Зонные системы Делоне как математическая модель почти-кристаллических структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.8.87

Д.В.Коваленко ЗОННЫЕ СИСТЕМЫ ДЕЛОНЕ КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЧТИ-КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР

The paper deals with the mathematical patterns of arrangement of atoms in solid matters — dot systems. A new approach is suggested to construct this kind of patterns: by applying an operation of differentiation of dot systems the author obtains a general mathematical criterion of identification of crystal and almost-crystal structures. Several theorems setting limits for the dot systems resulting in such structures are proved.

Введение

Точечные системы, обладающие теми или иными свойствами, вот уже более века привлекают к себе пристальное внимание ученых. В 1924 г. выдающийся российский геометр Б.Н.Делоне представил оригинальную конструкцию дискретных множеств, получившую впоследствии его имя, а также метод ее исследования [1]. Системы Делоне являют собой математическую модель расположения атомов в твердых веществах (которые заполняют все вещество и не подходят слишком близко друг к другу). В частности, кристаллическим структурам отвечают правильные системы Делоне [2], в которых каждая точка равно окружена всеми другими точками.

В 1984 г. был получен сплав с дальним (абсолютным) порядком, обладающим осями симметрии 5-го порядка, запрещенными в кристаллах [3]. Подобные соединения получили название квазикристаллов. В дальнейшем появились и другие физические структуры (фул-лерены, кристаллы-двойники), не являющиеся кристаллическими, но, тем не менее, обладающие определенным порядком (симметрией). Такие соединения — будем в дальнейшем называть их почти-кристаллическими — вызвали наплыв математических моделей, пытающихся объяснить их существование. Однако, в отличие от кристаллов, исчерпывающее описание строения которых задают правильные системы Делоне, почти-кристаллические структуры пока не имеют своего единого описания.

Автором настоящей статьи найден оригинальный метод исследования точечных систем [4], открывающий путь к полному законченному описанию всех кристаллических и почти-кристаллических структур с комплексной единой моделью. Основная идея разработанного им подхода состоит в следующем: выяснить, какие условия следует наложить на общую систему Делоне, чтобы получилась точечная система, обладающая каким-либо порядком (симметрией).

Необходимые определения

Определение 1. Системой Делоне называется множество точек X, удовлетворяющее следующим двум аксиомам:

a) аксиома дискретности: расстояние между любыми двумя точками множества X не меньше длины r некоторого фиксированного отрезка;

b) аксиома покрытия: расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки множества X не больше длины R некоторого фиксированного отрезка.

Определение 2. Пусть X — произвольное множество точек в и-мерном евклидовом пространстве. Векторной системой точки ЛеХ назовем множество VA, состоящее из векторов, соединяющих точку Л со всеми остальными точками системы X. Производной системы X назовем множество точек X', получающееся откладыванием от некоторой точки Л eX всех векторов, соединяющих точки системы X. Очевидно, система X' центрально-симметрична относительно Л.

Получение системы X' из X будем называть дифференцированием. Несмотря на то, что операцию дифференцирования можно применить к любым точечным системам, мы в дальнейшем ограничимся лишь системами Делоне.

Введем еще одно, ключевое, определение.

Определение 3. Будем называть систему Делоне X зонной, если ее производная X' снова является системой Делоне.

Примеры.

1. Если X = T — целочисленная решетка, то X' = X = T — также система Делоне, поэтому X — зонная.

2. Если X — мультирешетка, т.е. объединение конечного числа параллельно расположенных решеток T1,T2,...,Tk, то, поскольку векторные системы точек A и B из одной решетки совпадают, X' есть объединение таких векторных систем для точек A1,A2,...,Ak, где AiєTi, поэтому аксиома дискретности сохраняется (с меньшим г), следовательно, X' — система Делоне и X — зонная.

Замечание. Вообще, поскольку X с X', то при дифференцировании может нарушиться аксиома дискретности, но не аксиома покрытия.

Следствие. Всякое подмножество зонной системы Делоне, удовлетворяющее аксиоме покрытия, также обладает свойством зонности.

Это вытекает из того факта, что если X с Y, то и X' с Y'.

Приведем пример не зонной системы Делоне.

3. В качестве пространства возьмем прямую R1 и занумеруем точки системы Делоне X целыми индексами (в силу аксиомы дискретности это можно сделать, поскольку их число счетно; в дальнейшем, рассматривая одномерные системы Делоне, будем применять такую же конструкцию). Определим X как

п, п < 0,

Xп = \2k, п = 2k, k > 0,

2k +1 +--——-, п = 2k +1, k > 0.

102k+1 ’ ’

Тогда спектр расстояний между точками системы X: 8р(Х) = {|х,- - х,|| xI,xj■eX} не дискретен,

и, тем более, X' — не система Делоне (есть точки накапливания, а именно x = 1), поэтому X — не зонная.

Если система X — зонная, имеет смысл построить вторую производную X” = (X’)’. В связи с этим важное конструктивное значение приобретает вопрос о зонности системы X'. Другими словами: может ли нарушиться аксиома дискретности при повторном дифференцировании, если она не была нарушена при взятии первой производной? Заметим, что определение зонной системы и пример 3 показывают, что при первом дифференцировании аксиома дискретности может быть нарушена.

Для ответа на поставленный вопрос обратимся вновь к наиболее наглядному — одномерному случаю.

Одномерные зонные системы и спектр расстояний между точками

Итак, пусть X = {хп| пе2} — последовательность точек на прямой, являющаяся зонной системой Делоне. Образуем множество 8р^ = {X - х>11 Xí,xJ£-X} — спектр расстояний множества X. Заметим, что в силу одномерности пространства X' = где

8р-^ = {-|xi - х>|| xi,XjsX} = -8р^, а началом координат считается точка х0. Поэтому в одномерном случае зонность системы X, т.е. выполнение аксиомы дискретности для ее производной X', сводится к дискретности спектра расстояний 8р^, и в дальнейшем, говоря о производной X', будем в силу ее центрально-симметричности забывать о «левой» половине 8р-да и отождествлять X' с 8р®.

Перепишем 8р^ в следующем виде:

ад

Бр( X) = У Д k,

k=0

где Дk = {|х—х^Ц ieZ} — множество расстояний между ^соседками, т.е. точками системы, между которыми разместилось ровно k - 1 точек X. В частности, Д0={0}, Д1={|х,- - х,+1|| iеZ} — множество всевозможных расстояний между соседними точками системы X.

Оказывается, условие зонности системы X непосредственно связано с внутренней структурой введенных множеств Д*. Первым приближением к установлению этой связи служит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть X — одномерная зонная система Делоне. Тогда каждое из множеств Д* конечно: Д < ад VkеN.

Доказательство. В силу того, что X — система Делоне, имеем Д1 с [г;2Я], где г и Я — константы из аксиом дискретности и покрытия. Поэтому необходимым условием зонности X будет конечность множества Д1: |Д1| = т < ад. Кроме того, имеем X - х+^ = X - х,+1|+ Х+1 - х,+2| + ...+ |х;+*-1 - Xi+k| — и коль скоро для каждого из слагаемых в правой части существует лишь конечное число вариантов, будет конечным и число возможных сумм. Теорема доказана.

Замечание 1. Если |Д1| = 1, то X = Т — решетка.

Замечание 2. Условие конечности множества Д1 не является достаточным для зонности системы X. В самом деле, для системы

Гп, п > 0,

хп =| п

[па, п < 0,

где а е Я+^ — иррациональное положительное, имеем Д = 2, но Sp(X) = {/ + та| I, т > 0 — целые} не обладает свойством дискретности. Известно, что всякое иррациональное число а можно приблизить рациональной дробью р/ц с точностью до 1/ц2, т.е. VаеЯ+\Q,

VqеN ЗреМ |а - р/ц | < \/ц2 , или ^а - р| < 1/ц , но qа,pеSp(X) Vp,qеN. Поэтому для любого е > 0 найдутся две точки в 8р^, отличающиеся друг от друга менее чем на е, что нарушает аксиому дискретности для X', и стало быть, X — не зонная.

Согласно теореме 1, из зонности X необходимо следует, что Д1 состоит из конечного числа элементов: Д1 = {г1, г2,.. ,,гт}, где Г1 — возможные расстояния между соседними точками. Если все гi попарно соизмеримы, то, полагая г1 = 1, получаем гi = ai|bi, ai,biеZ, i = 1,...,т. Поэтому X с Т, где Т — решетка с шагом ----------1------, и X' с Т = Т; следовательно, X' —

НОК(Ь2,..., Ьт)

зонная.

Пусть теперь не все г1 из Д1 соизмеримы между собой. Рассмотрим подробно случай, когда |Д1| = 2, т.е. Д1 = {а, Ь}, где а/Ь гQ. Здесь исследовать структуру множеств Д* поможет геометрическая интерпретация.

Зонные системы с двумя несоизмеримыми расстояниями между соседними точками: геометрическая интерпретация

Заметим, что если какое-то из расстояний, например а, присутствует в системе X лишь конечное число раз *, то X есть подмножество мультирешетки, а именно * + 1 решеток с шагом Ь, каждая из которых проходит через левую вершину одного из отрезков длины а, а последняя — через правую вершину самого правого из таких отрезков (рис.1). Как уже отмечалось выше, в этом случае X' — также подмножество некоторой, вообще говоря, более мелкой, мультирешетки (с большим количеством решеток), следовательно, обладает свойством зонности. Поэтому следует остановиться на тех системах X, в которых оба возможных расстояния а и Ь между соседними точками встречаются бесконечное число раз.

Изобразим систему 8р(Х) (которая, напомним, отождествляется с производной X') на плоскости: каждой паре к-соседок (х,,х1+к) точек системы X, такой, что |х,- - х+к\ = та + пЬ, т.е. между точками х, и х+к расположено т отрезков длины а и п отрезков длины Ь, поставим в соответствие точку плоскости с координатами (т,п).

Например, для системы X, описанной в замечании 2 предыдущего раздела (в этом случае а = 1 и Ь = а), 8р(Х) заполнит весь первый квадрант плоскости, поскольку Ут,п > 0 Эх,- = Хт х,+к = Х-п : |х,- х,+к| = та + пЬ.

Для правильной системы X:

J_________I___________I_______I___________I_______I___________1_

а Ь а Ь а Ь

Рис.2

8р(Х) изобразится так:

0 1 2 3 4 5 6

Рис.3

Действительно, для к = 2п Ак состоит только из одного элемента |х,- - х,+2п| = п(а + Ь), а для к = 2п + 1 — из двух: г1 = п(а + Ь) + а, г2 = п(а + Ь) +Ь.

Заметим, что при таком изображении 8р(Х) множество Ак изображается точками, лежащими на прямой х + у = к, т.е. состоит из таких точек (п1,п2), что п1 + п2 = к и Зх„хІ+кєХ: |х - х+к1 = п1а + п2Ь.

Обозначим через Ак и ак наибольшее и наименьшее количество отрезков а, а через Вк и Ьк — наибольшее и наименьшее количество отрезков Ь, входящих в расстояния между к-соседками. Очевидно, Вк = к - ак и Ак = к - Ьк, при этом необязательно Вк = Ак или Ьк = ак.

Заметим, что все промежуточные значения между Ак и ак достигаются (то же для Вк и Ьк). Действительно (рис.4), двигаясь по прямой от пары точек (х,-,х,+к), на которой достигается максимум по количеству а, т.е. Ак, к паре ^-,х+к), на которой достигается минимум по количеству а, т.е. ак, мы пробежим все промежуточные значения. Поэтому, изображая 8р(Х)

а

Ь

Ак -----------------------------------^ ак

X Хі+к Xj Х]+к

Рис.4

на плоскости, будем отмечать только крайние точки множества Дк, соединяя их с крайними точками множеств Дк-1 и Дм и получая, таким образом, нечто вроде бесконечной изгибающейся трубы (рис.5). При этом ширина «трубы» на к-м участке (количество отрезков с целочисленными координатами, входящих в Дк) равна Ак - ак + 1 (или Вк - Ьк + 1). В дальнейшем 8р(Х и систему X' будем отождествлять с точками или отрезками Дк полученной «трубы».

Рис.5

Геометрические свойства производной

Пусть для Дк известны Ак и ак (или, что то же самое, Вк и Ьк). Так как любое расстояние между (к + 1)-соседками образуется из расстояния между к-соседками добавлением либо а, либо Ь, то, очевидно, Ак+1 > Ак, ак+1 < ак + 1.

Из тех же соображений Ак-1 > Ак - 1, ак-1 < ак.

Получаем

Свойство 1. Если отрезок Дк принадлежит системе X', то ей во всяком случае принадлежат все целочисленные точки прямоугольника, имеющего Дк своей диагональю.

Далее, поскольку для любого элемента из Д2п выполнено равенство |х, - хі+2п\ =

= |х,- - х+п\ + \хі+п - х+2п\, то А2к < 2Ак, а2к > 2ак, и вообще для любого п: Апк < пАк, апк > пак,

отсюда имеет место

Свойство 2. Дпк не выходит за пределы «конуса», образованного лучами, исходящими из начала координат и проходящими через крайние точки Дк.

Замечание 1. Вся «труба», конечно, при этом не обязана содержаться в таком конусе (что видно, например, на рис.3, где «конус» для к = 2 состоит только из прямой х = у). Речь идет лишь об участках «трубы» с номерами, кратными к.

Замечание 2. Свойства 1 и 2 справедливы для любой одномерной системы Делоне X и ее производной X’.

Геометрия зонных систем

Выясним, какие ограничения накладывает на «трубу» условие зонности. Проведем на плоскости, изображающей X', прямую ах + Ьу = 0. Заметим, что поскольку а/Ь г Q, то прямая не содержит других целочисленных точек плоскости, кроме (0,0), но проходит сколь угодно близко от них. Пусть теперь изображению системы X' = 8р(Х) на «трубе» принадлежат точки М(шьш2) и МП1,п2). Это значит:

а) найдутся такие точки xy,z,tеX, что |х -у| = т1а + т2Ь, \р - /| = п1а + п2Ь;

б) системе X' принадлежат точки т1а + т2Ь и ща + п2Ь, причем расстояние между ними равно (п! - т1)а + (п2 - т2)Ь. Таким образом, это расстояние будет тем ближе к 0 (что нарушает аксиому дискретности для X’), чем ближе к прямой ах + Ьу = 0 располагается конец вектора ММ, отложенного от начала координат.

Теорема 2. Пусть X — зонная система Делоне с Д1 = {а, Ь}, где а/Ь г Q. Тогда

3 зир (Ак - ак) = зир (Вк - Ьк) = т < ад. Иными словами, Дк не может растягиваться по длине

к к

более чем на ш, т.е. для расстояний между к-соседками возможно лишь не более чем т различных комбинаций из а и Ь.

Доказательство. Поскольку прямая ах + Ьу = 0 проходит сколь угодно близко от точек с целочисленными координатами, можно для любого е > 0 найти точку Ц/ь/2) с целыми координатами такую, что 0 < а11 + Ь12 < е, т.е. лежащую сколь угодно близко к прямой ах + Ьу = 0, и такую, что ее радиус-вектор имеет целые (разумеется, достаточно большие) и при этом разнознаковые координаты.

Предположим, что конечной точной верхней грани ш, указанной в формулировке теоремы, не существует. Тогда найдется отрезок Дк сколь угодно большой ширины. Но по свойству 1 Дк входит в X' вместе со всем прямоугольником, для которого он является диагональю. Поскольку величина этого прямоугольника может быть выбрана сколь угодно большой, мы сможем найти в нем две точки М(ш1,ш2) и Ж(п1,п2) (рис.6), такие, что вектор ММ имеет координаты (/1,/2), — как это было показано непосредственно перед формулировкой теоремы 1, две точки в X', расстояние между которыми меньше е, что противоречит зонности Л'. Полученное противоречие доказывает теорему.

Замечание 1. Выше уже говорилось, что конечность множества Ді (а в нашем случае |Ді | = 2) влечет конечность Дк для любого номера к. Теорема 2 утверждает гораздо большее, а именно — наличие единой константы т, ограничивающей мощность всех множеств Дк.

Замечание 2. Геометрически теорема 2 означает, что для зонной системы X ее «труба» X' имеет конечную ширину т (рис.7).

Рис.7

Дальнейшее развитие этих идей позволяет более полно выявить геометрические свойства зонных систем Делоне и получить ответ на сформулированный в конце второго раздела вопрос. Автор смеет утверждать, что именно зонность может служить критерием наличия в структуре вещества, отвечающего Х, какого-либо порядка (симметрии). Таким образом, по меньшей мере для одномерных систем Делоне, зонные системы являются единой моделью кристаллических и почти-кристаллических структур.

1. Делоне Б., Падуров А., Александров А. Математические основы структурного анализа кристаллов. М.:

Гостехтеориздат, 1934. 328 с.

2. Делоне Б.Н., Долбилин Н.П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В. // ДАН СССР. 1976. Т. 227. № 1. С.19-21.

3. Гратиа Д. // УФН. 1988. Т. 156. № 2. С. 347-364.

4. Коваленко Д.В. // Изв. Междунар. академии наук высшей школы. 2003. № 4 (26). С.195-209.