CC BY
22Позитивная силлогистика C3+ с константой исчерпываемости1
В. И. Маркин
abstract. We set out the syllogistic system OC3+ with standard constants a, e, i, о and new constants u and q: the statement of the form SuP means "Everything is either S or P"; the statement of the form SqP means "Something is neither S nor P". We demonstrate that OC3+ is embedded into the predicate calculus under the following translation X: x(SaP) = Vx (Sx D Px) & 3xSx & 3x-Px, x(SeP) = Ух (Sx D -Px) & 3xSx & 3xPx, x(SiP) = 3x (Sx & Px) V -3xSx V -3xPx, x(SoP) = 3x (Sx & -Px) V -3xSx V -3x-Px, x(SuP) = Vx (-Sx D Px) & 3x-Sx & 3x-Px, x(SqP) = 3x (-Sx & -Px) V -3x-Sx V -3x-Px, x(-A) = -x(A), x(AVB) = x(A)Vx(B), where V is any binary connective.
Ключевые слова: силлогистика, исчисление предикатов, погружающая операция.
В.А. Смирновым [3J был предложен следующий перевод формул позитивной силлогистики в язык логики предикатов: X(SaP) = Ух (Sx D Px) & 3xSx & 3x-Px, X(SeP) = yx (Sx D -Px) & 3xSx & 3xPx, X(SiP) = 3x (Sx & Px) v -3xSx v -3xPx, X(SoP) = 3x (Sx & -Px) V -3xSx V -3x-Px,
X(-A) = -X(A),
X(AvB) = x(A)Vx(B) (V — произвольная бинарная связка). Легко заметить, что в соответствии с данным переводом в истинных общих высказываниях — как утвердительных, так и отрицательных — оба термина должны быть непустыми и пеутти-
Xa
трактуется как знак отношения включения объема непустого и пеупиверсальпого субъекта в объем непустого и пеуттиверсаль-
e
1 Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант .V8 07-()3-()0314а.
стимости по объему двух непустых и пеуттиверсалытых терминов.
Ранее [1] много была построена система позитивной силлогистики С3+, которая погружается в классическое исчисление предикатов посредством перевода х- Сформулируем данную систему в несколько модифицированном виде. Схемами аксиом С3+ являются
A0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний
AI. (MaP & SaM) D SaP, A5. SeP D SaS
A2. (MeP & SaM) D SeP, A6. SiS
A3. SeP D PeS, A7. S iP = -SeP,
A4. SaP D (SaS&PaP), A8. S oP = -S aP.
Единственное правило вывода в C3+ — modus ponens.
Основная трудность в доказательстве погружаемости C3+ в исчисление предикатов посредством % заключалась в том, что в переводах некоторых силлогистических формул фигурируют формулы первопорядкового языка 3x—Sx и -3x-Sx, несущие информацию о пеупиверсальпости и универсальности термина S
дамепталыгой позитивной силлогистики, адекватной стандартному периоду, а также в рамках дефипициальпо эквивалентных ей силлогистик.
Для преодоления указанной трудности была использована построенная много [2] система обобщенной фундаментальной силлогистики (исчисление ОФС). В силлогистический язык, наряду с обычными константами a, i, e, o, вводятся дополнительно две новые константы и и q. Силлогистическая константа u трактуется как аналог отношения исчерпываемости, а q — как аналог отношения пеисчерпываемости универсума. Эти отношения трактуются следующим образом: объемы субъекта и предиката высказывания находятся в отношении исчерпываемости, если и только если Pix объединение совпадает с универсумом; в противном случае, они находятся в отношении пеисчерпываемости.
В языке появляются два новых типа элементарных формул: SuP и SqP. SuP может быть прочитано так: «Всякий объект есть S или P», а SqP — следующим образом: «Некий объект не SP
тотся формулы, содержащие информацию об универсальности pi
гу с* с* с* с*
о неуниверсальности термина Ь, — это выражения SuS и S qS соответственно.
Постулатами исчисления ОФС являются:
ФО. Схемы аксиом классического исчисления высказываний
Ф1. (MaP & SaM) D SaP, Ф9. SoP D SiS
Ф2. (MeP & SaM) D SeP, Ф10. SqP D SqS
ФЗ. MaP & SuM) D SuP Ф11. SoP D SqS
Ф4. (MuP & SeM) D SaP, Ф12. S iP = -SeP.
Ф5. SeP D (PeS Ф13. S oP = -S aP.
Ф6. SuP D PuS Ф14. S qP = -SuP.
Ф7. SaS Ф15. SiS V SqP
Ф8. SiP D SiS Rl. modus ponens.
В [2] доказана теорема о погружаемости обобщенной позитивной силлогистики ОФС в исчисление предикатов посредством «фундаментального» перевода * — стандартной интерпретации в первопорядковом языке категорических высказываний, естественным образом расширенной в связи с добавлением формул видов 5иР и 5qP:
(SaP)* = yx(Sx D Px), (SeP)* = yx(Sx D -Px), (SuP)* = yx(Sx V Px), (-A)* = -A*,
(SiP)* = 3x(Sx & Px), (SoP)* = 3x(Sx & -Px), (SqP)* = 3x(-Sx & -Px), (A VB)* = A* V B*.
Системы обобщенной позитивной силлогистики имеют самостоятельную значимость. В них преодолевается ограниченность стандартных силлогистик, где тте представляется возможным выразить некоторые важные объемные отношения между двумя терминами (например, отношение исчерпываемости). Известно
SP
SP
теорий А. Де Моргай, поэтому обобщенные силлогистики представляют определенный интерес pi с историко-логической точкрт зрения.
В [2] было сформулировано обобщение в языке с константами а, 1, е, о, и и ч не только фундаментальной позитивной силлогистики, по и традиционного варианта последней, который с семантической точки зрения базируется па принятии исходной предпосылки о ттепустоте и пеупиверсальпости всех терминов.
Аналогичная работа может быть проделана и для системы С3+. В данной статье будет предложено ее расширение — исчисление ОС3+ в языке обобщенной позитивной силлогистики.
Возникает вопрос об условиях истинности и ложности новых типов формул в силлогистике, базирующейся на С3+. Выше уже говорилось, что общие высказывания предполагают здесь ттепустоту и пеупиверсальпость своих терминов. В силу того, что БиР также является общим высказыванием, его естественно трактовать как утверждение о том, что объединение объемов
БР
версумом. Что же касается БчР, то оно должно быть истинным
БиР
Расширим в соответствии с указанной трактовкой определе-х
х(БиР) = Ух(-Бх э Рх) & Зх-Бх & Зх-Рх,
х(БчР) = Зх(-Бх & -Рх) V -Зх-Бх V -Зх-Рх.
Обобщенная позитивная силлогистика, соответствующая рас-х
ющим образом — к дедуктивным постулатам С3+ добавляются следующие схемы аксиом:
Назовем полученное исчисление ОС3+.
В дальнейшей часта статьи излагается доказательство погружаемости системы ОС3+ в классическое исчисление предикатов
х
нова.
Идея этого доказательства состоит в использовании обобщенной фундаментальной силлогистики ОФС в качестве «промежуточной» системы: предварительно демонстрируется погружаемость ОС3+ в ОФС, причем погружающая операция выбира-
А9. (М аР & Б иМ) э Б иР, А10. (МиР & БеМ) э БаР, А11. Б иР э РиБ,
А12. БиР э БаБ,
А13. БчБ,
А14. БчР = -Б иР,
3+
HI
ется таким образом, что ее композиция с «фундаментальным» *
X
Зададим перевод фг из OC3+ в ОФС такой, что ^\(A)* эк-
X(A)
A
фг (SaP) = SaP & SiS & PqP, фг (SiP) = SiP V SeS V PeP, фг (SeP) = SeP & SiS & PiP, Ф1 (SoP) = SoP V SeS V PuP, ф! (SuP) = SuP & SqS & PqP, фг (SqP) = SqP V SuS V PuP, фг-A) = -^i(A), фг^ VB) = ф^) Vфг(В).
В процессе доказательства погружаемости одной силлогистической системы в другую будем использовать предложенный
ф1
Si в исчисление S2, ел.е. (1) для произвольной формулы A языка Si, тел и A доказуема в Si, то фг^) доказуема в S2; и существует перевод ф^ из S2 в Si, такой что (2) для произвольной формулы A языка S2, тел и A доказуема в S2, то
Si A Si
A = ф2(ф1(A)) является теоремой Si.
ТЕОРЕМА 1. Перевод фг погружаem OC3+ в ОФС.
Доказательство.
Покажем сначала, что перевод фг удовлетворяет первой части критерия В.А. Смирнова. Приметшем индукцию по длине доказательства формулы A в системе OC3+. Продемонстрируем сначала доказуемость фг-перводов всех ее аксиом в исчислении ОФС.
АО. Переводы аксиом данного типа являются аксиомами ОФС.
А1. фг(ЩaP & SaM) D SaP) = (MaP & MiM & PqP & SaM& SiS & MqM) D (SaP & SiS & PqP)
стветттто из Ф1 по правилам классической логики высказываний (КЛВ).
Аналогично обосновываются аксиомы типов А2, A3, А6, А9, А10, АН и А13:
А2. ф^ЩeP & SaM) D SeP) = (MeP & MiM & PeP & SaM & SiS & MqM) D (SeP & SiS & PeP) выводится из Ф2;
АЗ. ф1(БР э РеБ) = (БеР & Б1Б & Р1Р) э (РеБ & Р1Р & Б1Б)
выводится из Ф5;
А6. ^1(Б1Б) = Б1Б V Б еБ V Б еБ выводится из частного случая Ф12 = -БеБ);
А9. М(МаР & БиМ) э БиР) = (МаР & М1М & РчР & БиМ & БчБ & МчМ) э (БиР & БчБ & РчР) выводится из ФЗ;
А10. ^1((МиР & БеМ) э БаР) = (МиР & МчМ & РчР & БеМ & Б1Б & М1М) э (БаР & Б1Б & РчР) выводится из Ф4;
АП.^БиР э РиБ) = (БиР & БчБ & РчР) э (РиБ & РчР & БчБ)
А13. ^1(БчБ) = БчБ V БиБ V БиБ выводится из частного случая Ф14 (БчБ = -БиБ).
А4. ^1(БаР э (БаБ & РаР)) = (БаР & Б1Б & РчР) э (БаБ & Б1Б & Б чБ & Р аР & Р1Р & Р чР)
1. (Р еР & БаР) э Б еР Ф2 БеР э РеБ
3. (Р еБ & Б аР) э Б еБ Ф2
4. (Р еР & БаР) э Б еБ 1,2,3;КЛВ
5. Р1Р = -РеР Ф12
6. Б1Б = -БеБ Ф12
7. (БаР & Б1Б) э Р1Р 4,5,6;КЛВ
8. (Б аР & Б иБ) э Б иР ФЗ БиР э РиБ
(БаР & РиБ) э РиР (БаР & БиБ) э РиР
12. Б чБ = -БиБ Ф14
13. Р чР = -Р иР Ф14
14. (БаР & РчР) э БчБ 11,12,13;КЛВ БаБ
РаР
17. (Б аР & Б1Б & Р чР) э (Б аБ & Б1Б & Б чБ & Р аР & Р1Р & РчР
А5.^1(БеР э Б аБ) = (БеР & Б1Б & Р1Р) э (БаБ & Б1Б & БчБ)
1. (SeP k PaS) D PeP Ф2
2. PoS = -PaS Ф13
3. PiP = -P eP Ф12
4. (SeP k PiP) D PoS 1,2,3;KJIB PoS D SqS
SaS
(SeP k SiS k PiP) D (SaS k SiS k SqS)
A7. фl(SiP = -S eP ) = (SiP V SeS V P eP ) = -(SeP k S iS k PiP)
1. SiP = -S eP Ф12
2. SiS = -S eS Ф12
3. PiP = -P eP Ф12
4. (S iP V S eS V P eP ) =-(S eP k SiS k P iP ) 1,2,3;КЛВ
A8. фl(S oP = -SaP ) = (SoP V S eS V P uP ) = -(S aP k S iS k PqP)
1. SoP = -SaP Ф13
2. SiS = -S eS Ф12
3. PqP = -P uP Ф14
4. (S iP V S eS V P eP ) =-(S eP k SiS k P iP ) 1,2,3;КЛВ
A12. фl(S uP D SaS ) = (SuP k S qS k P qP ) D (S aS k S iS k SqS)
1. (SuP k SeS) D SaP Ф4 SuP D PuS
3. (SuP k SeS) D (SaP k PuS) 1,2;КЛВ (SaP k PuS) D PuP (SuP k SeS) D PuP
6. S iS = -SeS Ф12
7. P qP = -P uP Ф14
8. (S uP k P qP ) D S iS 5,6,7;КЛВ SaS
(SuP k SqS k PqP) D (SaS k SiS k SqS)
А14. ^1(БчР = -БиР) = (БчРVБиБVPиР) = -(БиР & БчБ & РчР) ем Ф14.
Из определения ф1 следует, что если ф1(А э В) и ф1(А) доказуемы в ОФС, то ф1 (В) также доказуема в этой системе. Первая часть доказательства теоремы 1 завершена.
В качестве обратного перевода из ОФС в ОС3+ рассмотрим функцию ф2:
ф2(БаР) = БаР V РоР, ф2(Б1Р) = Б1Р,
ф2(БеР) = БеР, ф2(БоР) = БоР & РаР,
ф2(БиР) = Б иР V БоБ V Р оР, ф2(БчР) = БчР & БаБ & Р аР,
ф2(-А) = -ф2(А), ф2(А VВ) = ф2(А) Vф2(В).
ф2
ется погружающей операцией. Покажем, что он удовлетворяет второй часта критерия В.А. Смирнова.
Снова приметшем индукцию по длине доказательства форму-А
доказуемость ф2-переводов всех ее аксиом в исчислении ОС3+.
ФО. Переводы аксиом данного типа являются аксиомами ОС3+.
Ф1. ф2((МаР & БаМ) э БаР) = ((МаР V РоР)&(БаМ V МоМ)) э (БаР V РоР).
1. (М аР & Б аМ) э Б аР А1
2. (М аР & Б аМ) э (БаР V Р оР) 1;КЛВ МаР э (МаМ & РаР)
4. М оМ = -М аМ А8
5. -(МаР & МоМ) 3,4;КЛВ
6. (МаР & МоМ) э (БаР V РоР) 5;КЛВ
7. РоР э (БаР V РоР) закон КЛВ
8. ((МаР V РоР) & (БаМ V МоМ)) э (БаРV РоР)
Ф2. ф2((МеР & БаМ) э БеР) = (МеР & (БаМ V МоМ)) э БеР
1. (МеР & БаМ) э БеР А2
2. МеР э МаМ А5
3. М оМ = -М аМ А8
4. -(МеР & МоМ) 2,3;КЛВ
5. (М еР & М оМ) э Б еР 4;КЛВ
6. (МеР & (БаМ V МоМ)) э БеР 1,5;КЛВ
ФЗ. ф2((МаР & БиМ) э БиР) = ((МаР V РоР)&(БиМ V БоБ V МоМ)) э (БиР V БоБ V РоР).
1. (МаР & БиМ) э БиР А9
2. (М аР & Б иМ) э (Б иР V Б оБ V Р оР) 1;КЛВ
3. (М аР & Б оБ) э (Б иР V БоБ V Р оР) закон КЛВ
4. МаР э (МаМ & РаР) А4
5. М оМ = -М аМ А8
6. -(МаР & МоМ) 4,5;КЛВ
7. (МаР & МоМ) э (БиР V БоБ V РоР) 6;КЛВ
8. РоР э (БиР V БоБ V РоР) закон КЛВ
9. ((МаР V РоР) & (БиМ V БоБ V МоМ)) э
(БиР V Б оБ V РоР) 2,3,7,8;КЛВ
Ф4. ф2((М иР & Б еМ) э Б аР) = ((М иР V М оМ V Р оР )& БеМ) э (БаР V РоР).
1. (М иР & БеМ) э Б аР А10
2. (МиР & БеМ) э (БаР V РоР) 1;КЛВ
3. БеМ э МеБ АЗ
4. МеБ э МаМ А5
5. М оМ = -М аМ А8
6. -(МоМ & БеМ) 3,4,о;КЛВ
7. (М оМ & Б еМ) э (БаР V Р оР) 6;КЛВ
8. РоР э (БаР V РоР) закон КЛВ
9. ((М иР V М оМ V Р оР) & Б еМ) э (БаР V
РоР)
Ф5. ф2(БеР э РеБ) = БеР э РеБ — аксиома АЗ системы ОС3+.
Ф6. ф2(БиР э РиБ) = (БиР V БоБ V РоР) э (РиБ V РоР V БоБ)
ческой логики высказываний.
Ф7. ф2(БаБ) = БаБ V БоБ выводится из частного случая А8 (БоБ = -БаБ). Ф8. ф2(Б 1Р э Б1Б) = Б1Р э Б1Б выводится из А6. Ф9. ф2(БоР э Б1Б) = (БоР & РаР) э Б1Б выводится из А6. Ф10. ф2(Б чР э Б чБ) = (Б чР & Б аБ & Р аР) э (Б чБ & Б аБ & БаБ)
ФИ.ф2(БоР э РчР) = (БоР & РаР) э (РчР & РаР & РаР)
(РчР)
Ф12. ф2(Б\Р = -БеР) = Б1Р = -БеР — аксиома А7 системы ОС3+.
Ф13. ф2(БоР = -БаР) = (БоР & РаР) = -(БаР V РоР)
1. БоР = -БаР А8
2. РоР = -РаР А8
3. (БоР & РаР) = -(БаР V РоР) 1,2;КЛВ
Ф14. ф2(БчР = -Б иР) = (Б чР & Б аБ & Р аР) = -(Б иР V БоБ V РоР)
1. БчР = -Б иР А14
2. БоБ = -БаБ А8
3. РоР = -РаР А8
4. (БчР & БаБ & РаР) =-(БиР V БоБ V РоР) 1,2,3;КЛВ
Ф15. ф2(Б 1Б V Б чБ) = Б1Б V Б чБ & Б аБ & Б аБ выводится из А6.
Из определения ф2 следует, что если ф2(А э В) и ф2(А) доказуемы в ОС3+, то ф2(В) также доказуема в этой системе. Вторая часть доказательства теоремы 1 завершена.
Остается продемонстрировать доказуемость в ОС3+ формулы А = ф2(ф1 (А)) для произвольной А. Применяем индукцию
А
А
опальных связок.
(1) A теть SaP. Тогда ^2(^1 (A)) = Ф2(SaP к SiS к PqP) = (SaP V P oP ) к SiS к P qP к P aP к P aP.
1. P oP = -P aP A8
2. ((S aP V P oP ) к P aP ) D S aP 1;КЛВ
3. ((S aP V P oP ) к S iS к P qP к P aP к P aP ) D SaP
SiS PqP
6. SaP D (S aS к P aP ) A4
7. SaP D ((S aP V P oP )к S iS к P qP к P aP к PaP)
8. SaP = ((S aP V P oP ) к S iS к P qP к P aP к PaP)
(2) A теть SeP. Тогда Ф2 (Ф1 (A)) = ^(S eP к S iS к PiP) = SeP к S iS к P iP
SiS PiP
3. SeP = (S eP к S iS к P iP ) 1,2;КЛВ
(3) A теть SuP. Тогда Ф2(Ф1 (A)) = fà(SuP к SqS к PqP) = (SuP V S oS V P oP ) к S qS к S aS к S aS к P qP к P aP к P aP.
1. S oS = -S aS A8
2. P oP = -P aP A8
3. ((S uP V S oS V P oP ) к S aS к P aP ) D SuP
4. Ф2(Ф1 (SuP)) D SuP 3;КЛВ SuP D SaS
SuP D PuS PuS D PaP SuP D PaP SqS
10. PqP
11. SuP Э MMSuP))
12. S uP = ^(MSuP))
A13
5,8,9Д0;КЛВ 4Д1;КЛВ
(4)-(6) Случаи, когда A имеет вид SiP, SoP и SqP сводятся соответственно к случаям (2), (1) и (3) в силу определений переводов ф\ и ф2, а также аксиом АО, А8, А7 и А14 системы
А
обосновываются с использованием индуктивного допущения и
ф1 ф2
Поскольку все три части критерия погружаемости В.А. Смирнова справедливы для перевода ф1 и систем ОС3+ и ОФС, теорема 1 доказана. д.Е.О.
ТЕОРЕМА 2. Обобщенный перевод х погружает, силлогистику ОС3+ в классическое исчисление предикатов.
Доказательство. Из только что установленного факта погружаемости системы ОС3+ в ОФС посредством перевода ф1 и доказанной в [2] теоремы о погружаемости силлогистики ОФС в классическое исчисление предикатов посредством перевода *
вытекает, что ОС3+ погружается в исчисление предикатов по-
ф1 *
А
в системе ОС3+ тогда и только тогда, когда формула ф1(А)* доказуема в исчислении предикатов.
Индукцией по числу пропозициональных связок в силлогистической формуле А несложно доказать, что ф1(А)* логически
х(А)
ф1 *
Х. Отсюда следует, что формула ф1(А)* является теоремой пер-вопорядкового исчисления в том и только в том случае, когда
х(А)
А
пой силлогистики доказуема в системе ОС3+ тогда и только то-ГДсЦ х(А)
Погружаемость силлогистики ОС3+ в исчисление предикатов доказана!. с^.к.о.
OC3+.
Литература
1] Маркин В. И. Системы силлогистики, адекватные двум переводам силлогистических формул в исчисление предикатов В.А.Смирнова // Труды научно-иследователъского семинара логического центра Института философии РАН 1997. М.: ИФ РАН, 1998.
2] Маркин В. И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. Вып.6. М.: РОССПЭТТ, 1999.
3] С .мирное В. А. Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев: ТТау-кова думка, 1980.
