Интерлокационные формулы при моделировании задач Плато и Софи Жермен Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 + 517.518

ИНТЕРЛОКАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЗАДАЧ ПЛАТО И СОФИ ЖЕРМЕН

РВАЧЕВ В.Л., УВАРОВ Р.А., ШЕЙКО Т.И.

В виде теорем обосновываются обобщения интерполяционных формул Лагранжа и Эрмита для случая, когда узлами интерполяции являются локусы. Рассматривается теорема о полноте интерлокационного пучка. В качестве примеров приложений смоделированы задача Плато и задача Софи Жермен с локальными комбинированными нагрузками пластины.

Задача интерлокации, как и задача интерполяции [1] , имеющая бесчисленное множество решений, состоит в построении множества (пучка) функций u = Bp, Фі,..., фу, a>1v, йу, ю0), которое определено в области Q = Q0 nQ1 пП2...nQN и удовлетворяет указанному условию, а потом в извлечении из него такой функции, которая является сглаженной в том или ином смысле. Тип сглаживания определяется некоторым функционалом, для которого интерполирующая функция является минимизирующей.

Предположим, что в области Qо заданы функции Фі и интерлокационная функция u должна совпадать с ними на локусах Q; = (юі > о), где Q; cQo .

Теорема 1. Пусть u | = ф-, где ф; — функции,

которые определены в области Qо, а О; с ^о • Тогда интерлокационная формула Лагранжа [2] может быть представлена:

u = Uo + Ui

N

~ Ю; ( N 8

1=1 + ~ Ю1 Ф

N Ю; 11=1 J

i=i Фі

(1)

где ю; = — (jco;|- со;); x~y = Xy , когда x,y > 0,

2 x + y

xy д

или x ~ y = — = — для произвольных x,y ;

2mx2m + y2m

N

~ xi = xi ~x2 ~...~xn .

i=1

Предположим, что в области Qо , кроме функций Фі , заданы функции фi, и производные интерлокационной функции u по заданным направлениям j = (cos а ;,sin а;) должны совпадать с ними на локусах о; . Для простоты рассмотрим случай производных первого порядка, хотя путем определенного усложнения могут быть получены формулы для производных высших порядков.

3u

Теорема 2. Пусть u |5Q. = ф;, — = ф;, где ф;

; ^ so-

и ; — функции, определенные в областй Q.о, Q; с Оо и j = (cosa;,sina;). Тогда интерлокационная формула Эрмита [2] может быть представлена:

u = -

N

i=1

k; +1

N

ю

k; +1

( N

V i=i

kj +1

У

Ф ,(2)

i=1 Фі - q;Ю;^^(ф;) + q;Ю;ф;

здесь k; = <|о, “0” на локусе Q;, где не заданы ф;, и “1” — где заданы;

q- = Dj1 (Ч

(D1;(<°і$ + юі ’

1; і ч / -) Зю- Зю-

D1i (юД = ІУю;, 1; і =-cos ан-sin а .

14 3x 3y

Проблема полноты структур решения краевых задач рассматривалась в работах [2 - 5]. Этот же вопрос для построенных интерлокационных пучков может быть решен следующим образом. Предположим, что граница замкнутой области удовлетворяет “условию конуса”: для каждой точки границы 3Q существует расположенный в этой области Q конус с ненулевым углом раствора и вершиной в этой точке.

В этом случае построенные с помощью метода R-функций (RFM) [6] нормализованные уравнения границы области 3Q = (ю = о) удовлетворяют следующим условиям: ю > о внутри Q ; Vro ф о на 3Q.

Лемма. Пусть Ц = (ю; > о), Qf = (ю; > -5), а sf = Ц n Q® = (ст; = ю; ла (ю; + 8) > о). Тогда, какова бы ни была функция q є Cm_1 (sf ), для всякого

CTi qcm-irif^<8;'

є; > о найдется такое 8 , что

Доказательство. Очевидно, что Dj (стmq) = оm_jЛі),

(j = 0,1,2,...,m -1, где Pij — непрерывные функции. Исключая символ Ла в СТ; = Ю; Ла (го; + s), получаСТ; =—1— | 8^/ю;2 + 2аю і (ю; + S)+(roi + S)2 |

1 + а v )'

ем:

Из нормализованное™ Ю; следует Ю; = O(s) , в силу чего Ст; = 0(s). Тогда

a mq

Cm_1l !■

m-1

<818

)=о

m-1

уУ = 2 m- j CTi Ч

L; )=о

8 m ■j“1 n ■ II'nj Icflfl _

Cl 1°

126

РИ, 2002, № 3

где С — ограниченная величина. Лемма доказана.

Для интерлокационных пучков (1) и (2) при условии, что функция f и ее производные Daf (ja| < m -1 < s) заданы на одном локусе, удовлетворяющем условию конуса, теорема о полноте формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть Q0 — замкнутая область и {f} с Cs (q) — множество s раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных в открытой области AdQо , которые вместе со своими частными производными принимают известные значения на заданных локусах Q.* cfiо • Тогда для любой функции из {f} и сколь угодно малого є существует

такая неопределенная компонента Ф интерлокационного пучка (2), которая обеспечивает выполнение следующего неравенства:

llf -UllcS(Qo) <Є . (3)

Доказательство• Для каждого локуса Q* cQо , следуя лемме, построим область Б*5* . Пусть у* — функция, которая вместе со своими частными производными до порядка k = max{k;}, (i = 0,1,... ,N)

равняется нулю на локусе дО.

( N ^ U 5Q*

и совпа-

Д=0 )

дает вместе со своими частными производными до порядка k +1 с функцией у на границе области

N я-

Б = U E0i . Тогда, согласно лемме, i=0 *

*

у - у

N

Ck (&)S i?oSiCi

где Q — ограниченные величины. Так как величины 5* можно сделать сколь угодно малыми, то, каково бы ни было є > 0 , можно добиться выполнения неравенства (3), что и требовалось доказать.

Пример 1. В квадрате Qo = (юо - 0) (рис.1) по формуле (1) необходимо построить интерлокационную функцию и, принимающую на локусах

Qi = (ю* > o), (i = 0,4), уравнения которых построены с помощью R-функций [6], значения:

Ф 2

□2

= -1 •

^ 3IQ3 1 •

ф ol Q0 = 0; Ф1І п1 =-1; ф 41 q4 =1.

Коэффициенты полинома, который аппроксимирует неопределенную компоненту ф , можно найти, например, из условия, что интерлокационная функция (1) является решением задачи Плато [7], которая сводится к задаче о минимуме функционала

I =1

Q

dQ

на множестве функций, принимающих заданные значения на локусах Q*. Задача Плато моделирует РИ, 2002, № 3

2

2

натяжение “мыльной пленки” (мембраны, не сопротивляющейся изгибу) на “каркас”, определяемый заданными на Q* значениями ф* .

Решение представлено на рис. 2.

Рис. 2. Линии уровня интерлокационной функции

Пример 2. В квадрате Qo = (юо ^ 0) (рис.3)

по формуле (2) необходимо построить интерлокационную функцию и, которая принимает свои

значения Фo|Qo =0; Фх|Й1 =-1; Ф21Q2 =-1;

Фз |q3 = 1; ф 4ІQ4 = 1 и значения своих производных по направлениям 1*:

би

бп

5Qo

= фо =0;

=Ф 1 =1, где І1 = (0,1);

d11 5Qi

127

9u

5Ї2

3Q 2

- T2 - 1, ГДЄ І2 =

9u

аІЗ

-У3 --1, ГДЄ І3 =

8Пз

42 42 \;

2 ’ 2 ; Z Z J

42 42"

2

2

- Т 4 - -1 , ГДЄ 14 = (о,-і).

дО,^

В качєствє процєдурш сглаживания примєм, напри-мєр, закон изгиба тонкой пластины, модєлируємьш задачєй Софи Жєрмєн [8], которая сводится к минимизации функционала для жєсткого защємлє-ния по 6Q о :

5u

ЗІ4

I =J

n

на множєствє функций, удовлєтворяющих на локусах Q; указанным вьшє условиям примєра 2.

Рєшєниє прєдставлєно на рис.4.

(й 2 \ 2 З u

дх2

+ 2

,2 я2 Л,2 А

о u о u о u

Эх2 ду2

ду2

2

Рис. 4. Линии уровня интєрлокационной функции

Нєобходимо отмєтить, что использованиє интєрло-кационных формул позволяєт рєшать задачи, когда извєстна информация на локусах внутри области, и нужно восстановить значєниє функции во всєй области, что являєтся актуальным для компьютерных аспєктов вычислитєльных алгоритмов при обработкє данных.

Литература: 1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вн:числєний. Т. I. М.: Наука, 1966. 632 с. 2. Рвачев В.Л., Шейко Т.И., Шапиро В. Обобщєнннє интєрполяцион-ные формулы Лагранжа-Эрмита на произвольных локусах (Ишерлокационные опєраторы R-функций) // Проблємы машиностроєния. 1998. Т. 1, №3-4. C. 150165. 3. Харрик И.Ю. О приближении функций, обращающихся на границє области в нуль вмєстє с частными производными, функциями особого вида / / Сибирский матєматичєский журнал. 1963. Т.4, №2. С.408-425. 4. Канторович Л.В., Крылов В.И. Пр^лижєн^ю методы высшего анализа. М.;Л.: Гостєхиздат, 1950. 695с. 5. Kolodyazhny V.M., Rvachev V.L. Structural construction of complete sequences of coordinate functions in the variational method of solving boundary problems // Preprint AS Ukr SSR Inst Problem in Machinery, Kharkov. № 10. 75р. 6. Рвачев В.Л. Тєория R-функций и ^которые єб приложєния. Києв: Наук. думка. 1982. 552 с. 7. Morrey C.B. The Problem of Plateau on a Riemannian manifold / / Ann. of Math. 1948. 49(2). Р.807-851. 8. Рвачев В.Л, Курпа Л.В. R-функции в задачах теории пластин. Києв: Наук. думка, 1987. 175 с.

Поступила в рєдколлєгию 02.09.2002 Рецензент: д-р тєхн. наук, проф. Курпа Л.В.

Рвачев Владимир Логвинович, акадємик НАН Украины, профєссор, д-р физ.-мат. наук, завєдующий отдє-лом прикладной математики и вычислительных мєто-дов Института проблєм машиностроєния НАН Украины. Hаучные интересы: прикладная математика, вычислительные методы, тєория R-функций. Адрєс: Украина, 61003, Харьков, пер. Армянский, 1/3, кв. 80, тел. 95-96-41.

Уваров Роман Александрович, инжєнєр ОПМВМ Института проблєм машиностроєния НАН Украины. Hаучные интересы: матєматичєская физика, компью-тєрноє модєлированиє, тєория R-функций. Адрєс: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, к. 1304,тел.95-95-77,93-38-70.

Шейко Татьяна Ивановна, д-р физ.-мат. наук, профєссор, вєдущий сотрудник отдєла прикладной математики и вычислительных мєтодов Института проблєм машиностроєния НАН Украины. Научные интересы: прикладная математика, вычислительные методы, тєория R-функций. Адрєс: Украина, 61012, Харьков, ул. Полтавский шлях, 17-а, кв. 29, тел. 95-96-41.

128

РИ, 2002, № 3