CC BY
59
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 138-147
Механика =
УДК 539.3
Деформации поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе *
А. С. Харламов
Аннотация. Рассмотрены деформации поперечных сечений свободной балки в процессе ее конечного чистого изгиба. В рамках теории упругости получены поля перемещений точек балки в случае конечных поворотов срединной линии, а также была проведена линеаризация для сравнения полученного решения с уже известными результатами.
Ключевые слова: балка, чистый изгиб, поперечное сечение, конечный поворот, теория упругости.
Рассмотрим исходную конфигурацию балки с прямоугольным поперечным сечением. Пусть рассматриваемая балка имеет следующие размеры:
1о 1о Л0 Л0 п0 п0
— — < XI < —, - — < Х2 < —, — — < Х3 ^ —.
2 2 ' 2 2 ' 2 2
Система координат и изображение начальной конфигурации балки представлены на рис. 1.
X,
Х1
%
Рис. 1. Начальная конфигурация балки
Рассмотрим чистый изгиб балки под действием двух равных по модулю, но противоположных по направлению моментов, приложенных к торцам Х\ = т0 и Х\ = —10. Введем следующие основные гипотезы:
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
- кривизна срединной линии в деформированном состоянии будет постоянной во всех точках (срединная линия будет иметь вид дуги окружности);
- поперечные сечения, перпендикулярные срединной линии в начальном состоянии, останутся перпендикулярными к срединной линии и в деформированном состоянии;
- деформации в плоскости поперечных сечений малы (поворот и деформации в плоскости Х1Х2 считаем конечными);
- базисные векторы (г = 1, 2, 3) остаются главными в процессе изгиба. Рассмотрим радиус вектор Но произвольной точки в начальном
состоянии:
Но = Го + Х2в2 + Х3ё3, Го = Х{ё\, (1)
где Го — радиус вектор точки срединной линии в начальном состоянии. В деформированном состоянии радиус-вектор этой же точки срединной линии можно записать с помощью вектора перемещения:
в = Го + и(о) (Х1). (2)
Рассмотрим срединную линию балки в деформированном состоянии (рис. 2).
Вектор тi — касательный к срединной линии, Т2 — нормаль к срединной линии, Тз — параллельный декартовому вектору ёз. Связь векторов T¿ (i = 1, 2, 3) с начальным декартовым базисом можно записать через угол поворота 7:
Т1 = cos 7ё1 — sin 7ё2,
Т 2 = sin 7ё1 + cos 7ё2, (3)
Тз = ёз.
Радиус-вектор произвольной точки балки в деформированном состоянии можно записать в следующем виде:
К = 8 + (Х2 + W2 (Х2,Хз)) 7б1 + С08 7б2) + (Х3 + Wз (Х2,Хз)) вз, (4)
где w2 (Х2,Х3), w3 (Х2,Х3) — неизвестные функции, характеризующие перемещения в поперечных сечениях.
Далее найдем зависимость угла поворота 7 от координаты Х1. Пусть длина срединной линии в деформированном состоянии увеличивается в Л раз, а ее радиус кривизны равен р (рис. 3).
Рис. 3. Определение зависимости угла поворота от продольной
координаты
Тогда из формулы для определения длины дуги окружности получаем следующую зависимость:
ЛХ1 = р7 ^
7(Х1) = ЛХ1. р
(5)
Определим радиус-вектор произвольной точки срединной линии в деформированном состоянии. По определению касательный к срединной линии вектор т 1 определяется выражением:
1
1
т1 =
Л ^Х1
(6)
Подставляя (2) и (3) в (6) и учитывая зависимость (5), получаем уравнения для определения компонент перемещений точек срединной линии:
¿и
(0)
¿Х1
= Л СОЭ
¿и
(о)
¿Х1
= — Л 8Ш
ЛХ1
р
ЛХ1
Р
1,
1
2
Начальным условием для уравнений (7) будет служить тот факт, что точка, совпадающая с началом координат в начальном состоянии, перемещаться не будет, то есть
u
(0)
X1=0
= u
(0)
X1=0
0,
dui
(0)
dXi
du
(0)
X1=0
dXi
X1=0
Решая уравнения (7) с начальными условиями (8), получаем вектор перемещений точек срединной линии
u(0) =
рsin ( pX^ — ei + p ^cos ^Pxi ) — 1 ) ё2. (9)
Перейдем к определению аффинора деформации Ф. Для этого найдем
_ dR
материальный базис эг = dx:
si = Р (р + X2 + W2) (cos Yei — sin 762); P
Э2 = ( 1 + "etíf" ) (sinYei + cos7в2) + т^г"ез;
dX2
dX2
(10)
эз = (l + IXf) ез + IX3 (sinYei + cosYe2).
По определению аффинор связывает между собой векторы материальной системы в начальном и конечном состояниях:
Эг = ёг • Ф.
Тогда компоненты аффинора можно найти из следующего соотношения:
Ф ij — эг • ej •
(11)
Подставляя в (11) найденные ранее векторы материального базиса (10), получаем аффинор деформации Ф в разложении по диадам начального декартового базиса:
i
2
2
0
( - (р + X + —2)008 7--(р + Х2 + —2) в1п 7
р , р.
д—2 \ 1+ ех2)С087 д—2 . д—2
-
Ф
1 , д—Л .
1+дх^;81п 7
V
дХз
ЭШ 7
дХз
ООЭ 7
0
д—з
1 +
1+ дХз /
■ (12)
Найдем меру деформаций Коши-Грина С. По определению тензор С связан с аффинором деформации следующим соотношением:
С = Ф • Фт ■
Зная компоненты аффинора (12), определим компоненты меры деформаций Коши-Грина. Согласно введенной гипотезе векторы ё^ (г = 1, 2, 3) остаются главными в процессе изгиба, из чего следует равенство нулю смешанных компонент тензора С.
Считая деформации в плоскости поперечных сечений малыми, можно пренебречь вторыми и более степенями перемещений -—2, —з и их производных по сравнению с первыми степенями. В этом случае получаем, что
С С д—2 + д—з 0
С23 = Сз2 = дхз + =°,
а линеаризованный тензор С будет иметь компоненты
(13)
-2
С=
-о (р + X + —2)2
0
р2
V
1+2
д—2
0 0
1+2
д—з дХз }
(14)
Ранее уже были записаны радиус-вектор произвольной точки Ко в начальном состоянии (1) и радиус-вектор К этой же точки в деформированном состоянии (4). Тогда, используя эти векторы, можно записать вектор поля перемещений. По определению вектор перемещения записывается в виде
и = К — К0 ■
(15)
Подставляя (1) и (4) в (15), а также учитывая найденный вектор перемещений точек срединной линии (9), получаем вектор перемещений и:
0
и
+
(р + X2 + W2) sin AXi
AXi
- Xi
(р + X2 + W2) cos
р
р
- р - X2
ei +
в2 + W363.
Связь между напряжениями и деформациями представим в виде:
^11 = -1 (0"11 - V (^22 + озз)), Е
(16)
^22 = E (^22 - V (стц + СТ33))
(17)
^33 = 7; (^33 - V (^22 + 0"п)) , Е
где V — коэффициент Пуассона, а = а^ ¿у — первый инвариант тензора напряжений. В тензоре напряжения учтем три компоненты:
S = aii eiei + а22в2в2 + 0336363.
(18)
Тензор деформаций в данном случае можно найти, используя вектор перемещений (16) и связь
1 О
е= 2 I Vи + иV + Vи ■ и V
или в покомпонентном виде:
1 / Ou, Ou,
+
= 2 V 0Х,
+
дит ди
дХ, дХ, дХ,
m = 1,2,3.
(19)
Подставляя (16) в (19), линеаризуя по -Ш2, ^3 и учитывая условие (13) получаем компоненты тензора деформаций
( (0) , Л2 (Х2 + W2) eii +
е =
р
0
0W2
дХ2 0
0
0
0w3
0X3 }
(20)
где еЦ = 2 (А2 — 1) — деформации срединной линии.
Следует отметить, что тензор деформаций можно было найти, используя меру деформаций Коши-Грина (14):
е = 1 (g - e
(21)
Подставив (14) в формулу (21), можно убедиться, что полученный результат идентичен (20).
Так как дХ ^ 1, из (10) получаем, что
Э1 ^ т 1, Э2 ~ т2, эз = ёз. (22)
Далее запишем условие равновесия
V ■ 5 = (23)
где V = э^.
Подставляя тензор напряжений (18) в условие равновесия (23) и учитывая соотношения (22), получаем следующие уравнения равновесия:
Г =0,
дХ1 ,
+ - (^22 — щ) = 0, (24)
дХ2 р дстзз
I дХз
0.
Из первого уравнения получаем, что ст11 = ст11 (Х2), а из третьего — стзз = = 0.
Далее из обобщенного закона Гука (17) выразим напряжения через деформации и подставим их во второе уравнение системы (24):
1 д -
(£22 + ^ц) + - (еИ + £22) = 0. (25)
1 — V дХ2 р
Используя компоненты тензора деформаций (20), запишем уравнение (25) через искомую функцию —2:
д2—о - (-V — V + 1) д—2 . _ 2-2У + - (-2 — 1)(1 — V)
+-+ = — кХ--, (26)
дХ| р дХ2 р
где к = д3 (р12-^).
Найдем решение для случая, когда удлинение срединной линии - = 1. С учетом этого уравнение (26) примет вид
д2—2 ,1 д—2 ,1 — V V — 1 V
^^ + +—Т- —2 = —Х2 — - ■ (27)
дХ2 р дх2 р2 р2 р
Решением уравнения (27) служит функция
W2 (X2) = e-l2 ^Ci sin( 4v X^j + C2 cos ^ 4v X2 ) ) - X2 + p.
Используя граничные условия
0) = 0,
0,
W2 (0) = 0, dw2
dX2
X2=0
определяем постоянные интегрирования и искомую функцию W2:
X
W2 (X2) = e 2р
sm —--X2 — p cos —--X2
- X2 + p.
V3 — 4v V 2p J r v 2p
(28)
Используем оставшееся третье соотношение закона Гука (17): выразим 033 через деформации:
v
033 = -т (£11 + £22) • (29)
v — 1
Подставляя компоненты тензора деформаций (20) в соотношение (29) и учитывая, что 033 = 0, получаем уравнение
v f W2 (X2) + Xo d \
~ + -J4TW2 (X2H = f (X2) • (30)
дХз (V -1) V Р йХ
Правая часть уравнения (30) является функцией одной переменной Х2, поэтому не составляет труда проинтегрировать данное уравнение с начальным условием шз = — = 0:
V / Ш2 (Х2) + X й
шз = ' 1
(X2)+ X2 , d
(-p-+ dX2W2 (X2V X3' (31)
(V - 1) V Р
где ш2 (Х2) определяется выражением (28).
В линейном случае угол поворота, задаваемый функцией (5), считаем малым. Тогда в поле перемещений (16) тригонометрические функции можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись одним слагаемым. В линейном случае вектор (16) примет вид
и = (Л - 1) Х1в1 + Ш2ё2 + шзёз. (32)
Помимо этого, положим, что тензор напряжения имеет всего одну ненулевую компоненту ст11. Тогда закон Гука (17) преобразуется следующим образом:
^11
^22
^33
^11
E '
van
E
VOn
E
(33)
В выражениях (19), связывающих деформации и перемещения, пренебрежем нелинейной частью:
1 / du,,
£ij = 2
+
duj
dXj dX,
m = 1 ,2 ,3.
(34)
Подставляя (34) в (33) и учитывая, что смешанные компоненты е^ = 0 (г = получаем следующую систему уравнений:
(Х2)
dX1
dU2
dX2
диз
dX3
du,, + du,-
E
(X2) E
van (X2)
(35)
dXj dX,
E
= 0, i ,j = 1 ,2 ,3 , i = j.
Решением системы (35) с граничным условием u |xi=x2=x3=0 являются функции
' 4X2X1
U1 = ^
U2 = - ¿[X?+v (x| - Xi)],
(36)
и3
vqX2X3 E
где q = ddX^ = const. Функции (36), полученные путем линеаризации задачи
совпадают с результатами, полученными Л.И.Седовым [4]. Кроме того, приравнивая первую функцию (36) к соответствующей компоненте вектора перемещений (32) можно получить зависимость распределения удлинений продольных волокон по координате Х2:
0
л = 1 + «*
Так как д и Е — неотрицательные константы, получаем, как и ожидалось, что продольные волокна в срединной плоскости X = 0 не изменяют своей длины; продольные волокна, лежащие над срединной плоскостью, удлиняются, а продольные волокна, лежащие ниже срединной плоскости, сжимаются.
Список литературы
1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
2. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учебное пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.
5. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.
Харламов Алексей Сергеевич (a_kharlamov89@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Geometry of cross-sections of the beam at its finite pure bending
A. S. Kharlamov
Abstract. A research of the cross-sections deformations of a free beam in the course of its finite pure bending. Within the theory of elasticity the vector of movements both for final rotations of the beam's median line, and for a linear case was received.
Keywords: beam, pure bending, cross section, finite rotations, theory of elasticity.
Kharlamov Alexey (a_kharlamov89@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 20.05.2014
