Динамика производства и спроса в диссипативной модели логистической системы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical science, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Tran Cuok Toan, postgraduate, Russia, Tula, Tula State University

УДК 519.6:656.13:537.8

ДИНАМИКА ПРОИЗВОДСТВА И СПРОСА В ДИССИПАТИВНОЙ МОДЕЛИ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

И.Е. Агуреев, А.В. Гладышев

Приведен вывод математической модели логистической системы, включающей в качестве переменных объем производства однопродуктового предприятия, спрос на продукцию и поток автомобилей, выполняющих транспортный процесс по доставке груза. Модель записывается в виде диссипативной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Показаны области применения данной модели. Приведены основные результаты предварительного исследования свойств модели.

Ключевые слова: логистика, математическое моделирование, логистические системы, обыкновенные дифференциальные уравнения.

Область практического применения достижений логистики основывается на широком разнообразии как технических, так и информационных методов. Уменьшение транспортных издержек является основной целью использования специальных методов математического моделирования транспортных систем. Сложность и многокомпонентность логистических систем требует соответствующих подходов к их изучению [1-3,5].

Актуальность изучения данного направления обусловлена широкой распространенностью систем «производитель-потребитель» в современном мире, что ставит вопрос о необходимости их имитационного моделирования с целью дальнейшей оптимизации сопутствующих процессов доставки. Изучение данной проблемы позволяет прогнозировать количество автотранспортных средств, занимающихся выполнением транспортного процесса, т.е. определять загруженность транспортной сети.

Целью данной работы является разработка математической модели логистической системы, включающей в себя объем производства однопродуктового предприятия, спрос на продукцию и поток автомобилей, выполняющих транспортный процесс по доставке груза, предварительное исследование и анализ набора возможных решаемых задач.

Рассмотрим вариант модели логистической системы, которая может быть описана следующими переменными: х - число автомобилей, участвующих в транспортном процессе; у - объем производства продукции предприятием; г - спрос на продукцию.

При построении модели были приняты следующие ограничения:

1) предприятие производит, а потребитель покупает лишь один вид продукции;

2) объем произведенной продукции всегда можно разместить на складе производителя.

Модель логистической системы может быть представлена в виде

х = Г (х, £ ,т), (1)

где х е М с Ят, те Ь с Як, ? е I с Я, к и т - размерности соответственно параметрического и фазового пространств.

Согласно [1] число автомобилей, перевозящих продукцию, изменяется пропорционально объему производства и спросу на него:

х = Куг. (2)

Для данной задачи уравнение (2) в окончательном виде будет выглядеть как

х = к1у(г - С), (3)

где С - параметр, определяющий минимальный порог спроса, при достижении которого перевозчик начинает снижать объемы перевозок.

Согласно [4] объем производства продукции выражается уравнением

. р(у, г) - В

У = г^> у-----, (4)

2 А

где р(у, г) - цена на продукцию в зависимости от спроса и предложения; А = wa - издержки предприятия, связанные с заработной платой (^ - ставка заработной платы, а - технический параметр производства);

В = wb + ртт + рее (Ь - технический параметр производства; рт - стои-

мость материалов; ре- стоимость электроэнергии; т - объем потребляемых материалов; е - объем потребляемой электроэнергии) - производственные издержки.

В разрабатываемой модели системы установим дополнительно зависимость объема производства продукции от спроса, представив

у = к2 г ■ , (5)

2 2 А

153

где к2г - множитель, определяющий зависимость объема производства от спроса.

Рассмотрим смысл параметров А и В в уравнении (5). Рост цен на рынках ресурсов ^, рт, ре) при прочих неизменных условиях снижает предпринимательскую активность (в этом случае увеличивается значение параметров А и В, что влечет за собой падение оптимального объема производства у); повышение производительности труда (фактически это связано с уменьшением значений параметров а и Ь) и увеличение эффективности использования ресурсов (это приводит к снижению значений параметров т и е) при всех прочих неизменных условиях способствует увеличению объема производства.

Спрос на продукцию представим в виде зависимости, учитывающей:

1) цену продукции р(у, г);

2) качество оказываемых транспортных услуг;

3) популярность товара (зависимость спроса «от самого себя»).

Таким образом, представим изменение спроса в виде

В уравнении (6) под качеством оказываемых услуг примем число автомобилей, участвующих в транспортном процессе. Здесь слагаемое к5 х

отражает объем «объективного» спроса на товар, в то время как к4 г указывает на «субъективный» спрос, который зависит от мнения покупателей.

В уравнении (5) и (6) цена товара представлена с использованием модели рынка, предложенной Вальрасом [6]:

где (г - у) - «дефицитное производство», стимулирующее рост цен.

Как видно из уравнения (7), повышение уровня спроса при неизменном значении производства влечет за собой увеличение цены; увеличение объема производства при неизменном значении спроса влечет за собой снижение цены. Как только снижение цены становиться ощутимым для производства, согласно уравнению (5) снижается и объем производства.

Подставляя уравнение (7) в (5) и (6), получим

і = к4 z(k5 х - р( у; і)).

(6)

р = кзВ(і - у),

(7)

у = к _ кзВ(і - У)- В.

У = к2 2-----------^----------;

(8)

і = к42(к5х - к3В(2 - у)).

В окончательном виде система запишется в виде

х = к1у(2 - С),

У = к2 2 ■

к3В(2 - у) - В 2 Л

(10)

2 = к42(к5х - к3В(2 - у)).

Рассматриваемая модель является диссипативной при условии

В

й1у¥(х;у;2) = ----к2к32 + к4к5х - 2Вк3к42 + Вк3к42 + Вк3к4у < 0. (11)

В связи с тем, что коэффициенты к2 - к5 подразумевает только положительные значения, дивергенция системы отрицательна при условии

х е [0;

Вкк

2^3

2 Ак4к5

2 + -

2Вк

к

щ

к

у);

(12)

у е [0;——— 2 + 22 ——х);

2Ак4 Вк3

г к4к5х + Вк3к4у .

2 е [------вк¥).

2Вк3к4 + Вк2к3

3 4 2А

Использование диссипативных моделей типа (10) позволяет производить решение следующих задач:

1) исследование логистической модели с целью определения характерного поведения;

2) определение стационарных состояний и их устойчивости, определяющих наиболее важные условия надежного функционирования системы;

3) апробация на математической модели тех или иных управленческих решений;

4) определение текущих состояний системы.

Система (10) имеет три неподвижные (особые) точки:

В 1 В 1

01(х;0;0); 02(-;0;-); Ог(-;С --;С). к5 к3 к5 к3

Таким образом, в модели (10) может получиться результат от нуля до бесконечности.

Состояние равновесия особых точек определяется корнями характеристического уравнения, которое принимает свой окончательный вид после раскрытия матрицы Якоби.

Матрица Якоби системы (10) выглядит следующем образом:

0 к1( 2 - С) к1 у

3 9 х; у; 2)

0

Вк 2 к3

2

2 Вк 2 к3

2

Вк 2 к3

у

2 А 2 А 2 А

к4к5 2 Вк3к42 к4к5х - 2Вк3к42 + Вк3к4у

(13)

2

Используя матрицу (13), составим характеристическое уравнение системы (10):

-Л3 + Л2( к4 к5 х + Вк 3 к4 у - 2 ( Вк^2^3 + 2 Вк 3 к4)) + Л к4( Вк ^к3 к5 х + к1к5 у -2

В к2к3 ) + Вк1к2к4к5 2(к322 - Ск32 - 0,52 + 0,5Ск3у + 0,5С) = 0. (14)

2 А А

Упростим (14), введя следующие обозначения: а = к1С; Ь = к1;

Вк к Вк

с = ^3; З ; е = к4к5; g = Вк3к4. После преобразований (14) примет

вид

32

-1 +1 (ех + gy - 2 (с + 2 g)) + 12 (сех + Ьеу - dg) +

2

+ 2(2Ьсе2 - 2асе2 - ЬЗе2 + асеу + аЗе) = 0. (15)

Характеристическое уравнение для точки 01( х;0;0)

-Л3 +1 ех = 0. (16)

В 1

Характеристическое уравнение для точки 02(—;0;—)

к к

5

-Л3 -Л2(З+ -^)+ -(3а3е +---------------------) = 0. (17)

с с с

В 1

Характеристическое уравнение для точки 03(—; С--; С)

к5 к3

,3 ,2, ас а.а, .. ч а,а2 се 7Ч

-Л3 + Л2(— + —) + Л-(ае - ^) + -(------аЗе) = 0. (18)

Ь Ь Ь с Ь Ь

В ходе выполнения вычислительного эксперимента ставилась задача обнаружения в модели (10) различных типов динамического поведения и выявления закономерностей взаимного влияния переменных модели.

Так, в ходе проведения эксперимента был получен аттрактор (устойчивый предельный цикл) при следующих значениях коэффициентов системы: к1=2,0; к2=17,0; к3=4,0; к4=0,5; к4=6; А=4,0; В=7,0; С=9,0. (рис.1).

С практической точки зрения важной является адекватность построенной модели. При проведении эксперимента была исследована зависимость поведения переменных модели от времени (рис. 2), выполнен анализ их взаимного влияния, что позволяет сравнить результаты с реальными данными.

Анализируя график, представленный на рис. 2, можно выделить три области.

В первой области (рис. 3) наблюдаем процесс увеличения количества автомобилей, участвующих в транспортном процессе, при минимальных значениях спроса и производства. Этот процесс сопоставим с ситуацией

156

вывоза продукции из заполненного склада. Учитывая, что склад производителя заполнен готовой продукцией, все заказы выполнены, производство находиться на нулевой отметке. Необходимости в производстве товара нет. Аналогичная ситуация происходит и со спросом. Товар отсутствует на складах розничной торговли. Потребители не знают о наличии данной продукции и, следовательно, не проявляют интереса к товару. Как только некоторое количество продукции было привезено, начинается медленное увеличение спроса и производства.

Рис. 1. Аттрактор системы (10)

Рис. 2. Поведение переменных модели

Во второй области (рис. 4) производство и спрос приходят к своим максимальным значениям. Это обусловлено тем, что предыдущие заказы были выполнены, склады предприятия требуют наполнения продукцией. В

то же время сокращается количество транспортных средств, необходимых в данный момент времени. Причиной такого поведения является то, что предприятие только приступило к выполнению следующей партии заказов. Уменьшение продукции на складах розничной торговли влечет за собой и увеличение спроса на товар, порождающее, в свою очередь, увеличение количества заказов продукции на производстве.

{

гНОООтЧтНтНтН 30000000

осососооиэгчсо М^ЮОММГОГО л" о" о" Т-Г ч-Г т—Г тН гЧ т—1 тН тН т—1 тН тН тН

Рис. 3. Фаза увеличения количества перевозок

\

V\

1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 |\| II ' 1 1 1 1 Н о N N С>\ ГЧ Г>1 о о о о о о\о о

Ч. н ^ ч ч °ч. т—( т—1 т—1 тН т—1 тН Н \Н т-Н т-Н т-Н т-Н т-Н т-Н

Рис. 4. Равновесная фаза

158

Рис. 5. Фаза снижения спроса и производства

Третья область, представленная на рис. 5, отвечает за период завершения заказов и их формирования на складе производителя. В данный период происходит возрастание количества необходимых автомобилей. Производство и спрос снижаются до минимальных значений в связи с тем, что поступившие заказы уже выполнены, но еще не отправлены.

На основе проведенного анализа отдельных частей графика поведения переменных, представленного на рис. 2, можно предположить, что поведение модели (10) основано на вывозе продукции со склада производителя.

В работе модели четко прослеживается фаза поступления заказов и их выполнения с последующим уменьшением объема перевозок грузов на необходимое для этого время. Такое поведение присуще небольшим производствам, выпускающим товар только при поступлении заказа, например, производству по изготовлению мебели.

Рассмотренная динамика модели логистической системы описывает лишь те связи, которые учтены в уравнениях. В реальной ситуации возможно появление в неопределенный момент времени факторов, соответствующих случайным событиям, обстоятельствам или тем или иным решениям, принятым одним из участников логистической системы. Существует возможность построения системы, где будут учтены какие-либо иные управленческие решения или факторы, влияющие на систему.

Список литературы

1. Агуреев И.Е., Тропина В.М., Динамика логистической системы в транспортных цепях поставок // Известия ТулГУ. 2011. Вып.4. С. 158-167.

2. Агуреев И.Е., Тропина В. М. Модель конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Известия ТулГУ. 2007. Вып.1. С. 161-165.

3. Агуреев И.Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Известия ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10. С.3-11.

4. Лебедев В.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. М.: НВТ-Дизайн, 2002. 256 с.

5. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 320 с.

6. Сорокин А.В. Равновесие по Вальрасу. Случай обмена двумя товарами // Вестник МГУ. 2004. Сер. 6. Экономика. № 1. С.3 - 30

Агуреев Игорь Евгеньевич, д-р техн. наук, декан факультета транспортных и технологических систем, agureev-igor@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Гладышев Александр Владимирович, аспирант, glav-alex@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE DYNAMICS OF PRODUCTION AND DEMAND IN DISSIPATIVE MODEL OF

LOGISTIC SYSTEM

The dynamic system which describes macroscopic dynamics of logistic processes is considered. Dependences between value of production and demand are investigated. Decisions are resulted in the form of limiting cycles.

Key words: logistics, mathematical modeling, logistic system, ordinary differential equations.

Agureev Igor Evgenjevich, doctor of technical sciences, dean of faculty of transportation and technological systems, agureev-igor@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gladyshev Aleksandr Vladimirovich, postgraduate, glav-alex@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University