CC BY
23
Лггература
1. Бочевер Ф.М. Защита подземных вод от загрязнения / Ф.М. Бочевер, Н.М. Лапшин, А.Е. Орадовская. - М. : Изд-во "Недра", 1979. - 254 с.
2. ГОСТ 2874-82 "Вода питьевая. Гигиенические требования и контроль за качеством". [Электронный ресурс]. - Доступный с http://www.znaytovar.ru/gost/2/GOST_287482_Voda_piteva-ya_Gigi.html
3. Гладкий А.В. Математичш модел1 процеав забруднення навколишнього середовища / А.В. Гладкий, В В. Скопецький. - К. : Вид-во НУ "Львгвська щштехнжа", 2004. - 96 с.
4. Державш саштарш правила i норми. Вода питна. Ппешчш вимоги до якост води цен-трал1зованого господарсько-питного водопостачання. Мшстерство охорони здоров'я Украши, 1996.
5. Положення про державний монiторинг навколишнього природного середовища. Затвер-джено Постановою КМ Украши вiд 20.07.96 р., № 815.
6. Семчук Я.М. Вплив Пiвнiчно-Долинського нафтоконденсатного родовища на довкшля / Я.М. Семчук, Б.Ю. Депутат // Розвiдка i розробка нафтових i газових родовищ : Державний мiж-вiдомч. наук.-техн. зб. - 1вано-Франювськ. - 2005. - Вип. 4, т. 17. - С. 40-44.
Депутат Б.Ю. Методика определения концентрации солей в водоносном горизонте методом математического моделирования
Предложен метод определения концентрации солей в водоносном горизонте методом математического моделирования, с помощью которого можно обеспечить начальные условия для решения уравнений миграции методом конечных разностей и найти концентрацию подземных вод в любой момент времени в узлах сетки исследуемой области. Приведены рекомендации по выбору параметров, характеризующих техногенную нагрузку на подземные воды и степень их пригодности для хозяйственно-питьевого водоснабжения.
Ключевые слова: математическое моделирование, минерализация, солевой поток, миграция, симплекс, макрокомпоненты, концентрация, ареол.
Deputat B. Yu. Methods for Determining the Concentration of Salts in the Aquifer by Mathematical Modelling
The method for determining the concentration of salts in the aquifer through mathematical modelling that allows providing the initial conditions for solving equations migration method of finite differences and find a concentration of groundwater at any point of time in the grid study area is proposed. Recommendations on the choice of parameters that characterize the human impacts on groundwater and the extent of their suitability for drinking water supply are offered.
Keywords: mathematical modelling, salinity, salt flow, migration, simplex, macro, concentration, areola.
УДК378.1 Доц. О.Ю. Чмир, канд. фЬ.-мат. наук; доц. О.О. Карабин,
канд. фЬ.-мат. наук - Львгвський ДУ безпеки життедгяльноат
ЗАСТОСУВАННЯ ПАКЕТА MAPLE У ПРОЦЕС1 РОЗВ'ЯЗАННЯ ОКРЕМИХ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРУ
Показано застосування прикладного пакета Maple до розв'язування двох приклад-них задач з курсу вищо! математики. Побудовано процедуру для наближення розв'язку задачi тригонометричними полшомами. Показано, що застосування пакета Maple в нав-чальному процес шд час вивчення вищо! математики розширюе можливосй викладача, дае змогу легко шюструвати розв'язки задач графшами, змшювати !х вигляд за рiзних початкових умов. Усе це змшюе шдходи до викладання та вимагае вщ студента вшьно-го володшня математичним апаратом, знання основ програмування та глибокого розу-мшня поставлених перед ним задач.
Ключовi слова: команда, процедура, пакет програм, прикладна задача.
Вивчення вищо! математики у вищих технiчних навчальних закладах мае бути скероване в прикладному русл! Саме прикладна спрямовашсть викладання дае змогу студентам розумгги необхiднiсть глибокого вивчення цiеí дисциплши i розумiння того, що знання з бiльшостi спецiальних дисциплiн е неможливим без знань з вищо! математики. Для демонсIрацií застосування навчального мате-рiалу з вищо! математики з метою виршення прикладних задач допомагае вик-ладачевi пакет Maple. Грамотне використання цього пакета в навчальному про-цесi забезпечуе шдвищення рiвня фундаментальностi математично! освiти. За допомогою цього пакета викладач мае змогу не тшьки показати можливкть швидкого розв'язання задачi, а й графiчно проiлюструвати розв'язок. Пiд грамот-ним використанням варто розумiти можливкть застосування прикладного пакета тшьки шсля того, як студент на належному ршт оволодш вмiннями та навич-ками розв'язування задач ввдповщного роздiлу вищо! математики.
Багато роби стосуються питань впровадження використання в навчальному процес прикладних математичних пакетiв. Дослiдження у цьому напрямi здiйснюють С.А. Семерiков, В.1. Клочко, Ю.В. Триус, О.В. Грицунов, Е.В. Баранова. Проте практика показуе, що програмного i методичного забезпечення комп'ютерних тренажерш розв'язання типових задач вищо! математики е недос-татньо. У роботi показано застосування пакета Maple для шюстрацп розв'язку двох задач з курсу вищо! математики та можливостi створення процедури для наближення розв'язку задачi тригонометричними многочленами.
Задача 1. Знайти миттеве значення синусовдального струму в конту-pi, що складаеться з емност та iндуктивностi.
Методика розрахунку електричних кiл несинусо1'дального струму поля-гае в тому, що задана несинусо!дальна перюдична напруга або струм джерела аналиично подають у виглядi гармошчного ряду Фур'е, пiсля чого виконують розрахунок кола по кожнiй гармошщ або ддачих значениях струмiв (або нап-руг) на окремих дшянках.
Вiдомо, що в коитурi, який складаеться з емносп та шдуктивносп, емнiсть сприяе збiльшенню вищих гармошк у кривiй струму, iстотно спотворю-ючи ц, поршняно iз кривою напруги живлення. Iидуктивнiсть, навпаки, приду-шуе вищi гармонiки в складi струму, згладжуючи криву струму i наближаючи ii форму до вигляду першо! гармонiки подавання напруги джерела.
Фактична постановка задачi приводить до розкладання в ряд Фур'е фун-
В iнтервалi [0;T] функцiя i(t) неперервна, на пiдставi чого у вСх внут-рiшнiх точках цього штервалу сума ряду дорiвнюe {i(0) + i(T)} /2 = I0 / 2, що й мае мкце (осюльки sin0 = 0 i sin kwT = sin2pk = 0). Поза штервалом [0;T ] ряд дае
задовольняе умови Дiрiхле. Графiк
функцп i(t) i ii перiодичне продовження зображено на рис. 1. Ряд Фур'е для функцп i(t) мае вигляд
перюдичне продовження функцп /(/) на всю вюь г. У всiх точках г ф тТ (т = 0, ±1, ±2,...) перiодичне продовження неперервне. У вах точках г = тТ (точки розриву 1-го роду) сума ряду дорiвнюe mвсумi лiвоí i право'' границь перь одичного продовження у цих точках, тобто /0 / 2.
Рис. 1. Графш функци i(t) = In -t J
Використовуючи команди пакета Maple, побудовано наближення функцп i(t) тригонометричними многочленами:
i2(t) =— +— sin cot +—sin 2ct, 2 p 2p
i5(t) =10 +10sin cot + — sin 2ct + — sin3c + — sin 4ct +—sin5ct, 2 p 2p 3p 4p 5p
. , . In In . In . _ In . _ In I o .
а також i9(t)= — +—sinct +—sin2ct +—sin3c +—sin4ct + — sin5c + 2 p 2p 3p 4p 5p
+ — sin 6ct + — sin 7ct + — sin 8ct + — sin 9c, 6p 7p 8p 9p
що e вiдповiдно частковими сумами ряду.
Наближення i2(t), i5(t) та i9(t) функцп i(t) здшснюемо такими командами: > restart: > i2:= 1/2+1/Pi-sin(t)+1/(2-Pi)-sin(2-t);
i2 := 1 + sin(t) + 1 sin(2t) 1 := 2 p 2 p
>i5:=1/2+1/Pi-sin(t)+1/(2-Pi)-sin(2-t)+1/(3-Pi)-sin(3-t)+1/(4-Pi)-sin(4-t)+1/(5-Pi)-sin(5-t); i5 = 1 + sin(t) + 1 sin(2t) + 1 sin(3t) + 1 sin(4t) + 1 sin(5t) 2 p 2 p 3 p 4 p 5 p >i9:=1/2+1/Pi-sin(t)+1/(2-Pi)-sin(2-t)+1/(3-Pi)-sin(3-t)+1/(4-Pi)-sin(4-t)+1/(5-Pi)-sin(5-t)+1 /(6-Pi)-sin(6-t)+1/(7-Pi)-sin(7-t)+1/(8-Pi)-sin(8-t)+1/(9-Pi)-sin(9-t);
= 1 + sin(t) + 1 sin(2t) + 1 sin(3t) + 1 sin(4t) + 1 sin(5t) + 2 p 2 p 3 p 4 p 5 p 1 sin(6t) + 1 sin(7t) + 1 sin(8t) + 1 sin(9t) 6 p 7 p 8 p 9 p Для виведення результатiв на екран, тсля кожного символу ";" натис-каемо клавшу Enter.
Для наочного зображення цих наближень виведено !х графiки, i(t) = 10 / 2 та графк функци i(t), взявши 10 = 1 та T = 6,3, на рис. 2, скориставшись командою > plot ([i2, i5, i9, 0.5, 1-1/6.3-t], t=0.2-Pi, color = [red, blue, green, black, black], linestyle = 20, xtickmarks = 10, ytickmarks = 10, thickness = 2);
Рис. 2. Графжи наближень i(t) тригонометричними полтомами
Розглянуп вище команди пакета Maple можна описати за допомогою процедури:
> restart:
> fourierseries:= proc(f, t, t1, t2, n) local k, l, a, b, s:
> l:= (t2 - t1)/2:
> a[0]:= int(f, t = t1.t2)/l:
> a[k]:= int(f-cos(k-Pi-t/l), t = t1.t2)/l:
> b[k]:= int(f-sin(k-Pi-t/l), t = t1.t2)/l:
> s:= a[0]/2 + sum(a[k]-cos(k-Pi-t/l) + b[k]-sin(k-Pi-t/l), k = 1.n):
> end:
> f:= 1 - t/(2-Pi): t1:= 0: t2:= 2-Pi:
> i2:= fourierseries(f, t, t1, t2, 2):
> i5:= fourierseries(f, t, t1, t2, 5):
> i9:= fourierseries(f, t, t1, t2, 9):
> plot([i2, i5, i9, f], t = t1.t2, color = [red, blue, green, black], linestyle = 20, xtickmarks = 10, ytickmarks = 10, thickness=2);
За допомогою ще! процедури можна побудувати будь-яке наближення функцп i(t) в ряд, вибравши необхiднi параметри в командi fourierseries.
Задача 2. Вузька трубка обертаеться iз сталою кутовою швидюстю со навколо перпендикулярно! до не! вертикально! оа. У початковий момент на вщсташ a0 вщ осi всерединi трубки лежить кулька масою m. Вважаючи, що тертя немае i в початковий момент швидюсть кульки вiдносно трубки дорiвню-вала нулю, знайти закон руху кульки вiдносно трубки.
Спрямовано вюь координат Ox уздовж осi трубки, взявши точку О за початок координат (рис. 3).
х(0 X
Рис. 3. Рух кульки в трубщ Позначено через x = x(t) координату кульки (точка M) в момент часу t. Осктьки кулька рухаеться по трубцi без тертя, то на не! дiе лише вщцентрова сила fc = mOx. За другим законом Ньютона для вщносного руху маемо mx" = mCx або x" - Ox = 0. Початковими умовами е умови x(t0) = a0, x'(t0) = 0. Положення точки М визначаеться функщею
x(t) = ewt-t0)+e-о-t0) 2 2
що е розв'язком поставленого диференцiального рiвняння з визначеними початковими умовами.
За допомогою команд пакета Maple можна побудувати графш функцп x(t) при рiзних значеннях кутово! швидкостi со (рис. 4).
Рис. 4. Залежшсть координати кульки в трубщ eid часу
Для a0 = 1 та t0 = 0, о = 0,5, со = 1, оз = 2, о4 = 4 будуемо графжи.
> restart:
> with(plots):
> a0 := 1; t0 := 0; о := 0.5 ; о := 1; О = 2; 04 := 4
> R[1]:= plot ^exp(o(t-10)) + ■a°exp(-oi(t -10)), t = 0..7, color = bluej:
> R[2]:= plot J^a°exp(o2(t -10)) + yexp(-o(t -10)), t = 0..4, color = redj:
> R[3]:= plot ^-a°exp(o3(t-10)) + у exp(-w(t-t0)), t = 0..2, color = greenj:
> R[4]:= plot i a°exp(04(t -10)) + -a°exp(-04(t -10)), t = 0..1, color = black J:
> display({R[1], R[2], R[3], R[4]});
Отже, у сучасних умовах застосування прикладних математичних паке-TiB е необхiдним. Однак це вимагае вiд студента вшьного володiння математич-ним апаратом, знання основ програмування та розумiння поставлених перед ним задач. Вiд викладача в таких умовах вимагаеться переглянути пiдходи до викладання математично орiентованих дисциплiн.
Лiтература
1. Грицунов О.В. 1нформацшш системи та технологи : навч. поабн. / О.В. Грицунов; Харк. нац. акад. м1ськ. госп-ва. - Харкв : Вид-во ХНАМГ, 2010. - 222 с.
2. Семержов С.О. Фундамеш^защя навчання шформатичних дисциплин у вищш школ1 : монографш / наук. ред. акад. АПН Украши д. пед. н., проф. М.1. Жалдак. - Кривий Pir : Вид-во "Мшерал"; К. : Вид-во НПУ i^ М.П. Драгоманова, 2009. - 340 с.
3. Баранова Е.В. Теория и практика объектно-ориентированного проектирования содержания обучения средствами информационных технологий : автореф. дисс. на соискание учен. степени д-ра пед. наук: спец. 13.00.02 - "Теория и методика обучения информатике" / Е.В. Баранова. - СПб., 2000. - 36 с.
4. Прохоров Г.В. Пакет символьных вычислений Maple V. / Г.В. Прохоров, М.А. Леденев, В.В. Колбеев. - М. : Изд-во "Компания Петит", 1998. - 198 с.
Чмыр О.Ю., Карабын О.А. Применения пакета Maple в процессе решения отдельных задач прикладного характера
Показано применение прикладного пакета Maple к решению двух прикладных задач из курса высшей математики. Построена процедура для приближения решения задачи тригонометрическими полиномами. Показано, что применение пакета Maple в учебном процессе при изучении высшей математики расширяет возможности преподавателя, позволяет легко иллюстрировать решения задач графиками, изменять их вид при различных начальных условиях. Все это меняет подходы к преподаванию и требует от студента свободного владения математическим аппаратом, знания основ программирования и глубокого понимания поставленных перед ним задач.
Ключевые слова: команда, процедура, пакет программ, прикладная задача.
Chmyr O. Yu., Karabyn O.O. The Maple Package Application in Solving Some Applied Problems
The Maple application software packages for solving two applied problems of higher mathematics course are shown. A procedure for approaching the problem by trigonometric polynomials upshot is designed. The Maple application package in the classroom in the study of higher mathematics is shown to empower the teacher, and also make it easier to illustrate solutions of schedules, change their appearance under different initial conditions. This changes the approach to teaching the students proficiency in mathematical apparatus, knowledge of programming and in-depth understanding of the tasks assigned to them.
Keywords: command, procedure, package, application tasks, problem solving.
