CC BY
0ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРИЙ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гурбанова Б.Р.1, Аллаберенов С.А.2
Гурбанова Бягулъ Ровшеновна - преподаватель, 2Аллаберенов Сердар Акмурадович - преподаватель, Туркменский государственный университет имени Махтумкули
г. Ашхабад, Туркменистан
Аннотация: обоснована тесная взаимосвязь математической физики с теориями, связанные с различными физическими явлениями. Описаны математические методы, применяемые при решении задач относительно уравнений в частных производных.
Ключевые слова: математическая физика, теория дифференциальных уравнений, теория регулярности.
Как фундаментальное научное направление математическая физика представляет собой раздел математики, который занимается всесторонним анализом математической правильности формирования физических моделей.
Процесс научного познания в данном научном направлении строится на основании таких циклов, как: сбор фактических данных; создание математической модели; проведение эксперимента. В рамках указанных циклов проводится комплекс следующих научных исследований:
1. описание изучаемого объекта или явления, создание физической модели;
2. формирование математической модели с составлением соответствующей ей математической задачи;
3. представление определенного варианта решения данной математической задачи;
4. интерпретация решения математической задачи в терминах физической модели;
5. обоснование решения математической задачи с помощью физического эксперимента.
Таким образом, приходится к выводу о тесной взаимосвязи математической физики с теориями научного познания физических явлений и соответствующих ей областей [1, 2].
К основной задаче математической физики относится аналитическое исследование математических полей. Поэтому при решении основной задачи математической физики возникает необходимость исследования двух основных проблем: прямой и обратной. Решением прямой проблемы занимается математическая теория поля. Эта теория определяет свойства и основные характеристики математического поля. Решением обратной проблемы занимается теория дифференциальных уравнений в частных производных. Здесь необходимо нахождение конкретного математического вида поля, если известны условия, в которых находится объект или протекает соответствующее физическое явление.
Как указывают специалисты в своих работах, основные законы природы возможно описать дифференциальными уравнениями в частных производных. Изучение правильности с математической точки зрения различных задач для уравнений в частных производных предполагают комплексные исследования по тщательному выбору вариантов их решений, а также получением качественной и полной информации о свойствах данных решений [3].
В современный период в теории уравнений в частных производных используются разнообразные научные методы. Так наблюдается активное взаимодействие с такими областями математики, как дифференциальная геометрия, классический и функциональный анализ, теория динамических систем. Дифференциальные уравнения в частных производных эволюционного типа представляют собой динамические системы для функций, принимающих значения в некотором пространстве. Теория эволюционных уравнений может рассматриваться как раздел функционального анализа. К задачам эволюционного типа относятся: классические волновые уравнения; система уравнений Навье-Стокса; уравнения теплопроводности.
Теория регулярности исследует наличие или отсутствие особенностей решений нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных. В научных работах отмечено, что для скалярных уравнений эллиптического и параболического типа характерно отсутствие каких-либо особенностей. Поэтому решения таких уравнений называются гладкими функциями. Другой пример возникновения особенностей у решений — формирование ударных волн в законах сохранения, а также распространение особенностей начальных данных гиперболических уравнений вдоль характеристик. Наличие или отсутствие у решения сингулярных точек является важной характеристикой решений, связанное с какими-либо физическими явлениями [4].
Такое направление, как спектральная теория дифференциальных операторов рассматривает прежде всего параметрическое семейство дифференциальных операторов. Здесь исследуется те значения параметра соответствующего уравнения, которое имеет решение, обладающее теми или иными нестандартными свойствами. Таким свойствами могут быть: быстрое убывание на бесконечности и ограниченность.
Таким образом, комплексное исследования в области теории уравнений в частных производных занимают важное место в развитии современной математической физики.
Список литературы
1. Бобылева Т.Н. Уравнения в частных производных. Москва: 2023.
2. Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики.
СПб.: 2011.
3. Ховратович Д.В. Уравнения математической физики. Москва: 2004.
4. Полянин А.Д. Точные решения дифференциальных, интегральных, функциональных и других математических уравнений. Москва: 2023.
