Фундаментальная силлогистика с интенсиональной точки зрения Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.И.Маркин

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИЛЛОГИСТИКА

w *

С ИНТЕНСИОНАЛЬНОИ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

Abstract. We set out an intensional semantics for pure positive syllogistic language. According to it each term Q denotes not a set of individuals but a concept d(Q) considered as a non-empty set of positive or negative characters. We define a function * on concepts, which assigns to every concept a the contrary concept a*: pi ea* » ~pi ea* and ~pi ea* » pi ea, where pi is a positive character and ~pi is a negative character. SaP means that d(P) с d(S), SeP means that d(P)* n d(S) Ф 0. We prove that this semantics is adequate to syllogistic system with the following axiom schemes: (MaP&SaM) з SaP, (MeP&SaM) з SeP, SeP з PeS, SaS, SiP = -SeP, SoP = -SaP.

В предыдущем, восьмом, выпуске «Логических исследований»

[3] мною была предложена нестандартная семантика для силлогистики Я.Лукасевича (системы С4 по классификации В.А.Смирнова

[4]), формализующей позитивный фрагмент традиционной силлогистики. Эта семантика основана на оригинальных идеях Г. Лейбница [1 Т.2. С. 501-502; Т.3. С.514-522], суть которых состоит в том, что силлогистика может рассматриваться не только с экстенсиональной точки зрения - как теория отношений между классами индивидов (объемами понятий), но и интенсионально -как теория отношений между совокупностями признаков (содержаниями понятий). При таком подходе субъекты и предикаты категорических суждений трактуются как понятийные конструкции, в качестве значений им сопоставляются множества признаков -положительных и отрицательных, а силлогистические константы a, e, i и o рассматриваются как знаки отношений между понятиями по содержанию.

Приведем краткое изложение данной семантики для силлогистики С4 (незначительно изменив использовавшиеся в [3] обозначения и терминологию).

Рассмотрим множество литералов L = ~p:, p2, ~p2, . }. Литералы, не содержащие символа представляют положительные признаки, а содержащие данный символ - отрицательные признаки. Непротиворечивым понятием назовем произвольное непустое и непротиворечивое подмножество L, т.е. множество a с L, удовлетворяющее условиям: (i) a Ф 0;

* Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 00-03-00273.

(и) не существуетри такого что рг е а и е а.

Пусть Н - множество всех непротиворечивых понятий. Определим на Н операцию *, которая каждому понятию а сопоставляет противоположное ему понятие а*, замещая каждый положительный литерал на отрицательный с тем же индексом, а каждый отрицательный - на соответствующий положительный: рг е а* ^ ~р[ е а и ~р[ е а* ^рг е а.

Инт ерпрет ирующая функция d сопоставляет каждому общему термину в качестве значения некоторое непротиворечивое понятие: d(P) е Н.

Зададим понятие значимости формулы А языка позитивной силлогистики при интерпретации d ^ |= А). Для атомарных формул:

(а1) d |= ¿аР, е.т.е. d(P) с d(S); (е1) d |= 5еР, е.т.е. d(P)* п d(S) * 0; (И) d |= 51Р, е.т.е. d(P)* п d(S) = 0; (о1) d |= ¿оР, е.т.е. d(P) \ d(S) * 0.

Условия значимости сложных формул обычные.

Согласно приведенным определениям высказывания типа а интерпретируются как утверждения о том, что содержание их предиката составляет часть содержания их субъекта; высказывания типа е выражают мысль о наличии противоречащих признаков (положительного и отрицательного), один из которых входит в содержание одного понятийного термина, а другой - в содержание другого; высказывания типов 1 и о, как обычно, рассматриваются как противоречащие высказываниям типов е и а, соответственно.

Силлогистическая формула А называется С4-общезначимой, е.т.е. d |= А при любой интерпретации общих терминов d, которая, как было сказано выше, сопоставляет им непротиворечивые понятия.

В [3] была продемонстрирована адекватность приведенной семантики силлогистической системе С4.

Возникает вопрос о возможности построения семантик, исходные конструкции которых имеют интенсиональную природу, для других известных систем силлогистики. Среди них особое место занимает так называемая фундаментальная силлогистика, идея которой восходит к работам Ф. Брентано и Г. Лейбница. С семантической точки зрения отличие фундаментальной силлогистики от традиционной заключается в отказе от исходной предпосылки о непуст от е (и неуниверсальности- в случае введения в язык тер-минного отрицания) объемов общих терминов. В то же время экстенсиональная семантика для этих систем может быть сформули-

рована так (причем данная формулировка наиболее естественна), что условия истинности категорических высказываний будут одинаковыми: константе а соответствует теоретико-множественное включение объема субъекта в объем предиката, константе е - пустота пересечения объемов терминов и т.д.

Впервые аксиоматизация фундаментальной силлогистики на базе классического исчисления высказываний была предложена Дж. Шефердсоном [5], причем в языке, содержащем как положительные, так и отрицательные общие термины. Позитивный фрагмент системы Шефердсона - силлогистическое исчисление ФС -детально исследован в [2]. Аксиомами ФС являются формулы следующих типов:

Ф0. Схемы аксиом классического исчисления высказываний,

Единственное правило вывода в ФС - modus ponens.

Первая, естественно возникающая гипотеза о том, каким образом может быть построена адекватная интенсиональная семантика для фундаментальной силлогистики, основывается на известных еще в традиционной логике фактах взаимозависимости объемов и содержаний понятий. Выдвижение этой гипотезы описывается следующим рассуждением по аналогии: если при экстенсиональной трактовке категорических высказываний фундаментальная силлогистика получается из традиционной отказом от требования непустоты объемов терминов при сохранении условий истинности высказываний, то при интенсиональном подходе следует отбросить исходную предпосылку о непротиворечивости содержаний, не меняя принципов означивания силлогистических формул.

В точных терминах эта идея выражается следующим образом. Понят ием назовем произвольное непустое подмножество множества литералов L = [pi, ~pi, p2, ~p2, ...}, т.е. множество а с L, удовлетворяющее условию (i) а Ф 0, но не обязанное удовлетворять условию непротиворечивости (ii).

Пусть П - множество всех понятий (как непротиворечивых, так и противоречивых). Очевидно, что Н с П.

Расширим до П область определения и область значений операции *, сопоставляющей каждому понятию противоположное ему понятие посредством замены положительных литералов на соответствующие отрицательные, а отрицательных на положительные.

Ф1. (MaP & SaM) з SaP, Ф2. (MeP & SaM) з SeP, Ф3. SeP з PeS, Ф4. SaS,

Ф5. SiP з SiS, Ф6. SoP з SiS, Ф7. SiP = -SeP, Ф8. SoP = -SaP.

Пусть интерпретирующая функция d сопоставляет теперь каждому общему термину произвольное (не обязательно непротиворечивое) понятие: d(P) е П.

Определения значимости формулы при интерпретации d с базисными условиями (a1), (e1), (i1) и (o1), а также общезначимости формулы остаются неизменными.

Какое же силлогистическое исчисление аксиоматизирует класс общезначимых формул? Верна ли наша первоначальная гипотеза о том, что таковым является исчисление ФС? Оказывается, что это не так: аксиомы типов Ф5 (SiP з SiS) и Ф6 (SoP з SiS) системы ФС необщезначимы в данной семантике (они незначимы, напр., при следующей интерпретации d: d(S) = {p1, ~pi,}, а d(P) = {p2}).

Формализацию интенсиональной семантики силлогистического языка, допускающей использование противоречивых по содержанию понятий, обеспечивает не система ФС "экстенсиональной" фундаментальной силлогистики, а ее подсист ема, получающаяся из ФС отбрасыванием аксиомных схем Ф5 и Ф6. Назовем данное исчисление ИФС, т.е. системой "интенсиональной" фундамент альной силлогист ики

Докажем адекватность приведенной семантики силлогистике ИФС.

Несложно продемонстрировать общезначимость каждой аксиомы ИФС и инвариантность правила modus ponens относительно общезначимости формул. Отсюда следует семантическая непротиворечивость системы ИФС.

Метатеорему о семантической полноте ИФС доказываем методом Хенкина.

Множество формул Г называется ИФС-непротиворечивым, е.т.е. не найдется формул B1, B2, ..., Bk таких, что формула —(B1 & В2 & ... & Bk) была бы теоремой ИФС.

Множество формул А называется ИФС-максимальным, е.т.е. оно ИФС-непротиворечиво и для любой формулы A верно, что A е А или —A е А. Выделим следующие важные свойства А:

(ml) А содержит все теоремы ИФС,

(m2) А замкнуто относительно modus ponens,

(m3) —АеА, е.т.е. А^А,

(m4) A&Be^ е.т.е. АеА и Be4

(m5) AvBеА, е.т.е. AеА или BеА,

(m6) AзBеА, е.т.е. AíА или BеА.

Стандартно доказывается утверждение о возможности расширения произвольного ИФС-непротиворечивого множества формул до ИФС-максимального.

С каждым ИФС-максимальным множеством Д связывается каноническое приписывание значений общим терминам - функция dД, определяемая следующим образом:

где Q и Т используются (как и употреблявшиеся ранее буквы S, Р и М) в качестве синтаксических переменных по общим терминам (пусть язык силлогистики содержит общие термины Р1, Р2, Р3, ...), а ^ есть положительный литерал с тем же индексом, что и общий термин, представляемый синтаксической переменной Т (напр., ^ есть литерал Р], е.т.е Т представляет общий термин Р;).

Прежде всего покажем, что dД(Q) является понятием, т.е. удовлетворяет условию непустоты

Индукцией по длине силлогистической формулы A доказывается основная лемма:

Лемма. Для произвольного ИФС-максимального множества А и произвольной формулы A верно: A е А, е.т .е. dA |= A. Базис индукции содержит четыре случая. I. A есть SaP.

Докажем сначала, что SaP е А ^ dA |= SaP.

1. SaP е А допущение;

2. t е dA(P) допущение;

dA(0 = [t: QaT е А} u [~t: QeT е А},

1. QaQ е А

2. q е dA(Q)

3. dA(Q) Ф 0

Ф4, (ml);

1, опр. dA;

2.

3. PaT е А

4. (PaT & SaP) з SaT е А

2, опр. dA;

Ф1, (ml);

5. SaT е А

6. t е dA(S)

7. ~t е dA(P)

8. PeT е А

допущение;

4,3,1, (m4), (m2); 5, опр. dA;

7, опр. dA; Ф2, (m1);

9. (PeT & SaP) з SeT е А

10. SeT е А

11. ~t е dA(S)

9,8,1, (m4), (m2); 10, опр. dA;

12. dA (P) с dA(S)

13. dA |= SaP

2-6,7-11, опр. dA и с; 12, (a1).

Докажем далее, что dA |= SaP ^ SaP е А.

1. dA |= SaP

2. dA(P) с dA(S)

допущение;

1, (a1); Ф4, (m1);

3. PaP е А

4. p е dA(P)

5.p е dA(S)

3, опр. dA;

2,4;

6. SaP e A

II. A есть SeP.

Докажем сначала, что SeP e A

1. SeP e A

2. SeP з PeS e A

3. PeS e A

4. SaS e A

5. -s e dA (P)

6. s e dA(P)*

7. s e dA(S)

8. dA(P)* n dA(S) Ф 0

9. dA |= SeP

Докажем далее, что dA |= SeP

1. dA |= SeP

2. dA(P)* n dA (S) Ф 0

5, опр.d

A

dA |= SeP. допущение; Ф3, (m1); 2,1, (m2); Ф4, (m1);

3, опр. dA; 5, опр. *;

4, опр. dA; 6,7;

8, (el). ^ SeP e A. допущение; 1, (el);

3. сущ-ет t: (t e dA(P)* и t e dA(S)) или (-t e dA(P)* и -t e dA(S)) 2;

4. t e dA(P)* и t e dL(S)

5. SaT e A

6. -t e dA(P)

7. PeT e A

8. PeTз TeP e A

9. TeP e A

10. (TeP & SaT) з SeP e A

11. SeP e A

12. -t e dA(P)* и -t e dA(S)

13. SeT e A

14. t e dA(P)

15. PaT e A

16. SeT з TeS e A

17. TeS e A

18. (TeS & PaT) з PeS e A

19. PeS e A

20. PeS з SeP e A

21. SeP e A 22. SeP e A

допущение; 4, опр. dA; 4, опр. *; 6, опр. dA;

Ф3, (m1); 8, 7; (m2); Ф2, (m1); 10,9,5, (m4), (m2); допущение; 12, опр. dA; 12, опр. *; 14, опр. dA; Ф3, (m1); 16,13; (m2); Ф2, (m1);

18,17, 15; (m4), (m2); Ф3, (m1); 20,19; (m2); 3,4-11,12-21.

III. А есть

Данный случай сводится к случаю (II) в силу наличия в А аксиомы Ф7 (<51Р = —свойств максимального множества, а также того факта, что условия значимости формул вида S^P (И) и SeP (е1) противоречат друг другу.

IV. А есть SoP.

Данный случай сводится к случаю (I) в силу наличия в Д аксиомы Ф8 (5оР = — 5"аР), свойств максимального множества, а также того факта, что условия значимости формул вида 5оР (о1) и 5аР (а1) противоречат друг другу.

Доказательство индуктивного перехода тривиально: оно основывается на классической семантике пропозициональных связок и свойствах (т1)-(т6) максимального множества. Лемма доказана.

Теперь легко обосновать утверждение о семантической полноте ИФС.

Рассмотрим произвольную общезначимую формулу А. Допустим, что она недоказуема в ИФС. Тогда формула ——А также не будет теоремой этой системы. Отсюда, по определению ИФС-непротиворечивого множества, следует, что таковым является {—А}. Расширим его до ИФС-максимального множества Д. Согласно основной лемме, dД |= —А. Значит, сама формула А при каноническом приписывании (в силу семантики пропозиционального отрицания) не является значимой, что противоречит исходному предположению о ее общезначимости.

Система ИФС "интенсиональной" фундаментальной силлогистики в плане дедуктивных особенностей во многом сходна со своим "экстенсиональным" аналогом - исчислением ФС. В обеих системах доказуемы одни и те же базисные силлогистические законы: 15 модусов простого категорического силлогизма, законы диагоналей логического квадрата, принципы обращения для высказываний типов е и 1, закон силлогистического тождества для а. Кроме того, в каждой из систем отбрасываются некоторые законы традиционной силлогистики: модусы силлогизма с общими посылками и частным заключением, законы подчинения, принцип обращения для высказываний типа а, принцип контрарности а и е, принцип субконтрарности 1 и о, закон силлогистического тождества для 1.

Система С4, формализующая позитивный фрагмент традиционной силлогистики, легко получается из ИФС добавлением принципа контрарности, т.е. схемы аксиом

—(5аР & 5еР).

Перейдем теперь к рассмотрению другого вопроса: о возможности построения адекватной интенсиональной семантики для "экстенсиональной" фундаментальной силлогистики ФС.

Базисные конструкции этой семантики точно такие, как и для системы ИФС, в частности, в качестве возможных значений общих терминов допускаются противоречивые понятия. Изменяются лишь семантические определения атомарных силлогисти-

ческих формул. Понятие значимости силлогистической формулы (при интерпретации ф для ФС задается следующим образом:

Согласно данному определению, общеутвердительное высказывание значимо, если содержание его предиката составляет часть содержания его субъекта или же субъект противоречив (т.е. максимально информативен). Смысл общеотрицательного высказывания состоит в наличии в содержаниях субъекта и предиката противоречащих признаков (или у какого-либо из понятий в отдельности, или по отношению друг к другу).

Нетрудно убедиться в том, что при принятии исходной предпосылки (и) о непротиворечивости понятий условия значимости формул в семантиках для ИФС и ФС эквивалентны. Однако в семантиках указанных систем, где условие (п) не постулируется, условия значимости общих высказываний в ФС оказываются более слабыми, а условия значимости частных высказываний -более сильными, чем в ИФС. Для условий (а2) и (а1), (о2) и (о1) верность этого утверждения очевидна. Что же касается условий (е2) и (е1), (12) и (И), справедливость сказанного станет наглядной, если эквивалентным образом переформулировать условия

(e2) d |= SeP, е.т.е. d(P)* n d(S) * 0 или d(S) g Н или d(P) g Н; (i2) d |= SiP, е.т.е. d(P)* n d(S) = 0 и d(S) e Н и d(P) e Н.

При доказательстве непротиворечивости системы ФС относительно интенсиональной семантики с условиями значимости (a2), (i2), (e2), (o2) некоторую сложность представляет лишь демонстрация общезначимости аксиом типов Ф1 и Ф2: Ф1. (MaP & SaM) з SaP

1. d |= MaP & SaM допущение;

(a2) d |= SaP, е.т.е. d(P) ç d(S) или d(S) g Н;

(e2) d |= SeP, е.т.е. d(S) u d(P) g Н;

(i2) d |= SiP, е.т.е. d(S) u d(P) e Н;

(o2) d |= SoP, е.т.е. d(P) \ d(S) * 0 и d(S) e Н.

(e2) и (i2):

2. d(P)çd(M) или d(M)gH

3. d(M)çd(S) или d(S)gH 4. d(M)çd(S)

допущение; допущение; 5,4, транзитивность с;

6;

1, (a2); 1, (a2);

5. d(P)çd(M)

6. d(P)çd(S)

7. d(P)çd(S) или d(S)gH

8. d(M)gH

допущение; 4,8, опр. d и Н;

9;

2, 5-7,8-10;

9. d(S)gH

L10. d(P)çd(S) или d(S)gH _11. d(P)çd(S) или d(S)gH

12. С(Б)йН

_13. d(P)сd(S) или С(Б)йН

14. С(Р)сС(Б) или С(Б)йН

15. d |= БаР

допущение;

13;

3,4-11,12-13; 14, (а2).

Ф2. (МеР & БаМ) з БеР

1. d |= МеР & БаМ

2. С(М)^С(Р)ёН

3. С(М)сС(Б) или С(Б)йН 4. С(М)сС(Б)

_5. С(Б)иС(Р)ёН

6. С(Б)йН

7. С(Б)иС(Р)ёН

8. С(Б)иС(Р)ёН

9. с! |= БеР

допущение;

допущение; 6, опр. с и Н; 3,4-5,6-7

допущение; 2,4, опр. С и Н;

8, (е2).

1, (е2); 1, (а2);

Доказательство семантической полноты осуществляется по тому же плану, что и для системы ИФС: аналогичным образом вводятся понятия ФС-непротиворечивого и ФС-максимального множеств формул, обосновывается утверждение о возможности расширения произвольного ФС-непротиворечивого множества до ФС-максимального, с каждым ФС-максимальным множеством Д связывается каноническое приписывание СД, определяемое тем же способом. Различие состоит только в доказательстве основной леммы:

Лемма. Для произвольного ФС-максимального множества Д и произвольной формулы А верно: А е Д, е.т .е. СД |= А.

Достаточно рассмотреть два базисных случая.

I. А есть БаР.

Докажем сначала, что БаР е Д ^ СД |= БаР.

Первые 12 шагов доказательства повторяют соответствующий фрагмент основной леммы для системы ИФС. Завершающие шаги искомого доказательства таковы:

13. Сд (Р) с Сд(Б) или Сд(Б) й Н

14. Сд |= БаР

12;

13, (а2).

Докажем далее, что СД |= БаР ^ БаР е Д.

1. Сд |= БаР

2. Сд(Р) с Сд(Б) или Сд(Б) й Н 3. Сд(Р) с Сд(Б)

допущение;

допущение;

1, (а2);

4. РаР е Д

5. р е Сд(Р)

6. р е Сд(Б)

7. БаР е Д

8. Сд(Б)йН

Ф4, (т1); 4, опр. Сд;

3,5;

6, опр. Сд; допущение;

9. сущ-ет V. и 8,

10. SaT е А

11. SeT е А

12. SeT з TeS е А

13. TeS е А

14. ^ & SaT) з SeS е А

15. SeS е А

16. SeS з SaP е А

17. SaP е А 18. SaP е А

II. А есть SeP.

Докажем сначала, что SeP е А ^ dА |= SeP.

1. SeP е А

2. SeP з PeS е А

3. PeS е А

4. SaS е А

5. е dА (Р)

6. 5 е dА(S)

7. dА(S) и dА(P) й Н

8. dА |= SeP

Докажем далее, что dА |= SeP

1. dА |= SeP

2. dА(S) и dА(P) й Н

3. сущ-ет Г. [г^Д^ и ~íеdА(S)] или [?^А(Р) и -г^ДР)] или [г^Д^ и ~?^А(Р)] или [tеdА(Р) и (S)] 2, опр.

Н;

4. ^А^ и

опр. d и Н; 9, опр. dА; 9, опр. dА; Ф3, (т1); 12,11, (т2); Ф2, (т1);

14,13,10, (т^, (т2); теорема ФС , (т1); 16,15; 2,3-7,8-17.

допущение; Ф3, (т1); 2,1, (т2); Ф4, (т1);

3, опр. dА;

4, опр. dА; 5,6;

7, (е2).

SeP е А.

допущение; 1, (е2);

5. SaT е А

6. SeT е А

7. SeT з TeS е А

8. TeS е А

9. (TeS & SaT) з SeS е А

10. SeS е А

11. SeS з SeP е А .12. SeP е А

13. ^а(Р) и ~^а(Р)

14. PaT е А

15. PeT е А

16. PeT з TeP е А

17. TeP е А

допущение; 4, опр. dА; 4, опр. dА; Ф3, (т1); 7,6, (т2) Ф2, (т1); 9,8,5, (т4), (2т2); теорема ФС , (т1); 11,10; (т2); допущение; 13, опр. dА; 13, опр. dА; Ф3, (т1); 16,15, (т2);

а

и

1 Данная формула доказывается в системе ФС с использованием аксиом Ф6, Ф7 и Ф8.

2 Данная формула доказывается в системе ФС с использованием аксиом Ф5 и Ф7.

18. (ТеР & РаТ) з РеР е Д

19. РеР е Д

20. РеР з БеР е Д

21. БеР е Д

22. ¿еСд(Б) и -¿еСд(Р)

23. БаТ е Д

24. РеТ е Д

25. РеТз ТеР е Д

26. ТеР е Д

27. (ТеР & БаТ) з БеР е Д

28. БеР е Д

29. ¿еСд(Р) и -¿еСд(Б)

30. РаТ е Д

31. БеТ е Д

32. БеТ з ТеБ е Д

33. ТеБ е Д

34. (ТеБ & РаТ) з РеБ е Д

35. РеБ е Д

36. РеБ з БеР е Д

37. БеР е Д 38. БеР е Д

Ф2, (т1);

18,17,14, (т4), (т2); теорема ФС3, (т1); 20,19, (т2); допущение; 22, опр. Сд; 22, опр. Сд; Ф3, (т1); 25,24, (т2); Ф2, (т1);

27,26,23, (т4), (т2);

допущение;

29, опр. Сд;

29, опр. Сд;

Ф3, (т1);

32,31, (т2);

Ф2, (т1);

34,33,30, (т4), (т2); Ф3, (т1);

36,35, (т2);

3,4-12,13-21,22-28,29-37.

Лемма (а вместе с этим и семантическая полнота ФС) доказана.

Комбинируя различные условия значимости для а и о с различными условиями значимости для е и 1, можно получить адекватные семантики еще для двух систем позитивной силлогистики, занимающих промежуточное положение между исчислениями ИФС и ФС.

Пусть сначала силлогистические константы а и о трактуются в духе ФС, а константы е и 1 - в духе ИФС:

(а2) С |= БаР, е.т.е. С(Р) с С(Б) или С(Б) й Н;

(11) С |= Б1Р, е.т.е. С(Р)* п С(Б) = 0; (е1) С |= БеР, е.т.е. С(Р)* п С(Б) * 0;

(о2) С |= БоР, е.т.е. С(Р) \ С(Б) * 0 и С(Б) е Н.

Класс общезначимых в такой семантике формул аксиоматизирует исчисление, получающееся из ФС отбрасыванием схемы аксиом Ф5 (Б1Р з Б1Б). Назовем эту систему ИС1.

Далее, пусть, наоборот, константы а и о трактуются в духе ИФС, а е и 1 - в духе ФС:

(а1) С |= БаР, е.т.е. С(Р) с С(Б);

(12) С |= Б1Р, е.т.е. С(Б) и С(Р) е Н;

3 Данная формула доказывается в ФС с использованием аксиом Ф5, Ф7 и Ф3.

(e2) d |= SeP, е.т.е. d(S) u d(P) й Н; (o1) d |= SoP, е.т.е. d(P) \ d(S) * 0. Адекватная формализация данной семантики получается отбрасыванием из ФС схемы аксиом Ф6 (SoP з SiS). Назовем эту систему ИС2.

Весь необходимый материал для демонстрации семантической непротиворечивости и полноты исчислений ИС1 и ИС2 уже содержится в приведенных выше доказательствах, касающихся систем ИФС и ФС. Так, пункт I (A есть SaP) основной леммы для ИС1 повторяет доказательство соответствующего случая леммы для ФС, а пункт II (A есть SeP) - соответствующего случая леммы для ИФС. Что же касается основной леммы для системы ИС2, то здесь, напротив, случай I доказывается так же, как в лемме для ИФС, а случай II - как в лемме для ФС.

В заключение поставлю одну проблему, касающуюся статуса представленных в данной статье силлогистических систем ИФС, ИС1 и ИС2. Существуют ли "экстенсиональные" семантики для этих исчислений, построенные в том же духе, что и подобная семантика для ФС? Иными словами, имеется ли адекватная трактовка силлогистических констант указанных исчислений в терминах булевой логики классов или, что в сущности то же самое, существуют ли операции (рекурсивно задаваемые по степени сложности формулы), которые погружали бы системы ИФС, ИС1 и ИС2 в классическое одноместное исчисление предикатов?

Позволю высказать гипотезу, что ответы на поставленные вопросы - отрицательные. Справедливость данной гипотезы означала бы, что по крайней мере в некоторых существенных отношениях интенсиональный подход к построению силлогистических теорий семантически гибче и богаче стандартного, экстенсионального.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЛейбницГ.В. Сочинения: В 4 т. Т. 2-3. М.: Мысль, 1983-1984.

2. ММаркинВ.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: МГУ, 1991.

3. МкркинВ.И. Интенсиональная семантика традиционной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001. С. 82-91.

4. Смирнов В. А Адекватный перевод утверждений силлогистики в исчисление предикатов // Актуальные проблемы логики и методологии науки. Киев: Наукова думка, 1980.

5. Shepherdson J.C. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // Journal of Symbolic Logic. Vol. 21 (1956). No.2. P. 137-147.