CC BY
35
Зависимость предельного распределения оценки риска
пороговой обработки вейвлет-коэффициентов сигнала
от вида оценки дисперсии шума при выборе адаптивного порога
Ключевые слова: вейвлеты, пороговая обработка, адаптивный порог, несмещенная оценка риска, асимптотическая нормальность, выборочная дисперсия, интерквартильный размах, абсолютное медианное отклонение от медианы.
Исследуются асимптотические свойства оценки риска при пороговой обработке коэффициентов вейвлет-разложения функции, удовлетворяющей некоторым условиям гладкости. Рассматривается процедура выбора порога, минимизирующего оценку риска. Доказывается асимптотическая нормальность оценки риска при таком выборе порога. Исследуется зависимость предельной дисперсии оценки риска от способа оценивания дисперсии шума.
Шестаков О.В., МГУ им. М.В. Ломоносова, кафедра математической статистики факультета ВМК; Институт проблем информатики Российской академии наук, [email protected]
1 Би4*івнг*ів
Ьейппсг разложение применяется для обработан сигналов н илтрлжвдиЬ Pi глмы* реимпеЁргшшх области зг, шпкшла геофизику.
физику ішизмьі, &9ІЧЖЛИІ ШІЬНуКІ IUMLPI риф|№, №UMII№IVpnyK> графику ,1 т.д. Одртй ил оаіошіих задсм. дда решения которой нГАмПЬ.нуйТГ-а ййккГійТ^Хг.=.Гіи>:ні-мн. нйГЫнВС* упй-нкн іііумО При нТмьл нииЬоле-“ популярным методам является пороговип абрабатко ьсйппсгг-кспффиїдесштпп, ют орпя айнулягт коэффициенты, не нрыкьшкЭДщнё Эи ДОннОї О i4jf)OiCL ПйрСн мйжнй выбирйкь риііичмнмн, СПаСОбОАИИ. НСКВДЯ 43 ПССТаМСОКИ задачи и целой обра&огки (см.,
йППрйм^р, ||1~'1]| I ІВДМЧМй II умЛ і-3ИsfiАПрмйЛДнТ К ПГіГрйіІІк->:"ГДи. s- иЦЄНЧВСЄМОМ СНШипе./иЗиОриЖННЧИ. CwHCIUU ОЦЧ^ІКИ IUKHX.
погрешіюстеіі [рмежо] мюспсдапапись с, раЁотаэс [Я 10]. І Іоназлііа, что При -ОПрОД&ЛвИНыХ у<УіОйрИ^л [5чСк.О МнивбСгі С<Х1 Ой' ЙЛьИОй н.
иснмптотичсяжн нармипьиий. Зачастую дисперсия шума неизвестна, к 7! Л ТЛКЖЛ «ЛОр/КЛАИМО ЄіІ,ЛНИЙПт, ИгГЮПІ.аОЙЛМНЛ ЫАДОГГО ТОЧНОГО ¿HU44HHH ДЧШЄ$Х.ЧИ LU^WrU S’S г.іфІНР.И ІірИВиДИ I ¥. HiiMtfHWHHKi асимптотических спайсп: оценки риска [см. [/]|. Исследуется вопрос ф ПрнДнПЬНглЧ рпглрлдагиьыи Г:І ,ДМя'к ЛнГкЛ При йк^Лрй ЛДЛЛТИййі^Гґї
nupuiu, птредлииодгеїсіги s рибиіе |1|, и нсліильзикикии ІрЄХ.
ПЛПуПЯріШМ МЄЩДОИ ОЩрНИОаНИЯ ДйСЛОрСМИ LLiyMi!!.
2. Свойства коэффициентов вейплвт-разпожения
При гігпопйлігійлйии ййййпйт-рп.чпс-жйяия фунпцля ft
4Літ.НЄиНЛЩиН СМНШІ, Ц.ЧІДСІ иВІІМУ ELH :■ Ь>НД* р.ЧДЦ HJ ІДВЧІ G& НІ
ростяжонт некотором ЬПЙППОТ функции ЗУ :
/- (1Ї
¿fir?
где ^ (л) - 2J"‘ \y(2- JE - А) (Сйийі.ітй.г, J ^J7 оброчу*т цртаиирмировииный Ejushc e ¿l(R)]. Индекс j s 11 ¡' лааы&сетса масштабам, п иі ідо*" >г едоиюм. Функция w долкі іп удаогстоорять
ОПрЛДЛПОНМйЛЛ ТрвАлМНИПи І Сім. [1 і ][■ ОЛНЛКЛ «Л МОЖНО ПЫ&ХГПЬ IUKHM UWpUIiUM, ЧШ&Ы UHU иО. КДЦШіи HWKUIUpHMH 11Ш№±НЫМЧ
свойствами, ікіпримор Ешпа днофпреї-цирусімай нушіое число рал и
ЙміЬЛЗ ЛЛПЛИЙЛ-Й ЧІлГПф М ИуПбйЫК мЛиййТЛй (fM [1 1 ]|, Т -й
J *■'<,■/( r II. і - II. ..„ - І.
Ь ди.-їні±йи.«м Ьунут рассыитрчЕотго-я функции сигнапо / С_ ^“(11) ии pLOHri^Kv- О ptfje.i? [iT.'&'Jr і у.ПНрНм& ПО
Лч ішицу С №KJQlUpti4M ІШКиаиіСІІїМ y> 0. Г-Є- lUKiie функции, для Esropux сущсстауст гонстапто L > У и попиііоац /1 столп їй t\ = |_ К J такой, чтолпй пюбіїгл у С. [ lX , ¡ft) И ПЮ^ОІЧ It R f\c\- vj..< Г)| 'V і .
Для TOtrtX функций f ИЛПСГГП10 (cm. [Ії]]г ЧТО осли понпллт
функідий М ріл.ч ннпрнрніннґі диффнрйніі.ируймі> \ КІ >Y i, иь-riHT ,\І нултых hu.w.rnni_'C ч ijttfcrprj уЬьюет HU С|КЗШНГЧНСК.Тм їммєосє со
спакуй праиэводіїимн.. г.е. дп-з псск УіА'ІІИ к »лЁага djeN илйдйтіг-а виїмгташп ( ' , чтл при йгйтс д е R
У W-T^f-
тп нпйдотгя такез впмаштп А -г- i)f что
н,- [2J 2'Ы
H(i rpiVfTWK; фуіікі,.іи гигіїппс n(y;rno- ’^дпш. ; iu>:
li LHBPUi. h-j е.умичі-ім с;і^“;ки. ■ “ |_^чич*«« оОщмОС и.
ҐЧИ"ПТ-. ПТ. лгрг::.^^ fd, I] И функіїкї f .1П.'."ЧП ; ТЛ'-КСУ
Л
i |: = I__V .-діс -2" і ckqtcictc J\: j _ yj . Jk :кр:т юе
сейк. “ 1-і ;о:к; -iii: i L4?ui.iuiiii4t; сиСий уилшліенче
шпчпнйй функции f ¡яЙлпмлчйлі л го чорт y"J нл лртогонлпи-гую
ултрниу Ц!, опродоляеиіую ьгйппст функцией \у: f —Wf fcM-[!!?]) При что** йГ-пи пгрпиїїи к двлйнлму йнл.лкгу- клк й
1-нПр!:-йрнн^-(fiь.1, С пучмм. Т<і Д№| «рнТйый йм^й -нАТ-кГ: -н^фкі [К>ймГк Ь^ДуГ
саяпаїш с і ir.npDO.iQi ы^и следующим абралам: fc ^ ■ ¿}
[<М., нЛПриїлйр. [1] йЛи I 1 11| Эго Лрк^Пккмний 'Aw Т:>ЧНйн
больше Л1- iVltJ не- будем. Gt су »деть м.етсды борь&ы с косеоьми ^ффенгамн, сПіЗлоїннлми с испошлсшамнсм ьї^іппст ралпожеиия id
КЛн^Чкфш П~рй4К£ ПГ|"нНЛк|“:нлкТЙ:"й <! >ТММИ мйТЛДҐімИ мЛКНО, HGnp^Mtp, К- |14|. Э ДШІЬНЄЙШїМ ДІІН ywMk'IIKJ будем нумероешь ДИГКркТНЫР Я«Г: И й П ЛТ-К О ч ф ф ИІ І.И Л Н TW ТЛК *41, КПК ОТГ.ЧЙТ1І функции f,
оді інм индексом і1 оме его даайпага иіщскса (/„&}-
Гі рйШІШНЇ '-ІПfiПк’і.ПкHИflH ЙҐЙГДЛ npwryrrmyfiT І нум М.Ы fiyrjftM pULLMUl рИВИІ Ь І_: 4іцуИЧ_!уHJ МС-ДЧ-ЛЬ. j; f. -г-., і i.....\.
где Z( иезсйііс^іглие елучайіис аеличміїи.. ймп-єщиє мормелшіае
рЛҐГр$ДйПййий Г И^ГЛйМиш <рА.-.ЧИу. И -й."; к НМ ч-I ЛИ ДИГПЛрґ^Й W ТгіГДЛ й
пилу UpiUfrj-KHlbhrj-CIH ккдгрмцм И1' длн дискретны Л Ke?Wiei-коэффициентое примем следу аіцуо модек
г,* -/" і > ¡-і...............•«>
І.ІІ.Н -11 ТҐIRя-н Ин-.рЛй.'.чґиьА^ И! нмрыл; Пкчм рПГПСнчП.йПйны С нупнйым і.рнДҐГ-1М Ч МДИНИЧІ-ЮЧ НЧї.ІІЧ^Х-ИЄЙ.. u fr риенн LUUie-ІІІСІВуКЛЦИМ
пепрсрии IUM пенолот їооффициоі гам. уміїожеііниміш -g'iV •
3. Пир і-І ии ЙН С'Ьри£>и І <-й Ч Оц^нлй он LK..-j
Смисл ларагапай а&ройотки сейьлот козффициоігтос заключается
й у.П.ЛПййнМ ЛЛГТЛТ^-ЫЛ илпйі-і-ісігії їґічффиіі.ййНТфй. КГіТЛрйй СЧИТ<9Н>ТСЯ
шумом. Ьудсм. нслользопспъ таи называемую мягкую порапасуа ойрлйлтиу с ппркш Т К каждому пейвлят-колффяцненту
применяв Г-н фумищв ( V > - ■с^и( у| V'! , т.4*. при такой
ПОрГЛГЛЮН о£рЛЙеТЧе КОЛффиЦИеЗГПД- К й тору Г ПО МОДУЛЮ Ме10,Ше ПОр^Г<] У Г «Т&Чулгй'ЛГ'Я, Л ййП^чйМЫ ОСТАЛЬНЫХ
КО^ффнЦНВШДО /МеНЬШШОКЛЯ КО 0В!МЧИНу I Л^ХЯ О. Пи1 рЧ»1иНОС I Ь |н11И риск) мягком пороговой обработки спрецспяется слсдуюи]ич ебрлллм:
р.и / ))г.
\У,
I пыражсмми !л ПрИ = ;,Т'ГТа;,|С- ИСМСС-ГП-ИС ЮЛГ'-'-Ии : " . П^ГТПц-.у ОКИСЛИТЬ П1+ГГ-»ПИМ|2 ¡¡^Г.ГГ.)') 11?ЛЬГЛ Оч-ШКП гю мажмй
ПДОИ'ь Б кО'мцОы. {.иоще^оч еот )'," | ;■ ',' . 1-0 вруЮн =■ О■ О
1тг^ I ■' Т"
индшшчиш н рн1_к шииинмв! гг' + { у «клн I- л ви ешкдц
ОООШИЛЯВТ У ■ ПоИРНДЛЫСу г. У ГП I — ( £и У . величину
</*можно ацегзнть розностью ()* — ^г1.
1еянм образом, сь качестве оцет риаеа .межпе напаль л аваль спвлуюнгут ййЛЬЧиНу'
№
Я,\/.<;.; !-£>.■.' : Лги \. .-Ос 'П- \Л)
1-1
-и-^Г. ., - 2-У
Д'г щк. имрциалечьСч йщйчки |^и^1--ч С мривчдичьи С1н±,у;,1КМв» уперлщнмче [12];.
1М|НМ 1. Кйг(/,л,Г]-Ях.(/,п.Г}. I*.
ЯВП9СТСЯ 11ССМОЩОШ ЮЛ Сип 1КОН ДЛЯ Д1 | Л: 7" 3 ■
В рПЙЛ“Л* [7] М] [.1] была предложена ношш.лплпн. плрлг Тс — п Л:|' ,\,г. было показано, чго при таком порот« риск близок к
мнинчалыюму ¡спч. [¿]|. Зтот порог получил название ауннйй^лпьнийа
Р> |ХЙЙ1& |1| рСХ.<_ЫДЛЗ>1&и«|СН МйЧОД пйрСн ОиОЙ ибрйСЮЕЕИ С названием £иге£Ьпп1с |ат Ь1*Гп ЦпЫаиЕ] К1:к Ь511апта№ ■ нкмнцеииая оценкп рнпгп Стейн’л), ЗАЛпцпкнциЬся а мьиниигниинк лцпикй ригкл МI н,-‘ ннСи.0С1в^ Г € [О, ]Г \ (кСЛвДО&йиИЦ, "рО^Оцнмыб и (ЖЁОТСис [ \ ] и )4|, пиказыеонл, ни можно к« рашмотрньоть 7" > 7~ I. я.*. порог выбирается следующим обрезом:
Й^/^Ч\1Ж)~ ШЕИ Я^г (Г,7 ). 1-51
Г^г.г11
5401 I Ю|ХЛ №МН1Нр>Ч; | 1№рСНИЧ№^1ШН «ии^зипькын й- пири1 7^^, г
мннимизирукгщни рж:к:
^■Л.1 ■Ш/-Гля.)~ ГП?П Ну(/тг>.Т). 1*1
т [V. - ■
Ё! тс время пав. значении порога /* мпйгм нельзя, «спи
н™ппг_-гшу кК'.ЛПП.уУ.ТС'.Нйи^ ЛН-Л4ПНЙЯ ^ [.УЛЖНЛ ЛШП. П 14£КЛТО£Ч^Х |ГПуЧПДХ йкДГНкТЦ ЙГП Г:ГнмПТГ:ТнЦн:;Кик гапмчде^й!, ОПГмрШТы. пп-игкл
пир’ла Т.-Гр.£ ичшь 1р!-|!_ I. И ею ОПИООНИЙ МОЖНО №Й1И Ё 1121 ипи 113]. 11ярпг 7^. у! ■шлжпеа адптип1*4.у%. пг.гаслису нтпльлусг пагькп нпЬпюдгнгммк .т-лнниг. И «ЛНТПМШМЧПЛШ ЛЛЛЛТ^руСТС-ал- к глдп.кпгти ?.ЗЧ1 №1Чи.
^□ЧПГ^ун-! ДНЛШрШН &1 НЛИДВЫТНС1Г и сг тпкже нго6к^.имп сн4™нк!Т1.. прь этпу. ^рпмт:| 4-! принимают внп
......... р\
1-1
а параг щ сый^растся гл критерия
о.т)-¥> |,1.'
М-, ( / Г, > . „ I т1П НцС/.п^ ),
Т*1П, I
ййЙР.ЛЯТ-КГ:Чфф^1 ||1нНТ-:=; дла г" —,/- | [нлппмнм*^ цгп ЛГ —2 ],
гкХв'ОПКЕу -йг'н функций < удойпн'йорннт тр^у^мыи. уе;пойилм рУ!у||МрН5Х.1Н, 1и Ь LИ.^ly 1.2) ¿1И ЛО^ффии^Н^ фиК1ИЧЙК.Р.И Сидмр.ар.й!
только- шутл.
Дплсе для удгЛгша будлм. оЬ^гшачат. У*1 чорсп .V., п
через ¿¡ш. И- данной работа а качестве оценки ¿г' |или <т) мы рлггмгагрии вийороч^ую ли г ппрси кк
л %■
(9|
I '■ п ■■
■ У ( V, - .V ;-. -,|,- ' у 1..
■ У- -1 1 1-\От1 !'
а тсикс саогтстстаующнм образом нормирован! 1ии
интеркмртльный ро-^ьло.«, к абсопю'и^ ^ещ№>ин^^ склонение и1 ьи^чину ■ П р ей му щей I ей Ж:11и№301Н1НЧН I ССЛ£н!НИХ днух оценок ¿■О^Л&ЧиЬ' '.!1 К »УС ри^ХКРНОСТЦ, 1-й. ннчуво1вигельиис1и к аиг^ссм (см. [1й] к [1/]|.. и □ полпай мере проявляется, *огда дисперсия <лиемий4>е-т<тй ПГ1 «§4борк^ СИГНОвО Онйнкн ¿д и ¿т^ ог^дечнКРКй сючдусщнм о6рс*х»>*:
_ * м;+- '■ им ЦС)
'
теА X X
ты■ ;■ V т1т?->д. г■ ч
111.1
Гг = нТ-т/2 1п..V ■ Обычно ¡¡ДОСЛёДОнм п" [и*н С.р^инеи.нСщ|5С!«ичн^ 0>1Т.1|1.1НННИН ГГ I 0итна0#1^м ни ВнСирке ОКНШ1и но нилиеинн Н1Ш
Гйе ^"таи м ^лсуя ' «^^«ные кванпмм лсрядь:п В/4 и 1У4.
пкхтротныл ПО ПЫЬмрКП ИЛ ПОЛОВИНЫ ПС^.Х ВСЙШИГТ КО>ффк14кСНТПП
ОЛЙ j — J— I [Л'— 2*\г “ теоретичеикин КВОН'ИЛЬ пирнлки ¿/4
стаы|дартпога норманынаго распределения, а /тя! обозначает п1л6орлчную ысщипиу.
Н < л вдую И из и ПуйкТА Г>-Р-.ПЙТ (Г|-^1<1.]з!;мП О«' м и П ТГ:-Т н ч Й ¡>1; I н
но]лчилы-щс1 ъ оценки риска при испошкшонми 1лдишчени1а пирит
^ЧЕЛИТ И °-цни^ п«рнл1ии!е»-ны:л. оценок, дисперсии. Окиаы&оеп^я,
что пределы изя диглерекя оценки диска зависит от спосаЬа Л1^.ННПЛНЙЯ ЛкСЛерСЙИ 11«у^Л.
4. Асимптатнчеокон нормальность оценки риска С|ючала докажем ьсламогателигую теорему об аскмптоткмаскай НЛрьмЛПийЛГТИ Г:1 ;-АЫе'н рИГК<1 Прй йк^Орй ПП врнТйрИП [_5) лцдеального> порога ГМч ■
1оарсмп 2- Пусть ^ л.тдп! а га отрезке [0. |] и является
рирн£л«&рчи рё*/лирнОй нО Липшицу С пйкЩймйнйм -р_____________________!--5-г^
л -л _
(й-г-“0|, И пут. ГМ К*НКЛ £Т~ ЛТЛПНЛ Г.ООГНЛП№НЙЙи {Ч ^ ( (1Й) ипи (1 1) . Тогда имеет месте екадимасть ло распресглпению
" ^., {/,<'• ■ Т... .
.. <г*М ",
гре Ф.(л) функция распределит 1ил I юрмл.~ы юго закона с нулевым ирвдннм И ДИг:р|Й^Хннч Г' рйУНйЙ ЙДИКИЦЙ, &С«1И -ГТ и|[[ВДД№1Н&1<.Н
С'ХИнОшеиИем (5], н равной ^2^,, ,(¡< ^4, )[' 1 . «лн ¡Г7 О!^д01!некн
С.40-|нишени&,!1 |10) ПРИ [II] ["»врез ф(х) иСлизнаьени 11'1и1|-к.х:гь сто1Ндортниги нормального закона).
ДаКПЛПГГСЛЬГТПП. Учитипля теорему I , "елк Л1Г./.Щ
>\ У.■ У::,. I - Я.Л/’1>: Г.т I с ^'■'л*лы ад-.вг.т-,*,] ял/лт^-х I л,.
I ЦМ
я - У -о'П. А-. & т.,м-о' + г,; Ж Л-. Р-г,£. :■]-Улл' ,т' 1-11 .V: ¡< Т^:, ±ит-1 Г’,.гк|л;
У
[12)
У|.У ау] 11 =■''*> н
>!■ I#/, к/,
/ У /
-1Ф' -'■- .1' X .V. р г^|-
и;
Злдоь / - ынлт»гтж> ттас индлкглй дм оттлрых =. -¡типу
выполнено | £/ ^ .^|'[ | П .V )' . а /, ■ множество остальным индексае / . [П^шГС^ысу р*ГуПйрйЛ по Лкл-и11И11.у г ПОгЛЛЛТйПй-И +
I число слагаемых с Д( не превосходит В(([АПп ЛГ)^|Г|1^ где- В1
ЙЛЛТЛрГМ к<.чнГТПнТ|;.1. .'■к'рл-нГАт.йй Г>Т Д . Г.ГкзГ-Лнк'^н А. № ПО мПП.у.П^ нн Чр^ХА^ШЙ' £^Р'"1пЛ! < и У с.с>! V рЙЙ Г и н г;! <1 м 11 >1 . Сл&уи<дай1*«№КРи
Я' не нревиосищи! й:<Г Л'"Ч1Г и(1п .¥) “Му Ь-1 днн неишируч ¡шнстангь йг:, 14 в силу состоятельна см аценьч ст величина
адл7 .,;
Ь| I V .л г СП р«*ЛИ ТШ пи керсч 1Мии1И к нулю В раба 1е 17| нала ¡¡-ино.. ч ю
1к]|.
*ГШ
О "м Г.' ^-нл"! 7н П н I- ДЛЯ .*Лйй:\-иннкч ВД-кПДтнПн:'ТйЛ ПГТО«Хь
пикактгь, агш астальные сум*щ с #ч при делкмни ни ь/л4«1 ^грклтгся к нупео по вкроячносги. Е [9] покаьслю, что Г ьсдг.т спс.я асимптотичсоси как
?ч. ■ К
\Л.
1п
И:.;
\2;- 1
Поспголнеу I — ^ уУу ПРИ у ■- О . ГДГ: ^ ■,') - ПЛП>ТНЛГ.ГЬ
=.”тлн,!>лртнг|т мпрылпшпго длкочл, нгплльлуи |15)., млжнл плкяаяпъ,
41 и ДЛЯ Г Е Д И ьккиюрыл. КДЛСЧЫН1 £1( >0 И > 0 выполнено
£ХА'.\ >Т,^±--------------
Ом и'Л^1
ДГ-^Г11
Используя эти оценки и прчме1«я нерашктво Маркова, получасы^. что п, “илу шсгснтппьилстм лишкн (т осе нгтешшигга суммы П /¡Г, Я. йЧрЛТГЛНИИ [11) при "О.ПЛйИк 1НП -т/ .V сгрпмйтги по &йрЛИТкЛСГй * ну.гц"! прн -у :■• 1/7. 'ПвдДОАЛТй П ЬМП Ь-ЛПОПИЙНГ! ( 1 ■?] ТйЛрЬмЛ ДЛКП.ЧЛНЛ
ДсЛЯШМЖ1 'енч^ге- иСИМП1ШИЧ№.?.у1У HUpw.U4bl-KX.lb уценки рм£жй при аваггивного перага 7^^ ГУ-‘ J:■^^+1T1ípl1^c, [Ё}л
минимлзнруащего оценку рнс<а.
Тсарсма 3. Путь у' лддпип нп отр&жп И ЯЬЛКТГД
||х|:нлмычн||1н|Ч р^| умнрнмй ЛО ПН111ииI|,у |" I нзссх^с]: тини. . __[_
* ->
| .¿г. -- 0 |.- и пупъ лценкл с лпдяна соотипшс^ниг.ка |У-11). Тагдл нмг.ст »ас: с то. осодимасти по рл.тпрсдс-лг.1 .110
К. </:'Л т.п.ы> -я* с/, >,, Л. | ^ ФА:Х> 11
"Р“ ф*_|;.г'| ■ фумр.ци?- ¡оаспркдепении нармапы-юго мяс^а с нули-ым
ГрЛРЯНАЧ И ,П^ГЛГ.р-Г1чГ:Н V1 (ПчППНмй Г.ЛйЫк!^, Г:ГПИ \Т ППрГ^П.ГЛ-гОТГ.-З ■ГООТНОШО.НИПМ (У I, к ООШ-ШК х)| 1 - I I р йПрСДПТКК’.ТГ.-З
'.■■г.отнлиюни!:*! (101 ипи (111.
До^с I <:|м н I н:||. .Ъ;! 1Н1 нчк1. км|)::)|.«й1- мй н мйнмк ■-■:>:; I к | 1 ¿|'| н нп.нй
кл1 л^;/1Ал1 (
с';;\ ^Ч'^л'
Ч ----------------. -------------- — »-1 + *1т-
Г. - V 2 V
р1 < к пу првлыдушян тй^ржлчы. гмрйПн. гпотнылй г; лп.п.нтги пп риС1 ^».цу.чвиини г. чирчипы-кй^у аикину с му.чевы*л средним И г^гп-г.рги^й У4. Пйклт'у., чгл атпрос: гпптг.мг.'П стрлу^птгя пл СОрМТНОСТМ К 1гупю. Дгя любого / с РСК;, 7 . 1 Я $ 0 ОМ31тНн
¿■ги:;;..:;.п-Угл;л;',.:;.г:. га:'-У. п -
-,■; у\ъту IV, /№).
11'^гть |] ■: У| г.- у .: некоторые значения, котарис Ёудут
ni.iF.pTHU ПП.1ДНП-Л. Тпк ЧГ: КПК Г, тппр&ме ? их-: Ж ИГ: ПСМ?С1ЛЯТ^ ЧГП ЧЛГП.
сулолы ¿"ч I е к сю рай с у лтмм р о н ин игце'ся по к^алес1еу ичцексов ^ , стрс.^кгся к нулю по ь2рогп и-ггм. 11оггаму дагсс 6удс.и. сдатать,
ЧТО.- А ГуыМкрТ^йЛйнй ПДДЛТГ-а ПЛ мИЛЛйГтау кцп.й^-л* , Дпд
14ЯКПТЛр.ПГЛ |.-г :=- 0 ^ЛГрПЙИЧнаЧИ-й ЙЛ КЛТЙ^ОЙ ЙуЯуТ НЛПЛЛЙЬЫ кИЖй)
трляедданл
+ ИУ :■ \ р..;г.ш Ь-К*1’: +Ъ-
1 '□«аш.ку д С/ гТ^ № ■, _ д ^ (/ ^; ту, ^ ^
Л-№ГГ^
!\ < ЮЛ I у-■■ I \ (11гI1,|^ у| "■ )' ^1'^- 'У У >- -
■: н зер I ая ((Г, ^ /М г. гт Г| I Г-' (г’| ■: ^ ) I Л[[сг' -■ , ■=
Г. №7,1
'¿п. ,1ф [Д.|У.л.Г1(,.1-Л4|Лл.71|^^1-.^;г;-^-' >й\>£
¡м-.м 1
•■■Г
5ир
! .Ц..',|
У|М 1-:ы У. 7.П1
:■ ¡лГ р:ЙСЛ'..*.Л
|-' ,,: '-V
-руд' - :х:'|:: >.
МлЖЙП 1Ю*сЛЛЛТк1 ЧТЛ прн ЙЫПЛПНЙНнИ уГЛЛЙНЙ ТЙЛрЙ№1 НЛЙДЙТГЙ 11}К0И лмнГКзн 1С> ^ чг<1 при км^орй — С^Д1'"1' (1п Л')1П ЛЛй
некатараи констсапм С"'^ Е&пулненс
(17|
( Н (7Л “йу! !Ь-[?и-=1НИЬИИ Р -Зиичсчмоич О' В*щй гТ К Диче?
.'.I .V..... г- п.V".л.гI - Г| .г . •. 7Чт-
- ! ¡X .:т.Г, у . ¡Г.Г,., I 2|.::’ ^ )М Т < ^.| £ Тш). I' ^
Г1 рЛЙЛГГ- ['/Ш ППКПППНП, ЧПГ1
г/II .,т.7 )-!■:[,!, г \ \ )| -
- гг- + V : - < а- - Г - а-1| И1.1V - 1 - <1 > Д-'.' - а, 1] -
-I г-п ^[Г+^>-(Г+и I г - г. 1. (14
г^е ^.,(у) И плот|[сст& и функция нертальнаго
рЛГПрйДйПк^На Г йу^йкАЛ средним И ЛйГПйрПлйй гГ' КрЛмй тлгл, клк ухв :>Ть-Д^:;зПГп"н н ПрйДыЛут.йк ТАЛрймй йй.ПнТ <АГ:й
I |Гим1 и О нчй1;ки иОр.
^'^||| V. (?°1
\ 1г +
jj^UCTkin. 'ГО Пр|- ОЫГСЛМОМНН уСТССИк TC-^Dilrt'J - I I
-7 ] "
[UjfrlipOH ,Г П\'У II V с НЛКГТСрЬлн (I ?. ■■■'. | Ппгкпги.ку
(ЫПППНДНЛ I?' н /1ПД Г ПЛ7|-^:ГТн ((( . ) И фуН1СЦ>1И рПГПрР^АЛЙк^Д 1|К{ у ) ■■ I ГI h :-1 нГим нк^.ниПннйГы .hiif.mhli ■■ ПрППВДПШНф |-лн 1 П ||
|-ф( г»=-Лу)
■нсполыу" с ■. К'| формулу Jlarpoi-.+:n и у+пыьж| I Ъ\.. |J J|-i ьыЕор ■
.■¿ГУЛ' Ifj nCKCT.ldlL, ЧТ| 1-ПНДОТСЯ ТОЙГ-: lOI'TII ТП (' . '-ТГ:
jY1
M1f y£/,H.V,::,r)^rL— ^■f/1 — Un.Vi
-.1,
чсргз || жяасг. функций h\ r.s,T'\, ичрксцтм!шын тргыгтрл^и = J H .t -(x jiii,: l-W«.
7 .. - -.j'f ij’ -Л'. )2 In I' j Д,:- -нь-CMif>iviHiMvi«A
V(H,ri f/'j'i-- niin{,t: ■l’1 jiV¿■■l1 r?i¿л,tijpjг it,.л. = L \Я j tiwuf. >тю
11: i »lift -!'. - i IT lll.e fiV.Y h -= H \ 4
f* 1
Ли (Л-i, L" iW) Jlllilji : chi|(\tvwjymw h!f rhf.. r6Jf^ £ L~ I.K) чниеткл, imu n~:-: Trtwioir .'I г Г1 ..'т.'r,т:i г 1ипкгл\ч»ю .'i 1 Ji ■: rbL ir |b' h] _ ■:
*^ции fi i'll. ¿г. I f/ji - in.viU. ¿r. L (Л) -ani EF„f, t1! /■)> — In ЛцШ^. Д1^'» лпэыппются 31ирсв1исй к
г i"par-iDH с ¿зс'спак-.и npszrpDiicTLi II
Ям „Гй* Г-=|0.Т; ,J и ■' ■ л АнГК.ПИДнО
Е1ф|.^ V. у. ГI :! 7 Г I 7 Д, " I Z. у. П £ (2s \ О’ дгя
.rj=:
пршмппчшй Г.ПуЧЛЙНПЙ ППЛИ^ЫНЫ Мишнп ПЛКПЛПЛ. |См. [?0]), что ЯНН нэкйрйрнк 1|М11М*к !4HHKKirj.:-: кОК ■ (!И ■ К ** Кр,
snpH(iW-!iH>'-K 1п|
\п\
122 I
где супрсмум бсрстсл пп- Dnnwi □српя'шастним распрпд^пспияу. У1.
ГрнрАйк?з нАргаммстют iVifl RfifKvaTMnrTM у|япнймт ^.ыпнри-тгкогп
НР0ЦКС4 км. LF9J. |211 И |22]f t ;г--ж |с;*ч (21 ^ (221 ч 1221 чюян* iiji :|j «: I ь 4i-:>.11.НЧ нйкм м|:|>ы ■ в. м н Г i i к > о к. с:, --■■ о
■■
мир
¿j м. х„ S J') - f iftl JT„ VJ" v
т I
i ЛГ- скр[ С.Л: '.-Vln.V'j'j.
ml' > Г1П.Х .л?'П , :Л j \23\
Д «
1 Я ™“ п ни
1^+1, Ч2+л:2>р2
МИНЬКИ
nit'iifMw j"- - In Л" С
. Гпгдп с: учетом nufiflfw iii при
I JWJ
1рн ^j(.iuiL:4hK; mun™ L>"v
i2J|
V,- Яф ' ViW.'f.Y ..n.Tii 1 -I I, l_ Л :
-
< sup '¿|/фг rr: V,J]p1(J ■: |Л-■■ V1Lt) I
,4.I
[t rj ft: V.|V- Г.,I.. с T.slip pir,Tr:-.v :-| r
r. rr. .r?a /
f2i)
JU4 H^KiJnJpwi i^hCIOhi и t"
I -Ф{1:)<^vVv' при уш>0.
Прмкчсппп то же iieL'a&eiT'LTBD для ьнрадтт-кхл'и уклонении эж1нричсоиз*о працроса с учетакц |'i! '2J, ^U !i''1 г (24) и |2 j|, нвиссм для
HwiMinptJii; s-:;:--»i; iOh! А.'3 >у и (у
sup t*tv rv|
^ (IIIЛ 1- J
Ун,.v .I'Ji ini v.'..hi.l ..- j j
I- I 7,‘- .-I
I ■ ■■- -A .
12«
¡ViHMTHfi пыйрпп. 0 < A m'~- L h | >■]
TflKkink. '-Ti'
| - j! - //2 :: (h. npuc<j:i 'IUL1 : .2yj\ by)]/?- LI К И/|№.
С)(. гилаиь ^^|МЧГЬ P . Ичгем
P-, IP sap Yli!I.V-Л. ■-
T)-Et/y.Y .<.T)
+ sup Y/-MxliX.-r)>fT: Ji.s -
-.i.
т Cl?
j’- л ■ 'JK
+ ,"||/T: ГТ-: :■ ,V, 1-У
sup X' v,: ^ J "■
fi/]
Пшгкйт.ку wMrvrrrfl тпкля кп-нгт^нтл i"L > (>, vra при догтатпчнп
1кАЛ№М
Уй(ГЛГ)<^
.V
l'3^K ^
HUMHKJjB с M&KUKJptfU iV , l'J«'tn If приятность- В- (27| pUEHU нулру, SiJIH v< /ji —1. Примкнет; p. пермзму катимому кериннирва дли BKfXMTVIDl.'IIM ук.ломтк.4 Ампирикскиги njXXJIKm i y'lt-OW. тоги, ■■пи
для ч^чсюрсй шкел-инны С tv v = f.N|i — У £>Й(Л'. .i. гн С’. .V ■" I In Л I ".
Г1Т.Г. . Л “
:
IДН Л"' - EH-1.IIIT-WLIi-rj нмдекг.-и* |.
uup V|,4 l-r/ri y.,^4 1 > rr -- V' — ■■l
JTP lr A,
■'
<р
М If!
J -!■ -JfjJ
Т\1>( Г.,.Г|-Г.ч.У.,.ГЛ
i К, rapj -c.v’’ ■' (In Л':.'' I :2i!
дпп некоторые кднетант и С, "■ fJ н
{поспал ьсу ¡-* < yj — !
OflhH. *HH>4 ¡17). |?3).. |2-б| И [28). П0И)РЧ$|ф*А,, 410 С 1р>в**ин:н К Ирт*0 1Й Ь^>0Н1Н11к.1И. ГВДДОМй дОмХ+^Нй.
5. Cjc-i ки скорости сходимости к. нормали юму закону
П прощ^с-гт ftnnxiaTflпьг.тм талршы 2 илшпклуютго! «енпг.ц,
■Ю^КТЧНКЛХ+ЧН ОИ,УНИ«Ь CwOpOClb СйФДНМОСВИ pfiiiiilpVP&JI^HHH 1J4HHEн
риска к нормальному закину.
Георема 4. I tynv ьыпашсыы услссия тсарсми -3, тогда
сущрптоукгг ТПКМЕ коьегпити (( И f?,r4TCV
|.т ..I' \
с, ( 111 .Vi
I I
VT'1„ I.
ft it < I.
sup
r-H
,, ft\-i.f-<r,Tvtr] RyiJ.a. ') ^ ^
, ,rVJy ' ,
г^пи a 1 и ;f опр'лпгаелг.я fjotyrjmnciwcM (9) и
. С I l:i Л ) j
J
Л'1 >У,
■■ i 1
-ФМ)
\1 {311
SOlH f '£ "> i 4 *£* C.H L'jO 1НОШ&НН0М (30) НИН ( 1 11.
flwu:iUIHllbL IBILK KCJP- И У 1ДОЩЫДуЩвЙ lUUpfrMfr, uUu iHiJHUy,
Лл{/.{ f>n,T, J _ ^ ^ ijV2.V
ГДЯ
-. .!-- | ■ Ч 4 I--
п’ч'2.\' ~ n-Tilft
Имеем
tup
J*mH
- supl^i I 5; ■- v) *Ч.т> i = .ip p|'5. ■■ !■} I F\ >; ■■■■ .г 1
. t ... h
|Я?|
Псч: I yi <3?!, p p&6<?|& |8|. IK^friOlb, ЧГО ДЧМ 4tfs.fij! <lpHK.
ниноанг i“11,. Ca, и справедливо
f-^i
.V
I I'
? I|v!|>
&4\
агли ¿г трлдатлся ссоттыашсиилм (9), u iBrfp . л ... ,i J", C1- (In jV ) j1
wrK JV Л
rLnH гг опрй^сгяется саатмоше-нинм (101 или (111.
Дге оце-нки третьего слишемвги в ¡]32| нужно Ьиле* тс^жи оиемнть
нй| i:jpII hiX i х J J1. jF-i и jf-i 1н:|||1нглн 3, ОДнмкм iHiiH|;h мк t*Hi f:-yji.H.w считать,., ■л'о с- .V. cyiAiWMfsoaaiiMG ведется тплька па мпажсстьу hi дгксстс ;.. Ei;.ibK/iK-. Т. - ry-v'ln - . /тГ 1 11 П .V- -..'l У X . Kiih—QITV (i, 0 ruljpii ь iuhwj li чюбн ^ |23) i.'^iiu
L ip^biJIMBii
к up ■•li ',i
Vjj.ia 'i
i_ ■ i
A'1
i rat агорой
комете i та и
c'v
.¡^плсс
I oil
D CO L-Ч CM
Г ■/? I -I -f.'.f/iiln V v'lii ■■' ■ ;s i-nin ] *r )■
Kuviciuiiiy d-, У MU AM U e+nbpuib KJKMM UHXJLrfSoM, наЁн В | .2 ¿1 j 6®UIU
с.т|ракд.мч&с-
f
И1р
TW|jfs| ? ■?■"" i
■A-
T4T,.rAi 71
!a -r' i*8*!-
4':" > я 2- -rr'V-' 4-flu Vi' i''- '..
ly i I
4r
2,y 11
n ,i_ i
S~'
[36]
fi ЬУСГ”С1
1,7
«СГИ
некатирай г>-_\пте-льний канстантсй t." . НаЙ1^"ся плшя ¡шнстата С'^ >0г что при дасшггочна молам е-ыпармню
sup ¿/ --'п; iHL f,Y ) ■■: t.'j V -^I.lr. \ Г1С, ЧТ1! A
Mlj l',n> ^i ' -.1
и sup УAViiЛ .j. J>iC--V11 11 '(InA‘)^77Г\
.i
fiirth '1? v j -3 QwWHCi, РОКУЧЛР* 4Pi П(>м плод
2;-I
ГЛОТЫПШЙЙИЙ l?7) И [?flji иЛЖИЙ- ЛПК1Г4ИЛ,, ЧТП при C С|.
HiiK, |й !■;> 1мш :;гн I :|ihiJ |-:|ян in f t шф
*<%
V-
(Я7|
OftkOJILHHja И у-нТ-Г|.''г fll-iHhiy Д,Т? .Pljri'-fT j >J LH
El: iijfi Л ¡5 . I J'lUSM 124, I О С' I -1 !3 I j Tetifie^JU fFJtiilCIU.
¿□мгчпмне. :■ ^ссст: 'l| DTVjC'ia^Tir^ - to ~ □ случае
Kcrv. болшит ЬГЙйПС^ КГ00ффиЦИ"1Гйй lijn.'O. liriKC.'.KQ
HiVfXnie-iK'-i-Hi in)|)fji j",. н|>ццо ИЗ- ДМММет^^СТШ 3 л
A, WL'M ir<\. l.t piflJfJl'ipiLlLIj ФУНКЦИИ L4IHLJI L" '.'I MUL» fllbHU
Mscr^Hkj. к; вгричмагть сайытчп {7" и '-Т"1|ч1! ^.тремшта к чутнп, л гнорог 7" fKfipix;, riipcc-.ir ikkttl ггги жг д > |, тс;
J -■ -Ч11 2 hi V ■ HU (ЛУЛЧО THILt ЧГПИ-JJAJfJlb. 1 ВC|)UflТ10LТЬ
Г<".П|.Тк1 ¡ J ,in f,,. < - 'У-' '- tj -1l .i rTpftnllTOi К ИуГи‘1. И н ^"Пч. ГПу4(Ж
У -| ...г ."ilkn—ПИГ|?ЛЬ|П .vr*^T Н^ДОСИ ГНШК^ТЬ S,lx- "TniLhM nfipil.ICIny,
nfirtHilHHhlfi ДП KYT liKFUl4r:fRf;HHytO >■■?. .V^KTipHflllly
P'H| VIIHpih+L-jm, 4. I4MHjJIVKJ l-ii LCJM'LlfJ i:r:^Hi:iiJ Г!гт^-
50
T-Comm #1-2012
Л м те p-а тура
1 . Dorroha D.. Johns-iane L М. Aduplihy Бо Unknown Sniuulf insas-via Wavelet shrinkage // J. Anier. 5loL Ah&l., 1995. ¥d.90. P. 1200-VfM
2. E>onaho D., Johnstone L M_ Ideul Spatial Adaptation via Wavelet Sin ii it. и у t // E.iuirfHiliii.ij, 1994. Vol.fi 1. Wl>.3. F.425-455.
.“j Donoho ГЭ, L,j Jobnr.rcine I, M j Kertyo-choflan Gnj Pioond П Wavclel Shrirkajgc: Asyfflptopin? // J. K. Storllst’. Sac. Scr. й., I9-9 J. Vul.57. No.2. P. 301-369.
И Mcjrron J 5.и Adak S., Johnstone !. М., Neumann M, Н.И P-atil P. txnnr Kirvfc Analysis nF Wnvclri Ho^ro&ninn // J. Comput. СтгорЬ. Sint., 199Д. Vol.7. P.273-30*9.
5. Anlonladia A.. Fan J. Rigulanz-alion of Wcjv^el Аррго*1то1юп4 //J. Дшйг. Ssatisf. Лмпг.г 7tJ0 I. Vril.^A. Мп.ДЛЛ. W.iV-V&S.
6. Маркин A. В.. JJsLTOi.^E О.Б. О OUCPUBTCJIbtiUCI» UL,“ЧК1-1 pfflCKU При с(Ор<иОвОй 0брйб01л£ ыеййЛ81-ЬОвффиЦнеН1!ОЁ- // Бест. Моск.. ун-т л. <!лр. I Л. lii.u^rn jjwst тал и кийлрн., У О 10. ЙДФ I . CLVA-I34.
7. Маркин А.В. Пределышс распределение ощ=икк риска при lOptSl-DHUii u6fXl6uiK«! В^ёЙВ1Кй1«Ьи*ф'фн.и1ИеН|0Н // Информацией Ч «ЙУ шр.икитлння, УПОУ I.li. Ё№4 С. А/-А.Ч
Шестакаа 0.Й-. Аппроксиц'лция раетрсдспе! 1ия оцепкк риска шрсниыий uGp4j£juiKH В-еЙН1:«1-«.ОэффьНЦИеН!ОБ HUpWJUIbHblM распределение!* при tot ПО-ЛЬЭО&аиии &*4б0рС^Н0й Д«СперСИИ // Ишформюгнкп и ее npwwei iei 1ия, 20 I0. i .4. hJP-'-i. {J./ii -ft I.
9. I'jrittri M. Noise ReduLliun by Wuvelel TliiesJ4uldiiig. - Spiinyei Verbal, Lecture nc^-e. in Statistic*. V*I.16L 2001.
Ю. Шшггпкпв. О.Б. Ленмгттс-тичгосея 11пpылпыгюпгь ni^ei-m р«г:кп пиpiji оьоч аЬр^лботЕч пемьге_-ко^ффнилентсе прч пьбере сдоиптивнага ilOpOiii// Информаций ч ее ирнмйнйтчн, 2012. |в печй1ч|
11. Добвшн И. Десят* лекций по бейвг^та«^. - Ижевск: НИЦ
Рпгупярнля н к логическая ЛИНЛМИКЛ, У430 I
1 2. Mallal 5. A Wavelet Hour ol Slgnuii Processing. - Academic Pjcss, 1999.
1 .'J-. Afciromnvich F., fiilvgrmian Гь-W. Wnvrslrt Dftromposrtinn АррюзсКез la irc~iElico Inveiae PrubJerm // Biametiiku, 1998. Val.fili-No. IP. 11 5-1 29.
1Л По^пнлг, A,, iNarkowich F, A flrfft С!сх.1грд in Wnvelelt wHft Courier Aroly^is. I?nanrfk:e HalL 2&ill I.
15. Э^-ЧОрС-Ыи T.B.,. Ш»Сги НОВ. О.В. B^tfHWiei-UKUUIHJ и «о приложение 'УчА^мое посохе. - М.: мАЗСС Пресс,
IЬ. ScrFling К. Approiiinvilicin tfienrrnir. off madnemc!rl]i:nl sioiisrics, lulirn V/iley UIKi Suns. 1930. 17. Hail P.. Welsh A.H. b^nito lbeo№m& for median deviahom // Anwils ni H-ir InsJituh^ nF »nh'irtirnl N^nrbrjrnfcs. I VEi-Ъ. Vnl.JI /. N I. P.27-36.
1 5. Феллер В. БведвМН/й В leOpMKi В ер ОН I НОО ей И ее Мрил£ик.енчи, - W.: »¡Мирм,. I УМ.
1?. Vanrt A.W., Wellrtc-r J.A. Weak convergence and empirical pfOOfr-sMi!^ - Springer Verlciy. Yoik, 1 996.
70 <г.пмг.глрГ|П A H ( Тимлнир.пи Й..У, £' -'дотрогщв и £ -нймклгть множеемн в cjjyriKUHOHCUibi-ax npocrpaHcicux. // УМН.. 19S9. Т. 14. №2(86). С.Э-Б6.
!-■' I . A/^jfirnid^r К. 1’irohnhility "mr.qi.inrilir^s For nmplrirnl ргпгпми nr^d a la^- dF ihc iterated logarrthm // Ann. Prabao. I 9Й4. YoL 3 2. Nto.4. P.1041-1 067.
'?'? fbh^r Klf Wong W. H, С innvnrgrnrri rarln of iircve //
Ann. Statist. 1^94. Vol.2 2. Na.2. P.JjSO й I b.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 1 1-01-00515а и 1 1-01-12-26-офи-м), а также министерства образования и науки РФ (государственный контракт № 14.740.11.0996).
The dependence of the limiting distribution of the risk assessment thresholding wavelet coefficients of the signal on the type of noise variance estimation when selecting an adaptive threshold
Shestakov O.V The asymptotic properties of the risk assessment process at the threshold of the coefficients of the wavelet decomposition of functions satisfying certain smoothness conditions is given. We consider the procedure for selecting the threshold that minimizes the risk assessment. We prove the asymptotic normality of the risk assessment for this choice of threshold. The dependence of the limiting variance of the risk assessment on the method of estimating the variance of noise is given. Keywods: wavelets, threshold processing, adaptive threshold, an unbiased estimate of risk, asymptotic normality, the sample variance, the median absolute devation from median.
References
1. Donoho D., Johnstone I. M. Adapting to Unknown Smoothness va Wavelet Shrinkage // J. Amer. Stat. Assoc., 1995. - Vol.90. - FI 1200-1224.
2. Donoho D., Johnstone I. M. Ideal Spatial Adaptation va Wavelet Shrinkage // Biometrika, 1994. - Vol. 81. - №3. - P 425-455.
3. Donoho D. L, Johnstone I. M., Kerkyacharian G., Picard D. Wavelet Shrinkage: Asymptopia? // J. R. Statist. Soc. Ser. B., 1995. - Vol. 57. - №2. - P 301-369.
4. Marron J. S., Adak S., Johnstone I. M., Neumann M. H, Palil P. Exact Risk Analysis of Wavelet Regression // J. Comput. Graph. Stat., 1998. - Vol. 7. - P 278-309.
5. Antoniadis A, Fan J. Regularization of Wavelet Approximations // J. Amer. Statist. Assoc., 2001. - Vol. 96. - №455. - F. 939-967.
6. Markin A.V. Shestakov O.V. On the consistency of the risk assessment process at the threshold of wavelet coefficients [O sostoyatelnosti otsenki riska pri porogovoj obrabotke vyejvlet-koelfit-s'entov] // Vestn. Moscow. University. Sor. 15. Computing. Mathematics. and Cybernetics., 2010. Number 1. P 26-34.
7. Markin A.V. Limit distribution of the risk assessment process at the threshold of wavelet coefficients [Predelnoe raspredelenie otsenki riska pri porogovoj obrabotke vyejvlet-koeffitsientov] // Computer Science and Applications, 2009. - T.3. Number 4. - P. 57-63.
8. Shestdcov O. Approximation of the risk assessment thresholding wavelet coefficients of the normal distribution using the sample variance [Approksimatsiya raspredeleniya otsenki riska poro-govoj obrabotki vyejvlet-koeffitsientov normalnym raspredeleniem pri ispolzovanii vyborochnoj dispersii] // Computer Science and Applications, 2010. - T. 4. Number 4. - P 73-81.
9. Jansen M. Noise Reduction by Wavelet Thresholding. - Springer Verlag, Lecture notes in Statistics. - Vol. 161. - 2001.
10. Shestakov O.V. The asymptotic normality of the risk assessment thresholding wavelet coefficients of the adaptive threshold selection [Asimptoticheskaya normalnost otsenki riska porogovoj
obrabotki vyejvlet-koeffitsientov pri vybore adaptivnogo poroga] // Computer Science and Applications, 2012. (in press)
11. Dobechie I. Ten lectures on wavelets [Desyat lektsij po vyejvletam]. - Izhevsk: NITs Regular and Chaotic Dynamics, 2001.
12. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. - Academic Press, 1999.
13. Abramovich F., Silverman B.W. Wavelet Decomposition Approaches to Statistical Inverse Problems // Biometrika, 1998. - Vol. 85. -№1. -P 115-129.
14. Boggess A, Nakowich F. A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. - Prentice Hall, 2001.
15. Zaharova, T., Shestakov O. Wavelet analysis and its applications. Textbook [Vyejvlet-anal-iz i yego prilozheniya. Uchebnoe posobie]. - M.: MAX Press, 2009.
16. Serfling R. Approximation theorems of mathematical statistics, John Wiley and Sons. 1980.
17. Hall P., Welsh A. H. Limits theorems for median deviation // Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 1985. - Vol. 37. -№1. -P 27-36.
18. W. Feller. An Introduction to Probability Theory and its Applications [Vvedenie v tyeoriyu veroyatnostyej i yee prilozheniya]. - M.: "The World", 1984.
19. Vaart A.W., Wellner J.A. Weak convergence and empirical processes. - Springer Verlag. New York. 1996.
20. Kolmogorov A.N. and Tikhomirov VM., entropy and capacity of sets in function spaces [entropiya i yemkost mnozhestv v funktsionalnykh prostranstvakh] // Math 1959. T. 14. Number
2 (86). - P. 3-86.
21. Alexmder K. Probability inequalities for empirical processes and a law of the iterated logarithm // Ann. Probab. ,1984. - Vol. 12. -№4. -P 1041-1067.
22. Shen X, Wong W.H. Convergence rate of sieve estimates // Ann. Statist., 1994. - Vol. 22. №2. - P 580-615.
