Замкнутость технологического множества в динамических производственных моделях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки

Том 23, № 124

2018

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-666-673 УДК 519.86

ЗАМКНУТОСТЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО МНОЖЕСТВА В ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОДЕЛЯХ

> Н. Г. Павлова

Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. М.-Маклая, 6 ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт» 141701, Российская Федерация, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 ФГБУН «Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова» Российской академии наук 117997, Российская Федерация, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65 Е-таЛ: natasharussia@mail.ru

Аннотация. Изучается вопрос о свойствах технологического множества в динамических производственных моделях. Исследуемые модели рассматриваются как линейные динамические управляемые системы, в которых управлением служит функция непроизводственного потребления, принимающая значения в выпуклом замкнутом конечнопорождеином конусе.

Ключевые слова: линейные управляемые системы; модель Леонтьева; множество достижимости; технологическое множество

В работе изучаются открытые динамические модели межотраслевого баланса леон-тьевского типа. В таких моделях экономических систем проду кция, выпускаемая с применением экономических факторов, сама используется как фактор производства других видов продукции. Кроме того, часть валового выпуска идет на непроизводственное потребление. В исследуемых моделях важным является вопрос замкнутости технологического множества, описывающего производственный процесс. В данной работе получены необходимые условия замкнутости технологического множества в исследуемых моделях. Они применяются, в частности, при исследовании моделей типа «спрос-предложение» (см., например, [1,2]), в которых функция предложения является решением задачи максимизации функции прибыли на технологическом множестве.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 17-11-01168).

Рассмотрим открытую динамическую модель В.В. Леонтьева, а именно

х = Ах + Вй + и, г /[0,7], (1)

с начальным условием

х(0) = 0. (2)

Здесь х = (жх, х2,..., / К" и и = ■ ■ ■ , ^и)00 / ~~ вектор валовых

выпусков отраслей и вектор непроизводственного потребления соответственно. Знак 11 *я здесь и далее означает транспонирование. В исследуемой модели предполагается выполнение условия Хаукинса-Саймона (см. [3]), а именно, матрица прямых затрат А = (а^), i1j = 1,га является продуктивной: ау е 0, г= Зг> /К" {ии /К" : IV = Ат-\-у. Кроме того, матрица прироста основных производственных фондов В = Ы, Ь > 0, I — единичная матрица порядка п.

Допустимым управлением будем называть всякую существенно ограниченную функцию / [0, Т], для которой и{1) / К" для п.в. 1.

Технологическим множеством в момент времени Т является множество

рг = {( АяуУу/Щ---

ЫЪ/Ь [0; Т], / М" 3£ / [0; Г], (3)

у = х(Г), где —решение (1), (2), соответствующее и(>}| .

Очевидно, технологическое множество Рт в исследуемой модели является выпуклым конусом с вершиной в нуле. Для получения необходимых условий замкнутости технологического множества применяются результаты работы [4], посвященной исследованию топологических свойств множества достижимости линейных систем.

Рассмотрим объект, поведение которого описывается линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

х = Сх + Пи, Ь / [0,Т], (4)

с начальным условием

ж(0) = 0. (5)

Здесь х = ... ,хп)°°/И™- п-мерный вектор фазового состояния системы,

и = («1,«2,..., Ип)00/®"- тг-мерный вектор управления, С, П— матрицы п Оп-

Допустимым управлением будем называть всякую существенно ограниченную функцию / [О,Т], для которой и(£) / К для п.в. К- выпуклый конечнопорож-денный коиус, то есть

К =

/ К" : V = е 0,щ / К",г =

Здесь щ- заданные векторы из К", причем щ О Зг = 1, к.

Множеством достижимости От в момент времени Т назовем множество всех точек из фазового пространства К", в которые можно перейти на отрезке времени [0; Т] из

точки ж(0) = 0 по решениям системы уравнений (4) при всех возможных допустимых управлениях

От = }у/Жп-.{и(^/Ь [О;7>00 / К ^ / [0;Т],

у = х(Т), где х( Я - решение (4), (5), соответствующее и( Я . Определим матрицы:

Д = С* г = Т^й.

Следующая теорема дает условия, гарантирующие открытость множества От }0| ■

Теорема 1. (см. [4]) Пусть для любого г / }1, 2,. . ., к\

гапд}Огщ, ..., Опщ\ = п.

Тогда множество От }0| является открытым.

Заметим, что задача (1), (2) эквивалентна (4), (5), где С = В '(/ А), О = В I- единичная матрица порядка п. Кроме того, для рассматриваемой задачи

«1 = (1Д...,0), «2 = (0,1,..., 0), ... = (0,0,..., 1). (б)

Применяя теорему 1 к исследуемой модели, учитывая (6), получаем необходимые условия замкнутости технологического множества в динамической модели Леонтьева с непрерывным временем.

Теорема 2. Пусть в модели (1), (2) технологическое множество Вт замкнуто. Тогда выполнены следующие условия г) если п = 2, то а12а21 = 0;

И) если п = 3, то существует такое г = 1,3, что

3 3

®2г О'Зк^'кг = Й'Зг ^ ^ (Ьк^кг-, к=1 к=1

О-гг = Оц 1, г = 1,3, Яу = Ду, Ъ V1 2 = 1) З5 иг) если п е 4, то

{¿ = 1^, {а,- = £а*¥=0,

3=1

__п

Зб = 2,п агЬ 2а,м + а2Ь 3 Е

к=1

п у

+ 1Ь г Е П

Г=4 к;=1 771 = 1 „Т 3

1=1,Г 1

где ац = ац 1, г = 1,и, а^ = а^, г V: 1, .7" = 1,и.

Доказательство. В силу (3) из замкнутости технологического множества Рт следует замкнутость множества достижимости Вт- Тогда в силу теоремы 1 имеем

Имеем

{ г = 1, п : гапд}И1Щ, В2щ . .., Опщ\ < п. А = Ь Ч-

(7)

(8)

В2 = В \А 1)В 1 = (4^), = 1,71, _

(¿2Й = Ь 2(ац 1), г = = Ь 2оц, = 1,71;

£>з = А))2 ( В 1) = В \А 1)В2 = ЬЗ = V",

¡Ь=1

ОГ = (В \1 А)У В^)= _ = В г(А /)£>г 1 = ((¿гц), 1,3 = 1,1Ц г = 4,п,

¿тц = ( !)ГЬ ' X] П_ЬЗ =

771=1,Г 3

1=1,г 2

Тогда в силу (6) и (8) имеем

01Щ= Ь 1 (1,0,.... 0)°°, г = Т7п)

в силу (6) и (9) в силу (6) и (10)

В2щ = Ь (йи, аи, -.., а™) ,г = 1,71;

П3 щ = Ь

( " _ - \

к=1 л

¿=1

¿=1

, ¿=1,71;

7

в силу (6) и (11)

БгЩ = ( 1)ГЬ

/ ' _ _ _ \

У_«1*1 акг-2г

1 т=1,?- 3 1=1,г 2 г

X] П_^2*1

&1=1 т=1,?- 3 г=1,г 2

£ П А,,,. ; ^.'.'>'1 ^А'-

-2»

&1=1 т=1,г 3 \ г=1,у 2

(9)

(10)

(Н)

(12) (13)

(14)

, г = 1,71, г = 4, п. (15)

Из (12) следует, что условие (7) эквивалентно следующему

{ г = 1,и : rang} D2Ui .... Dnui | < п 1. В свою очередь условие (16) выполняется тогда и только тогда, когда

п 1

п 1

{ г = 1,и, {ctj / М, j = l,7t 1: a2 0, У^ ajDj+iUi = 0.

3=1 3=1

В силу (13)—(15) имеем

n 1

^ ^ ajDj+iUi = ait 3=1

( «ii \

a2i

\ ani /

а26

/ " _ - \ п

Е fcOfci ¿=1

VE

*=i /

+

/ А п - - _ \

Z-, II m-l-l^lfcl^-fcr-ii I

fej = l m=l,?' 3

2

r

E П

fej = l m=l,?' 3 1=1,r 2

E П ak +iankiakr-2i

fej = l m=l,r 3

\ г=1,у 2

Отсюда и из (17) следует утверждение (ш) теоремы.

В случае двухсекторной модели экономики (п=2) имеем:

«1 = (1)0)в?«2 = (0,1И

( о1).

Diu2 =

0

= ^ " ^ ) , D2U2 =

Ь2(аи 1) Ь 2а21

Ь 1 I '

Ь 2аи Ъ 2 (а22 1) ) '

Таким образом,

rang}Dluj,D2Uj\ = | J'

^ Z, Ctjj

= 0, ,

^0;

i,j = 1,2; г^ j.

Отсюда и из теоремы 1 следует утверждение (1) теоремы. Для случая трехсекторной модели экономики (п=3) имеем

(16)

(17)

= (1,0,0), и2 = (0,1,0)°? «з = (0,0,1)°?

Diui =

О О

, Diu2 =

О

ъ 1 о

D2ux =

Ь 2 (йц 1) Ь 2а21 Ь 2а31

D2U3 =

, Diu3 =

Ь 2а12

О О

Ъ 1

, D2u2 = Ь 2 {а22 1)

Ь 2а32

Ь 2а13 Ь 2а23 Ъ2(а33 1)

D3Ui =

з \

Ь 3 £ Qifcafcl fc=i з

Ь 3 £ a2fcafcl ¡t=i з

з

, D3u2 =

(18)

(19)

(20)

/ 3 _ _ \ b 3 £ alkak2

k= 1 3

Ь 3 £ a2kak2 k= 1 3

Ь 3 £ a3kdkl b 3 a3kak2

fc=i / \ k= 1 /

/ 3 ~ ~ \ b 3 X]

fc=i

3

L>3«3 = b 3 X) a2fcafc3

fc=i 3

b 3 £ a3fcafc3 \ fc=i /

tljj = Qjj 1, 1 = 1,3, djj = i J, i, J = 1,3. Из (18) следует, что для любого г = 1,3

rang }DiUi7 D2uil Б3щ\ = rang }D2ui: D3ut\ +1.

В то же время, вследствие (19) и (20), Зг = 1,3 rang }02щ, О^щ| = 2 тогда и только тогда, когда

з з

"2i ^ 0,31 a2kaki, г = 1,3.

fc=l к=1

Отсюда из теоремы 1 следует утверждение (ii) теоремы. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Arutyunov А. V., Pavlova N. G., Shananin A. A. New conditions for the existence of equilibrium prices // Yugoslav J. Operations Research. 2018. Vol. 28. № 1. P. 59-77.

2. Арутюнов А.В., Жуковский C.E., Павлова Н.Г. Равновесные цены как точка совпадения двух отображений / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 2. С. 225-237.

3. Hawkins D., Simon Н.А. Some Conditions of Macroeconomic Stability // Econometrica. 1949. Vol. 17 (3/4). P. 245-248.

4. Арутюнов А.В., Павлова Н.Г. О топологических свойствах множества достижимости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 2. С. 1564-1566.

Поступила в редакцию 11 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 17 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г.

Павлова Наталья Геннадьевна, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент Математического института им. С.М. Никольского; Московский физико-технический институт, доцент кафедры высшей математики; Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, старший научный сотрудник, лаборатория 06, e-mail: natasharussia@mail.ru

Для цитирования: Павлова Н.Г. Замкнутость технологического множества в динамических производственных моделях // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 666-673. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-666-673

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-666-673

dOSEDNESS OF THE TECHNOLOGY SET IN DYNAMICAL PRODUCTION MODELS

N. G. Pavlova

RUDN University 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russian Federation Moscow Institute of Physics and Technology 9 Institutskiy per., Dolgoprudny, Moscow Region 141701, Russian Federation V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation E-mail: natasharussia@mail.ru

Abstract. The paper is a study of some properties of the technology set in dynamical production models. The models under consideration are treated as a linear dynamical control systems, where the input is the non-productive consumption function, which takes values from a convex closed finitely generated cone.

Keywords: linear control systems; Leontief model; attainability set; technology set

REFERENCES

1. Arutyunov A.V., Pavlova N.G., Shananin A.A. New conditions for the existence of equilibrium prices. Yugoslav J. Operations Research, 2018, vol. 28, no. 1, pp. 59-77.

2. Arutyunov A.V., Zhukovskiy S.E., Pavlova N.G. Equilibrium price as a coincidence point of two mappings. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2013, vol. 53, no. 2, pp. 158-169.

3. Hawkins D., Simon H.A. Some Conditions of Macroeconomic Stability. Econometrica, 1949, vol. 17 (3/4), pp. 245-248.

4. Arutyunov A.V., Pavlova N.G. O topologicheskikh svoystvakh mnozhestva dostizhimosti lineynykh sistem [On topological properties of the attainability set of linear systems]. Differen-tsial'nye uravneniya - Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 2, pp. 1564-1566. (In Russian).

Received 11 April 2018

Reviewed 17 May 2018

Accepted for press 26 June 2018

Pavlova Natal'ya Gennad'evna, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Mathematics Institute named after S.M. Nikols-ky; Moscow Institute of Physics and Technology, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics; V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Senior Researcher, Laboratory 06, e-mail: natasharussia@mail.ru

For citation: Pavlova N.G. Zamknutost' tekhnologicheskogo mnozhestva v dinamicheskih proizvodstvennyh modelyah [Closedness of the technology set in dynamical production models.]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 666—673. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-666-673 (In Russian, Abstr. in Engl.).

The work was supported by the Russian Science Foundation (Project No. 17-11-01168).