Математическая модель динамики микрополярных упругих тонких балок. Свободные и вынужденные колебания Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Математическая модель динамики микрополярных упругих тонких балок. Свободные и вынужденные колебания

А.А. Саркисян, С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, Гюмри, 3126, Армения

В работе развит метод гипотез для построения математической модели микрополярных упругих тонких балок, основанный на асимптотических свойствах решения в тонком прямоугольнике начально-краевой задачи плоской микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений. Построена прикладная модель динамики микрополярных упругих тонких балок, в которой полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. На основе построенной модели рассмотрены задачи о свободных и вынужденных колебаниях микрополярной балки, определены частоты и формы собственных колебаний, амплитуды вынужденных колебаний и условия резонанса. Приведены результаты численных расчетов, показывающие специфические особенности собственных колебаний тонких балок. Показано, что в микрополярных тонких балках имеется собственная частота, которая практически не зависит от размеров тонкой балки, а зависит только от физических и инерционных свойств микрополярного материала. Показано, что для микрополярного материала есть большая возможность регулировать значения частот собственных колебаний балок. В результате возможно достижение значительного различия частот колебаний, что важно при изучении явления резонанса.

Ключевые слова: тонкая балка, микрополярная упругость, начально-краевая задача, динамическая модель, свободные и вынужденные колебания, особенности микрополярного материала

Mathematical model of the dynamics of micropolar elastic thin beams.

Free and forced oscillations

A.H. Sargsyan and S.H. Sargsyan

Gyumri State Perdagogical Institute, Gyumri, 3126, Armenia

A method of hypotheses has been developed to construct a mathematical model of micropolar elastic thin beams. The method is based on the asymptotic properties of the solution of an initial boundary value problem in a thin rectangle within the micropolar theory of elasticity with independent displacement and rotation fields. An application model of the dynamics of micropolar elastic thin beams was constructed in which transverse shear strains and related strains are fully taken into account. The constructed dynamics model was used to solve problems of free and forced oscillations of a micropolar beam. Free oscillation frequencies and modes, forced oscillation amplitudes, and resonance conditions were determined. The obtained numerical calculation results show the specific features of free oscillations of thin beams. Micropolar thin beams have a free oscillation frequency which is almost independent of the thin beam size, but depends only on the physical and inertial properties of the micropolar material. It is shown for the micropolar material that the free oscillation frequency values of beams can be readily adjusted and hence a large oscillation frequency separation can be achieved, which is important for studying resonance.

Keywords: thin beam, micropolar elasticity, initial boundary value problem, dynamics model, free and forced oscillations, micropolar material features

1. Введение

Одним из существенных выводов физической мезо-механики структурно-неоднородных сред [1, 2] является доказательство того факта, что на упругопластической стадии деформации основную роль играет не сдвиг, а трансляционно-ротационные вихри или независимые пластические повороты. С этой точки зрения можно

считать вполне обоснованным применение микрополярной теории упругости при изучении деформации структурно-неоднородных сред на упругой стадии [3]. Изучение динамических задач микрополярной теории упругости, выявление волновых эффектов, знание особенностей их проявления позволят использовать их для разработки новых методов и средств измерения, конт-

© Саркисян А.А., Саркисян С.О., 2015

роля и диагностики. Динамическим задачам микрополярной теории упругости для полупространства, полуплоскости и слоя посвящены работы [3-9], в которых выявлены основные особенности волновых эффектов в микрополярных материалах.

В связи с развитием нанотехнологии и структурной механики твердых деформируемых тел [10, 11], бурно развивалась также теория микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек [12-16]. Обзор работ в этом направлении представлен в [17].

Отметим, что в [13-15] при построении математических моделей микрополярных упругих тонких пластин и оболочек развит метод гипотез, который базируется на асимптотических свойствах решений краевой или начально-краевой задачи трехмерной микрополярной теории упругости в тонкой области пластинки или оболочки.

В работах [17-20] на основе прикладных теорий динамики микрополярных упругих тонких пластин и оболочек [13-15] изучены задачи о собственных и вынужденных колебаниях. При помощи численного анализа установлены специфические свойства динамических характеристик микрополярного материала.

Принимая во внимание прикладную значимость и факт отсутствия в литературе таких задач, целью настоящей работы является построение прикладной динамической теории микрополярных балок и изучение задач свободных и вынужденных колебаний с выявлением особенностей динамических характеристик микрополярного материала.

2. Постановка задачи

Рассмотрим изотропный микрополярно-упругий параллелепипед постоянной высоты 2h, длины а и толщины равной единице. Координатную плоскость х1 х3 разместим в срединной плоскости параллелепипеда. Ось х3 направим по высоте, а ось х1 — по длине параллелепипеда, который делит высоту 2h пополам. Предположим, что в параллелепипеде в направлении оси х2 осуществлено плоское напряженное состояние.

Основные уравнения плоской динамической задачи микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (или иначе для общего континуума Коссера) в области прямоугольника 0 < х1 < а, - h < х3 < h представляют собой [3] уравнения движения

+.^31=рд^ ^и=р_д2к

dx1 dx3 dt2 ' dx1 dx3

dt2

Ф32

- (a13-a3l) = J

д 4 dt2

(1)

dx1 dx3 физические соотношения

1 „ ц+а ц-а

Ун=E (*ii _va33), ^=1ца"13 - та"31'

1 N ц+а ц-а

Y33 = E("33-vanX Y31 = ^"31 -ЩО"""' (2)

= 1 = 1

Х32 = В Ц32, Х12 = В ^12'

геометрические соотношения

ЭК дк3 зг3

У11 =-г±, У13 +ю2. у 33 = ^,

дх1 дх1 дх3

= дК1 = Эю2 = Эю2

У31 = ^ Ю2> Х32 = ^ , Х12 •

дх3 дх3 дх1

Здесь ст11, ст13, ст31, ст33 — силовые напряжения; ц12, ц 32 — моментные напряжения; у11, у 33, у13, у 31 — деформации; х32, Х12 — изгибы-кручения; У1, У3 — перемещения; ю2 — независимый поворот точек прямоугольника вокруг оси х2; Е, ц, а, В — упругие константы материала микрополярного тела (Е, ц — соответственно классические модули упругости и сдвига, а, В — новые упругие постоянные микрополярного материала); р — плотность; J— мера инерции при вращении частиц.

Силовые и моментные граничные условия на лицевых линиях прямоугольника х3 = ±Н можно записать следующим образом (рассматривается задача изгиба):

а31 = Р1(х1 , г\ а33 = ±Р3(х1,1X Ц32 = ±т2(х1, *)• (4)

На кромках прямоугольника (х1 = 0, х1 = а) рассмотрим следующие основные варианты граничных условий плоской задачи микрополярной теории упругости:

1) °11 = Р*(х3. °13 = Р3(х3> Ц12 = Ш2(х3> (5)

2) ^11 = Р1*(х3, г), К, = К32(х3, (), Ц12 = т*(х3, г), (6)

3) К = (х3, г), К3 = К* (х3, г), Ю2 = ю2 (х3, г). (7)

При помощи начальных условий (при £ = 0) задаются значения перемещений К1, К3, независимого поворота ю2 и компонент скоростей перемещений и вращений точек тела (ЭК,/дг, дК3/дг, дт2/дг). Предполагается, что высота прямоугольника мала по сравнению с его длиной (2й << а). Перейдем к построению динамической модели изгибной деформации микрополярной балки на основе метода гипотез.

3. Основные гипотезы. Математическая модель динамического изгиба микрополярных упругих тонких балок

Качественные результаты исходного приближения асимптотического метода интегрирования начально-краевых задач (1)-(7) в тонкой прямоугольной области [21] позволяют в основе построения прикладной одномерной динамической модели микрополярных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений использовать следующие достаточно общие предположения (гипотезы).

1. Примем линейный закон изменения перемещений К1, К3 и свободного поворота ю2 по толщине прямоугольника:

V = w(X, t), V, = Хз^! (х, t), (8)

ю2 =П2(X,, t). (9)

Здесь w — прогиб балки; — угол свободного поворота; у, — полный угол поворота нормального элемента.

Нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к оси симметрии прямоугольника х,, остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной оси, свободно поворачивается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины.

Отметим, что для компонент вектора перемещения эта гипотеза представляет собой классическую гипотезу Тимошенко для упругих балок [21]. Поэтому гипотезу (8), (9), как в работах [13-16], назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в случае микрополярных балок.

2. Кинематическую гипотезу (8), (9) дополним следующими гипотезами для напряжений: при определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и момент-ных напряжений, для силового напряжения с31 сначала примем

с31 = с31(х1> *)- (10)

После определения всех указанных величин значение с31 окончательно определим как сумму значения (10) и результата интегрирования первого уравнения движения из (1) при условии, что усредненная по высоте прямоугольника его величина равна нулю.

3. Силовым напряжением с33 в обобщенном законе Гука (2) можно пренебречь относительно силового напряжения стп (т.е. с33 <<стп).

В соответствии с принятой кинематической гипотезой (8), (9) приступим к вычислению деформаций и изгибов-кручений.

Из геометрических соотношений (3) для деформаций у13, у31 на основе (8), (9) получим

713 =г13( х1> * )> У 31 =г 31(х1> * )> (11)

где Г13 и Г31 — сдвиговые деформации: Эw

Г13 — ^ + ^2> Г31 — ^2-

dx1

(12)

Из уравнений (3) с учетом формул (8), (9) для деформации у11 получим

Уп = Х3^п(х1, *), (13)

где К11 — изгиб срединной линии балки, обусловленный силовым напряжением:

К» =

dxi

(14)

Из физических соотношений (2) с учетом гипотезы 3 и формулы (13) силовое напряжение стп будет выражаться следующим образом:

с11 = ^П^ 0> с11 = ЕК11. (15)

При помощи выражения для деформации у33 из (3) на основе формул (8) получим

У33 = 0. (16)

Из уравнений (2) с учетом предположения 2 силовые напряжения с13 и с31 будут иметь вид с>13 = (ц + а)Гв + (ц-а)Г31,

ст°1 = (ц + а)Г31 + (ц-а)Г13. Из второго уравнения движения из (1) с учетом предположения 2, формул (17) и граничного условия из (4) для силового напряжения с33 получим:

Р 3

(17)

G33 — Х3

^дст13 d2w ^ - Р

dx1

dt2

— x3

(18)

Для кручения х12, рассматривая соответствующее геометрическое уравнение из (3) и принимая во внимание формулу (9), получим: дй,

Х12 =К12(Х1, *) = —, (19)

дх1

где к12 — кручение срединной линии балки, обусловленное моментным напряжением.

Для моментного напряжения ц12 будем иметь:

^12 =^12(х1> *) = Вк12- (20)

Рассматривая геометрическое уравнение для х32 из (3) с учетом соотношения (9), будем иметь

Х32 = 0. (21)

Из третьего уравнения движения из (1) с учетом формул (9) и (20), а также граничного условия из (4) получим следующее выражение для моментного напряжения:

дЦр ^ ч гд

Ц32 — хз

+ (СТ31 -^1з)- J

m

— х3 (22)

Эх1 ^ ""7 " д*2 Теперь, когда все величины определены, перейдем к выполнению второй части гипотезы 2. В результате для силового касательного напряжения с 31 окончательно будем иметь:

ст31 — а31( x1> t) +

(h

2

dftn( xi, t)-pa^i

Л

dx1

dt2

. (23)

Формула (23) дает распределение силового напряжения с 31 по высоте прямоугольника (квадратичный закон).

С целью приведения двумерной задачи (1)-(3) к прикладной одномерной, что уже выполнено для деформаций, изгибов-кручений, перемещений, поворотов, силовых и моментных напряжений, в модели микрополярных балок вместо компонент тензоров силового и мо-ментного напряжений вводим статически эквивалентные им интегральные по высоте прямоугольника характеристики — усилия М13, М31 и моменты М11, Х12: h h N13 = | ст^, N31 = | - h

- h

h h M11 — J a11a3dx3, L12 — J ^12dx3.

-h -h

(24)

В итоге основная система динамических уравнений изгибной деформации микрополярных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений будет иметь следующий вид: уравнения движения dN13 „ , d2 w „ _

—^ = 2ph—y - 2 p 3'

dx1

dt2

N31 - ЭМц + Э^ = 2hp1'

dx1

(25)

dt2

dL1

d 2Q,

d 2 + N31 - N13 = 2Jh—p2- 2m2,

dx1 dt

соотношения упругости

N13 = 2^(ц + а)Г13 + (ц - а)Г31 ], N31 = 2^(ц + а)Г31 + (ц-а)Г13], 2Eh3

Ми = КП' L12 = 2BhK12' геометрические соотношения dw dx1

(26)

Г13 + Q2' Г31 =^1 Q2'

K =d^1 K = dQ 2 dx1 dx1

(27)

Система динамических уравнений изгибной деформации микрополярных упругих тонких балок (25)-(27) представляет собой систему уравнений шестого порядка гиперболического типа. Это система из 11 уравнений относительно 11 неизвестных функций w, '

Q2' Г13' Г31' K11' К12' N13' N31' M11' L12*

«Смягченные» граничные условия на торце балки (например на x1 = 0) будут выражаться так:

M11 = M* или

N13 = N13 или w = w .

(28)

Li = Li или ^2 = ^2-

Начальные условия (при t = 0) ставятся для w, '

Q2' dw dt' d^/ dt' dQ2/ dt-

В модели (25)-(27) микрополярных балок с независимыми полями перемещений и вращений полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

Систему уравнений (25)-(27) микрополярной балки легко привести к системе уравнений относительно w, и Q2:

. dw1 „ d2w „ dQ2 d2w p3

(ц-а)^1 + (ц + а)—т + 2а—^ = p—т

dx12 dx1 dt2 h

dx1

dw

(ц + а)^1 + (ц-а)--2а^2 -

dx1

Eh2 d 2^1 ph2 d >1 3 dx2 3 dt2

(29)

= P1'

„d„ dw , ^ Td2Q2 m

B-22 + 2а^1 - 2а--4а^2 = J—--2-,

dxf dx1 dt h

Если в модели микрополярных балок (25)-(27) условно принять а = 0, тогда получим модель классической теории упругих тонких балок Тимошенко [22].

Если в модели микрополярных балок (25)-(27) пренебречь поперечными сдвигами, т.е. считать дw

¥1 =-т-, (30)

дх1

получим модель микрополярных балок, при которой нормальный элемент поворачивается, оставаясь перпендикулярным к деформированной оси балки, т.е. вместо обобщенной кинематической гипотезы Тимошенко принимается обобщенная гипотеза Бернулли для микрополярных балок (наряду с (30) считаются справедливыми формулы (8) в целом).

На основе построенной общей модели динамического изгиба микрополярных упругих тонких балок (25)-(28) (либо (29)) можем приступить к решению конкретных задач, а именно рассмотрим свободные и вынужденные изгибные колебания микрополярных балок.

4. Свободные колебания микрополярных упругих тонких балок

Рассмотрим задачу об изгибных свободных колебаниях шарнирно-опертых микрополярных упругих тонких балок по общей модели микрополярных балок с независимыми полями перемещений и врашений (25)-(27).

Разрешающие уравнения по модели (25)-(27) относительно перемещения w и поворотов , ¥1 имеют вид (29) (в которых надо принять р1 = р3 = т2 = 0). К этим уравнениям присоединим граничные условия шарнирного опирания:

w = 0, М11 = 0,112 = 0 при х1 = 0, а. (31)

Решение этой граничной задачи (29), (31) представим в виде

Л1 Р г • тп w = АтеРт вт-

Q2 = + Aleipm cos—x1'

(32)

¥1 = А3е^ + А3те'Рт' сов-х, (33)

а

где Ат, А2, Ат, А03, Ат — постоянные; р0, рт — частоты собственных колебаний микрополярной балки со свободным вращением. Решение (32), (33) полностью удовлетворяет граничным условиям (31). Подставляя его в дифференциальные уравнения (29), получим однородные алгебраические уравнения относительно Ао,

3 12 3

А и Ат, Ат, Ат. Потребуем, чтобы определители матриц, соответствующие этим алгебраическим системам уравнений, были равны нулю. Тогда для определения собственных частот р0, рт получим следующие алгебраические уравнения четвертой и шестой степеней соответственно:

Ро ■

ч 3 4а

(ц+а) +

ph2 J

2 4ца 3

Ро2 —TT — 3' J ph

Cm1pm Cm 2pm + Cm3pm Cm4 3,

(34)

(35)

где

Cm1 — J

p h

Cm2

+ J Р

^2, 2 p h

„, mn . B\-I + 4а

Eh 2 ( mn4 2

i , . h ( mn

— I + ц + а + (ц+а)—\ — 3 l a I 3 l a

Cm3 — J

mn

„ i mn

+ Bp\ -

a

„ Eh2 ( mn42

4ца + (ц+а)-\ —

3 l a

h J mn , , ч

—(E + ц + а)\ — | + (ц+а) 3 l a

(36)

+ 4ар

Eh 2(mn42

h ( mn

Cm4 — B

mn a

- I + ц + ц—-\ -

a I 3 l a

„ Eh2 ( mn42

4ца + (ц + а)-\ —

3 l a

ЕН2 ^ шпл4

+ 4ца-1 —

3 1 а

Рассмотрим также задачу о свободных колебаниях тонких балок по модели, в которой пренебрегали поперечными сдвигами (т.е. при условии (3 0)). Граничные условия шарнирного опирания имеют вид (31). Решение указанной граничной задачи представим в виде (32) (для w и ^2). Для определения собственных частот р0, рш получим следующие формулы:

[4а"

Ро =-

Pm —

Cm2 + V Cm2 4Cm1Cm3

2C

(37)

(38)

где

Cm1 —PJ

1 +

m1

,2/ \2 Y

h ( mn

Cm2 —Р

1 +

l2f ^2 У h ( mn

mn

+ J\

— ( mn

Cm3 — \

4а +

4а + В

17, 2/ \2 Y Eh ( mn

mn

2 Y

(39)

B

Eh2 ( mn Л2

(

+ 4а

В +

Eh

2 Y

3 I а

Приведем результаты численных вычислений. Отметим, что по сравнению с классической моделью, исполь-

зуя микрополярную модель с независимыми полями перемещений и вращений, можно получить дополнительный спектр собственных частот, поскольку свободные вращения точек балки создают новые степени свободы.

Рассмотрим низкие частоты согласно общей микрополярной модели (29) и классической модели (табл. 1). Низкие частоты колебаний балки в микрополярной модели (25)-(27) и в классической модели очень сильно различаются для значений а < 0.3 м. При достаточно массивных размерах (а = 0.3-0.8 м и выше) результаты микрополярной и классической модели приближаются друг к другу. Низкая частота колебаний, когда пренебрегают поперечными сдвигами, при а < 0.015 м сильно отличается от низкой частоты по модели (25)-(27), при больших размерах а результаты приближаются друг к другу.

Обратим внимание на частоту Р0 в различных выше приведенных микрополярных моделях. Эта частота в модели без учета поперечных сдвиговых деформаций соответствует формуле (37), в которой не присутствуют величины, характеризующие размеры балки, т.е. эта частота не зависит от размеров балки. Согласно модели (25)-(27), Р0 представляет собой одну из частот, получаемую из уравнения (34). Хотя в этом уравнении присутствует поперечный размер балки, но в численном аспекте эта частота практически не зависит от геометрических размеров балки. Можно сказать, что эта частота главным образом соответствует колебаниям чисто вращательной моды. Отметим, что указанное явление в трехмерной постановке для тонкого слоя из микрополярного материала впервые численным методом обнаружено в работе [9].

5. Вынужденные колебания микрополярных упругих тонких балок

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях мик-ропополярных балок с независимыми полями перемещений и вращений по общей модели (25)-(27). Относительно перемещения w и поворотов имеем уравнения (29). Присоединим к этим уравнениям граничные условия шарнирного опирания (31). Пусть п

Р3 — Р33elpt sin—Х1, p1 — m — 3, a

(40)

где р30 — константа.

Представим частное решение граничной задачи (29), (31) (с учетом (40)) в виде

w — A1dpt sin—x1, Q2 — A2dpt cos—x1, a a

./3 lPt П — A{elpl cos—x1.

(41)

Отметим, что представленное частное решение удовлетворяет граничным условиям шарнирного опира-ния (31). Подставив (40) и (41) в (29), относительно амп-

123

литуд вынужденных колебаний балки А1, А , А1 полу-

Размеры балки Классическая модель Тимошенко Микрополярная модель с учетом сдвигов

а, см к, см т = 0 т = 1 т = 0 т = 1

Р1, Гц Р1, Гц Р2, Гц Р1, Гц Р2, Гц Р1, Гц Р2, Гц Р3, Гц

1 0.025 46 721.100 154.300 46 893.00 45 351.00 180 007 2669.000 60 200.00 414 837

2 0.050 23 360.600 77.170 23 447.00 23 192.00 175 995 1161.000 27 939.00 256 994

4 0.100 11 680.300 38.580 11 723.00 11 659.00 175 042 413.800 12 706.00 198 601

8 0.200 5840.140 19.290 5861.70 5837.50 174 806 121.000 6013.30 181 004

10 0.250 4672.110 15.430 4689.30 4670.80 174 778 79.560 4769.30 178 771

30 0.750 1557.370 5.144 1563.10 1557.30 174 734 10.350 1566.20 175 182

40 1.000 1168.030 3.858 1172.30 1168.00 174 731 6.366 1173.60 174 983

50 1.250 934.422 3.087 937.87 934.41 174 730 4.477 938.54 174 892

60 1.500 778.685 2.572 781.56 778.68 174 730 3.420 781.95 174 841

70 1.750 667.444 2.205 669.91 667.44 174 729 2.757 670.15 174 811

Таблица 1

Микрополярная модель с учетом сдвигов

Р0>

т = 0

Р)\ Гц

Р2, Гц

т = 1

р1, Гц

Р2, Гц

Р3, Гц

0.025

46 721.100

154.300

46 893.00

45 351.00

180 007

2669.000

60 200.00

414 837

0.050

23 360.600

77.170

23 447.00

23 192.00

175 995

1161.000

27 939.00

256 994

0.100

11 680.300

38.580

11 723.00

11 659.00

175 042

413.800

12 706.00

198 601

0.200

5840.140

19.290

5861.70

5837.50

174 806

121.000

6013.30

181 004

10

0.250

4672.110

15.430

4689.30

4670.80

174 778

79.560

4769.30

178 771

30

0.750

1557.370

5.144

1563.10

1557.30

174 734

10.350

1566.20

175 182

40

1.000

1168.030

3.858

1172.30

1168.00

174 731

6.366

1173.60

174 983

50

1.250

934.422

3.087

937.87

934.41

174 730

4.477

938.54

174 892

60

1.500

778.685

2.572

781.56

778.68

174 730

3.420

781.95

174 841

70

1.750

667.444

2.205

669.91

667.44

174 729

2.757

670.15

174 811

Примечание. Физические параметры материала балки: а= 1.6 МПа, ц р = 1114 кг/м3, мера инерции при вращении J = 5.31 • 106 кг/м, 5 = к/а =

= 2 МПа, X = 3 МПа, В = 300 Н, плотность материала = 1/40.

чим линейную неоднородную алгебраическую систему уравнений. Решая эту систему, получим значения амплитуд вынужденных колебаний.

Другой интересный частный случай представляет задача о вынужденных колебаниях микрополярных балок:

т2 = т20врр, р1 = р3 = 0, (42)

где т20 — константа.

В этой задаче частное решение модели (25)-(27) можно представить в виде

w = 0, 02 = , ^ = 4е1р• (43)

Решение (43) удовлетворяет граничным условиям (31), а из системы (29) с учетом (42) получается

то

(Зр2 -4а) А + 2аА =--

20

2аА2 +

2 - (ц + а)

(44)

А3 = 0.

Отсюда можно получить амплитуды вынужденных ко-

2 3

лебаний А0, А0.

В случае рассмотренной задачи вынужденных колебаний, когда имеет место (40) для зависимостей безразмерных амплитуд (т.е. деленных на максимальные значения соответствующих величин статической задачи) от частоты возмущающей силы (для таких же физических параметров, как в случае собственных колебаний: а = 0.2 м, 5 = к а = /40), можно обнаружить, что при значениях частоты возмущающей силы 21.5, 2355, 175 750 Гц получаются резонансы.

Отметим, что при вынужденных колебаниях в случае микрополярного материала, как и следовало ожидать,

появляются новые, по сравнению с классическим случаем, резонансные частоты.

В случае вынужденных колебаний, когда имеет место (42), приведем зависимость безразмерной амплитуды Ао/т20 (для величин ^2) от частоты возмущающей силы при разных размерах балки а = 0.2 (1), 0.3 (2), 0.5 (3), 0.8 м (4) (рис. 1). Графики получены для параметров материала балки, приведенных в табл. 1. Как видно из рис. 1, резонансный пик получается при частоте Р = = 174.7 кГц, которая практически не зависит от значений а. Как видно из выражений (43), такой резонанс соответствует вращательному типу колебаний.

Можно также сделать вывод, что в выборе микрополярного материала есть больше возможностей (по сравнению с классическим случаем) для регулирования значения низкой частоты колебаний балки, и тем самым возможно достижение значительного различия частот собственных колебаний балки, что важно при явлении резонанса.

Рис. 1. Собственная частота акустического резонанса балки, не зависящая от ее размера а = 0.2 (1), 0.3 (2), 0.5 (3), 0.8 м (4)

6. Заключение

С помощью метода гипотез построена асимптотически точная прикладная модель динамики микрополярных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений, при которой полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Построена также прикладная модель динамики микрополярных упругих тонких балок без учета поперечных сдвигов.

Изучены задачи о свободных и вынужденных колебаниях шарнирно-опертых микрополярно-упругих тонких балок. Определены частоты собственных колебаний, амплитуды вынужденных колебаний и установлены условия резонансов. На основе численного анализа выявлены основные специфические стороны динамических характеристик микрополярных балок в зависимости от значений различных упругих и инерционных констант микрополярного материала.

Показано, что по сравнению с классической моделью балок, в общей микрополярной модели получаются дополнительные спектры собственных частот.

Показано, что в тонких балках из микрополярного материала имеется собственная частота акустического резонанса, которая практически не зависит от размеров балки, а зависит только от физических и инерционных свойств микрополярного материала.

Исследование выполнено при финансовой поддержке ГКН МОН РА в рамках научного проекта № SCS 13-2C154.

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

2. Смолин И.Ю., МакаровП.В., БакеееP.A. Обобщенная модель упру-гопластической среды с независимыми пластическими поворотами // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. выпуск. - Ч. 1. - C. 8992.

3. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 862 с.

4. Лялин A.E., Прожков В.А., Степанов Р.Д. О распространении поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. -1982. - Т. 28. - № 6. - С. 838-840.

5. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 327 с.

6. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. - 2006. - Т. 52. - № 2. - С. 227-235.

7. Корепанов В.В., Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитические и численные решения статических и динамических задач несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. - 2007. -Т. 10. - № 5. - C. 77-90.

8. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Дисперсия и поляри-

зация поверхностных волн Рэлея для среды Коссера // Изв. РАН. МТТ. - 2007. - № 4. - С. 100-113.

9. Варыгина М.П., Садовская О.В., Садовский В.М. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментной упругой среде // Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: Наномех-2009, Нижний Новгород, 21-23 сентября, 2009 г. - С. 1-13 (электр. ресурс).

10. Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении // Изв. РАН. МТТ. -2005. - № 4. - С. 188-189.

11. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - № 4. -С. 595-615.

12. Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory ofmicropolar plates // Z. Angew. Math. Mech. - 2009. - V. 89. - No. 4. - P. 242-256.

13. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик // ПМТФ. - 2012. - № 2. - С. 148-155.

14. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - C. 55-66.

15. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Докл. РАН. - 2011. - Т. 436. - № 2. -С. 195-198.

16. Hassanpour S., Heppler G.R. Uncomplicated Torsion and Bending Theories for Micropolar Elastic Beams // Proc. 11th World Congress on Computational Mechanics, 5th Euro. Conf. on Computational Mechanics, 6th Euro. Conf. on Computational Fluid Dynamics / Ed. by E. Onate, J. Oliver, A. Huerta. - Barselona, 2014. - V. II. - P. 142153.

17. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-tape theories of plates and shells: a short review and bibliography // Arch. Mech. - 2009. - Spec. Iss. - doi 10.1007/s00419-009-0365-3.

18. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением и особенности их свободных колебаний // Акустический журнал. -2011. - Т. 57. - № 4. - С. 461-469.

19. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Модель колебаний микрополярных тонких оболочек // Акустический журнал. - 2013. - Т. 59. - № 2. -С. 170-181.

20. Sargsyan A.H., Sargsyan S.H. Dynamic model of micropolar elastic thin plates with independent fields of displacements and rotations // J. Sound Vibration. - 2014. - V. 333. - No. 18. - P. 4354-4375.

21. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. - 2008. -Т. 11.- № 5. - C. 41-54.

22. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Наука, 1967. - 444 с.

Поступила в редакцию 13.02.2015 г., после переработки 15.04.2015 г.

Сведения об авторах

Саркисян Арменуи Акоповна, к.ф.-м.н., доц., зав. отд. ГГПИ, Армения, armenuhis@mail.ru

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., чл.-корр. НАН Армении, проф., зав. каф. ГГПИ, Армения, s_sargsyan@yahoo.com