ЗАВИСИМОСТЬ СТРУКТУРЫ ЭЛЕМЕНТАРНОГО СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ОТ ЧИСЛА ОПЫТОВ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решение:

1) 43+31=74 (ж.) это на пять жителей больше, чем участвовало в построении

2) 74-5=69 (ж.) участвовало в построении

Ответ: 69 жителей Волшебной страны участвовало в построении.

Задача 8. Чтобы изготовить 24 мраморных кирпичей для нового дома в Изумрудном городе Фарамант заготовил мраморные плиты одинаковой ширины и толщины, но разной длины: 6 м и 8 м. На изготовление одного кирпича нужна плита длиной 2 м. Разрезать плиту один раз занимает у Фараманта одну минуту. Он может резать плиты длиной только 6 метров или только 8 метров. Какие плиты ему лучше разрезать, чтобы быстрее сделать кирпичи? Сколько времени при этом Фарамант сможет выиграть?

Решение:

1) 6:2=3 (к.) можно сделать из шестиметровой плиты

2) 24:3=8 (пл.) шестиметровых понадобится

3) 6:2-1=2 (р.) нужно сделать на шестиметровой плите

4) 2*8=16 (р.) нужно сделать, если брать только шестиметровые

5) 1*16=16 (м.) понадобится для изготовления кирпичей из шестиметровых плит

6) 8:2=4 (к.) можно сделать из восьмиметровой плиты

7) 24:4=6 (пл.) восьмиметровых понадобится

8) 8:2-1=3 (р.) нужно сделать на восьмиметровой плите

9) 3*6=18 (р.) нужно сделать, если брать только восьмиметровые

10) 1*18=18 (м.) понадобится доя изготовления кирпичей из восьмиметровых плит

11) 18-16=2 (м.) можно выиграть

Ответ: лучше разрезать шестиметровые плиты. Можно выиграть две минуты.

Задача 9. Элли сообщила своим друзьям радостную новость: «Сегодня Гудвин готов исполнить заветное желание одного из вас!». - Наверное, это будет желание Железного Дровосека, или Льва, - предположил Страшила. - «Думаю исполнится мечта Льва, так как она важнее», - сказал Железный Дровосек. - Скорее всего это буду не я, - грустно сказал Лев. Чье заветное желание исполнил Гудвин, если прав оказался только один из друзей Элли?

Решение:

Предположим, что Страшила оказался прав, значит, исполнилось желание одного из героев Железного Дровосека или Льва, и при этом по условию задачи Железный Дровосек и Лев оказались не правы. Следовательно, желание Льва не исполнилось и исполнилось одновременно. А такого быть не может.

Предположим, что прав оказался Железный Дровосек, значит исполнилось желание Льва. При этом Страшила и Лев оказались не правы. Тогда из того, что Страшила не прав получаем, что исполнилось желание Страшила. А такого быть не может, так как исполнилось желание только одного героя.

Предположим, что Лев оказался прав, значит, его желание не исполнилось. При этом по условию задачи Железный Дровосек и Страшила оказались не правы. Следовательно, желание Страшилы исполнилось и не исполнилось желание Льва. Противоречия не получили. Следовательно, исполнилось желание Страшилы.

Ответ: Гудвин исполнил заветное желание Страшилы.

Выводы. Как показал опыт, спецкурс «Внеурочная работа по математике в начальной школе» в процессе методической подготовки будущих учителей начальной школы позволяет повысить самостоятельность и активность учебной деятельности студентов; обеспечить положительную мотивацию обучения, овладеть методикой организации внеурочной работы по математике в процессе подготовки младших школьников к решению олимпиадных задач в рамках кружковой работы; получить опыт по составлению тематического планирования работы кружка и по подбору и решению олимпиадных задач по математике.

Литература:

1. Аксенова, М.В. К вопросу о математической подготовке будущего учителя начальных классов в вузе / М.В. Аксенова, Л.А. Гороховцева // Проблемы современного педагогического образования: сб. науч. труд. - Гуманитарно-педагогическая академия, Ялта. - №63 (2). - 2019,- С. 13-16

2. Аксенова, М.В. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы (подготовка к ВПР) / М.В. Аксенова, Л.А. Гороховцева, А.К. Мендыгалиева. - Оренбург: ОГПУ, 2021. - 96 с.

3. Григорьев, Д.В. Внеурочная деятельность школьников. Методический конструктор: пособие для учителя / Д.В. Григорьев. - Москва: Просвещение, 2016. -233 с.

Педагогика

УДК 372.851

старший преподаватель Байчорова Сапият Кадыевна

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева» (г. Карачаевск); кандидат физико-математических наук, доцент Бостанова Фатима Ахмедовна Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева» (г. Карачаевск); старший преподаватель Лайпанова Мариям Срапиловна

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Карачаево-Черкесский государственный университет имени У.Д. Алиева» (г. Карачаевск)

ЗАВИСИМОСТЬ СТРУКТУРЫ ЭЛЕМЕНТАРНОГО СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ ОТ ЧИСЛА ОПЫТОВ В

ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Аннотация. В статье устанавливается зависимость структуры элементарного случайного события, соответствующего заданному эксперименту, от числа опытов, проводимых в данном испытании от его начала и до завершения. Также устанавливается зависимость пространства элементарных исходов, соответствующих эксперименту, от структуры элементарного исхода. Для этого вводятся понятия базового эксперимента, в котором проводится только один опыт и

эксперимента с двукратным опытом, с кратным опытом. Показывается, зависимость структуры элементарного случайного события от кратности опыта проводимого в эксперименте.

Ключевые слова: базовый случайный эксперимент, базовое элементарное случайное событие, базовое пространство элементарных исходов, структура базового случайного события, структура элементарного случайного события для эксперимента с двукратным опытом.

Annotation. The article establishes the dependence of the structure of an elementary random event corresponding to a given experiment on the number of experiments conducted in this test from its beginning to completion. The dependence of the space of elementary outcomes corresponding to the experiment on the structure of the elementary outcome is also established. To do this, we introduce the concepts of a basic experiment in which only one experiment is conducted and an experiment with two-fold experience, with n-fold experience. The dependence of the structure of an elementary random event on the multiplicity of the experiment conducted in the experiment is shown.

Key words: basic random experiment, basic elementary random event, basic space of elementary outcomes, structure of basic random event, structure of elementary random event for experiment with two-fold experience.

Введение. При изучении элементарной теории вероятностей для студентов один из сложных моментов для понимания - это структура элементарного случайного события.

При решении вероятностных задач, необходимо установить, что является причиной неопределенности (случайности) рассматриваемого явления (процесса) и случайный эксперимент, соответствующий условию задачи. Выделить комплекс условий S, при котором рассматривается и фиксируется тот или иной результат эксперимента [3].

После определения эксперимента, соответствующего условию задачи, необходимо построить ее вероятностную модель

п

где - пространство элементарных исходов, соответствующее данному

t -.AQti} , б П

эксперименту, л - совокупность всех (включая и пустое множество ) подмножеств

- вероятность наступления любого события ^ ^ - вероятности исходов

Щ Eil.m

Считается, что при составлении этой совокупности самым сложным является нахождение вероятности наступления случайного события которое может произойти в данных условиях. Для ее определения одним из ключевых моментов является правильное построение пространства элементарных исходов , соответствующее данному эксперименту и

определение структуры элементарных случайных событий, являющихся элементами множества 1 Знание структуры элементарного случайного исхода эксперимента и их числа, позволяет правильно определить элементы произвольного

г А, и.

случайного события * который принадлежит совокупности

Е,

Изложение основного материала статьи. Рассмотрим случайный эксперимент * для которого пространство элементарных исходов ^ является дискретным и конечным множеством. Вероятность наступления случайного события ^

—

П

тА

определяется при помощи классического определения вероятности , где я число элементарных

событий, благоприятствующих ^ - общее число элементов если элементы ^ являются равновозможными. Число

элементов системы ^ в этом случае определяется формулой ^ ' ^ ^ 1 .

Для определения структуры элементарного случайного события и построения пространство элементарных исходов, введем различие между экспериментом и опытом (испытанием), проводимом для реализации данного эксперимента. Число опытов, проводимых от начала и до завершения эксперимента зависит от условий задачи.

Эксперимент, в котором проводится один опыт, фиксируется результат и считается завершенным, назовем

экспериментом с одним опытом или базовым и обозначим '

Е*

Для построения вероятностной модели случайного эксперимента все возможные исходы которого дискретны и составляют конечное множество, в первую очередь необходимо определить пространство элементарных случайных

событий. Обозначим это множество

Построим базовое пространство ^^ для эксперимента 1

Пусть число всех единственно возможных, несовместных и различных результатов одного опыта в данном

п. _г О, = 06 = {(и.а,,- -,Ои — л! л,

Опознячим их кяк множество и ¿.г ь ' ил ГЯе ^ ■

эксперименте равно 1 Обозначим их как множество 1 0 £* * и I ТИ> где 1 . первый

а7 „ а,- г „ I = 1,ц

результат; £ - второй результат и т.д., 1 - - и результат, '

Определим структуру элементарного случайного события эксперимента с одним опытом. Возможные случайные исходы одного эксперимента совпадают с результатами одного опыта.

Назовем случайные элементарные события, которые могут наступить при проведении эксперимента с одним опытом,

базовыми и обозначим: где - случайное элементарное событие, которое наступит, если

реализуется '-й результат одного опыта. Теперь можно записать формально - базовое пространство элементарных исходов.

Полученное множество является дискретным и конечным, согласно приведенному выше условию эксперимента. Базовый элементарный случайный исход ^^ является одноэлементным множеством, где

элементом является ' - -и результат опыта.

£

Между точками числовой прямой и элементарными случайными событиями эксперимента б можно установить

взаимно-однозначное соответствие, если индексу ^ элементарного случайного события поставить в соответствие точку

числовой прямой с натуральной координатой {^¡1 которому соответствует точка

^^СО ^ ^ ^ 1,71. уаким образом, геометрическим образом элементарного случайного события базового эксперимента является точка прямой.

Пример 1. Игральный кубик подбрасывается один раз. Построить пространство элементарных исходов. Решение. В эксперименте проводится один опыт - игральный кубик подбрасывается один раз, фиксируется результат и один эксперимент завершен. Так как в задаче нет никаких дополнительных условий, то при подбрасывании кубика может выпасть только одна грань.

Следовательно, возможными результатами одного опыта будет множество С® 1,^2, 3^11 , ^бЗ где

А; 4 - П = 1.6 п

1 - -и результат появление грани с номером , ' . Запишем множество всех возможных исходов опыта

1 фл = {Й1р(19Р",,А.Р,,,РАА) „

1: ы 1 11 '' ' " ' Исходы одного опыта являются единственно возможными, несовместными и

равновозможными и какой из них произойдет заранее неизвестно.

Определим структуру элементарного случайного события базового эксперимента. Базовый элементарный случайный

чб = М. * =

исход ' 1 является одноэлементным множеством.

Базовое пространство имеет вид:

Пй где£^б = {а;Ь ¿ = 1,6.

Геометрическими образами соответствующих атомарных событий 1 1 являются точки

= I = 1,6

1 ^ * числовой прямой"

Рассмотрим эксперименты, в которых число проводимых опытов равно двум.

Эксперимент, в котором проводится два опыта подряд, назовем экспериментом с двукратным опытом (испытанием) и обозначим 1

£

Для определения структуры элементарного случайного события эксперимента необходимо записать множество исходов первого и второго опытов.

Пусть число всех единственно возможных, несовместных и различных результатов первого опыта в данном

тг. а< I „

эксперименте равно ' ' - -и результат,

1 = 1,71

0± = 0ъ = {а1 Оз --(а, --л I

Обозначим их как множество х 1 1 1 1' где 1 - -и результат

ц. о = Од

при проведении первого опыта, 11 нижнии индекс показывает номер опыта. Множество 1 и можно записать в

= = {а1гаъ,~-, а*, ,}.

следующем виде: 1 и 4 11 111 1 " '

Запишем множество его структура определяется условиями эксперимента. Рассмотрим следующие случаи.

Оп

Первый ст>чай. Пусть по условию эксперимента множество возможных результатов второго опыта * совпадает с

ог

множеством возможных результатов первого опыта *■ и порядок в полученной двойке результатов важен.

0±=[а1±га^- ,а€±г = (а^а^-^а^,■■■,аПг},

¿1 = Хп- г2=Т~п

01 = 02.

где нижние индексы показывают номер опыта, в котором может быть получен данный результат. ,1 получить

Ог «г

Е

Чтобы получить все единственно возможные случайные события эксперимента найдем прямое произведение

множеств

Ol X 02 = {ffli1,02±Maiat"•■an1}X {ffllBfД2Я1 •"■Д4>"'Лг1 =

Случайные элементарные события обозначим через

Эти

где верхнии индекс показывает кратность опыта в

эксперименте.

исходы

примут

вид:

аи к

где исходы первого опыта, исходы второго опыта, - номер возможного элементарного случайного исхода

эксперимента

Из элементов множества

í\ X о2

h,

составим матрицу исходов

TlXw чтобы

определить число и структуру

случайных элементарных событий эксперимента * Заполним эту матрицу: результат первого опыта будет первым

flj

второго опыта вторым элементом всех

элементом, всех упорядоченных двоек строки "1'" ' а результат

I I = 1 П

упорядоченных двоек столбца ' Номер строки совпадает с номером результата первого опыта, а номером

столбца совпадает с номером результата второго опыта.

Так как множества

Оь,

равны, и совпадают то для удобства заполнения матрицы яХп переобазначим

к, ■ílXíl

и i2: ¿i = i = lfii; ¿2 = ; = 1,л.Тогдаа£1 = 4= (\'aü = (a¡'fl;)-

U

Число элементов матрицы иХя. равно произведению Получаем:

71 X П = П2

h =

(

íliCti) h'^l)

2

h, <h)

(«ii <*j) (:a2faj)

(fl^flj)

\n (aw аг) Сaw a23 ■■■ (ап,а;)

Пронумеруем число ее строк и столбцов.

г Л

(a2faj (aifa.n)

V J

(2)

Используя таблицу (2), можно определить структуру любого элементарного случайного события, а также любого

- 'г А Е2-

случайного события эксперимента

I2

Число элементов матрицы ^Хп совпадает с числом единственно возможных и несовместных элементарных случайных событий эксперимента и равно

(3)

71

Формула (3) совпадает с формулой числа размещений с повторениями из элементов по 2. [4]

= г? П,

(3')

Тогда 2 принимает вид:

ñ2 = (сф ^ = (ai±ra¿2)fi1 = 1/ñ; i2 = lji,к = 1,п2 }.

е;

В базовом эксперименте и в эксперименте ¿ случайные элементарные события являются одноэлементными множествами, а сам элемент случайного события ^2 является двухэлементным множеством.

= (aífOj)

Геометрическим образом события

RxR = R2,

является точка числовой

плоскости

первая координата которой совпадает с индексом первого элемента

а,-

координата совпадает с индексом второго элемента J упорядоченной двоики

а1.

{аиа}).

а вторая

Таким образом, можно установить однозначное соответствие между элементарными случайными событиями

Ег . о)I = (а^аЛ

эксперимента £ ^ и точками числовой плоскости: у * ' - соответствует точка

П2 а = п. Я = п2. „

На плоскости получаем квадрат с параметром * площадь квадрата равна Поверхность

Мь(1П Е К2. 4 = 1.71. } = 1.71. к = 1.П2.

квадрата протыкана точками 11 ' '

квадрата, проведенного от точки

до точки

V Ч

По диагонали этого

расположены точки с равными координатами

В матрице исходов им соответствуют диагональные элементы

(а1г оД £ =

Диагональ делит квадрат на два равных треугольника. На плоскости каждого из них расположено одинаковое число точек, причем каждая точка, расположенная на плоскости одного из треугольников, имеет симметричную точку на

плоскости второго треугольника. То есть число точек расположенных в одном из треугольников, совпадает с числом точек расположенных на другом треугольнике. В это число не входят диагональные точки. Тогда можно найти число

1 —тг тг.£п- 1!)

2 2 (4) Рассмотрим второй случай с измененным условием эксперимента.

Второй случай. Пусть условие упорядоченности результатов сохраняется, но они не повторяются, такой эксперимент

обозначим через

Е'

Множество

о,.

{а1га2,"-1,?1 неравен множесхву

а,

Если в первом опыте зафиксирован результат " то во втором опыте этот результат получить невозможно. Тогда

02 = г = 1,п, ) = 1,п- 1, £ Ф

или ^ ^

Е'г

В эксперименте £ невозможны элементарные случайные события

(¿1 = {аиа}), [=}.

¡2 к

Матрицу исходов для второго случая можно получить из матрицы 11 ^^ убрав из нее диагональные элементы, то есть, заменяя их нулями.

12

Матрица исходов 11 примет вид

/4 =

'2

■пхя.

(

\?г

О

2

[1,- а2) О

4>а 2) а2}

Чи 2

О

}

{аъщ)

О

1 \ ■ О

п

Ч- "и) 12,0

О

-л) о

!

(5)

Е'

Число не нулевых элементов этой матрицы совпадает с числом элементарных случайных событий эксперимента и

(6)

п

Формула (6) совпадает с формулой числа размещений без повторений из элементов по 2. [4]

■л:

А* =

п

(6')

Оп

Третий случай. Пусть по условию эксперимента множество возможных результатов второго опыта 2 совпадают с множеством возможных результатов первого опыта, но порядок в полученной двойке результатов неважен. Обозначим этот

эксперимент через

Р"

Оп

1огда множество возможных результатов первого опыта и множество возможных результатов второго опыта * совпадаю. Введенное изменение, о неважности порядка в полученной двойке результатов, меняет структуру элементарного

Е"

случайного события эксперимента 2 и оно принимает вид

п

= = аЛ>1 = 1>п>} =

Матрицу исходов Для второго случая можно пат учить из матрицы /2

(а1г а;)

згхп

11X11

заменив на нули все элементы расположенные выше главной диагонали. Упорядоченную пару

заменяем на

неупорядоченную

I" — 12 ~

I"

'2

примет вид:

1 2 ) " п

[йцй!] 0 0 ■ 0

[а2,а2] - 0 ■ 0

г [щ, а{\ [щ, а2]

^

О

I" ¡0

(7)

?!Г

Число ненулевых элементов матрицы совпадает с числом элементарных случайных событий эксперимента £ и

Т12+Т1 Т1'(п + 1)

+ 71 =

(8)

П

Формула (8) совпадает с формулой числа сочетаний с повторениями из элементов по 2

г2 - С2 41 — Чг+2-1

г

■п

(п+1)

Четвертый случай. Пусть по условию эксперимента порядок в полученной двойке результатов неважен и множество £ не совпадают с множеством А Результат первого опыта во втором опыте не повторяется.

В эксперименте ' невозможны элементарные случайные события

V"

я.Хп

<4 = КЫ 1 = )■

I" '2

Матрицу исходов для этого эксперимента * можно получить из матрицы 'ЯХк заменяя элементы главной

диагонали нулями.

(

I" — »2 —

1 2 ' " \

1 0 0 о ■ 0 \

2 0 о ■ 0

п

я-,]

[щ. а2]

О

/

(9)

И используя полученную матрицу можно определить число элементов пространства элементарных исходов

|П2 | - N4 - 2 — 2 ^

п

Формула (9) совпадает с формулой числа сочетаний без повторений из элементов по 2 [5]: 2 и(и-1)

п 2:(и-2)! 2 (10')

Мы определили структуру элементарных случайных событий рассмотренных экспериментов и число элементов, соответствующих им пространств элементарных исходов.

Рассмотрим пример 1 с измененным условием эксперимента.

Пусть игральная кость подбрасывается два раза. Это эксперимент с двукратным опытом. Опыт №1 - игральная кость подбрасывается первый раз, фиксируется результат. Опыт №2 - игральная кость подбрасывается второй раз, фиксируется результат, один эксперимент завершен. Используя результат решения примера 1, запишем множество всех возможных

1: 01 = 0е = {а^Оъ,- ,аи- -,а6]

результатов опыта

Множество возможных результатов второго опыта

Оп

совпадают с множеством возможных результатов первого опыта

ilfa2,- -,air- -,ab} = {alta2j~-,а6], ¿ = 1,6; j = 1,6.

к

0г = 02 =

Порядок в полученной двойке результатов важен. Построим матрицу исходов

и определим число элементарных

исходов пространства

(а3>а i)

(a4ra J

. (а5,а J 6

2

i ±,а2)

l4icl2) 15,0-2) 1б,а2)

3

e4,G3)

4

ilf a J i2 ,а4) E^flJ

t5,aj i6jia4)

5

i4,a5) 15^5)

6 \

Число элементов матрицы

6X6

несовместных

возможных I

✓ i2 — , ык - ■

Таким образом:

Oj к

та, J - исходы второго опыта.

совпадает с числом единственно

элементарных случайных

событий эксперимента

■ i = 1,6; j= 1,6, к=1,:

где

равно

исходы первого

номер возможного элементарного случайного исхода эксперимента

а

ÖiX о2и

принимает вид:

Пространство элементарных событий эксперимента ' совпадает с множеством

й2 = = (а^.а^Л = 1Д; = 1= 1^36 }.

Выводы. Мы показали, что при решении вероятностных задач важным моментом является правильное определение комплекса условий в эксперимента, зависимость структуры элементарного случайного события и пространства

элементарных исходов от кратности опытов в ней. Показали, что для эксперимента с двукратным опытом

и

построить матрицу исходов

Эта матрица наглядно показывает структуру элементарного случайного события и

позволяет определить все элементы любого случайного события, которое может произойти в данном эксперименте. А

h ' Е

также, используя матрицу исходов ^^И-можно получить матрицы исходов для эксперимента 2 с измененными условиями.

Литература:

1. Губарь, Л.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / Л.Н. Губарь, A.B. Ермоленко. -Сыктывкар: Изд-во СГУ имени Питирима Сорокина, 2015. - 120 с.

2. Трофимова, Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / Е.А. Трофимова, Н.В. Кисляк, Д.В. Гилёв. - Екатеринбург: М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал, федер. ун-т. Изд-во Урал, ун-та, 2018.

3. Федоткин, М.А. Модели в теории вероятностей / М.А. Федоткин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 608 с.

4. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. В 2-х кн. - 4-е изд., переработ, и доп. - М.: МЦНМО, 2007.

5. Ширяев, А.Н. Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). Книга 1: Учебное пособие / А.Н. Ширяев, ИГ. Эрлих, П.А. Яськов. - Москва: МЦНМО, 2014. - 648 с.