CC BY
29
УДК 518:517,944-947
ДВУСТОРОННИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА, СПЕЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ)
КАЛИНИЧЕНКО В.И., ПАНН.П., АФАНАСЬЕВ В.А., СОВА А.В.
Для обыкновенного дифференциального уравнения вида ~(p(x)u') + r{x)u = f{x\ x є {a,b) решается краевая задача с условиями типа Дирихле на концах: u(a) = A , u(b) = B. Предлагается алгоритм получения приближений “сверху-снизу”, построенный таким образом, что точное решение попадает строго в “вилку” . Исследуется тот специальный случай, когда коэффициент r (x) обращается в нуль. Это приводит к сингулярностям в двойственной задаче.
Современные требования научно-технического прогресса на первый план выдвигают различного рода задачи оптимизации. Это касается в первую очередь рационального использования ресурсов, внедрения оптимальных технологий, принятия оптимальных решений и т.п. В математической формулировке эти задачи можно охарактеризовать как “задачи управления системами с распределенными параметрами”. В частности, сюда же мы относим и их дискретные аналоги.
Известно, что при нахождении оптимальных значений неизвестных параметров чаще всего приходится решать серию прямых задач, причем, как правило, в реальном масштабе времени. Ниже мы сформулируем одну из таких прямых задач, которая состоит в нахождении решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, порождаемого самосопряженным дифференциальным выражением. Такие задачи часто встречаются на практике и, следовательно, представляют значительный интерес. В настоящей статье решается вопрос о построении строгих приближений сверху и снизу к неизвестному решению. В основе предлагаемого алгоритма лежит идея сведения дифференциальной постановки краевой задачи к ее вариационной формулировке, состоящей в нахождении минимума квадратичного функционала [1-3]. Задачу минимизации назовем прямой (Р). Для двусторонних приближений будет сформулирована задача (D) максимизации, являющаяся двойственной к исходной.
Рассмотрим один специальный случай построения двусторонних приближений решения первой краевой задачи, связанной с уравнением
l(u) = —(p(x)u')' + r(x)u = f(x), x є (a,b), u = u(x);Ci > p(x) > C2 > 0;Сз > r(x) > 0, (1)
f є H(a,b),
т.е. для краевых условий типа Дирихле (не обязательно однородных) вида
u(a) = u(b) = 0 . (2)
Под H(a, b) подразумевается гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций [5]. Мы ограничимся требованием непрерывности функций p и r на интервале (a, b). Впрочем, это требование можно ослабить. Более того, коэффициент p может обращаться в нуль в некоторых точках, но так, чтобы интеграл от 1/ p сходился. При p = 0 уравнение перестает быть дифференциальным. Специфика рассматриваемой задачи состоит в том, что коэффициент r = r (x) может обращаться в нуль на интервале (a, b). Более того, он может равняться нулю тождественно. В этом смысле настоящую работу следует рассматривать как обобщение предыдущей нашей публикации [6], где на коэффициент r (x) налагались жесткие требования его положительности r > const > 0 . В практических задачах часто возникает ситуация даже когда r = 0. В этом случае сингулярность возникает при решении задачи ( d ).
В операторной форме задачу (1)-(2) запишем в виде
Au = f , (3)
где оператор А на множестве функций u є Da [2, 7] порождается дифференциальным выражением l(u) (1) и краевыми условиями (2); Da — область определения оператора А. В данном случае это класс дважды непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на концах интервала.
Как и в работе [6], рассмотрим гильбертово пространство H(a, b) со скалярным произведением b
(u,v) = juvdx,u,v є H (4)
a
и нормой
||u|
yl(u, u)
fb 2 f2
j u 2dx , u є H .
la )
(5)
Можно показать, что множество элементов из (3) u є Da плотно в Н [2], оператор А линейный, симметричный, положительно-определенный, т.е. для любых вещественных чисел а, Р и для u, v є Da выполняются условия [2, 7]:
au + fdv є Da , A(au + fdv) = aAu + fiAv ; (6)
2
(Au,v) = (u, Av),(Au,u) > y\ u ,Y ^ const > 0 . (7) Справедливо следующее [1-3]
Утверждение 1. Элемент uo є Da тогда и только тогда доставляет минимум функционалу
J(u) = (Au,u) - 2(u, f), (8)
когда он является решением задачи (3).
Это утверждение устанавливает эквивалентность задачи (3) и задачи нахождения элемента u є Da , на котором достигается минимум функционала J,
РИ, 2001, № 4
55
но ничего не говорит о существовании решения. Оказывается, можно видоизменить постановку вариационной задачи о минимизации J (и) так, чтобы можно было гарантировать существование и единственность ее решения. Обычно поступают следующим образом [2]. Вводят на Dд новое скалярное произведение
[u, г] = (Au, v) = j [(-(pu')' + ru )v]oX (9)
a
с нормой
|u| = ^(Au,u),u є Da . (10)
Пополнив Da по введенной норме (10), получают полное [5] гильбертово пространство ИА, которое принято называть энергетическим пространством, порождаемым оператором А [2]. Отметим, что Da с Hа с H и из последнего неравенства (7) следует
|u| > у2\\u\\2 . (11)
Вместо функционала J , определенного на Da , рассмотрим функционал
J+(u) = [u, u] - 2(u, f), (12)
совпадающий с J(u) при u є DA и имеющий смысл на всем энергетическом пространстве.
Можно показать, что (u, f) — линейный непрерывный функционал, а значит, по теореме Рисса [5] о представлении линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве существует, и притом единственный, элемент uo є Нд такой, что
(u, f) = [u,uo],Vu є Нд . (13)
Воспользовавшись полученным соотношением, функционал (12) можно представить в виде [2]
J+ (u) = [u, u] - 2(u, f) = [u, u] - 2[u, uo ] =
= [u - uo, u - uo ] - [uo, uo ] = u - uo\ - u 0 Ґ Отсюда очевидно, что
inf J + (u) = -|u0|2 ,
u є Ha , т.е. решение вариационной задачи
(14)
(15)
J+ (u) ^ inf , u є HA (16)
существует, единственное и совпадает с uo. Его принято называть обобщенным решением задачи (3) [1-3]. Если оказывается, что uo є Da , то, как отмечалось выше, uo является решением задачи (3) или, что то же самое, (1)-(2), т.е. классическим решением.
В развернутом виде функционал J+ (16) представляется интегралом
J+(u) =j (pu')2 + ru2 - 2uf) dx . (17)
a
Для решения задачи минимизации (16) применяется известный метод Ритца [2]. Если последователь-
ность функций },k = 1,2,... образует базис в Ha ,
то n -е приближение un к точному решению uo представимо в виде
n
un =Z ckn , (18)
k=1
lim un = uo, inf J+(un) = J + (uo) (19)
Коэффициенты Ck (k = 1,2,..,n ) разложения (18) находят как решение системы линейных алгебраических уравнений:
T1c1 + ••• + r1ncn = b1 (20)
rn1C1 + ... + rnncn = bn
где О ^ II b = J [PPWj + rVkVj ]dx , a \ fVkdx,( k, j = 1,2,..., ^. a (21) (22)
Матрица системы (20) симметрична и положительно определена, ее определитель отличен от нуля и, следовательно, система уравнений всегда разрешима и имеет единственное решение.
Функционал J + = J+(u), как легко видеть, является выпуклым. Поэтому любое приближение un к точному решению uo дает приближение к inf J+ сверху. Можно строго доказать [2], что такое приближение монотонно. В связи с этим появляется возможность получения некоторых косвенных критериев, позволяющих судить о точности приближения с ростом числа n, т.е. с увеличением количества координатных функций фk , например,
J+ (un) - J+ (un+1) ^ 0 при n . (23)
Однако критерий (23) не является надежным (хотя на практике им пользуются довольно часто, главным образом, ввиду его простоты).
Вначале поставим задачу: как, зная приближение un, оценить погрешность uo - un . Допустим, что координатные элементы ф k принадлежат области Da определения оператора А. Тогда [2] погрешность равна
uo - un = A 1(A(uo - un)) = A 1(f - Aun), (24)
откуда в метрике исходного гильбертова пространства Н следует погрешность для нормы
\\uo um —
A
-1
•їїf - Aun\\——2ii f ~Au
un|l. (25)
В общем случае Aun не стремится к f , поэтому оценка (25) может оказаться очень грубой. Более того, она неприменима, если координатные функции не принадлежат области Da : в этом случае она просто лишена смысла [см. 2, с.297].
Другой, более тонкий способ апостериорной оценки погрешности состоит в следующем. По (14) имеем
РИ, 2001, № 4
56
+1 i2 і i2 J (un) _ |un _u0\ ~ |u0 * (26)
Обозначим
inf J+(u) = -|uo 2 = d * (27)
Тогда
\un - uo P = J + (un) - d * (28)
Сама по себе задача нахождения точного значения числа d достаточно трудоемка и обычно определить его точно не удается. Если имеется некоторый алгоритм получения серии чисел J < d , то легко видеть, что В метрике H A
|u„ Uo| ^ д/J (un) J * (29)
В метрике исходного гильбертова пространства Н
\\и„ - ил <
<->/ J + (и„ ) - J - *
(30)
Таким образом, задача сводится к построению чисел J~, меньших d и желательно, по возможности, близких к d * Такое построение мы эффективно осуществляем с помощью теории двойственности, позволяющей прямую задачу типа inf свести к двойственной ей типа sup, а именно нами строится функционал J ~ = J ~ (v), который является вогнутым и таким, что
inf J + (и) = sup J ~ (v) (зі)
ueU veV , ()
U = {и : и е H-[,u(a) = u(b) = 0}, V = {v: v e H^} *
Здесь Hi = Hi(a, b) — соболевский класс функций, которые интегрируемы на интервале (a, b) вместе со своим квадратом и имеют там же обобщенную производную, также интегрируемую вместе с квадратом [2, 3, 5].
В работе [6] нами приводился вид двойственного функционала
J (v)
,b{v!+(f+у')2
ai p r
lx
(32)
Из (32) ясно видно, что коэффициент пропорциональности r не может обращаться в нуль, так как в этом случае (двойственная) задача максимизации
J-(v)^ sup (зз)
veV N 7
лишена смысла*
Существуют многие способы обойти трудности, связанные с сингулярностью в представлении (32)* Вот некоторые из них*
Предварительно решается спектральная задача, соответствующая оператору А* Затем осуществляется сдвиг по спектру на некоторую величину м <\, где Xj — первое (минимальное) собственное число оператора А* Трудность здесь заключается в том, что необходимо знать приближение снизу к Х[ * Сама по себе эта задача не проще исходной*
Можно добиться тождественного нуля в числителе, решая уравнение 1-го порядка вида РИ, 2001, № 4
f + v' = 0 (34)
относительно неизвестной функции v * Функционал (32) в этом случае приобретает другой вид* Если правая часть f имеет сложный вид, включая разрывы, то интегрирование (34) — тоже нелегкая задача*
И, наконец, предпринимались попытки решения последовательности задач вида (33), зависящих от положительного параметра е„ ^ 0, („ ^ го) , который суммируется со знаменателем r и, таким образом, деление на нуль возможно лишь в пределе* Нам такой подход представляется сомнительным*
В [4] был предложен эффективный прием сдвига знаменателя на некоторую положительную величину путем введения специального параметра a [4] * Остановимся на этом подробнее (опуская доказательства)*
Теорема. Если существует непрерывно дифференцируемая функция а такая, что выполняется условие а2
8 = г +а'---> const > 0, Vx є (a,b), (35)
то J~ (v) из (32) приобретает вид
J (v)
Ц—f+V--1 d
a P s\ P
(36)
и равенство (31)
inf J+(u) = sup J ~(v) ueU veV
достигается на некотором элементе v = vo e Hj(a,b), причем никакими условиями на краях функция v не связана. Равенство (31) выполняется, если в интервале (a, b)
v = pu' + ua , (37)
1 I . , av
и =ТІ f + v---
8[ p
(38)
Это так называемые формулы связи* Ими можно пользоваться для контроля правильности вычислений и тестирования программ*
Построение функции а с условиями (35) трудностей не вызывает, так как имеется большой произвол при нахождении какого-либо решения, удовлетворяющего дифференциальному неравенству* Если r > const > 0 , то «е 0 * В противном случае (в том числе и при r = 0 ) в качестве а можно взять функцию
1
а =----
2
C2
x - (a -1)
(39)
При этом неравенство (35) лишь усилится (по условию (1) P > Ci ) и
«2 > 2 c2
p 4 (x - (a -1))2
>8 = —
3 C
2
4 b - a +1
■> 0
* (40)
57
Дальнейшие наши рассуждения совпадают с выводами [6], т.е. имеет место
Утверждение 2. Пусть е> 0 . Если u+E,u,и_є — суть решения соответствующих краевых задач
-(ри '+Е)' + ru +Е= f + s, (41)
-(ри')' + ru = f , (42)
-(pu'_E)' + ru_E= f -s (43)
с однородными краевыми условиями, то
u_E < u < u +E. (44)
Теорию двойственности мы привлекаем с одной целью — для достоверности соблюдения строгих неравенств типа (44).
Зададимся двумя положительными числами є и причем s >> £ . После этого с привлечением теории двойственности решаем последовательно три задачи (41)-(43) с точностью £ (в метрике гильбертова пространства И А) до выполнения условия (29):
К _ uo \ — (un ) _ J (vn ) < ^ .
Строгость неравенств (44) контролируется в процессе счета по мере стремления є и £ к нулю.
Литература: 1.Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952. 216 с. 2.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 512 с. 3.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с. 4.Калиниченко В.И., Кощий А.Ф., Ропавка А.И. Численные решения задач
теплопроводности. Харьков: Вища шк., 1987. 112 с. 5.Канторович В.Л., Крылов В.И. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742 с. 6.Калиниченко В.И., Пан Н.П., Сова А.В. Верхние и нижние приближения в первой краевой задаче для самосопряженных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Коммунальное хозяйство городов. 2000, №23. С.228-237. 7.Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
Поступила в редколлегию 21.05.2001
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Гнесин В.И.
Калиниченко Виталий Иванович, канд. физ.-мат. наук, научный руководитель ВЦ Харьковского национального университета им. В.Н.Каразина. Научные интересы: численные методы в краевых задачах математической физики. Адрес: Украина, 61111, Харьков, ул. Познанская, 8, кв.83, тел. 63-21-65.
Пан Николай Павлович, начальник информационновычислительного центра Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: сети ЭВМ, системы управления базами данных. Адрес: Украина, 61110, Харьков, пр.Тракторостроите-лей, 108, кв. 153, тел.47-65-00.
Афанасьев Вадим Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: специальные функции математической физики. Адрес: Украина, 61168, Харьков, ул.Героев труда, 10, кв.24. тел.68-15-05.
Сова Анна Васильевна, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: радиоэлектроника, распределение радиоволн. Адрес: Украина, 61204, Харьков, ул. Асхарова, 15-А, кв.22, тел.37-18-31.
УДК 681.3.06
УПРАВЛЕНИЕ СЛОЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕЖИМАХ НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ
ШОСТАКВ.Ф, ШОСТАК ИВ, КУЗЬМЕНКО О.Ю.
Рассматривается проблема управления в реальном времени сложными объектами с неполной априорной информацией. Предлагается концепция интеллектуальных интегрированных систем, сочетающих преимущества традиционных и интеллектуальных методов управления. Описывается особая стратегия вывода на знаниях, позволяющая учесть неопределенность состояния объекта в достаточно удаленные от текущего моменты времени.
В процессе функционирования сложных объектов часто возникают нештатные режимы, которые могут приводить к авариям, катастрофам и, как следствие, к чрезвычайным ситуациям (ЧС).
Предупреждение, преодоление и ликвидация последствий ЧС представляет собой ряд взаимосвязанных проблем, охватывающих вопросы возникнове-
ния и развития ЧС, а также комплекс мероприятий организационного и технологического характера, направленных на борьбу с ЧС. Указанные проблемы сравнительно мало изучены, их развитие, как правило, невозможно точно предсказать, что приводит к большим трудностям при их ликвидации.
ЧС принято рассматривать как слабоструктурированный нестационарный объект, обладающий рядом проблематичных для традиционного управления свойств, таких как уникальность, определяемая конкретными условиями возникновения и развития ЧС, высокая динамичность, неполнота описания объекта, индивидуальность лица, принимающего решения (Л П Р), проявляющаяся в ходе формирования и принятия решения. Процесс развития ЧС подвержен многочисленным внешним и параметрическим возмущениям, о которых обычно имеется неполная априорная информация. Управление в ЧС требует учета большого числа взаимосвязанных параметров, изменение которых, как правило, носит стохастический и нечеткий характер.
В этих условиях разработка адекватной математической модели и, следовательно, применение традиционных методов идентификации ЧС в целом как объекта управления представляет значительные трудности. Кроме того, при использовании традиционных методов весьма затруднительно учесть
58
РИ, 2001, № 4
