Замечание о норме случайных ганкелевых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.248: 519.218.8

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 4

ЗАМЕЧАНИЕ О НОРМЕ СЛУЧАЙНЫХ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ*

B. В. Некруткин

C.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

1. Введение и постановка задачи. Как показано в [1], при обосновании группы методов анализа временных рядов, обычно называемых «методами подпространства сигнала», важную роль играет достаточно точное оценивание сверху и снизу норм больших прямоугольных ганкелевых матриц (здесь и далее под нормой A произвольной матрицы A понимается спектральная норма, то есть максимальное сингулярное число этой матрицы). При этом отдельный интерес представляет случай, когда ганкелева матрица порождается некоторой стационарной случайной последовательностью.

Недавно установлено [2], что норма квадратной ганкелевой матрицы размера n х п, порожденной независимыми одинаково распределенными случайными величинами с нулевым средним и конечной дисперсией, растет почти наверное как ynhin.

В настоящей работе доказывается, что подобная нормировка сохранится, если перейти от квадратных ганкелевых матриц к (вообще говоря) прямоугольным, порожденным линейными стационарными последовательностями (удовлетворяющими некоторым необременительным ограничениям), и заменить n на число различных элементов ганкелевой матрицы. При этом, однако, точный предельный результат превращается в оценку сверху.

2. Результаты и обсуждение. Пусть (П, F, P) —некоторое вероятностное пространство и е„ (n = 0, ±1, ±2,...) —последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин. Предположим, что Ee„ = 0, De„ = 1, и определим при n = 0,1, 2,... случайные величины en равенством

en \ cj £j+n, (1)

j = -TO

предполагая, что j cj = 1. Последовательности вида (1) являются стационарными в узком смысле, их обычно называют линейными.

Далее, при N ^ ж рассмотрим последовательности целых положительных чисел L = L(N) и K = K(N), удовлетворяющих равенствам K + L = N +1. Наконец, определим последовательность ганкелевых L х K-матриц Elk равенствами

elk = {ej+fc-4i<j<L, i<k<K .

Теорема 1. Если S =f j lcj| < ж и supn E|en|2+a < ж при некотором а > 0, то тогда существует такое множество

£ F полной меры, что для любого

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00769-а). © В. В. Некруткин,2013

lim sup I LK( < ryg (2)

n VN\nN

где y — положительная абсолютная постоянная.

Доказательство. Поскольку доказательство существенно опирается на современные результаты, приведенные в статьях [2] и [3], мы для удобства читателя приводим не просто формальные ссылки на используемые там теоремы, но и общую логику рассуждений, также (частично) заимствованную из этих работ. С самого начала отметим, что

|Elak| < |ElkI < |ElVk|, (3)

где обозначение Em используется для краткости вместо Emm, L Л K =f min(L, K) и L V K =f max(L, K). Неравенства (3) сразу же следуют из того факта, что матрицу Elak можно рассматривать как подматрицу Elk, а Elk —как подматрицу Elvk .

Обозначим через E последовательность {е„}„>о и рассмотрим бесконечную матрицу Лорана:

L„(E) = {e|i-fc|!|j-fc|<„-i} j,fceZ.

Отметим, что Ln(E) зависит от ej только при 0 < j < n — 1.

Из фундаментального факта о соотношении теплицевых матриц и мультипликативных операторов в L2[0,1] следует (см. [4], а также [3]), что

|LjE)| = max e0 + > e, cos(2ntj) 1 v 0<i<1 J j=i

n-1

Далее, для любого n

|E„| < |L2n-i(E)|. (4)

Действительно, рассмотрим LxK-матрицу Rlk = {ej'-fc+K-^i<j<L i<k<K' Эта матрица получается из матрицы Elk перестановкой ее столбцов, поэтому сингулярные числа и соответствующие левые сингулярные вектора у них совпадают. В частности,

R

LK

E

LK

Если Ь = К = п, то Кии оказывается подматрицей Ь2И-1 (как нетрудно видеть, Кии расположена на пересечении столбцов и строк матрицы Ь2И-1 с номерами, принадлежащими множеству I = { — (п — 1), —(п — 2),..., -1, 0}). Поэтому |Еи| = |Кии| < |^2и-1 |.

Отметим, что во всех изложенных выше фактах не использовалась стохастическая природа последовательности еи. Пусть теперь еи = еи, где £ = |еи}и>о —последовательность независимых случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Тогда, как следует из [2, теор. 4], существует такая абсолютная постоянная 71 > 0, что

E|L„(£)| < 7iVnInn. (5)

Более того, если дополнительно потребовать, чтобы вирп Е|еп|2+а < то для некоторого а > 0, то окажется, что

Иш вир

Ь„ (Е)

Е

П л/пЫп

< Ит эир ■

Ы£)

%/пТш

(6)

с вероятностью 1. Этот факт (при несколько более слабых, но менее наглядных условиях на £„) вытекает из доказательства [2, теор. 5].

Собирая неравенства (3), (4), (5) и (6) вместе, мы приходим к неравенству (2) в частном случае еп = е„. Действительно введем обозначение

Еьк = {£j+k-2}

1<3<Ь, 1<к<К '

Тогда [N/2] < п = шах(Ь, К) < N и

Иш вир

Еьк

< Ишвир

п

< Ишвир

Ь2п-1(Е )

N \ZNlnN ~ N л/ШпЖ " N

<

< Ишвир

Ь2п-1(Е )

у/{2п- 1)1п(2 п- 1)

N 1)1п(2п- 1) л/АПп N

<

л/2

Ь2п-1(Е )

< Ит эир —=_

2п-1 \] (2п — 1) 1п(2п — 1)

< ^271 =

72,

(7)

где постоянная 71 определена в (5) и последнее неравенство выполнено почти навер-

ное.

Наконец, вернемся к линейным процессам еп, определенным в (1): |Ьп(Е)| < |ст| |Ьп(Ет)|, где Ет = |£п|п>т, поскольку

п — 1

п— 1

ео + ej сов(2п^') = | ^ ет ет + ^ сов(2п^') ^ ет em+j

j= 1 т

Ст £т + С08(2п£.?) ^ Ст Ет+< <

j=1 т

п—1

< |Ст1 £т + ^ COs(2пtj)em+j

т j=1

Конечно, неравенства (5) и (6) имеют место и для операторов Ьп(£т). Так как 72 является абсолютной константой, существует такое множество полной меры, что при любом ш € П(0)

Иш вир

Ьп(Е)(ш)

УпТш

< 72^3 |ст|

ст < оо.

Цепочка неравенств, аналогичных (7), завершает доказательство. □

Замечание 1. Конечно, Б = 1 при еп = еп. Легко подсчитать, что

Б=^{1 + \р\)/{1-\р\)

п

п

для процесса авторегрессии первого порядка с единичной дисперсией и коэффициентом корреляции р. Как и следовало ожидать, в этом случае правая часть (2) стремится к бесконечности при |р| ^ 1.

Замечание 2. Неравенство (2) является общим в том смысле, что оно имеет место для любого поведения L = L(N). В некоторых случаях, тем не менее, оно может быть уточнено. Приведем два примера таких ситуаций.

1. Если n = max(L, K)/N ^ в G [1/2,1) при N ^ ж, то тогда, как нетрудно видеть, правая честь (2) может быть умножена на л//?.

2. Случай, когда min(L, K) не зависит от N, гораздо более прост. Если L = Lo =

const, то тогда стандартные рассуждения показывают, что ELoK Vn \Mmax С вероятностью 1, где Amax является максимальным собственным числом ковариационной матрицы £lo = {E&ij 0<ijj<Lo.

Из последнего примера следует, что нормирующий множитель в левой части (2) не является универсально точным при произвольном поведении L = L(N). С другой стороны, как доказано в [2, следствие 3 и разд. 3.4] (см. также [3, теор. 3]), для независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями

lim sup

En

VnTru

1

с вероятностью 1, где запись аи х 6и для положительных аи, 6и означает, что отношения аи/6и отделены от нуля и бесконечности. Применяя неравенство (3), мы видим, что этот же результат имеет место для последовательности прямоугольных матриц Еьк при условии, что шт(Ь, К)/Ж ^ а £ (0,1/2].

n

Литература

1. Nekrutkin V. Perturbation expansions of signal subspaces for long signals // Statistics and its Interface. 2010. Vol.3. P. 297-312.

2. Adamczak R. A few results on the operator norm of random toeplitz matrices //J. Theoret. Probab., 2010. Vol.23, N1. P. 85-108. ArXivversion http://arxiv.org/abs/0803.3111.

3. Meckes M. On the spectral norm of a random toeplitz matrix // Elect. Comm. in Probab. 2007. Vol. 12. P. 315-325.

4. Bottcher A., Silbermann B. Introduction to large truncated toeplitz matrices (Universitext). New York: Springer-Verlag, 1999. 249 p.

Статья поступила в редакцию 27 июня 2013 г.