CC BY
41
ЗАВИСИМОСТЬ РАСКЛИНИВАЮЩЕГО ДАВЛЕНИЯ ОТ ПЛОЩАДИ КОНТАКТА В ЗЕРНИСТЫХ СРЕДАХ
Егор Борисович Сибиряков
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук, 630090, Россия, Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 3, кандидат физикоматематических наук, старший научный сотрудник, тел. (383)330-90-02, e-mail: sibiryakoveb@ipgg.sbras.ru
В данной работе метод граничных интегральных уравнений был модернизирован и использован для нахождения численных решений краевых упругих задач смешанного типа. В качестве представительного объёма среды использовался шар с шестью симметричными площадками контакта. Было решено несколько задач о расклинивающем давлении в зернистой среде. Показано, что расклинивающее давление существенно зависит от площади контакта и достаточно слабо - от вида граничного условия на контакте.
Ключевые слова: метод граничных интегральных уравнений, расклинивающее давление, краевая задача смешанного типа, фундаментальные решения.
DEPENDECE OF DISJOINING PRESSURE ON THE CONTACT AREA IN THE GRAIN MEDIA
Egor B. Sibiriakov
A.A. Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 3, Akademika Koptyuga Prosp., Ph.D, senior researcher, tel. (383)330-90-02, email: sibiryakoveb@ipgg.sbras.ru
At the present paper the method of boundary integral equations was developed and was used for the mixed type elastic problems numerical solutions. A representative volume of medium consisted on a solid sphere with six plane and symmetrical contacts areas. In several cases the disjoining pressures were calculated. It was shown that disjoining pressure significantly depends on the area of contact end weak enough depends on the kind of contact boundary condition type.
Key words: method of boundary integral equations, disjoining pressure, boundary-value problem of the mixed type, fundamental solutions.
В настоящее время известно, что изменение скоростей поперечных и продольных волн в микронеоднородной среде, содержащей флюиды, зависит от разности внешнего давления и давления во флюиде, эффективного давления Рэ=Рвн - Рпор[1]. Общепринятое истолкование этой зависимости сводится к тому, что поровое давление «препятствует» внешнему давлению закрыть поры и трещины. Его нельзя считать удовлетворительным, так как оба давления - скаляры (не могут быть никуда направлены) и оба осуществляют сжатие среды. Косвенным признанием этого обстоятельства является то, что для удовлетворительного объяснения экспериментальных
данных иногда приходится вводить безразмерный множитель неясной физической природы, так, что Рэ=Рвн - пРпор, п<1 [2].
В действительности, возникает достаточно сложное напряжённое состояние, при котором контакты зёрен и боковая поверхность последних испытывают разные нагрузки, которые могу различаться не только величиной, но и знаком [3]. Тем самым, рассматривать зернистую среду как сплошное тело нельзя, усреднение поля напряжений по объёму среды просто исключает возможность конструктивного изучения отмеченного явления.
В [3] было показано, что под расклинивающим давлением в зернистой среде следует понимать осреднённую по всем площадкам контакта сжимающую нормальнуюнагрузку. Для выяснения природы расклинивающих, а возможно и противоположных эффектов, следует проинтегрировать уравнение равновесия выделенного элементарного объёма, подвергнутого действию как внешнего давления на площадках контактов, так и давлению флюида. Напряжённое состояние и нагрузки на контактах должны быть определены в ходе решения задачи.
С точки зрения механики задача о расклинивающем давлении в зернистой среде есть упругая задача смешанного типа. В качестве представительного объёма среды выберем шар с шестью плоскими симметричными площадками контакта. На площадках контакта ставились либо условия жёсткого контакта (все компоненты вектора перемещений равны нулю), либо условия проскальзывания (нормальная компонента вектора перемещений и касательные компоненты вектора нагрузок равны нулю). Эти условия соответствуют отсутствию либо наличию цементации контактной поверхности. Оставшаяся часть сферической поверхности зерна граничит с флюидом, то есть на этой части границы ноль касательных нагрузок и нормальная нагрузка равна поровому давлению. В [3] рассматривалась похожая задача, однако, в значительно более простой постановке. Там решалась смешанная задача для осесимметричного случая двух контактов. Соответственно, полученные там результаты будут справедливы в случае одномерных цепочек, а также в том случае, если площадки контактов достаточно малы, и их взаимодействием между собой можно пренебречь. Поверхность, упомянутую выше, можно задать параметрически. Размер площадки контакта на сфере единичного радиуса будем задавать с помощью параметра h0 - расстояния от центра шара до центра площадки контакта. Например, для координаты х-
if sinOcoscp > h0 then x = h0 else if sinOcoscp < —h0 then then x = —h0 (1),
else x = sinOcoscp
аналогично для координат ym. Подобное задание поверхности очень удобно, ибо даёт возможность избежать отдельного описания семи поверхностей. Пройти по параметрам 0 и ф промежутки [0, п] и [0, 2п] соответственно, означает пройти по всей замкнутой поверхности.
Недостатком этого представления является то, что границы боковых площадок контактов фактически являются не окружностями, а многоугольниками, достаточно близкими к окружностям.
Задача состоит в том, чтобы при различных значениях к 0 (т.е. при различных размерах площадок контактов) и при двух разных типах условий на контактах определить нормальную нагрузку на контактах и вычислить среднюю нагрузку по площадкам, чтобы понять зависимость расклинивающего давления от размера площадки контакта. Поровое давление р0 при этом было равно единице. Также единице были равны оба упругих модуля Ламе.
Решать смешанную упругую задачу методом потенциала не просто. Если использовать потенциал простого слоя, то в системе уравнений для нахождения потенциала часть уравнений будет первого рода. Если же использовать дипольный потенциал, то интеграл разойдётся. Кроме того, на границах площадок скачком меняется вектор нормали. Это означает, что на этих линиях интеграл от тензора нагрузок разойдётся.
Проблема была решена с помощью построения новых ядер. Эти ядра являются откликами по перемещениям на производную от 5-нагрузки с ограниченным пространственным спектром, т.е. функцию 5', «размазанную» на несколько элементарных ячеек:
N
Я2(5) = ~2^ | кг1о (гтЛДг + 2/с2) <1кг (2).
о
Поскольку ядра конечны, это даёт возможность отказаться от интегрирования и искать решение в виде конечной суммы, а не интеграла:
о) = ^Мік(х0іх)¥к(х) (3),
где х0 - фиксированная точка поверхности, а суммирование ведётся по всем бегущим точкам поверхности х. Далее, связываем аналитически нагрузки и перемещения:
РіОо) = - ^Рік(х0,х)¥к(х) (4),
где - тензор нагрузок, который вычисляется аналитически через
производные от М і к (х 0 , х) . Одна из компонент тензора М і к ( х 0, х) приведена ниже:
N
С ехр(—\хл \кг)
МПп= ] /о(Мг) 47Гд(1_у2) С1 + М*1І(1 -У2))Лкг (5)
о
Параметры / 0 принимали значения 0.8, 0.85, 0.9, 0.95. Граничные условия на контактах были двух видов: жёсткий контакт и контакт с проскальзыванием. При этом сначала вычислялась матрица коэффициентов линейного алгебраического уравнения для нахождения всех компонент потенциала. Размерность этой матрицы - 10620x10620. В результате обращения этой матрицы находился вектор потенциала. После этого вычислялся вектор нагрузок на всей поверхности (на части поверхности он был задан). Среднее значение по площадкам контакта вычислялось путём интегрирования. Оно и является в данной постановке задачи расклинивающим давлением.
Несмотря на большой размер системы, а также на то, что формально теперь все уравнения для нахождения потенциала являются уравнениями первого рода, решения получились гладкими и устойчивыми. Никаких регуляризирующих процедур при этом не потребовалось.Нормальная компонента вектора нагрузок при / 0 = 0.85 в зависимости от параметров 0 и ф представлена на рис. 1.
Дальнейшие результаты вычислений и их обработки можно представить в виде табл. 1.
Рис. 1. Нормальная компонента вектора нагрузок при / 0 = 0.85 в зависимости от параметров 0 и ф. Там, где зерно граничит с флюидом, нагрузка равна единице. На границе контактных площадок нормальная нагрузка максимальна по модулю и достаточно быстро изменяется
Таблица 1
Зависимость средней нормальной нагрузки (расклинивающего давления) от величины и типа условий на контакте при условии, что поровое давление равно единице
/і0 жёсткий контакт скользящий контакт
0.8 8 о 0. - -0.020
0.85 о 0. - -0.039
0.9 -0.075 -0.103
0.95 -0.342 -0.416
Видно, что результаты качественно совпадают со случаем двух осесимметричных контактов [3]. При достаточно больших площадках контакта расклинивающее давление будет достаточно малым по сравнению с поровым давлением. Это справедливо при обоих рассмотренных типах контакта. С уменьшением площадки контакта зависимость расклинивающего давления от типа граничных условий на контакте будет возрастать. Именно, в случае скользящего контакта расклинивающее давление будет больше, чем в случае жёсткого контакта. Вблизи границы контакта нормальная нагрузка максимальна по модулю и меняется достаточно быстро. По-видимому, с уменьшением площади контакта можно использовать результаты осесимметричной задачи, так как взаимодействием площадок между собой можно будет пренебречь. Также можно подтвердить вывод[3], что при повышении порового давления в такой среде, разрушению будут подвержены, прежде всего, площадки контактов малой площади. При этом начавшись, разрушение контакта будет необратимым, поскольку при уменьшении площади будет расти нагрузка.
ВЫВОДЫ
1. Использование конечного аналога дипольного потенциала является надёжным и достоверным способом решения смешанных краевых задач.
2. Расклинивающее давление пропорционально поровому давлению, однако коэффициент пропорциональности существенно зависит от площади контакта. Если площадки контакта достаточно велики, то, как при жёстком, так и при скользящем типе контакта, этот коэффициент пропорциональности будет достаточно мал. При уменьшении площади контакта расклинивающее давление возрастает.
3. На границе между скелетом и флюидом нормальная нагрузка изменяется скачком и меняет знак. Это обстоятельство является определяющим при разрыве давлений в скелете и флюиде.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Xiaoxia Xu,Ronny Hofmann, Michael Batzle and Tashi Tshering. Influence of pore pressure on velocity in low-porosity sandstone: Implications for time-lapse feasibility and pore-pressure study.Geophysical Prospecting, 2006, 54, 565-573.
2. LI Min, XIAO Wen-Lian, GUO Xiao, ZHANG Lie-Hui, ZHENG Ling-Li. LABORATORY STUDY OF THE EFFECTIVE PRESSURE LAW FOR PERMEABILITY OF THE LOW-PERMEABILITY SANDSTONES FROM THE TABAMIAO AREA, INNER MONGOLIA. CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS Vol.52, No.6, 2009, pp: 1402_1413.
3. Сибиряков Е.Б., Сибиряков Б.П. Структура порового пространства и расклинивающее давление в зернистой среде. Физическая мезомеханика, 2010, т.13, №1, с. 40-43.
© Е. Б. Сибиряков, 2014
