CC BY
23
Dr Vojislav Batinié,
dipl. inz.
Vojna akademija,
ODREDIVANJE KRUTOSTI PLANETARNOG PRENOSNIKA
UDC: 62-233.3
Rezime:
Kontaktna krutost zubaca jedan je od glavnih generatora unutrasnjih dinamickih sila u spregama zupcanika planetarnih prenosnika. Neophodan je pri opisivanju dinamickog pona-sanja planetarnih prenosnika, tj. pri postavljanju jednacina dinamicke ravnoteze. U radu je prikazan metodoloski pristup analitickom i eksperimentalnom odredivanju krutosti posma-tranog planetarnog prenosnika.
Kljucne reci: planetarni prenosnik, vibracije, kontaktna krutost, unutrasnje dinamicke sile.
DETERMINATION OF GEAR MESH STIFFNESS IN PLANETARY GEARING
Summary:
Gear mesh stiffness in planetary gearing is one of the main generators of internal dynamic forces. It is necessary in describing dynamic behaviour of planetary trains, i.e. in defining their equations of dynamic balance. This paper presents a methodological approach to experimental and analytical calculation of stiffness in planetary gearing.
Key words: planetary gear train, vibrations, gear mesh stiffness, internal dynamic forces.
Uvod
Unutrasnje dinamicke sile i momen-ti u planetarnim prenosnicima mogu do-vesti do progresivnog i ubrzanog razara-nja zupcanika, lezaja, nosaca satelita i kucista. Slozenost uslova rada i procesa nastajanja unutrasnjih dinamickih sila zahteva analizu vise uzroka koji dovode do pojave tih sila. Jedan od glavnih generatora unutrasnjih dinamickih sila je promena kontaktne krutosti zubaca, kao po-sledica elasticnih deformacija, razlike koraka, habanja zubaca i sl.
Za slozene dinamicke konstrukcije koje sadrze veliki broj elemenata, kao sto su zupcanici, vratila, lezaji, spojnice i sl. definisanje sistema jednacina kretanja je
izuzetno tesko i cesto nemoguce sa aspekta prakticne primene. Problem ma-tematickog modeliranja takvih sistema moze se, donekle, prevazici primenom dinamicki ekvivalentnih sistema umesto stvarnih. Za postavljanje jednacina dina-micke ravnoteze ekvivalentnog sistema neophodno je poznavanje krutosti cita-vog prenosnog mehanizma. Odredivanje krutosti planetarnog prenosnika predmet je istrazivanja ovog rada.
Krutost zubaca spregnutih zupcanika planetarnog prenosnika
Za analizu je koriscen planetarni prenosnik sa dva planetarna reda (stepe-na prenosa), proizveden u fabrici „14.
vzzzzm
V/////A
Sl. 1 - Posmatrani planetarni prenosnik
oktobar" Krusevac (slika 1), ugraden na pogonskom mostu bagera. Sastoji se od dva reda po tri satelita u sprezi sa cen-tralnim zupcanikom, venacnog zupcani-ka epicikla, nosaca satelita i izlazne pri-rubnice.
Krutost celika koji se koriste za iz-radu zupcanika prenosnika je u granica-ma od 15 do 20 N/ mm m. Za analizu ce se usvojiti prosecna krutost zubaca zupcanika c' = 15N/mm ^ m.
Krutost zubaca u vezama prvog ste-pena prenosa:
c^ = c,b1 -106 = 600-106 N/m (1) c^ = c;^ = 600• 106 N/m
pri cemu je:
b = 40 mm sirina zupcanika zb z2 i z3.
Kako se vidi, ova krutost je linijska, tj. odnosi se na 1 mm sirine zupcanika i 1
m duzine deformacije. Medutim, za re-savanje problema potrebna je radijalna krutost koja ce se dobiti pogodnom tran-sformacijom osnovnog izraza za krutost, tako da je:
T_
c, = F = 3r1 = _T_cos aw (2)
w r1^1 3^1 r12 cosa
pri cemu su:
T/3 obrtni moment na jednom od tri sa-telita,
r podeoni poluprecnik centralnog zup-canika,
w ugao dodirnice, koji za xi+x2 = 0 iz-nosi w = = 20°,
ugao uvijanja zupcanika z1. Deformacije zubaca zupcanika i ugao uvijanja prikazani su na slici 2.
Prema (2) torziona krutost je:
T
c r
c = -
3y1 cosa
6GG •Ю6 • G, G222
cz = cz = •
z1-2 z2-3
G,939
2T 3 3r r
3r
H1
(3)
c=
ЧУ* cosa
2TrH1 cosa
¥4rx r4
(4)
pri cemu je:
2Tr,
M„ =■
H
r
moment uvijanja zupca-
nika z4.
Na osnovu prethodne jednacine tor-ziona krutost zubaca zupcanika u sprezi z4 i z5 je:
Sl. 3 - Sema planetarnog prenosnika
Na osnovu (3) torziona krutost zubaca prvog i drugog zupcanika (sl. 3) iznosi:
c • b, 1G6 r
H1 -z5 z4-5
cos а 15^6G^1G6^G,G262
G,939
G,64794G6 Nm/rad.
= G,3G93 •Ю6 N/rad.
Krutost zubaca zupcanika nosaca sa-telita, prvog stepena prenosa, i zupcanika z5 moze se dobiti iz sledeceg odnosa:
Krutost zubaca zupcanika z5 i z6 u sprezi jednaka je prethodnoj krutosti, tj.: c = c = G, 6479 -Ю6 Nm/rad.
5-6 4-5
Krutost zubaca zupcanika nosaca satelita u drugom stepenu prenosa moze se dobiti iz odnosa:
2Tr„
F
H2 7
w
(5)
cos
4TrH rH 2 1 cos
cos
odakle je torziona krutost:
с r72 15 65 106 0,0472
с, с
H2 8
cos
0,939
2,2937 106 Nm/rad.
Krutost nosaca satelita
Nosac satelita, kao jedan od najodgo-vornijih elemenata planetarnog prenosnika, po svojoj konstrukciji uslovljen je tipom prenosnika, velicinom snage, nacinom iz-rade, vrstom materijala i dr. Prema nacinu izrade nosaci satelita mogu biti liveni, ko-vani i rezani. Osim toga, mogu biti prekid-ne strukture, odnosno izradeni zavariva-njem, sa zavrtnjima, presovanjem i dr.
Po nacinu ostvarivanja veza sa cen-tralnim vratilima, nosaci satelita mogu biti iz jednog dela sa vratilom ili vezani nekim od nacina spajanja, cvrstom raz-dvojivom vezom za izlazno ili ulazno vratilo. Cesti su slucajevi da se nosac satelita spaja radi uravnotezenja sila i dobi-janja tzv. plivajucih centralnih vratila, specijalnim ozlebljenim spojevima.
Prema nacinu postavljanja satelita na osovine mogu biti konzolni (nosaci satelita sa jednom ceonom plocom, bez pregrada), ili da se sateliti smestaju izme-du ceonih kruznih ploca (kod nosaca satelita sa dve kruzne ploce spojene pregra-dama, razlicitog poprecnog preseka).
Razmatrani planetarni prenosnik u pr-vom stepenu prenosa ima nosac satelita ne-prekidne strukture sa tri satelita koji su po-stavljeni konzolno. U drugom stepenu prenosa, nosac satelita je neprekidne strukture sa dve kruzne ploce spojene pregradama i tri satelita koji su postavljeni na osovinice izmedu pregrada. Nosac satelita u drugom stepenu prenosa je iz jednog dela sa izla-znim vratilom koje je zupcastim parom po-vezano sa izlaznom prirubnicom.
2
r
H
r7
с
r7 7
7 r7
Kako su sateliti prvog stepena pre-nosa postavljeni konzolno (sl. 4) na oso-vinice kruznog poprecnog preseka, moze se uzeti da je ugib na polovini duzine konzole odreden izrazom:
f=
Ff_ 3EI
2-T
3r1 3EI
%v
l
3
odnosno
2T
-rH
3r1 H1
VHl rH1
3EI
odakle se moze izraziti torziona krutost kao:
c =
ns
MH 3EIrH
H1 __HL
v
pri cemu su: 2T
MH1 = —rrH1
3r1
satelita konzole,
l rastojanje na kojem deluje rezultan-ta obodnih sila, d4^
I =
б4
Torziona krutost nosaca satelita, od-nosno osovinice nosaca satelita prvog stepena prenosa konkretnog planetarnog prenosnika je (7):
3 2,1 1G11 7,36 1G8 G,G752
(б)
Krutost se moze izraziti kao odnos sile i deformacije:
F 3EI —=—— N/m
f l3
Medutim, kako je za proracun po-trebna torziona krutost, tj. krutost izrazena u Nm/rad, prethodna jednakost ce se po-godno transformisati zamenom sile i ugi-ba odgovarajucim izrazima, pa ce biti:
ns G, G223
= 2,4494 1G7 Nm/rad.
Krutost veza prenosnika po segmentima
Krutost veza zupcanika z1 i z3 sa no-sacem satelita kojim se ostvaruje ova veza moze se izraziti kao zbir reciprocnih vrednosti cz i krutosti nosaca satelita
cns i iznosi:
1 = + +1
c c c c
(8)
Ako se u gornji izraz ubace podaci za konkretan primer prenosnika dobice se:
1
1
1
(7)
moment uvijanja nosaca
cr G,3G93 1G6 G,3G93 1G6
z1 3
1
+-
2,4494 1G7
moment inercije preseka oso-
odakle proizilazi da je krutost cz G,1537 1G6 Nm/rad.
z1 3
U prvom stepenu prenosa postoje tri ovakve krutosti koje su u rednoj vezi, pa je ukupna krutost prvog stepena prenosa:
-L=±=-U-i-+-L (9)
c c, c c c
vinice satelita prvog stepena prenosa. odakle je c: cz13 5,1221 1G Nm/rad.
3
l
Analogno vezama krutosti prvog stepena prenosa mogu se izraziti krutosti veza zupcanika z4 do z6, s tom razlikom sto u drugom stepenu prenosa sateliti ni-su konzolno postavljeni na nosacu sateli-ta, pa krutost nosaca satelita pripada ukupnoj krutosti vratila drugog stepena prenosa. Dakle, vaze relacije:
1 1 1 — =-+ —
Krutost veza prenosnika u oba ste-pena prenosa je:
— = — +
1
(13)
sto za posmatrani prenosnik iznosi:
= 3,3711 • 104 Nm/rad.
1 = + + J_
с, с, с, с,
(10)
Uvrstavanjem konkretnih podataka posmatranog prenosnika dobice se krutost:
с, 1,0799 105 Nm/rad
,4 6
Krutost vratila sa nosacem satelita drugog stepena prenosa je:
GTc i
(11)
pri cemu su:
G modul klizanja materijala vratila, G = 8-1010 N/m2,
I0v polarni otporni moment poprecnog preseka vratila, I0V = 7,66-l0-6 m4, lv duzina vratila sa nosacem satelita, lv = 0,272 m.
Ukupna krutost veza zupcanika ,4 i ,5 sa vratilom i zupcanicima ,7 i tj. krutost drugog stepena prenosa je:
1 = = _l_ + + _J_
с, с ii с, су с,
,4-8 11 ,4-6 у 1-
(12)
odakle je za konkretan prenosnik cII cz 9,8617 104 Nm/rad.
Eksperimentalno odredivanje
krutosti planetarnog prenosnika
Eksperimentalno ispitivanje kon-strukcija, kao dopunska mogucnost dola-zenja do pouzdanih podataka o nekom od stanja sistema ili delova sistema, otvara prostor i za odredivanje krutosti kon-strukcije planetarnog prenosnika.
Eksperimentalna analiza obavlja se pomocu ekstenzometrijske metode cija je primena omogucena pogodnim posta-vljanjem planetarnog prenosnika i delova opreme koji omogucavaju merenje na probnom stolu. Jedna grupa ekstenzome-trijskih metoda odnosi se na elektroot-porne merne trake kojima se mere dilata-cije u nekoj tacki za neki odabrani pra-vac. Metoda se zasniva na koriscenju analogije sa elektricnim otporom. Defor-macija merne trake izaziva promenu elektricnog otpora u njoj, sto se moze re-gistrovati mernim instrumentom. Merne trake se, najcesce, koriste za merenje na-pona i deformacija, ali i za pretvaranje odredenih mehanickih velicina u elek-tricni signal, konstruisanjem odgovaraju-cih pretvaraca. Ovi se pretvaraci zatim ugraduju u razne merne uredaje, kao sto su dinamometri, dinamometrij ski prste-
с
2
с
V
novi za merenje sile i sl. S obzirom na to da merne trake omogucuju merenje dila-tacije materijala, navedeni princip reali-zuje se tako sto se pojedine velicine (sila, moment, pritisak, pomeranje i sl.) tran-sformisu u deformaciju posebno obliko-vanog mernog tela (slika 6).
Osnovna karakteristika svakog mernog tela, kao elasticne strukture, sastoji se u tome da deo strukture na kojem se lepe merne trake mora imati linearnu ka-rakteristiku, a merne trake se postavljaju u pravcu glavnih napona. Najkriticniji element pretvaraca sa mehanickog aspekta je opruzni element telo pretvaraca, koje sluzi za pretvaranje opterece-nja (sile) u uniformno naponsko polje gde se lepi traka. Oblik tela pretvaraca moze biti koncipiran tako da opterecenje koje se meri izaziva naprezanje na savi-janje, smicanje ili normalno naprezanje.
Merni most
Kako su dilatacije reda velicine 10-3 D, to je promena elektriCnog otpora reda K = 2 10-3. Ovako male velicine mo-gu se uspesno meriti pomocu pojacivaca sa instrumentom koji se naziva „merni most". Merenje otpora na ovaj nacin za-sniva se na dva Kirchoffova pravila grananja struje. Osnovno kolo ovog mosta prikazano je na slici 5.
Merenjem relativne promene otpora
merne trake —R, moze se doci do podaR
taka o velicini dilatacije u nekoj tacki ko-riscenjem relacije:
AR R
K ■£
(14)
pri cemu su:
-R specifiCna promena otpora,
K faktor proporcionalnosti - karakteristika svake merne trake, i dilatacija D .
Za most kod koga je IG = 0 kaze se da je u ravnotezi. U tom slucaju mora biti zadovoljen uslov da je:
R2R4 - R1R3 = 0, odnosno: Rl = R4 R
(15)
Ova relacija kazuje da se bilo kakva promena otpora na jednoj strani mosta moze uravnoteziti podesavanjem vredno-sti otpora na drugoj strani mosta. Svako izbacivanje mosta iz ravnoteze bice regi-strovano na mernom instrumentu.
Izlazni napon otvorenog kola izra-cunava se na osnovu izraza:
Iz jednacine 15 vidi se da napon di-jagonala mosta zavisi od otpora u grana-ma mosta, tj. u zavisnosti od toga koliko je mernih traka aktivno. Konfiguracije mosta mogu biti cetvrtmost, polumost i puni most.
Odredivanje krutosti prenosnika
Krutost planetarnog prenosnika od-reduje se, posredno, na osnovu izmerene velicine sile kojom se opterecuje preno-snik. Opterecivanje prenosnika, kao i merenje sile, omoguceno je dodavanjem sklopa pogodno ukomponovanih eleme-nata za opterecivanje silom, kao i njeno merenje, sto je prikazano na slici 6. Do-dati sklop sastoji se od: zavrtnja 1, zavr-
tanja 2, navrtke sa mernim mostom 3 i galvanometra 4. Zavrtanj 1 spojen je sa izlaznom prirubnicom prenosnika preko jednog od otvora, sa unutrasnjim navo-jem, na obodu prirubnice.
Zavrtnji 2 imaju posebno oblikova-ne glave, pojedinacno pricvrscene za po-stolje i zavrtanj na prirubnici 1 i razlicite navoje, tj. jedan zavrtanj levi, a drugi de-sni. Okretanjem navrtke 3 sklop ce delo-vati kao zatezac posto je postavljen tan-gencijalno na precnik prirubnice na ko-jem se nalaze otvori. Sila se meri dina-mometrom sa polumostnom konfiguraci-jom mernog mosta, tj. u most su ukljuce-ne dve aktivne trake, kao sto je prikazano na slici 7.
Kuciste prenosnika, kao i njegovo ulazno vratilo, pre merenja se dobro ucvrste. Okretanjem navrtke 3 zatezaca ostvaruje se odredena sila istezanja koja se pomocu skale na galvanometru i ka-
rakteristike dinamometra prevodi u silu izrazenu u jedinicama sile. Karakteristika dinamometra prikazana je na slici 8.
FII-I05[N]
Okretanjem navrtke 3 zatezaca lucni po-meraj prirubnice po precniku na kojem se nalaze otvori priblizno je jednak po-meraju po tangenti na taj krug. Za cetvr-tinu obrtaja lucni pomeraj i sila su:
2P
— 1,0 mm; F = 2000N (odgovara
80 podeoka skale).
Ugao i moment uvijanja su:
(17)
200 240 280 320 360 440
podeoci na galvanometru
Sl. 8 - Karakteristika dinamometra
Jedan pun obrtaj navrtke 3 zatezaca odgovara pomeraju od dva koraka, tj. 2P. Za zavrtanj M20 korak je: P = 2 mm.
- 0,00806 rad; T = F ■ r = 248Nm r
(18)
Odnos momenta uvijanja T i ugla uvijanja (p predstavlja krutost prenosni-ka i ona iznosi:
c2 = T = 3,077 ■ 104Nm/rad (
(19)
Zakljucak
Na osnovu analiticki i eksperimental-no dobijenih rezultata moze se zakljuciti:
- u kontaktnu krutost su, pri anali-tickom odredivanju, ukljuceni momenti inercije koji se za slozene oblike (delovi planetarnog prenosnika) odreduju sa pri-licnom aproksimacijom;
- ucvrscivanje prenosnika i zatezaca na probnom stolu izvedeno je sa vise delo-va nego sto bi bilo optimalno, tako da su sve krutosti spojeva, koje su u rednoj vezi, uticale na smanjenje ukupne krutosti;
- rezultati dobijeni eksperimentom (c2 3,077 104 Nm/rad) razlikuju se od onih dobijenih analitickim postupkom
(c2 3,3711 104 Nm/rad),ali, s obzirom na navedene uticaje, razlika u rezultatu je takva da se ove vrednosti mogu koristiti kao orijentacione krutosti planetarnog prenosnika u dinamickim jednacinama ravnoteze.
Literatura:
[1] Brcic, V., Cukic, R.: Eksperimentalne metode u projektova-nju konstrukcija, Gradevinska knjiga, Beograd, 1988.
[2] Colbourne, J. R.: The geometric design of internal gear pairs, AGMA Technical Paper, 87 FTM2, 1987.
[3] Kahraman, A.: Planetary gear train dynamics, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Journal of Mechanical Design, Vol. 116, pp. 713 720, 1994.
[4] Kasuba, R., and August, R.: Gear Mesh Stiffnes and Load Sharing in Planetary Gearing, Fourth ASME International Power Transmission Conference, ASME Paper 84-DET-229, Cambridge, MA, Oct. 10-12, 1984.
[5] Muller H. W.: Epicyclic Drive Trains, Wayne State University Press, Detroit, 1982.
