CC BY
25Л. И. Мчедлишвили
ИСЧИСЛЕНИЯ ОТБРАСЫВАЕМЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ СИСТЕМ ПОЗИТИВНОЙ СИЛЛОГИСТИКИ
Abstract. In [4] and [1] the set of formulae rejected in the Lukasievwicz's caluculus of positive syllogistic was axiomatized. In this article we construct analogous adequate calculi of rejected formulae for the systems of positive syllogistic of Slupecki [3], Shepherdson [7; the system B] and Smirnov [5].
Я.Лукасевичем в 30-е годы [1, 27], [4, 275], Е.Слупецким в 1946 г. [6,310] и В.А. Смирновым в 1981 г. [5] были построены разные формальные реконструкции ассерторической позитивной силлогистики Аристотеля (соответственно обозначим их через L, Sl и Sm). Параллельно изучался позитивно-силлогистический фрагмент исчисления классов, в котором суждения SаР и SеР вслед за Ф. Брентано без каких-либо ограничений понимаются как SeP и SflP=0. Этот фрагмент был аксиоматизирован Дж.Шефердсоном в 1955 г. в виде системы В [7], [6, 310]. Исчисления Sl, Sm, L и В можно сформулировать 1) в едином языке, в котором формулы образуются из атомов вида SаР, SеР, SiP, SоР с помощью обычных пропозициональных связок, 2) на базе классического исчисления высказываний (РС), принимая в качестве аксиом все частные случаи классических тавтологий, 3) с общими исходными правилами вывода - правилом подстановки (переменного термина на место переменного термина), правилом отделения антецедента (modus pomns) и 4) со специальными силлогистическими аксиомами, которые выбираются из следующего списка формул:
при этом аксиомами Sl являются формулы 1-6, аксиомами Sm -формулы 1-6,7, аксиомами L - формулы 1-6,8 и аксиомами В -формулы 1-5,8,9,10. В каждом из этих исчислений понятия доказательства и вывода из гипотез определяются стандартно.
Изучая текст "Первой аналитики", Лукасевич обнаружил, что Аристотель для того, чтобы показать необщезначимость силлоги-
1. SeP з PeS,
2. -SaP = SoP,
3. -SeP = SiP,
6. -( SaPA SeP),
7. SiP з SaS,
8. SaS,
4. MaPA SaM з SaP,
5. MePA SaM з SeP,
9. SiP з SiS,
10. SoP з SiS;
стических форм и отвергнуть их, иногда вместо обычных опровергающих примеров, использует определенный логический прием отбрасывания, заключающийся в выводе необщезначимости одной формы из необщезначимости других форм, применяя при этом также формы, верность которых была им ранее доказана. Лукасе-вич обобщил аристотелевскую идею дедуктивного отбрасывания и предложил аксиоматизировать множество необщезначимых форм силлогистики (точнее, формул, не доказуемых в L). С этой целью Лукасевич совместно со Слупецким построил аксиоматическую систему отбрасываемых формул с единственной аксиомой отбрасывания
* 11. РаМ л SаМ з SiР, где "*" является знаком отбрасывания, аналогичным фрегевскому знаку утверждения, и следующими правилами отбрасывания: правило обратной подстановки (если отбрасывается результат подстановки в формулу F, то отбрасывается и сама формула F), правило отделения консеквента, modus tollens (если доказуема F3G, а G отбрасывается, то отбрасывается также F) и правило Слупецкого (если А и В - отрицательные атомы, а D - дизъюнкция атомов, то если отбрасываются АзО и ВзО, то отбрасывается также АлВ 3D).
При применении правила modus tollens одна из посылок должна быть доказуемой в L формулой, т.е. отбрасывание (доказательство отбрасываемости) может содержать как ранее отброшенные, так и ранее доказанные формулы (для того, чтобы различать их, перед отбрасываемыми формулами будем писать индекс "*"). Поэтому на исчисление отбрасываемых формул Лукасевича-Слу-пецкого можно смотреть как на некое расширение исчисления L путем введения понятий "негативного" доказательства, т.е. отбрасывания, и отбрасываемой формулы, наряду с обычными понятиями "позитивного" доказательства и доказуемой формулы (за таким расширением сохраним то же обозначение "L", но в случаях, когда необходимо отличить первоначальное исчисление L от его расширения, для последнего будем использовать обозначение "*L"). Более точно понятие отбрасывания можно определить следующим образом.
Конечная последовательность формул Fi, ..., Fn, где Fn и некоторые (возможно все) другие члены этой последовательности имеют индекс *, называется отбрасыванием, если и только если каждый член этой последовательности Fj удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:
(1) Fj не имеет индекса * и F ; доказуема в L;
(2) Р1 имеет индекс * и
(2.1) р1 является аксиомой отбрасывания,
(2.2) для некоторого к < i Fk имеет индекс * и является результатом некоторой подстановки в F1 ,
(2.3) для некоторых к и 1 < i Fk = р1 з Р[ , Рк не имеет индекса и F1 имеет индекс *,
(2.4) р1 имеет вид А л В з D, где А и В являются отрицательными атомами, а D - дизъюнкцией произвольных атомов, и для некоторых к и 1 < i Fk = А з Б, р1 = В з D и как Fk , так и F1 имеют индекс *.
Отбрасывание является отбрасыванием его последней формулы.
Лукасевич многократно подчеркивает, что в L принимаются (доказываются) только общезначимые формулы, т.е. формулы, истинные для всех значений, встречающихся в них переменных, а в ^ отбрасываются только необщезначимые формулы (утверждения о корректности исчислений L и *Ц), откуда следует утверждение о несовместимости метапредикатов доказуемости1 и отбрасываемости:
{Р: П { F: *ьР} = 0
Однако при доказательстве утверждений о корректности [1,§34] он пользуется лейбницевым понятием арифметической интерпретации силлогистического языка (и соответствующим понятием общезначимости), согласно которому значениями переменных терминов являются пары взаимно простых числе, а не общие термины или круги Эйлера (произвольные классы предметов), на которые он ссылается в связи с обсуждением других проблем.
В [1, §33] также доказано утверждение о дополнительности метатеоретических предикатов доказуемости и отбрасываемости: любая силлогистическая формула или доказуема или отбрасываема в L, т.е.
{Р: #ьР} и { Р: *ьР} = и, где и - множество всех силлогистических формул. В доказательстве используется силлогистическая версия теоремы о конъюнктивной нормальной форме, согласно которой каждая силлогистическая формула эффективным способом может быть преобразована в равносильную конъюнкцию некоторых дизъюнкций атомарных формул, и далее для любой такой дизъюнкции определяется также эффективная процедура нахождения ее доказательства или отбрасывания в L. Из утверждения о дополнительности сле-
1 Для предиката доказуемости используем символ "#".
дуют полнота исчислений L и если F - формула, общезначимая в арифметической семантике Лейбница, то #ь F, в противном случае, * ь F. Из эффективности доказательства утверждения о дополнительности совместно с утверждением о корректности следует разрешимость проблемы общезначимости в лейбницевом смысле.
Более естественную логическую семантику Лукасевич интуитивно подразумевал, однако ее явно использовал только фрагментарно при обсуждении частных проблем [1, с.155-157]. Слупецкий в более ранней работе (в ней доказаны все перечисленные результаты в качестве ответов на поставленные Лукасевичем проблемы) опирается именно на такую семантику - на интерпретацию силлогистического языка, в которой значениями переменных являются непустые классы предметов [4, с.293-295].
В настоящей работе предлагаются сопряженные с Sl, Sm и В формальные аксиоматические системы отбрасываемых формул *Sl, *Sm и *В и для них доказываются аналоги всех сформулированных выше метатеорем об L и * L, при этом, возвращаясь к подходу Слупецкого, в качестве семантической основы берутся понятия интерпретации с классами предметов в качестве значений переменных.
***
Упорядоченная пара (Б, Д) называется Sm-, Ь-, В-интерпрета-цией, а упорядоченная тройка (Б, Я, ^ - 81-интерпретацией языка позитивной силлогистики, если Б - произвольное непустое множество, Я - бинарное отношение на Б (Я с Б х Б), а Д - означивающая функция, отображающая множество переменных терминов силлогистического языка 1) в множество всех подмножеств множества Б (в случае Sm-, Ь-, В-интерпретаций) и 2) в множество всех непустых подмножеств множества Б (в случае L-интерпрета-ции). В любой интерпретации I каждой силлогистической формуле приписывается одно из двух истинностных значений (И, Л), определяемое индуктивно по построению формулы. Базисными пунктами определения являются:
в L- и В-интерпретациях в Sm-интерпретациях
I (БаР) = И е. т. е. ДБ) с ДР), ДБ) * 0 и 1(8) с А(Р), I (БеР) = И е. т. е. f(S) П ДР) = 0, f(S) П Д(Р) = 0, I (ЙР) = И е. т. е. ДБ) П ДР) ф 0, П Д(Р) ф 0, I (БоР) = И е. т. е. ДБ) - ДР) * 0, ДБ) = 0 или ДБ) - А(Р) * 0;
в Б1-интерпретациях
f(S) * 0 и f(S) с f(P) и Vx(xef(S) ^ 3y(yef(P) и xRy)), f(S) П f(P) = 0 или VxVy(xef(S) и yef(P) ^ ~xRy и ~yRx), f(S) П f(P) * 0 и 3x3y(xef(S) и yef(P) (xRy или yRx)), f(S) * 0 или f(S) - f(P) * 0 или 3x(xef(S) и Vy(yef(P) ^ xRy).
(индуктивные пункты формулируются в соответствии с таблицами истинности для пропозициональных связок). Понятия (Sl-, Sm-, L-и В-) общезначимости и выполнимости определяются обычным образом2.
(I) Утверждение о корректности: любая доказуемая в Sl, Sm, L, В формула соответственно является: Sl-, Sm-, L-, В- общезначимой (легко доказывается индукцией по длине доказательства формул).
В дальнейшем конъюнкцию K (соответственно, дизъюнкцию D) силлогистических атомов (простую конъюнкцию, простую дизъюнкцию) будем рассматривать как множество всех ее различных атомарных членов и применять соответствующие теоретико-множественные понятия.
Атом А называется ВСS-выводимым из простой конъюнкции K (символически, К# А), если существует конечная последовательность атомов Ai, ..., Ап такая, что А = Ап и каждый член этой последовательности Aj удовлетворяет следующему условию: 1) А; е K, или существуют h и j<i такие, что AhA Aj з А; получается подстановкой 2) из аксиомы 4 (ВагЬага), или 3) из аксиомы 3 (Сергей), или 4) существует j<i такое, что Aj з А; получается подстановкой из аксиомы 1 (соnversio simplex е - суждения).
Простая конъюнкция K называется BCS-замкнутой (коротко, замкнутой), если {А: K # • А} с K и, следовательно, если K = {А: K# • А}. Из этого определения непосредственно следует, что K является BCS-замкнутой, если и только если для любых переменных S, M и Р выполняются условия: 1) если МаР, SaM е K, то SaP е K; 2) если MeP, SaM е K, то SeP е K; 3) если SeP е K, то PeS е K.
(II) В каждом из исчислений Sl, Sm, L, В для любой простой конъюнкции K существует единственная доказуемо-эквивалент-
2 Сложность базисных правил истинности в семантике Б1 - существенная особенность этого исчисления. В отличие от других рассматриваемых нами силлогистических систем, для Б1 невозможно найти адекватную интерпретацию силлогистических атомов в исчислении одноместных предикатов первого порядка (Рг(1)), иными словами, не существует функции, погружающей Б1 в Рг(1). Дело в том, что неэквивалентных в Б1 формул с п > 1 переменными терминами больше, чем неэквивалентных в Рг(1) формул с п переменными для одноместных предикатов и без свободных индивидных переменных [2,с. 11-18], [3,с.29-34].
ная ей замкнутая простая конъюнкция, которую будем называть ВСS-замыканием К и обозначать через Кс.
"Быть BCS-выводимым из", "быть замкнутым", "быть замыканием" являются эффективно проверяемыми понятиями.
Несовместимыми атомами называются: в Sl: 1) SaP и SeP, 2) SaP и SoP, 3) SeP и SiP; в Sm: 1), 2), 3), 4) SeS и SaP, 5) SеS и SiP, 6) SeS и PiS,
7) SoS и SaP, 8) SoS и PaS, 9) SoS и SiP, 10) SoS и PiS; в L: 1), 2), 3), 11) SeS, 12) SoS; в B: 2), 3), 5), 6), 12), 13) SeS и SoP (где S и P - произвольные переменные).
Простая конъюнкция К называется Sl-, Sm-, L-, B-противоречивой, если Кс содержит несовместимые, соответственно, в Sl, в Sm, в L, в B атомы.
(III) Основная лемма. Простая конъюнкция K (Sl-, Sm-, L-, B-) выполнима, если и только если K не является (соответственно, Sl-, Sm-, L-, B-) противоречивой.
Прямая часть леммы доказывается легко: в каждом из наших исчислений доказуемо отрицание конъюнкции несовместимых в нем атомов, откуда следует доказуемость также и —К, а в силу утверждения о корректности, невыполнимость K, где К - противоречивая простая конъюнкция.
Обратное следование доказывается построением модели для Кс с непротиворечивым К. Соответствующая интерпретация определяется следующим образом.
Пусть P = (Pi, ..., Pn} - список всех переменных, занимающих в Кс экзистенциальную позицию3, F = (A1, ..., Am} - список всех i-атомов, а G = (B1, ..., Bl} - список всех о-атомов, входящих в Кс. Положим: D0 =(0, 1, ..., n, n+1, ..., n+m}, если определяется Sl-, Sm- или L-интерпретация, и D0 ={0, n+1, ..., n+m, n+m+l}, если определяется В-интерпретация.
Каждой переменной P сопоставим некоторое множество
m (P) с D0:
1) если Pe P, i - ее номер в P, Aj1, ..., Ajk, - все атомы из списка
F, содержащие переменную P, а Bl1, ., Blh, - все атомы из списка G, содержащие P в качестве субъекта, то m(P) = {i, n+j 1, ...,
3
Пусть К - замкнутая простая конъюнкция; Ь-экзистенциальную позицию занимают в К все переменные, встречающиеся в К; Б1- и Бт-экзистенциальную позицию занимают в К только переменные, содержащиеся в утвердительных атомах из К; и наконец, В-экзистенциальную позицию занимает в К переменная Р, если для некоторого Б в К входит 1) или Р1Б, или 2) БоР, или 3) МаР с такой М, что К содержит М1Б, Б1М или МоБ.
п+|к}, если определяется 81-, 8ш- или Ь-интерпретация, и т(Р) = {п+)ь ..., n+jk, п+ш+11, ..., п+ш+1ь}, если определяется В-интерпретация;
2) если Рё Р, то т(Р) = 0, если определяется 81-, 8ш- или В-интерпретация, и т(Р) = {0}, если определяется L-интерпрета-ция.
Положим, что для любой переменной Р Г°(Р)= т(Р) и ш(81) и ... и ш(8р), где S1aP, ..., 8раР - все атомы, вхоящие в Кс с Р в качестве предиката.
Определим 1) если SaPеKс, а i - номер переменной Р в Р, то для любого кеГ0^) 2) если SiPеK, а к и i являются номерами S и Р в списке Р, то кЯ°1.
(Р°,-р), (0°^°,:Р) являются искомыми интерпретациями. Используя дизъюнктивную нормальную форму силлогистических формул, в которой элиминированы все отрицания на основе законов контрадикторности (аксиомы 2 и 3), из основной леммы легко можно вывести теоремы полноты для каждого из исчислений Sl, Sm, L, В; однако мы будем следовать плану Лукасевича.
***
Исчисления отбрасываемых формул *Sl, *Sm и *В надстраиваются в разъясненном выше смысле на соответствующие исчисления Sl, Sm и В. Исходными правилами вывода в исчислениях *Sl, *Sm и *В являются те же, что в ^ - обратная подстановка, отделение консеквента и правило Слупецкого, однако на последнее в *В налагается дополнительное ограничение: отрицательные атомы А и В и простая дизъюнкция D таковы, что если А или В имеет вид SоP, то другой из них не есть ни 1) SeS, ни 2) MeS или SeM с такой переменной М, что SaM е(Б')°, ни 3) MeN с такими М и N что SaM е(В')с и SaN е(Б')°, где D' силлогистическое отрицание D4.
Аксиомы отбрасывания: *8ш: *11. РаМ л 8аМ з 81Р,
*12. з Р1Р; *81: *13. (8а8 л МаМ л РаР) з (РаМ л 8аМ з 81Р),
4 Пусть Е - силлогистическая формула, не содержащая отличных от л и V пропозициональных связок. Формулу, которая получается из Е заменой в ней всех символов "л" и "V" символами "V" и "л", соответственно, и каждого атома контрадикторным атомом, будем называть силлогистическим отрицанием Е и обозначать через Е'. Очевидно, что Е' доказуемо-эквивалентна формуле -Е. Силлогистическое отрицание простой дизъюнкции (конъюнкции) является простой конъюнкцией (дизъюнкцией).
*14. РаБ з (БаБ з Р1Р),
*15. (БаР л РаР) з (МаБ л МаМ з БаБ);
*В: *16. (Р1Р л з (РаМ л БаМ з Б1Р), *17. з Р1Р
(понятия отбрасывания и отбрасываемой формулы определяются точно так, как в *Ь).
В дальнейшем существенно используются следующие свойства ВСБ-выводимости (при этом А и В - отрицательные атомы, С -атом, а К - произвольная простая конъюнкция):
(1У.1) К#БеБ, если и только если 1) БеБ е К, или 2) МеБ е К или БеМ е К с такой переменной М, что К#БаМ, или 3) MeN е К с такими М и N что К# БаМ и
(1У.2) АлВлК #С, если и только если АлК#С или Вл К #-С (при утвердительном С правую часть равносильности можно усилить до К #С);
(1У.3) АлВлК является противоречивой, если и только если противоречивой является АлК или ВлК (в случае В-противоречи-вости А, В и К должны удовлетворять также следующему дополнительному условию: если А или В имеет вид БоР, то другой из них не есть ни 1) БеБ, ни 2) МеБ или БеМ с такой М, что БаМе Кс, ни 3) MeN с такими М и N что БаМе Кс и БаКе Кс).
(V) Утверждение о корректности: любая отбрасываемая в Б1, в Бт, в Ь, в В формула соответственно является Б1-, Бт-, Ь-, В-опровержимой (доказывается индукцией по длине отбрасывания формул).
Докажем только корректность правила Слупецкого. Пусть А и В - отрицательные атомы, D - дизъюнкция атомов, которые в случае исчисления *В удовлетворяют дополнительному условию, и предположим, что опровержимыми являются:
(1) АзБ и (2) ВзБ; тогда выполнимы их отрицания (3) АлD' и (4) ВлD', но тогда в силу основной леммы (3) и (4) не являются противоречивыми, а в силу (1У.3) не является противоречивой также (5) АлВлD; используя опять основную лемму, заключаем, что (5) выполнима и, следовательно, опровержимо ее отрицание.
(6) АлВзБ.
Из утверждений о корректности (I) и (V) следует несовместимость метапредикатов доказуемости и отбрасываемости для каждого из исчислений Б1, Бт, L, В:
#F} П #F}=0.
В каждом из исчислений *Б1, *Бт, *L и *В можно обобщить правило Слупецкого следующим образом: если А1, ..., Ап - отрицательные атомы, а D - произвольная дизъюнкция атомов, то
если *А1зD, ..., *АпзБ, то *А1л ... лАпзБ, при этом, в случае исчисления *В, формулы А1, ..., Ап, D удовлетворяют дополнительному обобщенному условию: для каждого атома А! < п), если А! имеет вид SoP, то никакой другой атом из А1, ..., А п не есть ни 1) SeS, ни 2) MeS или SeM с такой переменной М, что SaMе(D')с, ни 3) МеN с такими М и N что 8аМеф')с и SaNе(D')с. Корректность обобщения доказывается индукцией по п (п>2); в случае исчисления *В следует применить
свойство (1У.2) с усиленной правой частью.
***
(VI) Любая дизъюнкция атомов D в каждом из рассматриваемых исчислений 81, 8ш, Ь, В или доказывается, или отбрасывается.
Доказательство разобьем на части.
(VI.!) D состоит только из утвердительных атомов. Тогда D 1) отбрасывается в Sl; 2) отбрасывается в Sm; 3) доказуема в L, если D содержит атомы вида SaS или SiS, и отбрасываема в L в противном случае; 4) доказуема в В, если D содержит атомы вида SaS, или атомы вида SiS и SaP (с одной и той же переменной S), и отбрасывается в В в противном случае.
Доказательство. Двучленные дизъюнкции, удовлетворяющие указанным условиям, в каждом случае отбрасываются, соответственно, с помощью следующих отбрасываемых формул: в Sl и Sm : SiS, в L : SiP в В : 818, 8аР, 8i8vPa8, 8iPvPa8, 8aPvPa8.
Если п-членная дизъюнкция А1v ... V Ап-1 V А п удовлетворяет указанным условиям, то каждая из следующих ее двучленных поддизъюнкций
А^ Ап , ..., Аn-lV А п, т.е. А1 з Ап , ..., Ап^з А п, также удовлетворяет указанным условиям и они отбрасываются; но тогда в каждом случае А1V ... V Ап-1 V Ап отбрасывается с помощью соответствующего обобщенного правила Слупецкого (в случае *В следует учесть, что Ап (=(Ап)с) является отрицательным атомом).
(VI.2) D состоит только из отрицательных атомов. Тогда дизъюнкция D отбрасывается в каждом из наших исчислений *Sl, *Sm *L, *В. В самом деле, пусть D° получается из D подстановкой 8 вместо всех других пременных, входящих в D. Можно показать, что
# D° з 8е8 V 808 и * 8е8 V 808
в каждом из наших исчислений. Но из этих формул с помощью modus tollens и обратной подстановки получаем отбрасывание для D.
(VI.3) D состоит только из отрицательных атомов и единственного утвердительного атома С. Каждая такая дизъюнкция доказуемо-эквивалентна некоторой импликации АзС, где А -BCS-замкнутая конъюнкция утвердительных атомов (если D1, ..., Dh - все отрицательные атомы, входящие в D, то А = (D'1 л ... л D'h)°). Для доказательства приспособим метод Лукасевича, применяемый им в аналогичной ситуации [1, с. 180-183]. Рассмотрим случаи:
(1) Се А; тогда # А з С в каждом из исчислении Sl, Sm, L и B.
(2) Сё А :
(2.1) С имеет вид SaS; тогда А з С 1) доказуема в L; 2) доказуема в В; 3) доказуема в Sm, если переменная S встречается в А, и отбрасываема в Sm, в противном случае; 4) отбрасываема в Sl. Докажем (2.1) только в части отбрасывания. Sm: пусть В з С получается из А з С подстановкой переменной Р, отличной от S, вместо всех переменных, входящих в А, тогда начиная с формул # PiP з В и * PiP з SaS с помощью modus tollens и обратной подстановки отбрасываем А зС:
(a) # PiP з B
(b) # (B з SaS) з (PiP з SaS)((a), PC)
(c) * PiP з SaS
(d) * B з SaS ((b), (c), modus tolleus)
(e) * A з SaS ((d), обратная подстановка).
Sl: пусть BзC получается из АзС подстановками переменной P, отличной от S, вместо всех таких переменных М, что SaMeA и, далее, переменной М, отличной от S и P, вместо всех остальных переменных. Легко показать, что
# SaP л PaP л MaS л MaM з B,
* SaP л PaP л MaS л MaM з SaS.
Опираясь на них можно отбросить A з C точно так, как в предыдущем случае.
(2.2) С имеет вид SiS; тогда: АзС 1) доказуема в L; 2) доказуема в Sm, если S встречается в А, и отбрасываема в Sm в противном случае; 3) доказуема в Sl, если А содержит атом вида МаS с некоторым М, и отбрасываема в Sl в противном случае; 4) доказуема в В, если А содержит атомы вида SiP, или PiS, или MiP и МаS, или PiM и МаS с некоторой переменной М, и отбрасываема в В в противном случае.
Доказательство (2.2) в части отбрасывания. Sm: * АзС получается из соответствующего подслучая (2.1) в силу доказуемой равносильности SiS^SaS. Далее, пусть ВзС получается подстановкой
из АзС переменной Р(^Б) вместо всех переменных, отличных от S (в случае Sl) и переменной S вместо всех таких М, что МаБеА, и переменной Р (^Б) вместо всех переменных, отличных от S. Можно показать, что
в : # 8аР л РаР з В, в В : # 8аР л Р!Р з В,
* 8аР л РаР з 8!8 * 8аР л Р!Р з 8!8.
С помощью этих формул можно отбросить АзС в 81 и В так, как в предыдущих случаях.
(2.3) С имеет вид 8аР с различными 8 и Р. Тогда АзС отбрасывается в каждом из рассматриваемых исчислений. В самом деле, пусть ВзС - результат следующих подстановок в АзС: сперва все такие переменные М, что 8аМ е А, заменяются на 8, а потом все отличные от 8 и Р переменные - на Р. Можно показать, что
в Б1: # РаБ л РаР л 8а8 з В * Ра8 л РаР л 8а8 з 8аР;
в Бт и и # Ра8 з В в В: # Ра8 л Р!Р з В,
* Ра8 з 8аР; * Ра8 л Р!Р з 8аР;
В каждом подслучае с помощью этих формул отбрасываем АзС так же, как в предыдущих случаях.
(2.4) С имеет вид 8!Р. Тогда А з С а) доказуема в 81, 8ш и Ь, если А содержит атомы вида 1) 8аР, или 2) Ра8, или 3) Р!8, или 4) МаР и Ма8, или 5) МаР и 8!М (или М!8), или 6) М!Р (или Р!М) и Ма8, или 7) МаР, Ка8 и М!К (или №М) для некоторых М и К, и отбрасывается в 81, 8ш и Ь в противном случае; в) доказуема в В, если А содержит атомы вида 3), или 5), иил 6), или 7) из указанного списка, и отбрасывается в противном случае.
Опять приведем только ту часть доказательства, которая касается отбрасывания. Пусть ВзС получается из АзС подстановками: 8 вместо таких переменных М, что Ма8еА, Р вместо таких М, что МаРе А и М вместо всех других переменных, отличных от 8 и Р. Можно показать, что
в Б1: # 8а8 л РаР л МаМ л 8аМ л РаМ з В,
* 8а8 л РаР л МаМ л 8аМ л РаМ з 8!Р;
в 8ш и Ь: #8аМ л РаМ з В,
* 8аМ л РаМ з 8!Р;
в В: # 8!8 л Р!Р л РаМ л 8аМ з В,
* 8!8 л Р!Р л РаМ л 8аМ з 8!Р.
Из этих формул в каждом подслучае получаем отбрасывание формулы АзС так же, как в предыдущих случаях.
(VI.4) D состоит из отрицательных атомов и более чем одного утвердительных атомов С1, ..., Ск. Всякая такая дизъюнкция доказуемо-эквивалентна следующей дизъюнкции импликаций: (АзСО V. V (АзСк),
где А - определяется так же, как в предыдущем случае. Если хотя бы для одного i (1 < ! < к) АзС! доказуема в каком-либо из исчислений Б1, Бт, L и В, то в силу РС в том же исчислении будет доказуемой и D. Если же АзС! недоказуема ни для какого ^ тогда в силу (УГ3) АзС! отбрасываема для каждого i и, следовательно, в силу РС в том же исчислении отбрасываемы С'1з А', ..., С'кз А'.
В случае исчислений Б1, Бт и Ь с помощью обобщенного правила Слупецкого из этих формул получаем, что отбрасывается также
С'1л А', .л С'кз А', что доказуемо-эквивалентна D. В случае же исчисления В в этой ситуации имеются две разные возможности. Если для каких-либо i и j (1< !, _)< к) С! имеет вид SiS, а СJ - вид БаР с одной и той же Б, то С'1 л ...л С'кз А' доказуема и, следовательно, доказуема Б. А когда это условие не выполняется, так как А' состоит из отрицательных атомов, выполняется ограничивающее условие для применения обобщенного правила Слупецкого и по этому правилу заключаем, что в В отбрасывается также С'1 л. л С кз А' и, следовательно, отбрасывается D.
(VII) Утверждение о дополнительности: любая силлогистическая формула в каждом из исчислений Б1, Бт, Ь и В или доказывается или отбрасывается и, таким образом,
(Б: # Б} и (Б: # Б} =и, где и - все множество силлогистических формул.
Доказательство. Пусть D1 л ... л Бп - доказуемо-эквивалентная формуле F ее н.к.ф., в которой элиминированы все отрицания согласно законам контрадикторности (аксиомы 2 и 3). (VII) достаточно доказать для таких D1л ... л Бп. Имеются две возможности: 1) доказуемы все D! (1 < ! < п); тогда, в силу РС, доказуема и вся конъюнкция D1 л ... л Бп, 2) некоторая D! не является доказуемой; тогда, поскольку D1, . , Бп простые дизъюнкции, в силу (VI) отбрасывается D! и опять, в силу РС, отбрасывается и вся конъюнкция ... л Бп.
Из утверждений о коректности и дополнительности следует полнота каждого члена пары сопряженных исчислений (Б1, *Б1), (Бт, *Бт), (L, *L) и (В, *В) относительно Б1-, Бт-, Ь- и В-обще-значимости, соответственно, а также разрешимость для этих понятий общезначимости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лукасевич Я. Аристотилевская силлогистика с точки зрения современой формальной логики. М., 1959.
2. Мчедлишвили Л.И. Ассерторическая силлогистика Аристотеля и логика одноместных предикатов // Методы логических исследований. Тбилиси, 1987, с. 11-18.
3. Мчедлишвили Л.И. Нормальные формы в силлогистике // Семантический анализ неклассической логики. Тбилиси, 1991. С. 2934.
4. Slupecki J. On Aristotelian Syllogistic // Studia Philosophica, 1949/50 (4). P. 275-300.
5. Смирнов В. А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии, Киев. 1981.
6. Prior A.N. Formal Logic. Oxford, 1962 (Appendix I).
7. Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // JSL, 21 (1956), no 2. P. 137-147.
