Зависимость численности популяции от фрактальной размерности ее изображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

гнозные расчеты по мере поступления отчетной информации. Автором представляется возможным дальнейшее развитие данной работы в целях усовершенствования модели (4) для расчетов на основе квартальных и нарастающих в течение года итогов [4].

Таким образом, как видно из представленного обзора математических моделей прогноза макроэкономических показателей, можно выделить модели, описывающие один показатель, динамика которого характеризуется некоторым набором экономических факторов (параметров) и довольно сложные математические модели связи макроэкономических показателей, в которых рассчитываются изменения основных показателей

по различным взятым сценариям развития экономики России.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев В.Н. Анализ временных рядов и прогнозирование.

2. Узяков М.Н. Квартальный прогноз макропоказателей экономики РФ в 2006-2008 гг. // Проблемы прогнозирования. 2006.

3. Узяков М.Н., Ефимов В.М., Серебряков Г.Р., Шибалкин О.Ю., Широв А.А., Шошкин С.П., Янтовский А.А. Макроэкономическая политика и ее последствия // Проблемы прогнозирования. 2001. № 3.

4. Новичков А.В. Методы прогнозирования динамики валового внутреннего продукта // Проблемы прогнозирования. 2007. № 3.

Поступила в редакцию 23 декабря 2007 г.

ЗАВИСИМОСТЬ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ ОТ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ЕЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

© Д.В. Слетков

В статьях [1, 2] описывается математическая модель модели популяции, развитие которой происходит на плоскости, и проведены вычислительные эксперименты по ее исследованию.

Поскольку математическая модель разрабатывалась нами в основном для анализа морфологических характеристик указанных объектов, то речь может идти о качественном соответствии между изображениями, полученными в результате вычислительных экспериментов и формами реальных колоний.

Для различных бактериальных колоний, растущих на плоской среде (в основном на агаре), японские ученые [3] исследовали их фрактальной природу и проводили измерения фрактальной размерности. Они проводили исследования для различных бактериальных штаммов: S. typhimunum (LT2, ATCC, NM-2b), S. anatum (KS 2QQ, KS 7QQ), E. соіі (ATCC 25922, W 311Q), C. freundii (NPC 3QQ3), K pneumoniae (Ful), P. mirabilis (NPC 3QQ7), S. marcescens (NS 25, NS 3S). Фрактальная размерность бактериальных колоний находилась у них в диапазоне от 1,72 до 1,85. Однако в данной работе исследователи не пытались рассмотреть изменения фрактальной размерности во время роста популяции, они ограничились лишь ее измерением для уже сформировавшихся популяций. В проведенных нами вычислительных экспериментах фрактальная размерность сформировавшихся популяций находится в диапазоне от 1,7 до 1,9, что соответствует данным работы [3].

В статье [2] установлено, что на начальном этапе развития фрактальная размерность популяции, также как и ее численность, увеличиваются, поэтому мы поставили себе цель связать численность популяции и фрактальную размерность на данном этапе развития популяции. Следует учесть, что фрактальную размерность и численность популяции нельзя связать линейным или полиноминальным соотношением. Это следует из того факта, что фрактальная размерность ограничена (она может принимать значения от 0 до 2 для слу-

чая роста на плоскости) и факта, что после некоторого периода времени в модели фрактальная размерность не изменяется, т.е. происходит насыщение кривой, что должно учитываться в виде зависимости. Мы использовали зависимость следующего вида:

N = с Хехр[1/(к4+Ъ)], (1)

где N - количество живых клеток в популяции, 4 -фрактальная размерность изображения популяции, с, к, Ъ - коэффициенты пропорциональности. Для определения коэффициентов к и Ъ мы используем линейную регрессию 1Ли(^) от 4. В дальнейшем коэффициенты к и Ъ определяем для всего семейства экспериментов с помощью усреднения коэффициентов линейной регрессии для каждого отдельного вычислительного эксперимента. Коэффициент с выбирается отдельно для каждого вычислительного эксперимента.

Высокое значение коэффициента корреляции между данными вычислительного эксперимента и их аппроксимацией (табл. 1) говорит о возможности использования фрактальной размерности для определения численности популяции на ее начальном этапе развития. На рис. 2-4 изображены модельная кинетическая кривая и ее аппроксимация для одного эксперимента из каждой серии вычислительных экспериментов.

Также экспериментально взаимосвязь между фрактальной размерностью и концентрацией клеток были получены в работах [4, 5]. Экспериментальная зависимость концентрацией клеток от фрактальной размерности хорошо согласуется с нашей моделью.

Таким образом, проведено дополнительное исследование серии вычислительных экспериментов, в ходе которых получена зависимость численности популяции от фрактальной размерности ее изображения на начальном этапе развития популяции.

Рис. 1. а) - изображение популяции, для которой определялась фрактальная размерность; Ь) - график, по которому определялась величина фрактальной размерности. Изображение и график из [3]

Таблица 1

Данные по аппроксимации зависимости численности популяции от фрактальной размерности для различных серий вычислительных экспериментов

Показатели Эксперимент 1 Эксперимент 2 Эксперимент 3

Количество экспериментов 636 100 78

Коэффициент к (Ек*) -0,1259 -0,1279 -0,0754

Коэффициент Ъ (ЕЪ*) 0,3791 0,3793 0,2606

Эк* 1,46610-4 9,618- 10-5 4,151-10-6

ЭЪ* 5,706-10-4 4,185- 10-4 1,875- 10-5

Среднее значение коэффициента корреляции между N и вхр[1/(кё+Ъ)] 0,9677 0,9593 0,9806

Дисперсия коэффициента корреляции между N и вхр[1/(кё+Ъ)] 0,01415 4,628-10-6 1,032- 10-6

Пояснения к таблице. Вычислительный эксперимент 1: начальное расположение клеток (4 случайные ячейки); вычислительный эксперимент 2: начальное положение клеток -

4 ячейки с координатами (25, 25); (25, 75); (75, 25); (75, 75).

Вычислительный эксперимент 3: начальное положение клеток -16 ячеек, с координатами (13, 13); (13, 37); (13, 62); (13, 87);

(37, 13); (37, 37); (37, 62); (37, 87); (62, 13); (62, 37); (62, 62);

(62, 87); (87, 13); (87, 37); (87, 62); (87, 87). Другие параметры и начальные условия одинаковы для всех трех экспериментов: начальное количество питательного вещества - 100; скорость потребления питательного вещества - 1; скорость восполнения питательного вещества - 0; коэффициент диффузии -0,05; среднее значение максимальной продолжительности жизни - 100; среднее значение времени между делениями клетки - 10

0-1--I---I---I---------------------------------------------------

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Р, фрактальная размерность изображения популяции

Рис. 2. Зависимость количества живых клеток в популяции от фрактальной размерности ее изображения при расположении клеток - четыре случайные ячейки и Qo = 100; д£- = 1; д£+ = 0; П = 0,05; т = 100; = 10. Сплошная линия - данные вычисли-

тельного эксперимента, пунктирная линия - аппроксимация кинетической кривой, полученная по формуле (1)

1500 1400 1 300 | 1200 | 1100

0 1000 с

“ 900

ё 800 £

* 700

1 600

*

о 500

с

= 400 г 300 200 100 0

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

Э, фрактальная размерность изображения популяции

Рис. 3. Зависимость количества живых клеток в популяции от фрактальной размерности ее изображения при завесе в четыре определенные ячейки и Qo = 100; ^ = 1; 0.+ = 0; п = 0,05; т = 100; т4= 10. Сплошная линия - данные вычислительного эксперимента, пунктирная линия - аппроксимация кинетической кривой, полученная по формуле (1)

Рис. 4. Зависимость количества живых клеток в популяции от фрактальной размерности ее изображения при расположении клеток - шестнадцать определенных ячеек и Qo = 100; дО-- = 1;

= 0; п = 0,05; т = 100; = 10. Сплошная линия - данные

вычислительного эксперимента, пунктирная линия - аппроксимация кинетической кривой, полученная по формуле (1)

ЛИТЕРАТУРА

Слетков Д.В., Арзамасцев А.А. Дискретная математическая модель формообразования колонии микроорганизмов, растущих на плоскости // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. Т. 10. Вып. 2. С. 193-195.

Слетков Д.В., Арзамасцев А.А. Морфология и кинетика роста колоний микроорганизмов на плоскости. Результаты вычислительного эксперимента // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2005. Т. 10. Вып. 3. С. 277-291.

Matsuyama T., Matsushita M. Self-similar colony morphogenesis by gram-negative rods as the experimental model of fractal growth by a cell population // Appl. and Env. Microbiol. 1993. V. 58. P. 12271232.

Арзамасцев, А.А., Слетков Д.В., Исаева И.Ю. Связь морфологического параметра с основными характеристиками роста популяции микроорганизмов // Электронный журнал «Исследовано в России». 2003. 178. C. 2150-2156. Режим доступа: http://

zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/178.pdf. Загл. с экрана.

Арзамасцев А.А., Слетков Д.В., Ушакова E.B., Исаева И.В. О существовании зависимости фрактальной размерности изображений биологических объектов от их морфологических характеристик / А.А. Арзамасцев, // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 1. C. 189-190.

Поступила в редакцию 2G декабря 2GG7 г.

1.

2.

3.

4.

5.

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СИМУЛЯТОР НА ОСНОВЕ КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА

© О.А. Соломина, А.А. Арзамасцев

Анализ и прогноз поведения различных систем в настоящее время становится весьма актуальной задачей. Решение этой задачи невозможно без построения моделей для описания процессов, происходящих в системах. Классические методы моделирования, основанные, например, на использовании дифференциальных уравнений, описывают целевую систему как неделимый объект и не принимают во внимание тот факт, что целевые системы обычно состоят из отельных единиц, групп, классов и т.д. При исследовании сложных процессов и явлений больший интерес вызывают методы моделирования, состоящие из нескольких уровней -совокупного уровня и, по крайней мере, одного более низкого уровня. Метод клеточных автоматов не только рассматривает объекты как отдельные единицы анализа, но и позволяет моделировать взаимодействия между единицами.

Поэтому целью данной работы является разработка программы-симулятора, основанной на методе клеточных автоматов и позволяющей моделировать различные явления.

Имитационные модели, основанные на клеточных автоматах, в последнее время становятся все более востребованными в плане моделирования систем, состоящих из большого числа элементов, и являются эффективным инструментом для моделирования динамики сложных систем и прогнозирования развития ситуации.

Для более подробного знакомства с этими моделями необходимо вначале ввести связанную с ними терминологию и оговорить особенности их построения.

Физическое пространство в них представлено равномерной сеткой. Ячейка пространственной сетки но-

сит название клетки, а сама сетка называется полем клеточного автомата.

Соседями данной клетки называются клетки, расположенные рядом с ней, причем здесь есть терминологический произвол - понятие "рядом" определяется для каждого конкретного клеточного автомата по-своему. Набор соседей и их расположение относительно данной клетки образуют окрестность.

Каждая клетка содержит некоторое количество битов информации. Совокупность значений этих битов называется состоянием клетки.

Время в этих системах дискретно, шаг по времени не меняется.

На каждом шаге состояние клетки изменяется и определяется исключительно состоянием ее соседей и ее самой (на предыдущем временном шаге). Законы этого изменения называются правилами клеточного автомата. В некоторых случаях при построении моделей этого класса оказывается целесообразным ввести в правила зависимость состояния клетки от клеток, не являющихся ее соседями, или от состояния соседей на предыдущих временных шагах.

На практике необходимо задавать границы поля клеточного автомата и, соответственно, особые правила для пограничных клеток. Этот вопрос решается в каждом конкретном случае [1-2].

Универсальный симулятор оперирует заданным набором параметров и системой «правил», характерных для реальных объектов, и позволяет моделировать различные ситуации и явления.

Основные положения, на которых базируется универсальный симулятор:

1G9