CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 53-63
^ Механика =
УДК 539.3
Геометрия поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе с учетом сдвиговых деформаций *
A.A. Маркин, А. С. Харламов
Аннотация. Рассмотрены перемещения свободной балки в плоскости ее поперечных сечений в процессе ее конечного чистого изгиба. В рамках теории упругости получены точные решения для поля перемещений точек балки в случае конечных поворотов срединной линии и с учетом малости деформаций в плоскости поперечных сечений. Помимо этого при построении решения была найдена функция для определения сдвиговых деформаций.
Ключевые слова: балка, чистый изгиб, поперечное сечение, конечный поворот, теория упругости, сдвиговые деформации.
Рассмотрим исходную конфигурацию балки с прямоугольным поперечным сечением. Пусть рассматриваемая балка имеет следующие размеры:
¿о . ^ 'о 1г0 по по
Система координат и изображение начальной конфигурации балки представлены на рис. 1.
А2
/1
_ !----J-'---
/
Рис. 1. Начальная конфигурация балки
Рассмотрим чистый изгиб балки под действием двух равных по модулю, но противоположных по направлению моментов, приложенных к торцам = ^ и Х\ = — ^. Вследствие чистого изгиба срединная линия в деформи-
* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 15-01-01875-а).
рованном состоянии будет иметь одинаковую во всех точках кривизну (будет иметь вид дуги окружности). Введем следующие основные гипотезы:
- поперечные сечения, перпендикулярные срединной линии в начальном состоянии, останутся перпендикулярными к срединной линии и в деформированном состоянии;
- деформации в плоскости поперечных сечений малы (поворот и деформации в плоскости Х\Хъ считаем конечными);
Рассмотрим радиус вектор До произвольной точки в начальном состоянии:
До = го + Х2ё2 + Х3ё3, г0 = Хгёг, (1)
где го — радиус вектор точки срединной линии в начальном состоянии. В деформированном состоянии радиус-вектор этой же точки срединной линии можно записать с помощью вектора перемещения:
з = го+й^(Х1). (2)
Рассмотрим срединную линию балки в деформированном состоянии (рис. 2).
Вектор ti — касательный к срединной линии, т2 — нормаль к срединной линии, тз — параллельный декартовому вектору ёз. Связь векторов t¿ (г = 1,2,3) с начальным декартовым базисом можно записать через угол поворота 7:
Ti = cos (7) е\ — sin (7) ё2,
т2 = sin (7) ёх + cos (7) ё2, (3)
тз = ё3.
Радиус-вектор произвольной точки балки в деформированном состоянии можно записать в следующем виде:
R = s + (Х2 + W2 (Х2,Хз))т2 + (Х3 + ws (Х2,Х3))т3,
(4)
где ^2(^2,-^3), — неизвестные функции, характеризующие пе-
ремещения в поперечных сечениях, при этом г^! ^ = гиз| „ „ = 0.
2= 3=® 2= 3
Далее функции г^2 и г^з будут фигурировать без указания аргументов.
Найдем зависимость угла поворота 7 от координаты Х\. Пусть длина срединной линии в деформированном состоянии увеличивается в А раз, а ее радиус кривизны равен р (рис. 3).
Рис. 3. Определение зависимости угла поворота от продольной
координаты
Тогда из формулы для определения длины дуги окружности получаем следующую зависимость:
\Х1 = р1 (5)
Определим радиус-вектор произвольной точки срединной линии в деформированном состоянии. По определению касательный к срединной линии вектор г 1 определяется выражением
- = 1 = 1 Т1 ¿Хг А <1Х\
Подставляя (2) и (3) в (6) и учитывая зависимость (5), получаем уравнения для определения компонент перемещений точек срединной линии:
х (хх> 1 1 Асов - — 1,
¿Х\ \ р
ж40) > . /лхл
- — — Лет I -- 1
жг = ■
(7)
Начальным условием для уравнений (7) будет служить тот факт, что точка, совпадающая с началом координат в начальном состоянии, перемещаться не будет, то есть
и
(0)
Хх=0
и.
(0)
Хх=0
0,
йи
(0)
йХх
йи,
(0)
Хх =0
X
Хх=0
Решая уравнения (7) с начальными условиями (8), получаем вектор перемещений точек срединной линии:
и(0) =
рвт ^Рх^ - Х^ ё! + р ^еой ^рХ^ - б2. (9)
Из уравнений (7) следует, что изменение длины Л связано с перемещени-
(0) (0)
ями срединной линии и1 и и2 :
Л2 = (' + "X
+
йи
(0)
йХ1
(10)
Из (3) и (6) следует, что
, ч _ _ 1 йS
й1П (7) = -т! • б2 = - 7 • ё2
Л йХ1
, л _ _ 1 йБ _
ео8(7)= т! •ё! = Л"Х! •ё!
- Л Г + "X!
йи(0) \ _ I • ё2
1 (_ йи(0)\ Л Г + Ж)
1 йи
(0)
Л йХ1
(0)
11 йи!
ё! = л 1 + йХ!
(11) (12)
Продифференцируем (11) по Х!:
й7
йХ1
1 й2и20) еой (7) = — ^ 2
Л Х2 '
Из (13), (5) и (12) получаем, что
(13)
Л
Р
1_ й2у2) Л еой(7) йХ2
йХ2
йи(0) ' 1 1
1 "Г" ах!
(14)
Из соотношения (14) следует, что и кривизна р также зависит от перемещений точек срединной линии:
аРи^ ах2
Л 1 +
аи{0) ах1
(14а)
1
2
1
0
2
2
2
1
1
р
Таким образом, по заданным Л и р из формулы (9) можно определить перемещения срединной линии и, наоборот, по заданным перемещениям из формул (10) и (14а) можно найти изменение длины и кривизну срединной линии. Отметим, что (9) справедливо лишь в случае чистого изгиба, когда Л и р не зависят от Х\.
Перейдем к определению аффинора деформации Ф. Для этого найдем
векторы материального базиса эг = :
Э1 = + (Х2 + Ш2) (С08 (7) б1 - ЭШ (7) б2) =
йХг
(1X1
Л
= Л С08 (7) б1 - Л ЭШ (7) б2 + - (Х2 + Ш2) (еоэ (7) в1 - 8Ш (7) б2) =
= Л (р + Х2 + Ю2) Т1; р
Э2
Эз
дш2 \ _ , дшз _ 1 + дХ2) Т2 + дХ2Тз;
, дшз\_ , дш2 _ 1+ дХз т 3 + дХ3 Т 2-
(15)
По определению аффинор связывает между собой векторы материальной системы в начальном и конечном состояниях:
Эг = ёг • Ф.
Тогда компоненты аффинора можно найти из следующего соотношения:
ф
г]
эг 'ёг
(16)
Подставляя в (16) найденные ранее векторы материального базиса (15), получаем аффинор деформации Ф в разложении по диадам начального декартова базиса:
( Л (р + Х2 + Ш2) СОЭ (7) - Л (р + Х2 + Ш2) йШ (7)
Л
ф
1 , дШ2\ . ( ) 1+ дХ2 81П(7)
V
дш2
дХз
1 . дШ2\ ( ) 1+ дХ2 С08(7)
8Ш (7)
дш2
дХз
СОЭ (7)
0 \
дшз
дХ2
1 + ^
1+ дХз )
(17)
Найдем тензор деформаций е. По определению тензор е связан с аффинором деформации следующим соотношением:
£ = 1 ' ФТ - ЕЕ) ■
Зная компоненты аффинора (17), определим компоненты тензора деформаций:
1
е =2
/ Л2 2
-j (р + Х2 + W2)2 - 1 Р2
V
. + dW2\ dW2 +
+ dxj дХз
+ | i + dw3\ dw3 + 1 + дХз дХ2
О
1 + dW2 д2 +
i
\дХ2 )
1
О
1 + dwi\ dw2 +
+ dxj дХз + Ii + dwi\ dw3 + 1 + дХз д дХ2
1 + ^ д2 + дХз 2
+ (^ -1 \дХз)
/
Считая деформации в плоскости поперечных сечений малыми, можно пренебречь вторыми и более степенями перемещений w2, Wз и их производных по сравнению с первыми степенями. Полагаем также, что толщина балки мала и 1 + h0 — 1. Кроме того lim Wf = О, тогда перемещения w2 будут
малы по сравнению с Х2, то есть Х2 + w2 — Х2. В этом случае линеаризованный тензор е будет иметь компоненты:
е =
( е(0) + Х2 11 Р О
V
О
dw2
дХ2
dw2 дw3 дХз + дХ2
О
дw2 дw3 дХз + дХ2
дwз дХз
\
/
(18)
где ^ = 2 [Л2 - 1]. _
Ранее уже были записаны радиус-вектор произвольной точки Яо в начальном состоянии (1) и радиус-вектор Я этой же точки в деформированном состоянии (4). Тогда, используя эти векторы, можно записать вектор поля перемещений. По определению вектор перемещения записывается в виде
u = R — R0.
(19)
Подставляя (1) и (4) в (20), а также учитывая найденный вектор перемещений точек срединной линии (9), получаем вектор перемещений и:
О
О
О
и
+
ЛХ1
(р + Х2 + Ш2) ЙШ ( -— ) - Х1
(р + Х2 + Ш2) СОЙ
р
ЛХ1
р
ё1+
- р - Х2
(20)
в2 + шз ез.
Напряжения разложим по базису тг:
Ф = СггТгТг, г = 1, 2, 3.
Так как дх ^ 1, из (15) получаем, что
- -1 1- - -2 -Э1 ~ Лт 1; э ~ — Т 1; Э2 ~ Э = Т2,
Л
Далее запишем условие равновесия:
Ф = 0,
— —з —
Эз = Э = ез.
(21) (22) (23)
где V = Э • щ-.
Подставляя тензор напряжений (18) в условие равновесия (23) и учитывая соотношения (22), получаем следующие уравнения равновесия:
да
11
0,
дХ1
да22 1 —---аи =
дХ2 р
(24)
да33
0.
дХ3
Из первого уравнения получаем, что а11 = а11 (Х2, Хз), а третье уравнение удовлетворяется условием а33 = 0.
Полагаем, что «повернутый» тензор напряжений
Ф = ацгггг, г = 1, 2,3
я
связан с тензором малых деформаций законом Гука:
1
£11 = (ац - V (а22 + азз))
Е
£22 = т; (а22 - V (а11 + азз))
Е
езз = е (азз - V (а22 + ац))
(25)
где V — коЭффициент Пуассона, а = а] 5] — первый инвариант тензора напряжений.
Далее из обобщенного закона Гука (25) выразим напряжения через деформации и представим их в безразмерном виде:
<^11 — £ii + V£22' (26) <22 — ^22 + V£ii, ( )
и подставим их во второе уравнение системы (24):
д 1 —— (£22 + veii)--(eii + V£22) — 0. (27)
дЛ2 р
Используя компоненты тензора деформаций (18) запишем уравнение (27)
через искомую функцию W2:
(0) ii
д2ш2 + V Л дШ2\ Х2 £11 = ° (28
+ р I1 - дХ2) - р2 - Т =°- (28
В силу малых деформаций 1 - ^х^ ~ 1, и условие равновесия принимает
вид
дш =1 (Х+- V) (29)
дХ2 р V р 11 /
Дважды интегрируя (29) по Х2, получаем Х з Х 2 , ,
Ш2 = 6р2 + (ей - ^ + °1 (Хз) Х2 + С2 (Хз). (30) Так как ш2\ =0, то
х2=х3=0
С2 (Хз) = 0. (31)
Постоянную еЦ и функцию С1 (Хз) определяем из условия равенства нулю напряжений на поверхности Х2 = ± :
Г22\Хз=± М = 0- (32)
Из (25) и (27) получаем, что распределение напряжений в безразмерном виде:
dw2 . Í (0) . X2 \ <22—д^+ч4+т'' (33)
- 1-V2
где (Г22 = а22.
Подставляя (30) в (33), получаем
(22 = Х2 + ^ у + ^ + С1 (Хз). (34)
Используя условие (32) и закон распределения (34), определяем искомые неизвестные:
£(0) = 0 С = К0 £11 =0, С = - •
Закон распределения напряжений с учетом (35) принимает вид
(22 =
X2
Ъ2 К0
2р2 8р
2
(35)
(36)
Подставляя (31) и (35) в (30), окончательно находим неизвестную функцию т2:
X2 К2
X 3
^ = 6р2 - г/^ - 8р2Х2.
(37)
Вернемся к третьему равенству (35), принимая во внимание, что 033 = 0:
£33 = -
V (022 + 011) Е
(38)
Из (38) выразим распределение напряжений а11 и перейдем к безразмерному виду:
1- V2
(Гц = -022 -
-£33,
(39)
где ац = ац, г = 1,2.
Подставляя закон распределения (36) и компоненту £33 из (18), получаем уравнение
Г = _Х£ К! _ 1 - V2 дт Г11 = - 2Р2 + 8Р2 ~Ъхъ
(40)
Далее подставим первое равенство из (26) в (40) и используем найденные компоненты тензора деформаций (18):
дт3 V
дХ = V2 - 1
дт2 , Х22 , Х2 КО
V-+ —2 +--— ——
дХ2 2р2 р 8р2
(41)
Подставляя (37) в уравнение (41), получаем окончательно уравнение для нахождения неизвестной ^3:
дт3
дХ3
V2 - 1
Х.
Х2
КО
-22 (V + 1) --2 (V2 - 1) - 802 (V + 1)
2р
8р2
Интегрируя (42) по Х3, получаем искомую функцию ^3:
т =
vXз
2р2 (V - 1)
Х22 + 2р (1 - V) Х2 - К-
+ С (Х2)
(42)
(43)
Из условия т31 =0 следует, что
Хп—Ло — 0
2
и
C (X2) = 0,
а функция (43) будет иметь вид
(43а)
Вернемся к тензору деформаций (18) и определим сдвиговые деформации е2з = ез2 = д+ , используя найденные функции (37) и (43а):
Данное решение дает интересный результат: сдвиговые деформации, согласно соотношению (44) в общем случае не равны 0. Это означает, что косинусы углов между волокнами, параллельными в начальном состоянии векторам ё2 и ёз, не будут равны 0, то есть они не будут оставаться ортогональными в процессе деформации.
1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
2. Маркин А.А. Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учебное пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.
5. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Физматгиз, 1959. 364 с.
6. Харламов А.С. Деформации поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 138-147.
7. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Харламов Алексей Сергеевич (a_kharlamov89@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
^23 = £32 = [X + р (1 - v)]
Список литературы
Geometry of cross-sections of the beam at its finite pure bending with considering a shift deformations
A. A. Markin, A. S. Kharlamov
Abstract. A research of the cross-sections movements of a free beam in the course of its finite pure bending. Within the theory of elasticity exact function for the vector of movements for final rotations of the beam's median line and with considering a small deformations of the cross-sections was received. In addition function for definition of shift deformations were found at creation of the decision.
Keywords: beam, pure bending, cross section, finite rotations, theory of elasticity, shift deformations.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Kharlamov Alexey (a_kharlamov89@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 27.01.2015
