к] "Г" гсЛк]
AU = L[k]T Y,
J = 2 YT 2(L[k]0TQ*©LT [k] + 5 * )
+ YT (-2L[k]0TQ*^) min,
Lz -Lz.
Lx =
Y<
U max - u [k -1]
-Umin + U [k - 1]
L[k]T £ L[k + i]T - £ L[k + i]T
Рис. 1. Структурна схема системи прйгнезуючега керування прецесем дреблення
Вона складаеться з трьох основних блоюв: об'екту керування — конусно! дробарки, гiбридноi прогнозу-ючог моделi i регулятору. В структуру прогнозуючо! моделi входять двi пари систем Вiнера i Гаммерш-тейна-Вiнера.
Для зниження обчислювального навантаження за-пропоновано апроксимувати послiдовнiсть керувань на горизонт прогнозування лiнiйноi модель Враховуючи, що траекторiя приростiв керуючо! дп iнтерпретуеться, як iмпульсна характеристика динамiчноi системи, то Г! дощльно моделювати СОФ Лагерра через власти-вiсть експоненцiального затухання ортонормованих функцш:
(3)
де у — вектор параметрiв моделi; Ь[к] — вектор стану моделi Лагерра.
Оптимiзацiйна процедура визначення параметрiв моделi, що апроксимуе траекторш керувань:
(4)
де Q, 0 — матриц системи i керування прогнозуючо! моделi; Y = R-QL[k]T-0*u[k -1], за умов:
Для ощнки ефективностi системи прогнозуючого керування процесом дроблення, котра використовуе зворотнi нелiнiйнi функцп i СОФ Лагерра при пара-метризацп вектору керувань (далi за текстом система ^МРС) виконаемо серiю обчислювальних експери-ментiв. Для проведення порiвняльного аналiзу якостi перехiдних процесiв i обчислювального навантаження додатково виконаемо моделювання роботи прогнозую-чого регулятора з алгоритмом нелшшного послвдовно-го квадратичного програмування визначення елеменпв траекторп керування (далi NMPC). Довжина траекторп прогнозування Ыр, число обмежень Ыс та значення мат-риць вагових коефщенпв Q, S приймаються однаковими для обох систем.
Моделювання виконувалося для вибiрки 1000 вщлЫв з iнтервалом дискретизацп ДЬ = 0,5 с. Отже, експеримен-тальний часовий промiжок склав {ь еВ |0< Ь < 500} секунд. На вхвд обох систем подаються сигнали завдання, котрi змшюються за однаковим законом.
Регулятори налаштовуються наступним чином. Горизонт прогнозування складае 20 вiдлiкiв. Матрищ вагових коефщенпв входу-виходу було обрано з наступ-ними значеннями: для коефщента варiацii QCy = 1200, для виходу контрольного класу QY = 20, для входу за швидюстю обертання конусу Sm = 0,005 i для входу за шириною розвантажувальноГ щiлини Se = 0,005. Для системи NMPC встановлено горизонт керування 10 вщлЫв. На амплггуди перших складових векторiв керувань накладен обмеження {соеВ|4<ю< 12} об/с i {ееВ|8<е< 10} мм.
На рис. 2, а наведет перехвдш процеси у замкнутих системах прогнозуючого керування. В щлому яюсть системи iLMPC помiтно краща. При цьому, система NMPC продемонструвала згасаючу коливальшсть при регулюваннi. Як видно з графЫв, при запропонованих налаштуваннях регулятора у NMPC-системи наявне суттеве перерегулювання. Для коефщенту варiацii характеристики крупностi воно складае 8Су = 7,58 %, а для окремого виходу контрольного класу 8у = 2,7 %. Слщ вщзначити, що для виходу контрольного класу крупност значення вагових коефщенпв пiдiбранi бiльш вдало.
Проте, як видно з фрагменту сталого режиму (рис. 2, б) на iнтервалi {ь еВ 180 < Ь < 85} секунд система NMPC мае значно вищi похибки у статищ, абсолютнi похибки яких складають ест Су = 0,0027, ест у = 0,043 % для по-казника однорiдностi дробленоi руди i окремого виходу контрольного класу, ввдповвдно.
Додатково проведенi дослщження обчислювального навантаження на цифровий пристрш керування при використаннi порiвнюваних прогнозуючих регуляторiв. Графiчна iнтерпретацiя результатiв обчислювального експерименту наведет на рис. 3. У середньому час об-числення комбшацп керувань складае 1,14 мтсекунд для системи ^РМС i 168,34 мШсекунд для системи NMPC. Рiзке пiдвищення часу формування керувань для системи ^МРС спостерiгаеться при змш завдан-
J
ня за обома вхiдними величинами об'екту керування. Для системи NMPC час обчислень змiнюеться постшно у дiапазонi {проц еК10,059<£проц <0,42} секунди, як у перехщному, так i сталому режимах роботи замкнено'1 системи керування.
б
Рис. 2. Результати моделювання замкнених к□нтурiв САК процесом дроблення (фрагменти): а — перех1дн1 процеси; б — сталий режим роботи
гранулометричних та фiзико-механiчних властивостей гiрськоi маси. Для iмiтацii першо1 дii використаемо послщовшсть випадкових чисел, котрi змшюються на кожному вiдлiку за нормальним законом з середньо-квадратичним вщхиленням оСу! = 0,05 для показника однорщносп дробленого продукту i оу1 = 0,5 % для окремого виходу контрольного класу крупность Моде-лювання низькочастотних коливань виконаемо також шляхом використання послiдовностi випадкових чисел з середньоквадратичними вщхиленнями оСу2 = 0,2 та оу2 = 2,2 %, що змшюються на кожному 60 вщлжу. Результати моделювання роботи прогнозуючих регуля-торiв представленi на рис. 4.
-1-'-1-.lfrlJ'4 tf''iiito'fr V-'-'-
£ 10 ■- 4 - - - W^H : :
ü 50 1(Ю 150 200 250 ЭОО 350 400 450 50С Чис, с б
Рис. 3. Час формування керувань прогнозуючими регуляторами
Таким чином, можна констатувати, що прогнозуючий регулятор з швераею статичних нелшшностей i апрокси-мацiею траекторiй керувань СОФ Лагерра мае кращ1 якiснi характеристики перехщних процеав, зокрема, швидкодiю, точшсть та обчислювальне навантаження у порiвняннi зi звичайним нелiнiйним прогнозуючим регулятором. З урахуванням часу адаптивно! щенти-фiкацii параметрiв гiбридноi прогнозуючо! моделi [13] загальний час розрахункiв складае 43,84 мтсекунди, що значно менше iнтервалу дискретизацii. Ця особ-лившть дозволяе здiйснювати весь обчислювальний цикл у iнтервалi мiж отриманням даних про поточне значення режимних параметрiв процесу дроблення вщ вiдповiдних датчиюв i АЦП.
Виконаемо дослiдження яюсних характеристик регу-ляторiв при впливi на об'ект зовнiшнiх неконтрольованих збурень. Здшснимо моделювання для двох збурюючих факторiв: високочастотноi перешкоди з низько! ампль тудою, що характернi для каналiв передачi даних вiд датчиюв до пристрою керування i низькочастотних з високою амплиудою, що обумовлеш коливаннями
Рис. 4. Перех1дн1 процеси в замкнених контурах САК процесом дроблення при дц зовн1шн1х збурень: а — коефщвнт вар1ацц характеристики крупносп; б — вих1д контрольного класу; в — швидтсть обертання дроблячого конусу; г — ширина розвантажувально'1 щ1лини
Як видно з графтв, якiсть перехiдних процесiв очжувано знижуеться. У системи iLMPC з'являеться перерегулювання 8Су = 6,7 % при керуванш однорщшс-тю дробленоi руди. Також за даною вихщною координатою знижуеться швидкодiя обох регуляторiв. При керуваннi за окремим виходом контрольного класу яюсш характеристики системи ^МРС не попршу-ються (перерегулювання складае лише 8у = 12,31 %), в той час як у регулятора NMPC збшьшуеться час перехщного процесу i пщвищуеться перерегулювання до 8у = 12,2 %.
Графжи (рис. 4, в, г) демонструють, що висою по-казники регулювання системи iLMPC обумовлюються коливаннями ^руючо! д11 за швидюстю, що формуеться при розв'язаннi задачi квадратичного програмування.
На рис. 5 наведет графжи часу знаходження ком-бiнацii керувань на кожному вщлжу для систем прогнозуючого керування, що розглядаються, при вплив1 неконтрольованих збурень.
Вщзначимо, що швидкодiя регулятора iLMPC сутте-во не змiнюеться у порiвняннi з незбуреною системою i у середньому складае 1,19 мьмсекунд, а швидюсть
а
обчислень системи NMPC знижуеться до 195,16 мт-секунд, тобто на 15,9 %.
рис. 5. Час формування керувань прогнозуючими регуляторами
Таким чином можна зробити висновок, що система прогнозуючого керування з швертуванням статичних нелшшностей пбридно! блочно-орieнтованоi моделi i СОФ Лагерра, котрi параметризують траeкторii ке-рувань може бути використана у реальних умовах рудопiдготовки на прничо-збагачувальних комбiнатах i реалiзована на базi цифрового пристрою керування, що працюе з iнтервалом дискретизацii вище 20 мтсекунд.
6. висновки
Запропоновано метод формування прогнозуючого керування процесом дроблення руди, який заснований на швертуванш статичних нелшшностей входу-виходу блочно-орieнтованоi моделi i апроксимацii траекто-рiй керування системами ортонормованих функцш Лагерра. Такий пщхщ дозволяе звести задачу прогнозуючого керування до задачi квадратичного програ-мування, i тим самим зменшити час обчислювальних операцiй.
Проведено порiвняльний аналiз якостi регулюван-ня i швидкодii системи, що реалiзуе запропонований метод, з системою нелшшного прогнозуючого керування. Встановлено, що при однакових налаштуван-нях порiвнюваних регуляторiв i iдентичних збуреннях розроблена система дозволяе забезпечити на 12,5 % i 11,9 % меншi перерегулювання за коефiцiентом варiа-цii характеристики крупност та виходом контрольного класу, на 6,3 i 14,7 секунди менший час перехiдних процесiв за ввдповвдними режимними параметрами i в 164 рази (1,19 мШсекунд) нижчий час формування керувань. Слщ вщзначити, що у запропонованоi системи керування нижча похибка у статищ.
Литература
1. Allgower, F. Nonlinear Model Predictive Control: From Theory to Application [Text] / F. Allgower, R. Findeisen, Z. K. Nagy // Journal of the Chinese Institute of Chemical Engineers. — 2004. — Vol. 35, № 3. — P. 299-315.
2. Веремей, Е. И. Управление с прогнозирующими моделями [Текст] / Е. И. Веремей, М. В. Сотникова. — СПб.: СПбГУ, 2014. — 212 с.
3. Кабанов, С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях [Текст] / С. А. Кабанов. — СПб.: СПбГУ, 1997. — 200 с.
4. Patikirikoral, T. Hammerstein-Weiner Nonlinear Model Based Predictive Control For QoS Management in Complex Software Systems [Text] / T. Patikirikorala, L. Wang, A. Colman, J. Han // Control Engineering Practice. — 2012. — Vol. 20, № 1. — P. 49-61. doi:10.1016/j.conengprac.2011.09.003
5. Базара, М. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы [Текст]: пер. с англ. / М. Базара, К. Штетти. — М.: Мир, 1982. — 593 с.
6. Hadef, J. E. Nonlinear Model Predictive Control Of The Air Path Of A Turbocharged Gasoline Engine Using Laguerre Functions [Text] / J. E. Hadef, S. Olaru, P. Rodriguez-Ayer-be, G. Colin, Y. Chamaillard, V. Talon //In Proceedings of System Theory, Control and Computing (ICSTCC), 2013 17th International Conference. — Sinaia, 2013. — P. 193-200. doi:10.1109/icstcc.2013.6688959
7. Hadef, J. E. Explicit-Ready Nonlinear Model Predictive Control of the Air Path of a Turbocharged Spark-Ignited Engine [Text] / J. E. Hadef, S. Olaru, P. Rodriguez-Ayerbe, G. Colin, Y. Chamail-lard, V. Talon //In Proceedings of 7th IFAC Symposium on Advances in Automotive Control. — Tokyo, Japan, 2013. — P. 189-194. doi:10.1109/cca.2013.6662746
8. Lee, J. H. Improving Computational Efficiency of Model Predictive Control Algorithm Using Wavelet Transformation [Text] / J. H. Lee, Y. Chikkula, Z. Yu, J. C. Kantor // International Journal of Control. — 1995. — Vol. 61, № 4. — P. 859-883. doi:10.1080/00207179508921935
9. Wang, L. Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB [Text] / L. Wang. — London: Springer-Verilag, 2009. — 375 p. doi:10.1109/acc.2009.5159781
10. Поркуян, О. В. Идентификация объектов управления на основе моделей Гаммерштейна относительно к процессам магнитной сепарации [Текст]: зб. наук. пр. / О. В. Пор-куян // Вюник Криворукого техшчного ушверситету. — 2007. — № 19. — С. 223-228.
11. Коршенко, В. I. Автоматизоваш системи оптимального керування процесами крупного дроблення та самоздрйнюван-ня руд [Текст]: автореф. дис. ... д-р. техн. наук: 05.13.07 / В. I. Коршенко. — Дшпропетровськ, 2010. — 40 с.
12. Михайленко, О. Ю. Удосконалення математично'! модел1 конусно'! дробарки з урахуванням роздшення камери дро-блення на зони [Текст]: зб. наук. пр. / О. Ю. Михайленко // Вюник Криворюького национального ушверситету. — Кривий Р1г: ДВНЗ «КНУ», 2013. — Вип. 35. — С. 163-170.
13. Mykhailenko, O. Cone Crusher Model Identification using Block-Oriented Systems with Orthonormal Basis Functions [Text] / O. Mykhailenko // International Journal of Control Theory and Computer Modelling (IJCTCM). — 2014. — Vol. 4, № 3. — P. 1-8. doi:10.5121/ijctcm.2014.4301
УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ДРОБЛЕНИЯ РУДЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БЛОЧНО-ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛИ
В статье рассмотрен вопрос разработки системы прогнозирующего управления процессом дробления руды. Предложен метод формирования управлений, основанный на инвертировании статических нелинейностей блочно-ориентированной модели и аппроксимации траекторий управления системами ортонормированных функций Лагерра. Полученная система продемонстрировала высокое качество переходных процессов и низкую вычислительную нагрузку на устройство управления.
Ключевые слова: процесс дробления, управление с прогнозирующими моделями, качество управления, вычислительная нагрузка, моделирование.
Михайленко Олекст Юршович, асистент, кафедра електро-
постачання та енергетичного менеджменту, ДВНЗ «KpuBopi3b -
кий нащональний утверситет», Украта,
e-mail: epem.mykhailenko@gmail.com.
Михайленко Алексей Юрьевич, ассистент, кафедра электроснабжения и энергетического менеджмента, ГВУЗ «Криворожский национальный университет», Украина.
Mykhailenko Oleksii, State institution of higher education «Kryvyi Rih National University», Ukraine, e-mail: epem.mykhailenko@gmail.com
