CC BY
84
УДК 537.521
ЗАВИСИМОСТЬ ТОКА УСКОРЕННЫХ ИОНОВ В ХОЛЛОВСКОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ РАКЕТНОМ ДВИГАТЕЛЕ ОТ РАБОЧЕГО НАПРЯЖЕНИЯ
А.В. Шумилин, В.П. Шумилин, Е.Н. Чумаченко
В статье рассматривается взаимосвязь между интегральными характеристиками холловских электрических ракетных двигателей (ЭРД). Выполнен расчет зависимости ионного тока от рабочего напряжения для одной из наиболее часто используемых моделей ЭРД - СПД-100. При расчете использовалась одномерная модель слоя с холловским током. Учтены кинетические эффекты, имеющие место при ионизационном выгорании нейтралов в ускорительном канале
Ключевые слова: ионный ток, напряжение, ионизационное выгорание
Газовый разряд в скрещенных электрическом и магнитном полях представляет собой весьма интересный физический объект, к тому же обладающий привлекательными для практических применений свойствами. Именно этот тип разряда используется в холловских электрических ракетных двигателей (ЭРД), которые в настоящее время широко используются в качестве двигателей коррекции орбиты долгоживущих
космических аппаратов [1, 2]. В ЭРД такого типа рабочий газ подается в разрядную камеру, где подвергается интенсивному ионизационному выгоранию под действием потока ускоренных (холловских) электронов. Образовавшиеся при этом ионы ускоряются в электрическом поле разряда, и создают тягу ЭРД.
В [3, 4] рассматривалась задача о
свободномолекулярном разлете нейтралов в условиях их сильного ионизационного выгорания. Параметром задачи считалась зависящая только от одной продольной координаты частота выгорания нейтралов ю(г). В зависимости от этой частоты выгорания была вычислена вероятность ионизации нейтралов для различных начальных полуизотропных распределений нейтралов по скоростям
ад=1--—-—]д3(-(1)
|^(у)у3с?у 0 У 0
П
где Р(у) - произвольная функция от
модуля скорости, характеризующая начальное распределение, Ет (х) - интегральная
экспонента [5]. В частности, при гидродинамическом рассмотрении, когда
Шумилин Александр Владимирович - МИЭМ, аспирант, e-mail: awshumilin@mail.ru
Шумилин Владимир Павлович - ФГУП ВЭИ, канд. физ.-мат. наук, e-mail: vladimirshumilin@yahoo.com Чумаченко Евгений Николаевич - МИЭМ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: kommek@miem.edu.ru
считается, что все нейтралы движутся в одном направлении с равными скоростями, вероятность ионизации имеет вид
^0) = 1 -ехр(— — |со(£)^), (2)
где (у) = л/87' /пМ - средний модуль скорости нейтралов, Т - температура нейтралов в энергетических единицах, М -масса нейтралов.
Если известна функция распределения электронов по скоростям /е (z, Уе ) и сечение ионизации нейтралов электронным ударом стгСО’ т0 для частоты выгорания можно записать
= |/. <Х V. Нет (V )с1\ , (3)
где V - модуль относительной скорости
электронов.
Для того, чтобы включить в рассмотрение основные параметры конкретного ЭРД, воспользуемся одномерной моделью Е-слоя [6], в которой предполагается, что практически вся приложенная к слою разность потенциалов ((ро) сосредоточена в узком двойном слое. К этому слою примыкает эквипотенциальная область анодной плазмы. Ускоренный в двойном слое электронный поток разворачивается магнитным полем в этой эквипотенциальной области, создавая холловский ток. В этой модели предполагается, что вся ионизация производится холловскими электронами в области анодной плазмы. Поскольку в этом случае все электроны имеют одинаковую энергию (еф0 ), то из (3) получим
ю(г) Г (ефо)пе(г), (4)
V пг
где пе (z) - концентрация холловских
электронов. Таким образом, для вычисления вероятности ионизации необходимо вычислить интеграл от концентрации электронов по всей области ионизации
\ne(z)dz
где ^ - толщина слоя с холловским током. Для этого воспользуемся уравнением Максвелла для ротора магнитного поля и уравнением движения электронов в модели холодной плазмы [7]. После несложных, но громоздких вычислений получим
’ са,.(еф0)Я0
ja(z)dz ■
2пе
-G{h), (5)
где с - скорость света; е - модуль заряда электрона; Н0 - величина магнитного поля в канале ускорителя без разряда;
И — На / Нс < 1 - параметр размагничивания, характеризующий искажение магнитно поля холловским током ( Н , Н - значения магнитного поля на анодной и катодной сторонах области холловского тока, соответственно);
G(h) =
(1 -И)
(1-й)
К
2(1 ~h2)
V 2-h2
-F
2-h2 12(1 -h2)
&
2(1 ~h2) 2-h1
(6)
эллиптическии
F ( x, к ) -
у/2 1 2-к2
где К (к) - полный
интеграл первого рода; эллиптический интеграл первого рода [8].
Таким образом, ток ускоренных ионов равен
Ji = QPi Ф) ^ (7)
где Q - расход рабочего газа в амперах, Р (к) - полная вероятность ионизации
нейтралов в слое холловского тока. Последняя величина определяется из соотношений (1) или (2) с использованием (5).
Запишем теперь еще одно соотношение, которое с необходимостью должно выполняться в холловском ЭРД. Речь идет о балансе действующих на область с холловским током сил: действующая на виток с холловским током сила Ампера должна быть уравновешена реактивной силой, создаваемой потоком ускоренных ионов
^2еф0 , (8)
с е
М
где I = 71 + Н2) - длина средней линии
сечения области с холловским током; -внешний радиус области с холловским током; ^ - ее внутренний радиус;
сАШ0 (1 — /г я 2л +
- величина холловского тока; АМ = М2 — . При записи (8) мы приняли во
внимание тот факт, что холловские двигатели на практике выполняются в цилиндрической
геометрии. Кроме того, мы предположили, что все ускоренные ионы имеют одинаковую энергию и движутся вдоль оси двигателя.
Таким образом, мы имеем систему двух уравнении (7), (8) и можем исключить из рассмотрения параметр размагничивания h . В результате мы получим связь между основными параметрами холловского
двигателя, в частности, для заданнои геометрии двигателя и роде рабочего газа можем получить зависимость тока ускоренных ионов от напряжения при постоянных значениях магнитного поля, заданном расходе и температуре рабочего газа.
Для определенности выберем
используемый в качестве двигателя коррекции орбиты на долгоживущих космических
аппаратах холловский ЭРД СПД-100 [1, 2]. В качестве рабочего газа в СПД-100 используется ксенон. Внешний и внутренний радиусы ускорительного канала равны, соответственно, R2 = 5.02см, =3.3 см.
Рабочее напряжение ф0 =293.3В, величина магнитного поля Н0 — 233 Гс, расход ксенона Q = 3.91 А.
В качестве зависимости сечения ионизации атомов ксенона электронами от энергии электронов мы принимаем аппроксимацию данных, приведенных в
справочнике [9]. Однако, следуя экспериментальным данным [10, 11],
абсолютные значения сечения мы увеличиваем в два раза по сравнению с данными справочника [9].
При расчете в качестве функции F(v), характеризующей начальное распределение нейтралов по скоростям, использовались две модели: дельта-функция
F(v) = 5(v-<v>), (9)
то есть считалось, что все нейтралы имеют одинаковые модули скорости, и
максвелловское распределение
т л ( Mv2) f 4 "
b (v) = exp----= exp------
IT
n (v)
(10)
/
Рассчитанные таким образом зависимости ионного тока пучка от рабочего напряжения для ЭРД СПД-100 представлены на рисунке Пунктирная прямая соответствует расходу рабочего газа ((? — 3.91 А), кружком отмечена рабочая точка СПД-100 в предположении полного выгорания рабочего газа. Кривая 1 соответствует гидродинамической модели выгорания (2); кривая 2 - кинетической модели с одинаковыми модулями начальных скоростей (9); кривая 3 - кинетической модели с максвелловским распределением (10). При расчете температура ксенона считалась равной Т — 300° К. Видно, что предложенное описание с хорошей точностью (отличие составляет менее 10%) соответствует
о
о
экспериментальным результатами. Рабочая точка двигателя находится в максимуме зависимости ионного тока пучка от напряжения. Учет кинетических эффектов приводит к уменьшению ионного тока.
Тот факт, что использованная при расчете простая одномерная модель слоя с холловским током приводит к такому хорошему согласию с экспериментальными данными, объясняется тем, что ток ускоренных ионов представляет собой интегральную характеристику разряда, а такие характеристики сравнительно мало чувствительны к локальным особенностям используемых теоретических моделей.
Литература
1. Горшков О.А., Муравлёв В.А., Шагайда А.А. Холловские и ионные плазменные двигатели для космических аппаратов. М.: Машиностроение, 2008. 280 с.
2. Морозов А.И. Физические процессы в СПД. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Т. III. М.: Наука, 2000. С. 443.
3. Шумилин А.В., Шумилин Н.В. Ионизационное выгорание рабочего газа в ускорительном канале холловского электрического ракетного двигателя. «Новые информационные технологии». Тезисы докладов XIX Международной студенческой конференции-школы-семинара. Москва. МИЭМ. 2011. С. 67-68.
4. Шумилин В.П., Шумилин А.В., Шумилин Н.В. Свободномолекулярный разлет нейтральных частиц в условиях ионизационного выгорания // ТВТ (В печати), 2012.
5. Никифиров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. 320 с.
6. Власов М.А., Жаринов А.В., Коваленко Ю.А. К теории разряда в скрещенных полях. ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып.12. С. 34.
7. Биттенкорт Ж.А. Основы физики плазмы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 584 с.
8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз. 1963. 1100 с.
9. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат. 1991. Стр. 424.
10.D. Rapp and P. Englander-Golden. Total cross sections for ionization and attachment in gases by electron impact. I. Positive ionization // J. Chem. Phys. 43. 1464-79 (1965).
11.D. Mathur and C. Badrinathan. Ionization of xenon by electrons: Partial cross sections for single, double, and triple ionization // Phys. Rev. A 35, 1033-1042 (1987).
Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Всероссийский электротехнический институт имени В.И. Ленина (ФГУП ВЭИ)
DEPENDENCE OF CURRENT OF ACCELERATED IONS IN HALL THRUSTERS FROM
WORKING VOLTAGE
A.V. Shumilin, V.P. Shumilin, E.N. Chumachenko
Correlation between integral parameters of electric hall thrusters is discussed. Calculation of dependence of ion current from working voltage of one of the most utilized model of hall thrusters - SPT-100 is carried out. Onedimensional model of sheath where hall current is located is used for calculation. Kinetic effects, which take place in the time of ionization burning-out of neutrals in discharge channel, are taken into consideration
Key words: ion current, voltage, ionization burning-out
