Жизнь и творчество Анатолия Васильевича Дороднова (к 100-летию со дня рождения) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 4

Физико-математические пауки

2008

ЛЮДИ НАУКИ

ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО АНАТОЛИЯ ВАСИЛЬЕВИЧА ДОРОДНОВА (к 100-летию со дня рождения)

А.Н. Корешков

Анатолий Васильевич Дороднов родился 4 мая 1908 г. в соло Усольо Куйбы-шовской области (Самарской губернии). Отоц Анатолия Васильевича умор, когда ому было 6 месяцев (по рассказу Александра Анатольевича Дороднова сына Анатолия Васильевича: тот погиб в армии, куда был призван вскоре после рождения Анатолия Васильевича). Село до 1861 г. было частью поместья графа Орлова. Мать Анатолия Васильевича работала прислугой в графском доме. В имении графа была большая сельскохозяйственная школа, которая после революции была преобразована в сельскохозяйственный техникум.

Дороднов закончил 8 классов сродной школы в своем село и в том же 1924 г. поступил в сельхозтехникум, окончил его в 1928 г. и два года работал участковым агрономом в село Дубовый Самарского района. С ноября 1930 г. по декабрь 1932 г. служил в армии (сначала в Казани, затем в Пензе). В Казани он окончил годичные артиллерийские курсы и прошел службу в качество командира взвода. В 1932 г. поступил в Казанский государственный университет (КГУ) на механико-математическое отделение физико-математического факультета, которое закончил в 1937 г. В том же году он женился на Волоховой Татьяне Ивановне, которая училась вместо с ним в КГУ на физическом отделении. В 1937 г. Анатолий Васильевич поступил в аспирантуру к Н.Г. Чеботареву Жена также после окончания КГУ была оставлена в университете. Работала в лаборатории у Е.К. Завойского. затем на кафедре у С.А. Альтшулора.

Для примера приводом план первого года обучения A.B. Дороднова в аспирантуре:

• декабрь-январь: группы Ли;

•

•

Заметим, что по каждому разделу программы сдавался отдельный экзамен. В сентябре 1938 г. Н.Г. Чеботарев подает заявление о необходимости продления срока аспирантуры для A.B. Дороднова в связи с тем. что последний, несколько месяцев был на военных сборах, а затем на общественных работах. Решения о продлении срока аспирантуры в личном деле нет. а официальная дата окончания аспирантуры фигурирующая в личном деле 1 декабря 1940 года. Защита диссертации состоялась 24 декабря 1940 года. Тема диссертации «Исследования по квадрируемым луночкам».

После защиты диссертации Анатолий Васильевич был оставлен на кафедре для преподавательской работы. Но уже 6 мая 1941 г. был направлен на переподготовку в Томское артиллерийское училище, а с 8 июля 1941 г. участвует в боевых действиях. Войну он начал под Таллином, затем воевал под Ленинградом. Несколько раз был ранен, один раз так серьезно, что целый месяц лечился в госпитале. 17 июля 1942 г. Анатолий Васильевич был снова тяжело ранен под г. Пушкином. После этого ранения он 7.5 месяцев лечился в госпитале. В феврале 1943 г. получил вторую группу инвалидности, был комиссован и демобилизован из армии.

За боевые заслуги A.B. Дороднов был награжден орденами «Красной звезды». «Отечественной войны» первой степени и несколькими медалями.

После выхода из госпиталя Анатолий Васильевич уезжает на родину в село Усо-лье. к матери (как сам пишет в личном деле), долечиваться. Семья перебралась в Усолье еще раньше. К этому времени у Анатолия Васильевича и Татьяны Ивановны было двое детей: дочь Людмила родилась в 39-м году и сын Александр в 42-м году. На родине Анатолий Васильевич преподает математику в сельхозтехникуме. В августе 1945 г. Анатолия Васильевича вновь приглашают на работу в КГУ преподавателем кафедры алгебры. В 1946 г. он получает звание доцента, и в этой должности он проработал на кафедре алгебры до выхода на пенсию в 1983 г. Начиная с 1961 г. Анатолий Васильевич был исполняющим обязанности заведующего кафедрой в связи с болезнью В.В. Морозова, а с 1971 по 1976 гг. являлся заведующим кафедры алгебры.

В 60 70-е годы в связи с бурным развитием вычислительной техннкн стала меняться структура механико-математического факультета КГУ. Сначала появилась специальность «вычислительная математика», а затем «прикладная математика». Для подготовки специалистов по этим специальностям необходимо было подготовить новые курсы н провести междисциплинарное согласование. Эту большую работу кафедра проводила под руководством A.B. Дороднова.

Обратимся теперь к творчеству A.B. Дороднова. Самый известный результат Анатолия Васильевича это решение задачи о квадрируемых луночках. Чтобы оценить вклад Дороднова в решение данной задачи, рассмотрим историю этого вопроса. Во-первых, заметим, что эта задача возникла как некоторый обходной маневр в связи с безуспешностью решения задачи о квадратуре круга, то есть задачи о построении с помощью циркуля и линейки из отрезка, являющегося радиусом круга, другого отрезка, который будет стороной квадрата, равновеликого данному кругу.

Еще в 440 г. до н. э. Гиппократ Хиосский нашел три квадрируемых луночки.

Первый тип луночек изображен на рис. 1. Площадь луночки ABC A совпадает с площадью прямоугольного треугольника ABC, катеты которого AB и BC равны радиусу второго круга. Таким образом, с помощью циркуля и линейки можно построить треугольник, площадь которого совпадает с площадью луночки.

Е

Рис. 1

Второй тип луночек изображен на рис. 2. Площадь луночки ABC DA совпадает с площадью трапеции ABCD и можно построить окружности с центрами в O' и в O", радиусы которых выражаются через a, используя квадратичные иррациональности.

с

к-.-:- л

А ^-=Г*0

X /

от

Рис. 2

И наконец, третий тип луночек изображен на рис. 3. Здесь E - точка пере-

ABCD ABCDA

ABCDE

по данному пятиугольнику ABC DE.

Рис. 3

Для каждой из указанных луночек Гиппократ применяет свой индивидуальный способ построения, и поэтому возникает вопрос о существовании какого-либо единого способа построения этих луночек. Виет в работе, появившейся в 1593 г., применяет некоторый единообразный способ построения квадрируемых луночек, обращая внимание на отношение центральных углов в '■ а.

Рассматривая некоторые частные случаи этого отношения, как-то: 2:1,3:1, 4 : 1 и некоторые другие, Виет получает все три луночки Гиппократа, но других не находит.

В 1750 г. финский математик Уинквист нашел еще две квадрируемые луночки. Он также изучает отношение центральных углов в : айв терминах этого отношения ищет величину отрезка О'О" - расстояния между центрами окружностей (см. рис. 4). Он показывает, что для нахождения О'О" необходимо решать некоторые алгебраические уравнения. И в случае, когда степени этих уравнений равны двум, получаются квадрируемые луночки.

Затем Даниил Бернулли формулирует достаточное условие квадрируемости в терминах центральных углов. Если

а в

sin2 a sin2 в'

то луночка квадрируема.

Эйлер изучает уравнение (1) в предположении, что

(1)

а = шв, quadв = ив, (2)

где ш, и Е а в - общая мера этих углов (впоследствии Ландау (1903 г.) доказал, что луночки квадрируемы, если в условии (2) ш, и - целые.) В этом случае уравнение (1) приводится к виду:

ъттв\2 т

sin n0 j n

Выражая синусы кратных углов через cos 0 для некоторых небольших значений m, n, Эйлер получает алгебраические уравнения для cos 0 и находит все пять квадрируемых луночек. И так же, как Уинквист, обнаруживает, что квадрируемость возможна, если последовательность степеней уравнений для определения содержит только двойки.

В 1929-1930 гг. болгарский математик Чакалов публикует исследования, в которых доказывает, что если в/а = p/n где p - простое негауссово число, а n =1, 2,... (p — 1), то луночка неквадрируема. Таким образом, оказались отсеченными уже некоторые бесконечные последовательности неквадрируемых луночек. Кроме того, Чакалов с помощью подстановки x = в2гв приводит уравнение (2) к виду:

n(xm — 1)2 — m(xn — 1)2xm-n = 0.

(3)

Появление; теории Галуа позволило сформулировать условие квадрируемости луночки следующим образом: луночка квадрируема тогда и только тогда, когда порядок группы, Галуа уравнения есть степень двойки. Н.Г. Чеботарев в работе 1934 г. в журнале ''Materiiatische Zeitschrirt" разобрал все случаи квадрируемых луночек для нечетных m, n.

Если при построениях циркулем и линейкой допустить использование конических сечений, то это позволяет строить но только квадратичные, но и кубические иррациональности. Тогда условие квадрируемости луночки будет равносильно тому, что порядок группы Галуа уравнения (3) имеет вид 2q3s, q, s £ N. Эта задача была поставлена Н.Г. Чеботаревым перед аспирантом A.B. Дородновым.

Для решения указанных задач Н.Г. Чеботарев и A.B. Дороднов использовали два следующих факта теории Галуа. установленных Додокиндом и Гильбертом.

Факт 1. Пусть f (x) £ Z[x] - неприводимый над Q многочлен. Еели f (x) = ^ fi — разложение многочлена f (x) на неприводимые множители над полем вычетов причем degfi(x) = ni, то в группе Галуа уравнения f(x) = 0 существует подстановка п, которая является произведением циклов ni таких, чTo|ni| = ni.

Факт 2. Рассмотрим разложение алгебраического числа в p-адический ряд. А именно, для любого алгебраического числа существует простое p, являющееся делителем дискриминанта уравнения, которому оно удовлетворяет, такое, что а = Ai(p~p У, Ai £ Z, (Ai,p) = 1. Такие простые р называются критиче-

скими. Пусть p\,... ,pr - все критические простые для данного алгебраического числа а, удовлетворяющего некоторому уравнению. Тогда существует подстановка п из группы Галуа данного уравнения, которая является произведением циклов пт таких, что |nm| = sm, где sm - знаменатель m-го разложения.

Используя указанные факты, Н.Г. Чеботарев и A.B. Дороднов действуют по следующей схеме: пусть x = е + арр, где е, а - взаимно простые с p целые числа. Подставляя x в (1'') и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях p-аднческого разложения левой части уравнения (1''), получим ограничения на параметры m, n, так как знаменатели показателя р содержат либо произведение 2Y3й, y > ^ S > 0, либо 2Y, y > 0. В силу этих ограничений остается лишь ко-

m, n

p

ваем все варианты, за исключением пяти случаев квадрируемости, если порядок группы Галуа G уравнения (3) равен 2^. В случае, когда | G |= 2Y3й A.B. Дородновым найдено 15 квадрируемых луночек при помощи конических сечений. Часть вариантов в этом случае осталась неразобранной.

Результаты диссертации Анатолия Васильевича были опубликованы в «Известиях физико-математического общества при КГУ» [1] для случая | G |= 2Y3й. Случай, когда | G |= 2Y и один из параметров m или n является четным, был опубликован в «Докладах АН СССР» [2]. В частности, благодаря общему методу получения всех пяти квадрируемых луночек имеем единый способ построения равновеликих многоугольников с соответствующими луночками (см. рис. 5).

Площадь луночки ASB совпадает с площадью четырехугольника AO'BO'', где O', O'' - центры окружностей, из которых строится луночка.

В 50 60-е годы A.B. Дороднов занимался исследованиями, связанными с полями алгебраических функций. А именно, он изучал вопрос о существовании иодполей р > 1

функций, определяющее уравнение которого имеет вид y2 = Fvy2 = xFvv = degF(z), a n - порядок одного из элементов конечной группы преобразований, которая сохраняет данное поле алгебраических функций.

Величина р, с одной стороны, определяет порядок класса дифференциалов: |(d)| = 2р — 2, а с другой стороны, 2р - порядок связности соответствующей ри-мановой поверхности. Предполагая, что выполнено некоторое условие на группу преобразований данного поля, Анатолий Васильевич доказывает в этом случае существование подполей рода р > 1.

Большое внимание A.B. Дородпов уделял педагогической работе. Многие студенты механико-математического факультета с благодарностью вспоминают его лекции по алгебре и теории чисел. Кроме общих курсов Анатолий Васильевич регулярно читал спецкурсы по теории полей, теории алгебраических функций и теории полей классов. В них он знакомил студентов как с классическими результатами этой области математики, так и с результатами последних лет, связанными с именами Гильберта, Римана, Дирихле. Под влиянием лекций Анатолия Васильевича многие сильные студенты мехмата выбирали в качестве специализации кафедру алгебры и оставались верны своей специализации в дальнейшей научной деятельности. Сотрудники кафедры алгебры и всего механико-математического факультета всегда с теплотой вспоминают обаятельного и остроумного A.B. До-роднова, который много сил и времени отдавал общественной работе на факультете и в различных общественных организациях университета. Анатолий Васильевич всегда очень доброжелательно относился к студентам и сотрудникам университета и все, кто работал вместе с Анатолием Васильевичем, будут помнить этого замечательного человека.

Избранные научные труды A.B. Дороднова

1. Дородное A.B. О круговых луночках, квадрируемых при помощи конических сечений // Изв. физ.-матем. об-ва при Казан, гос. уп-те. Сер. 3. 1945. Т. XIII. С. 95 126.

2. Дородное A.B. О круговых луночках, квадрируемых при помощи циркуля и линейки // Докл. АН СССР. 1947. Т. LVIII, Л» 6. С. 965 968.

3. Дородное A.B. О подполях гиперэлиптического поля алгебраических функций // Учен. зап. Казап. уп-та. 1956. Т. 116, кп. 5. С. 7 9.

4. Дородное A.B. Случай существования подполя у гиперэлиптического поля алгебраических функций // Учен. зап. Казап. уп-та. 1957. Т. 117, кп. 2. С. 3 6.

5. Дородное A.B. О существовании подполя жапра > 1 // Итоговая пауч. копф. Казап. гос. уп-та. Казань. 1961. С. 31 33.

6. Дородное A.B. К структуре полей алгебраических функций // Итоговая пауч. копф. Казап. гос. уп-та. Казань. 1963. С. 21 22.