Физические поля с геометрическими сингулярностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для значений а = 3,4 и c = 1,3 отношение D/D0 , вычисленное по формуле (1) с сохранением первых десяти членов ряда, составляет 0,309, т.е. D < 0,309Do . Потери усиления

AD = -l0lS(-D) > 5,1 дБ.

D0

Таким образом, средний КНД приемных антенн в таких системах, как измерители профиля ветра, при равенстве размеров передающей и приемной антенн не превышает приблизительно 1/3 максимального КНД. Потери усиления обусловлены преимущественно флуктуациями фазы поля в плоскости апертуры.

Одна из особенностей поля, рассеянного турбулентными неоднородностями атмосферы, состоит в том, что дисперсии уровня амплитуды и фазы выражаются через математические константы и не зависят от нормирующего амплитудного множителя A0 . Если в результате эксперимента найдено численное значение а, то соотношение (16) может служить, как отмечается в работе [ 1], признаком для определения происхождения рассеянного сигнала._____

УДК 539.3

ФИЗИЧЕСКИЕ ПОЛЯ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ СИНГУЛЯРНОСТЯМИ

РВАЧЕВ В.Л., ШЕЙКО Т.И., ШАПИРО В., ЦУКАНОВ И.Г, МИХАЛЬ Е. О.______________

Рассматриваются проблемы полноты структур решений (GSS) краевых задач математической физики для областей, содержащих узкие разрезы, малые трещины и другие геометрические сингулярности (ГС). Приводится доказательство теоремы о полноте новой GSS, которая учитывает поведение решения в окрестностях ГС. На примерах показывается, что для случаев, когда область содержит ГС, решение, полученное с использованием классической GSS, может оказаться неадекватным, в то время как применение новой GSS позволяет получить адекватное решение краевой задачи.

Важным направлением информатизации, возникшим в связи с потребностями развития современного производства, является разработка методов преобразования сложной геометрической и логической информации в аналитическую и включение ее в разрешающие алгоритмы, наряду с другой логической и аналитической информацией. Существуют прикладные задачи, при решении которых данные разнообразные виды информации должны учитываться, взаимодействовать и совместно перерабатываться. К таким задачам относятся, в частности, проблемы математической физики, связанные с инженерными расчетами физико-механических полей. Применительно к задачам данного вида получила развитие теория R-функций [1] — направление в математике, возникшее на стыке классического непрерывного анализа и алгебры логики.

Литература: 1. Шифрин Я.С. Вопросы статистической теории антенн. М.: Сов. радио, 1970. 384 с. 2. Петров В.А., Цветкова В. С. Физические модели обратного рассеяния волн в турбулентной атмосфере // Радиотехника. 1991. Вып. 97. С. 37—44. 3. Борн М, Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 719 с. 4. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука, 1976. 548 с. 5. Градштейн Н.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.

Поступила в редколлегию 18.03.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Прошкин Е.Г.

Петров Валерий Аркадьевич, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры радиоэлектронных систем ХНУРЭ. Научные интересы: радиолокация, радиолокационное зондирование атмосферы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-95-87.

Шейко Сергей Александрович, аспирант кафедры радиоэлектронных систем ХНУРЭ. Научные интересы: радиолокация, радиолокационное зондирование атмосферы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-95-87.

Существенным этапом применения метода R-функций (RFM — R-functions method) к решению краевых задач математической физики является построение структур решений (GSS—general structure of solutions), учитывающих аналитическую, геометрическую, а иногда и логическую информацию, присутствующую в их постановке, которая обычно имеет вид:

Au = f в области Q , (1)

Дм = cpi на дО.^^ = 1,2,...,да), (2)

где О — область, в которой отыскивается решение и ; 80i (i = 1,2,...,m — покрытие границы ПО области О (участки dOi не обязательно различны и

могут совпадать с ПО); f и <pi — известные функции. В RFM геометрическая информация учитывается функциями со , coi, а решение и отыскивается в виде:

и = в(ф,®,®г). (3)

Здесь B — оператор, зависящий от формы границы 80 и ее участков 80i (i = 1,2,...,да), который строится таким образом, что при любом выборе Ф (неопределенной функциональной компоненты) формула (3) точно удовлетворяет краевым условиям (2). Что касается решения и , то на основе анализа задачи в лучшем случае удается установить лишь содержащий его функциональный класс (компакт K) [2]. Если можно так выбрать неопределенную компоненту Ф , что (3) будет решением задачи, то эту GSS называют полной структурой решения.

Неопределенную компоненту Ф обычно представляют в виде аппроксимационно универсального

22

РИ, 2002, № 3

полинома Фи PN — степенного, тригонометрического, Чебышева, составленного из финитных сплайнов или атомарных функций [3], где N — размерность аппроксимационного пространства. Проблема полноты GSS (3) состоит в выяснении условий, при которых для каждой функции и є K существует такой полином Pn , что

||u - B(pN ,®,®/)|Цп)<е, (4)

где е > 0 — произвольное малое число.

Полнота GSS для задачи Дирихле и = ак+1Ф при весьма общих предположениях относительно функций и , а и формы области о была исследована Л. В. Канторовичем для к = 0 [4] и И.Ю. Харрик в общем случае [5]. В теореме И.Ю. Харрик предполагается, что функция w определена в открытой

области Оо эА и удовлетворяет следующим условиям:

1) а= 0 на 80;

2) а Ф 0 внутри О и V® Ф 0 на дО;

(Заметим, что нормализованная функция со этим условиям удовлетворяет автоматически [ 1].)

3) граница дО удовлетворяет условию “конуса”:для всякой точки A едО существует такой конус с вершиной A и ненулевым углом раствора, который полностью лежит внутри О ;

боте [6] предложен метод корректировки классических структур, обеспечивающий их полноту, сущность которого сводится к следующему.

Рассмотрим некоторую область Е = (ст > 0), содержащую ГС в виде локуса Qj = (®! = 0) меньшей размерности, чем dim Е (рис.1). Нормализованное уравнение Qj может быть представлено в виде [1]:

COj = д/12 = 0 , где

L = (і = 0), L dHj — поверхность (линия в 2D ), при переходе через которую нормализованная функция і меняет знак, а Т = (^> 0) — область, выделяющая Qj из L . Уравнение границы области Q = E \ Qj =(®> 0), а> 0 в intQ , имеет вид: w = ст ла = 0 .

def

Рассмотрим оператор Dj [і,u] = Vi -Vu , опреде-

l=0

ленный в области q . Его можно рассматривать, как продолжение оператора дифференцирования по нормали v к l внутрь области q :

4) ю є Ck (О0).

При выполнении этих условий И.Ю. Харрик была получена следующая оценка:

и — cok+1Pn

Ck (q)

(5)

в банаховом пространстве Ck (Q) , из которой следует более удобная при реализации вариационных методов оценка в гильбертовом пространстве

Hk (q) = w2k (q) с нормой

\и\нк (п)

k

ЕЕ

i=0 (г)

Q

/ \ 2 i

д и

dx{\ ...cks1s j

2

dO >

(6)

При выводе структур решений краевых задач различных типов [1] используется классическая структура Л.В. Канторовича. Эта же GSS использована при выводе интерлокационных формул Лагранжа — Тейлора — Эрмита [3] и др. Поэтому необходимым условием полноты всех этих формул является полнота участвующей в их формировании GSS Канторовича. Однако ее полнота (а следовательно, и полнота всех остальных структур решений) может быть нарушена, если рассматриваемая область содержит узкие разрезы, трещины, включения или другие геометрические сингулярности (ГС). В ра-

Dj Iі, и\

ди

И=0 dv .

Заметим, что при подходе к разрезу (рис. 1) с разных сторон функция Dj [і, coj\ принимает на coj = 0 значения:

Dj [А®!]

®!=0

- і при і = -0, і при і = +0.

(7)

Используя функцию Dj [i,®l] , построим “функции скачка” qj и q2, которые при подходе к разрезу по нормали с одной его стороны стремятся к нулю, а при подходе с другой — к единице:

^-(- tfD Iі ^]) ^ = 0

|l + (- j)1) при і = -0, 2|l - ^1 j при і = +0.

(8)

Не нарушая общности рассуждений, для простоты дальнейшего изложения примем, что рассматривается двухмерный случай.

Пусть Hi = [б2 - (x - xi)2 -(y - yif > 0 i = U - S -окрестности концов разреза;

РИ, 2002, № 3

23

Ei = [Д - qi > 0], i = 1,2 — Si -окрестности левой и

правой сторон разреза; Ео = [До - ст > 0 — $о -окрестность границы области без разреза.

Для простоты идею метода модификации класси-чесих GSS в задаче с ГС изложим на примере однородной задачи Дирихле (при к=0), если известно, что приближаемое решение принадлежит компакту K = H2 (q) . (Для других ситуаций приведенный ниже ход рассуждений сохраняется).

Теорема. Пусть

а) u є H 2(q) ;

б) u = 0 на 80;

в)

Dl [/,®l|

®UIH 2(s)^ , Где

‘ - “l 2 ;

г) функции a и ®i — нормализованы.

Тогда GSS u = ®[qi(x, y)®i + q у)ф 2], где

Ф = (®i,Ф2) — неопределенная компонента, является полной в метрике H ^q) .

(Доказательство данной теоремы, ориентированное на задачу решения уравнения Софи Жермен для свободно опертой пластины, ранее было приведено в работе [6].)

Доказательство. Представим область О в виде объединения 0 = Е0 иЕ1 uE2 uQuS1 uS2 , где

О — часть О , не пересекающаяся с остальными ее подобластями. Оценим разность

R = u-a[qi{ x, y) ®i + q ^ x, y )ф 2]

по метрике H ^q) в каждой из подобластей О .

В области Ео величина IHIh^Lo) может быть

сделана меньше любого ео > 0, если взять ^о достаточно малым. Действительно, в силу условий б) и г)

R ^ 0 при (х, у) ^ {§, ц) є дО.о,

Dxa = i + О(^о), T\c = O (^0),

DiR = Diu - (qi®i + q2®2) + O(^0) .

А так как qi + q2 = i, то в силу условия а) можно (по известной теореме Вейерштрасса) величину ||DiR||hi сделать сколь угодно малой, используя,

например, полином Ф = Фі = Ф2 . Поскольку производная по любому направлению может быть с точностью до величин порядка O (^о) представлена в виде линейной комбинации величин DiR и 7\R ,

приходим к выводу, что ||R||Hi( ) = O(^0).

В области Ei функции u, а и qi являются величинами порядка O), а q2 = i + O(^). Поэтому R = O(^i) и TiR = O(^i). Для выражения DiR в области Ei получаем:

DiR = Diu - O(Si )®i + (i + O))ф2) + O(d0) =

= Diu-Ф2 + O(Si) .

Рассуждая как и в предыдущем случае, получаем: ИН1^) = O^i). Аналогично NL1^) = O(^).

В области н в силу ограниченности полиномов ®i, Ф2 и условий а) и с) получаем:

IHL^h) HIu _Hqi°i+ q2ф HI |H^^) -~ IHIh^^HI®' (qi®i+ q2ф H||H^^=O(H.

В области Q величина ||R||h1(q) может быть сделана

сколь угодно малой (в силу условия а) по теореме Вейерштрасса).

Учитывая, что

IHIh1^) - I RH\ ъ)+l IHIh^^o+І ІНІн^^д+1 Инч н) ,

можем, взяв достаточно малыми величины S , So,

Si, S2 , сделать величину ||r||hi(q) сколь угодно малой. Теорема доказана.

Заметим, что при применении вариационных методов интегралы по областям

S j =И - (х - Xj)2-{у - уг)2 > 0 i = l, 2

могут оказаться расходящимися. Однако в данном случае легко проверить, что при применении метода Ритца этого не происходит.

Проиллюстрируем суть проблемы на четырех модельных задачах, которые могут иметь различную физическую интерпретацию: задачи электростатики, теплофизики, изгиба тонких мембран (все они решены методом Ритца).

Задача 1. В прямоугольной области с разрезом 80 2 (рис.2) рассмотрим уравнение Пуассона с разрывной правой частью и однородными граничными условиями Дирихле:

AU

0 х > 0

1 х < 0 , U IsQl

U

5Q2

= о .

Казалось бы, для решения этой задачи можно воспользоваться классической структурой и = соФ , где а = (®i Аа со2). Однако, как отмечалось в [1], эта структура не обладает

У

дОг X

Рис. 2

РИ, 2002, № 3

24

полнотой. Происхождение этой неполноты связано с наличием ГС в виде разреза 3Q2 , из-за которого нарушается одно из условий теоремы Харрик: невозможно погрузить рассматриваемую область в более широкую открытую область, в которой функция ш была бы дифференцируемой. Добиться этой дифференцируемости можно возвышением

а2, т.е. взяв структуру U = {а1 ла ю2)ф • Однако это приведет к нарушению другого условия теоремы Харрик: не во всех точках границы |v(®)| отличен от нуля. Если же проигнорировать это обстоятельство (неполноту GSS) и воспользоваться классической структурой Канторовича, то это может привести к существенным, неустранимым при любом увеличении размерности аппроксимационного пространства (густоты сетки сплайнов, степени полиномов) ошибкам. Это видно из результатов решения данной задачи, приведенных на рис.3, а,б

dU

(а — КЛУ решения U ; б — график в сечении

У = 0).

а

Действительно, если длина разреза близка к ширине прямоугольника, то точное решение близко к тождественному нулю справа и, следовательно, вместо приведенной на рис. 3, б волнистой линии для производной по x должен был бы быть тождественный ноль. Происхождение этих ошибок объясняется нарушением полноты структуры, появляющейся в этом случае, а не разрывом правой части уравнения, как можно было бы подумать. Дело в том, что полнота структуры (по крайней мере, в смысле метрик порядка оператора граничных условий) зависит только от вида граничных условий, а не от вида основного уравнения. Разрывная правая часть была выбрана из соображений простоты анализа характера точного решения и сравнения его с приближенным. Таким образом, пренебрегать полнотой структур нельзя.

Как уже отмечалось, эта проблема возникла более 20-ти лет назад. В некоторых случаях, проявляя определенное искусство, удавалось строить структуры в задачах с ГС [7], однако общего подхода для построения полных GSS не было. В последнеее время эта трудность была преодолена [6]. Результаты решения задачи с новой модифицированной структурой

U 2),

б

в

1 h д®2

где qi = 211+-&

_ 1 (л дюі

42 2 і йх

® =(®1 m2).

приведены на рис.3, в, г (в — КЛУ решения U ; г

dU

— график в сечении у = 0 ).

Рис. 3

Задача 2. Рассмотрим уравнение Лапласа в прямоугольной области со вставкой- изолятором (рис.4) и смешанными граничными условиями Дирихле и Неймана:

AU U I

= 0, 5Q1 “

U

Ш2

-1;

= 0.

РИ, 2002, № 3

dU

дн

5Q3

25

На первый взгляд, и здесь, как в задаче 1, можно воспользоваться классической структурой:

U =

®2 _ ®1

+ (®1 Ла®2 )Ф .

&?1 + ^2

На рис.5, а (КЛУ решения U ), б (график U в

dU

сечении), в (график в сечении у = 0 ) приведены результаты, соответствующие этому случаю, из которых видно, что граничные условия на разрезе

dU

дн

= 0 проигнорированы. Анализ показыва-

дП3

ет, что решение на разрезе должно иметь разрыв. А именно, функция U должна справа от разреза быть строго положительной (равняться единице, если длина разреза достигает ширины прямоугольника), а слева от разреза — строго отрицательной. Неполнота структуры здесь проистекает от ее непрерывности в точках разреза. На рис. 5, г, д, е (г — КЛУ решения U ; д — график U в сечении у = 0 ; е — dU

график в сечении у = 0) приведены результаты

решения с использованием новой модифицированной структуры:

U =—------ + (®1 ла ®2Х?1Ф1 + 42Ф2)

®1 +®2 ’

дюз

1! да3 где 41 = 211

42 = ^|i-■

дх

а

в

г

д

е

Рис. 5

Как видно из рис. 5, все противоречия теперь отсутствуют.

26

РИ, 2002, № 3

'У

X

Рис. 6

Задача 3. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области с разрезом-полуокружностью (рис.6). На внешней границе искомая функция равна нулю, а на разрезе-полуокружности — единице (пример задачи Плато):

AU = 0 ,

U

Ш1

= 0;

U Ш2 1; '

Структура решения в этом случае имеет вид:

U =■

®1

&?1 + ®2

-(®1 Аа ®2Х?1Ф1 + q2®2),

где

q1 - ~(i + D1 [®2>/о]). q2 -~(i~D1 [®2./о]);

^ _ 1 /г>2 2 2

/0 ~ 2RR "Х "У

);

de/

D1 [®2, /і)] = V®2 'V/0 — производная от ю2

по направлению нормали к /о .

На рис. 7 приведены результаты решения: а — КЛУ

dU

решения U; б — график в сечении у = 0 .

а

б

Рис. 7

9Q,

Задача 4. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения Лапласа в прямоугольной области с разрезом-полуокружностью (рис.8). На-внешней границе искомая функция равна нулю, а на разрезе-полуокружности — единице справа, а слева — производная по нормали от искомой функции равна нулю:

Л. \

}\ // лг

Рис. 8

AU = 0,

U lsQ1 _ 0; U I5Q2+0 _ 1

dU

дн

= 0.

5Q2-0

Структура решения в этом случае имеет вид:

U = 1 1 = + ®1?1Ф1 +(®1 ла а2 )® 2

V2 2

&2 ^ ®1

где q1

= j(1+ D [®2, /0]), /0 = RrR2 - x2 - у2)

de/

D1 [®2>/і)] = V®2 'V/0

5Q2

На рис. 9, а, б приведены результаты решения: а — КЛУ решения U; б — решение U в 3D .

а

б

Рис. 9

РИ, 2002, № 3

27

Заключение

Были рассмотрены лишь несколько примеров задач с ГС в виде бесконечно тонких отрезков и дуг окружностей. Однако и в том случае, когда отрезки (дуги) имеют малую толщину, нарушение полноты также может проявиться (по крайней мере, если ширина носителя сплайна недостаточно мала). Встречается большое количество различных видов ГС. Например, в теории пластин и оболочек такими сингулярностями являются тонкие (не обязательно прямолинейные) разрезы или жесткие накладки, закрепления в отдельных точках или на отдельных участках. Может, например, оказаться, что одна сторона разреза каким-то образом (жестко, шарнирно и т.п.) закреплена, а другая — свободна или также каким-то образом закреплена. Многообразие различных ГС огромно. В задачах электродинамики встречаются тонкие электроды, изоляторы, полупроводники, экраны, одна сторона которых — изолятор, а другая — проводник и т.д. Аналогичные сингулярности встречаются в теплофизике, гидродинамике и т.д. Практически трудно представить себе задачи, связанные с расчетом физико-механических полей, в которых бы не встречались ГС. В большинстве таких случаев при применении RFM нужны новые GSS. При построении последних необходимо рассматривать не только традиционные локусы, представляющие собой замкнутые множества, но и такие, которые замкнутыми не являются. Например, необходимо будет строить уравнения одной стороны поверхности или линии и другой ее стороны в отдельности. Это означает необходимость расширения представлений аналитической геометрии вообще. Но это — дело будущего.

Кроме того, ГС могут возникать или исчезать при изменении буквенных параметров. Наряду с геометрическими сингулярностями могут появляться физические сингулярности в виде точечных или распределенных по линиям нагрузок или зарядов, что также может оказаться существенным при исследовании полноты GSS. И это — также дело будущих исследований.

Нам представляется, что аналогичные проблемы, связанные с полнотой GSS, возникнут при использовании подхода, изложенного в статье K. Hollig “Finite Element Approximation with Splines”, в задачах с ГС.

Литература: 1. Рвачев Б.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук. думка, 1982. 566с. 2. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М. : Мир, 1971. 372 с. 3. Рвачев

B. Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщенные интерполяционные формулы Лагранжа-Эрмита на произвольных локусах (Интерлокационные операторы R-функций) // Проблемы машиностроения. 1998. Т. 1, №3-4.

C. 150-165. 4. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Л. : Физматгиз, 1962. 708с. 5. Харрик И.Ю. О приближении функций, обращающихся на границе области в нуль вместе с частными производными, функциями особого вида // Сиб. мат. журн. 1963. 4, №2. С. 408-425. 6.РвачевВ.Л., Михаль Е. О. Полнота структурных решений в краевых задачах для областей специального вида // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 4. 7. Rvachev V.L. and Sheiko T.I. R-functions in boundary value problems in mechanics // Appl Mech Rev. 1995. Vol. 48, № 4. P. 151-188.

Поступила в редколлегию 11.02.2002

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Рвачев Владимир Логвинович, академик НАН Украины, профессор, д-р физ.-мат. наук, заведующий отделом прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: прикладная математика, вычислительные методы, теория R-функций. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Армянский, 1/3, кв. 80, тел. 95-96-41.

Шейко Татьяна Ивановна, д-р физ.-мат. наук, профессор, ведущий сотрудник отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: прикладная математика, вычислительные методы, теория R-функций. Адрес: Украина, 61012, Харьков, ул. Полтавский шлях, 17-а, кв. 29, тел. 95-96-41.

Шапиро Вадим, д-р физ.-мат. наук, профессор Вис-консинского университета, США. Научные интересы: автоматизация проектирования. Адрес: University of Wisconsin, Madison, Mechanical Engineering. 1513, University Avenue, Madison, WI 53706-1572, USA.

Цуканов Игорь Григорьевич, доцент, канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Висконсинского университета, США. Научные интересы: программирование. Адрес: University of Wisconsin, Madison, Mechanical Engineering. 1513, University Avenue, Madison, WI 537061572, USA.

Михаль Елена Олеговна, инженер I категории отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины. Научные интересы: теория R-функций. Адрес: Украина, 61137, Харьков, ул. Бакинская, 5, тел. 95-95-77.

28

РИ, 2002, № 3