CC BY
31
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
DINAMIČKI ODZIV PLANETARNOG PRENOSNIKA NA SPREŽNU PARAMETARSKU POBUDU
Vojislav J. Batinić, Univerzitet odbrane u Beogradu,
Vojna akademija, Katedra vojnomašinskog inženjerstva
DOI: 10.5937/vojtehg61-2006
OBLAST: mašinstvo
VRSTA ČLANKA: originalni naučni članak Sažetak:
Unutrašnje dinamičke sile i pomeranja po predviđenim stepenima slobode u planetarnim prenosnicima posledica su, prvenstveno, promenlji-vih elastičnih deformacija zubaca u sprezi, vibracija delova prenosnika i odstupanja geometrije ozubljenja usled habanja zubaca i grešaka izrade.
U radu se razmatra uticaj vremenski promenljive sprežne krutosti na moguća pomeranja i sile u kontaktima zubaca. Funkcije promene krutosti su korišćene kao nelinearni koeficijenti krutosti u sistemu jednačina za ekvivalentni zupčani prenosnik pri utvrđivanju prirode pomeranja i unutra-šnjih dinamičkih sila. Rezultati numeričke analize sistema jednačina koji-ma je opisano dinamičko ponašanje su vremenski - promenljive funkcije pomeranja tačaka sistema i dinamičkih sila u spregama zubaca centralni zupčanik/satelit i satelit/venčanik.
Ključne reči: planetarni prenosnici, dinamičke sile, sprežna krutost, po-meranje, vibracije.
Uvod
Dinamička opterećenja u sklopovima mašinskih sistema posledica su međusobne interakcije delova. Usled promene elastičnih deformacija nastaju inercijalne sile i sile sudara delova. Odstupanja oblika i dimenzija usled grešaka pri izradi i habanja, ove sile značajno pojačavaju. Klizanje i ko-trljanje delova, takođe, doprinose uvećavanju ukupnog opterećenja mašin-skih delova i pobuđuju vibracije sistema. Inercija masa koje osciluju je dodat-na dinamička sila. Tako je sila uzrok, a istovremeno i posledica vibriranja.
Dinamička opterećenja u setovima planetarnih prenosnika uslovljena su, osim gore navedenih uzroka, još i krutostima sprega zupčanika, ne-ravnomernom raspodelom opterećenja na satelite, elastičnim deformaci-jama nosača satelita, vezivanjem sunčanog zupčanika i dr.
beregvojoi@yahoo.com
<jD
Opisivanje dinamičkog ponašanja sistema uključuje predviđanje, iz-među ostalog, pomeranja po stepenima slobode i sila u kontaktima zuba-ca. Nivo i karakter pomeranja i sila u zahvatima zubaca u spojevima cen-tralni sunčani zupčanik/satelit i satelit/venčanik razmatran je u radovima (August, Kasuba, 1986), (August, Evans, 1981), (Lin, Parker, 2002), (Kasuba, August, 1984), (Kahraman, 1994), (Ognjanović, 1985) na mate-matičkom modelu koji uključuje vremenske promene sprežnih krutosti modelirane kao pravougaoni oblici signala sa različitim stepenima spre-zanja. Ovakve promene sprežnih krutosti su gruba aproksimacija stvarnih promena sprežne krutosti kojima se parametarski pobuđuje sistem.
Cilj rada je uspostavljanje takvog dinamičko-matematičkog modela planetarnog prenosnika koji može predvideti pomeranja tačaka sistema i dinamičke sile u kontaktima zubaca zupčanika i pomoći projektantima u konstrukciji boljih prenosnika.
Promene sprežnih krutosti zavisne od promene broja pari zubaca u kontaktu, od odstupanja oblika zubaca i razradnog habanja ugrađene su u dinamički model planetarnog prenosnika prikazan u ovom radu.
Za analizu dinamičkog ponašanja planetarnog prenosnika treba, pr-vo, definisati dinamički model prenosnika. Kod većine autora koji su se bavili ovim problemom dinamički model je dat kao na slici 1. Međutim, u ovom modelu se ne vidi veza prenosnika sa pogonskim i radnim delom koji imaju uticaj na dinamiku. Zato je za analizu dinamičkih opterećenja u planetarnom setu posmatran ukupan zupčani prenosni sistem (slika 2). Taj sistem obuhvata izvor snage (pogon), opterećenje od radne mašine, prenosnik, vratila i ostale izvore prigušenja.
Da se eliminiše uticaj brzine nosača satelita na dinamičke karakteri-stike spojeva kao i nepoznata prigušenja i krutosti nosača satelita kod postavljanja mehaničkog modela prenosnog sistema uzet je za razmatra-nje ekvivalentni zupčasti prenosnik (sl. 3). Ekvivalentni zupčani prenosnik je dobijen isključivanjem nosača satelita i dodavanjem brzina svim ele-mentima realnog sistema (sl. 1), tako da na ekvivalentnom prenosniku sve komponente rotiraju oko njihovih vlastitih osa sopstvenim brzinama. Uticaj inercije nosača satelita na dinamička opterećenja izražen je pripisi-vanjem ekvivalentnog momenta inercije centralnom zupčaniku s unutra-šnjim ozubljenjem (August, Kasuba, 1986) koji u ekvivalentnom sistemu postaje izlazni element, a određuje se izrazom
Mehaničko-matematički model
(1)
Batinić, V., Dinamički odziv planetarnog prenosnika na sprežnu parametarsku pobudu, pp. 58-68
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
Slika 1 - Dinamički model planetarnog seta sa n-satelita Figure 1 - Dinamic model of a planetary gear set with n-planets
Slika 2 - Model planetarnog prenosnika: 1 - pogon, 2 - pogonsko vratilo, 3 - sunčani zupčanik, 4 - satelit, 5 - venčanik, 6 - nosač satelita, 7 - izlazno vratilo, 8 - radna mašina Figure 2 - Planetary gear train model: 1 - driver, 2 - input shaft, 3 - sun gear, 4 - planet gear, 5 - ring gear, 6 - carrier, 7 - output shaft, 8 - working mashine
Jednačine kretanja sistema bazirane su na ekvivalentni prenosnik i uključuju opterećenje i promenljivu krutost u kontaktima zubaca zupčani-ka u sprezi tj. krutost sprege koja zavisi od položaja dodirne tačke profila zubaca. Krutosti sprega (sl. 4 i 5) direktno su povezane sa sedam jedna-čina kojima je opisan sistem. Nelinearne sprežne krutosti sprege csp i
cpr izračunate su na način opisan u radu (Batinić, 2001).
Родоп
Jp
_biP
bpriCpr -L
bsp,Csp
J
bpviCpV b,sn
L_
ГЬ„
Kontinualna radijalna potpora
b iv >c i\
J
ьЛ
Radna
masina
J rm
Slika 3 - Ekvivalentni zupčani prenosnik Figure 3 - Equivalent gear train
Slika 4 - Sprežna krutost u spoju S/P Figure 4 - Gear mesh stiffness, sun/planet mesh
6.5x108-£-6.0x108-
Ž 8
“5.5x108-~=5.0x108-■g.4.5x108-“4.0x108-
(f) .
2 8
^3.5x108'
*
3.0x108 •
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
Ciklus promene krutosti spoja (P/R)1 [s]
Slika 5 - Sprežne krutost u spoju P/R Figure 5 - Gear mesh stiffness, planet/ring mesh
06D
Batinić, V., Dinamički odziv planetarnog prenosnika na sprežnu parametarsku pobudu, pp. 58-68
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
Ekvivalentno prigušenje u spojevima S/P i P/R zano je sa sopstve-nim bliskim masama i krutostima pomoću bezdimenzionalnog koeficijenta prigušenja i određuje se izrazima (August, Kasuba, 1986):
Koeficijenti prigušenja su:
%G = 0.1 - prigušenje u kontaktima zubaca,
£s = 0.05 - za sunčani zupčanik i
£s = 0.005 - zaostala prateća prigušenja.
Ovi koeficijenti su saglasni sa eksperimentalnim promatranjem pri-gušenja u različitim zupčastim sistemima (August, Evans, 1981).
Na slici 6 prikazana je sprega jednog satelita sa sunčanim zupčani-kom spoljnjeg ozubljenja i venačnog zupčanika sa unutrašnjim ozublje-njem. Pomeranje u kontaktima zubaca sunčanog zupčanika i satelita mo-že se odrediti na osnovu njihovih smerova obrtanja i mogućih pomeranja. Projektovano na dodirnicu, to pomeranje u funkciji promenljivih koordina-ta, prema parametrima datim na slici 6, je
bs = 2xr
G
(2)
Pp = [ +х.с°*в,+и.гиР, ],
(3)
pri čemu su:
us = rbsWs - ugaono pomeranje sunčanog zupčanika, upi = rbpiypi - ugaono pomeranje i -tog satelita.
Diferencijalne jednačine kretanja delova sistema: Pogon
Jp -fp + bp-Vp + bpv (^p -WS) + cpv (Vp -¥s ) = TU.
(4)
Centralni sunčani zupčanik
(i-1 )2n
m• y+bf■ ys+c/■ ys+l Fđs,-sin п-а*-^-3— =0.
^1 L v 3 )_
(7)
(6)
(5)
i=1
Sika 6 — Model translacionih i rotacionih stepeni slobode planetarnih prenosnika Figure 6 — Translational and rotational degrees of freedom model of planetary gears
Satelit i-ti
Jpz + bPzi -VPzi + rbPzt' F - rbpzi '■ Fdr = 0 , i = \,n.
Centralni zupčanik sa unutrašnjim ozublieniem - venčanik
Jr • У+ blr Vr + biv (r -¥г ) + civ {Vr-V,) + E ( rbr'- Fdri) = 0 .
i=1
Radna mašina
Jrm (i + bU ( + biv (¥г -Vr ) + Cv (Vt-Vr ) = - Ti ,
(8)
(9)
(10)
pri čemu su:
J - moment inercije,
V - ugao pomeranja,
T - moment uvijanja,
k - krutost zubaca u spoju,
V - ugaona ubrzanja,
r - polupr. podeonog kruga, kv - krutost vratila, s -sunčani zupčanik,
% -kr. prig. ostalih. delova,
bs - prigušenje oslonca, sunčanog zupčanika
Fd - dinamička sila,
V - ugaone brzine, m -masa,
rb - polupr. baznog kruga,
ks - krutost oslonca sunčanog zupčanika,
Pz - satelitski zupčanik,
%G -koef. prigušenja u spoju, b - prigušenje, r -venčanik,
xs,ys - pomeranje sunčanog zupčanika,
С^з>
Batinić, V., Dinamički odziv planetarnog prenosnika na sprežnu parametarsku pobudu, pp. 58-68
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
l - ležaj, bv - prigušenje vratila,
p - pogonski agregat, u - ulaz,
i - izlaz, rm - radna mašina,
v - vratilo, n - broj satelita,
S/P - spoj sunčani zupčanik/satelit i P/R - spoj satelit/venčanik.
Promenljive FdSj i FdSi u jednačinama (4-10) su trenutne sile u sprezi zubaca za i -ti spoj S/P i P/R , određene su slaganjem sila od promenljivih krutosti u spregama zubaca i sopstvenih srodnih dinamičkih pomeranja, a određene su jednačinama
Fds, = b
rbsVs - rbPz, VPz, + -cosa+ys-sma,
rbs Vs - rbpz Vpz + xs •cosa, + ys ■ sina
Fdr, =bi
rbr Vr-rbPz,V1
rbr Vr - rbpzl V pn
(11)
(12)
(i- l)2n
uzimajuci pri tome da je at = n- as -±—3------ugao koji zaklapaju sile sprege
sa osom x, a as - ugao dodirnice. Jednačine 11 i 12 važe za radnu situaciju kada je (rbg'vg) < (rbpVp) , pri čemu su: (') - trenutna vrednost, p - pogonski zupčanik, g - gonjeni zupčanik u bilo kom i -tom satelitskom spoju.
Numerička analiza
Numerička analiza ovog problema urađena je za konkretnu kon-strukciju planetarnog prenosnika sa sledeCim parametrima
Tu= 470 Nm, zs = 18, zp = 43, zr = 102zupca, m = 2.5, as = 22.5°,
ms = 2.6 kg, mc = 2.6 kg, mp = 2.85 kg, mr = 24.3 kg, Js = 0.001 kgm2,
Jrm = 2.2 kgm2, Jpi = Jp2 = Jpi = 0.0029 kgm2, Jr = 0.175 kgm2,
Jp = 0.56 kgm2, cpv = 105 ^, Cv = 105 Nm , c = 175.1010 n/m,
p a ’ pv rad ’ iv rad ’ f
sa = 1.64 , sa = 2 .
Parametri mehaničkog modela su ekvivalentni masama i krutostima realnog prenosnika. Vrednosti pomeranja i dinamičkih sila u spojevima date su na slikama 7 do 13.
4.0x10"
Slika 7 - Pomeranje sunčanog zupčanika - xs
Figure 7 - Translation movement of the sun gear - xs
Slika 8 - Pomeranje sunčanog zupčanika - ys
Figure 8 - Translation movement of the sun gear - ys
Pomeranje po osi x (m)
Slika 9 - Rezultujuće pomeranje centra sunčanog zupčanika Figure 9 - Resulting sun gear center movement
Slika 10 - Ugao uvijanja sunčanog zupčanika -ps
Figure 10 - Angular displacement of the sun gear -ys
Vreme (s)
Slika 11 - Ugao uvijanja prvog satelita - wp
' Pz1
Figure 11 - Angular displacement of the first planet - y/p
Slika 12 - Ugao uvijanja venačnog zupčanika - i//r
Figure 12 - Angular displacement of the ring gear - yr
(JŠT)
Batinić, V., Dinamički odziv planetarnog prenosnika na sprežnu parametarsku pobudu, pp. 58-68
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
Period T [s]
Slika 13 - Promena dinamičke sile u spojevima S/P i P/R Figure 13 - Dinamic load distributions in the S/P and P/R interfaces
Zaključak
Razvijen je model za simulaciju dinamičkog ponašanja jednostepe-nog planetarnog prenosnika sa zupčanicima sa pravim zupcima. Perio-dične funkcije pobude upotrebljene su kao vektori saglasno sprežnoj kru-tosti i parametrima statičkih grešaka prenosa koje su pretpostavljene kao poznate iz statičko-elastične analize.
Rezultati proračuna su vremenske funkcije promene pomeranja ta-čaka sistema po stepenima slobode i sila u spojevima S/P i P/R. Dobijeni rezultati u brojnom primeru daju osnovu da se zaključi:
- Sile u spojevima S/P i P/R planetarnog seta nisu konstantne već zavise od elastičnih deformacija zubaca u sprezi - krutosti sprege i imaju oscilatorni karakter,
- Sila u spoju sunčani zupčanik/satelit je većeg intenziteta u odnosu na silu u kontaktu satelit/venačni zupčanik što je i realno s obzirom na ste-pene sprezanja parova zupčanika,
- Pomeranja sunčanog zupčanika daju mogućnost predviđanja di-namičkih sila u ležaju.
Literatura
August, R., Kasuba, R., 1986, Torsional Vibrations and Dynamic Loads in a Basic Planetary Gear System, ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, Vol. 108, pp. 348-353.
August, R., Evans, J. W., 1981, An Extended Model for Determining Dynamic Loads in Spur Gearing, ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 103, No. 2, pp. 398-409.
C6Đ
Batinić, V., 2001, Unutrašnje dinamičke sile planetarnih prenosnika, Nauč-notehnički pregled, vol. LI, br. 3, pp.43-48, Beograd.
Lin, J., Parker, R. G., 2002, Planetary gear parametric instability Caused by mesh stiffness variation, Journal of Sound and Vibration 249(1), pp. 129-145.
Kasuba, R., August, R., 1984, Gear Mesh Stiffness and Load Sharing in Planetary Gearing, Fourth ASME International Power Transmission Conference, ASME PAPER 84-DET-229, 6 p., Cambridge, MA, Oct. 10-12.
Kahraman, A., 1994, Planetary gear train dynamics, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Mechanical Design, Vol. 116, pp. 713-720.
Ognjanović, M., 1985, Uzajamne zavisnosti odstupanja mera, vibracije i šu-ma zupčastih prenosnika, I deo, Mašinstvo, No. 34, pp. 1183-1190, Beograd.
PLANETARY GEAR DYNAMIC RESPONSE TO MESH PARAMETRIC EXCITATION
FIELD: Mechanical Engineering ARTICLE TYPE: Original Scientific Paper
Summary:
Internal dynamic forces and displacements along the anticipated degrees of freedom in planetary gear trains are a consequence of coupled teeth elastic deformations, vibrations of train parts and changes in gear geometries due to tooth wear and cutting errors.
This paper considers the influence of time-varying mesh stiffness on possible displacements and forces in tooth contacts. The time-varying mesh stiffness functions were useful as nonlinear coefficients of gear mesh stiffness in a system of differential equations for an equivalent gear train model in the determination of the nature of displacements and internal dynamic forces. The results of the numerical analysis of differential equations describing dynamic behaviour are time-varying functions of displacements of system points and dynamic forces in tooth meshes of the sun-planet and ring-planet meshes.
Introduction
Describing the dynamic behavior of a system includes, among other things, predicting the movement provided by the degrees of freedom and forces in the contact of gear teeth. The level and the character of the displacements and the forces in the sun gear/planet and planer/ring meshes were discussed in papers (August, Kasuba, 1986), (August, Evans, 1981), (Lin, Parker, 2002), (Kasuba, August, 1984), (Kahraman, 1994), (Ognjanović, 1985) on a mechanical-mathematical model that includes time-varying mesh stiffness values modeled as rectangular waveforms with different contact ratios. Such changes of mesh stiffness values are a rough approximation of actual changes that parametrically excite the system.
Changes in mesh stiffness dependent on the changes in the number of pairs of teeth in contact, on the tolerances in shape and on tooth
(j57>
Batinić, V., Dinamički odziv planetarnog prenosnika na sprežnu parametarsku pobudu, pp. 58-68
VOJNOTEHNIČKI GLASNIK/MILITARY TECHNICAL COURIER, 2013., Vol. LXI, No. 1
wear are incorporated into the dynamic model of the planetary gear shown in this paper.
Mechanical-mathematical Model
To analyze the dynamic behavior of a planetary gear „a dynamic model of transmission should be defined first. Most authors who have dealt with this problem give the dynamic model as in Fig. 1. However, this model cannot show the connection with the drive gear and a working part having an impact on dynamics. Therefore, for the analysis of dynamic loads in the planetary gear, the complete transmission system (Fig. 2) was observed. This system includes a power source (plant), the load of machinery, gears, shafts and other damping sources. To eliminate the influence of the planet carrier on the dynamic characteristics of the meshes, an equivalent gear carrier was taken into consideration during the installation of a transmission system mechanical model. (Fig. 3).
The dynamics of the system is described by the differential equations from 4 to 10.
Numerical Analysis
The numerical analysis of this problem was done for a real planetary gear structure.
Conclusion
A model to simulate the dynamic behavior of single-stage planetary gears with straight-teeth gears is developed in this paper. Periodic excitation functions were used as vectors in accordance with the mesh stiffness and the parameters of static transmission errors assumed as known from the static-elastic analysis.
The calculation results are the functions of time changes of the system points displacements along the degrees of freedom and the forces in the S/P and P/R meshes.
The results obtained in the numerical example provide a basis for the following conclusions:
- Forces in the S/P and P/R planetary set meshes are not constant but dependent on the elastic deformation of teeth of mesh-mesh stiffness and have an oscillatory character,
- Force in the S/P mesh is more intense than the force in the P/R mesh, which is realistic given the contact ratio of meshing gears,
- Sun gear displacement gives the ability to predict the dynamic force in the bearing.
Key words: planetary gear train, dynamic forces, mesh stiffness, displacement, vibrations.
Datum prijema članka/Paper received on: 15. 05. 2012.
Datum dostavljanja ispravki rukopisa/ Manuscript corrections submitted on: 31.05. 2012.
Datum konačnog prihvatanja članka za objavljivanje/ Paper accepted for publishing on: 02. 06. 2012.
