CC BY
56
УДК 539.374
С. И. Сенашов
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О ПРОДОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ ВОЛНЕ НАГРУЗКИ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ*
С помощью законов сохранения решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне.
Ключевые слова: волна нагрузки, пластическая среда, закон сохранения, точное решение, стержень.
1. Рассмотрим процесс распространения пластических деформаций в полубесконечном упругопластическом стержне, вызванных приложенной к концу стержня динамической нагрузкой р(ґ), не убывающей во времени (т. е. йр / А > 0). Проведем решение в ла-гранжевой системе координат: за ось х возьмем ось стержня, начало координат х = 0 выберем на левом конце стержня. Предположим, что в процессе деформации не происходит бокового выпучивания стержня и что влияние поперечных деформаций стержня на процесс распространения продольных волн пренебрежимо мало. Рассмотрим малые деформации стержня и будем предполагать, что плотность стержня в процессе деформирования не изменяется. Единственной отличной от нуля составляющей тензора напряжений будет ст х = ст, отличными от нуля составляющими тензора деформаций будут є^ = є и є= иє .
В этом случае уравнение движения без учета массовых внешних сил приобретает вид [1]
Рис. 1
Учитывая зависимость ст = ст(е) при нагружении и вводя обозначение
2 ( ) дст а (ст) = —,
дє
(5)
ду дст Р дґ дх
где ёст / ёе - тангенс угла наклона касательной к кривой ст(е), имеем
(1)
Поскольку плотность постоянна, то без потери общности ниже полагаем р = 1.
Принимая определяющие соотношения деформационной теории пластичности (для одноосного напряженного состояния) в следующем виде
й є йґ
й є дст й ст дґ
1 дст а2(ст) дґ
(6)
Подставляя соотношение (4) в (6), получим систему двух уравнений с частными производными первого порядка [1]:
ст = ст(є)
(2)
ду
йґ
й ст йх
ду
дх
1 дст а2(ст) дґ
(7)
будем считать, что ст(е) есть монотонно возрастающая по е функция (рис. 1) и что для всех е производная ё ст / ё е есть монотонно убывающая функция (т. е. ё2ст / ё2е < 0). Для напряжений ст<ст^ (ст^— предел текучести) зависимость ст(е), согласно закону Гука, линейна:
ст = Ее при ст<ст^, (3)
где Е - модуль упругости.
Из уравнений сплошности в случае малых деформаций получим соотношение
й є ёу
йґ йх
(4)
для двух функций у(х, ґ), ст(х, ґ).
В этом уравнении а(ст) есть скорость распространения продольных волн в стержне.
Так как скорость распространения волн в общем случае есть функция напряжения, то система уравнений (7) является системой квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа. Определим для нее характеристики и соотношения на характеристиках.
Характеристики системы уравнений (7) определятся путем интегрирования дифференциальных уравнений характеристик:
йх = + а(ст)йґ. (8)
*Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (№ П1121) и «Развитие научного потенциала высшей школы» № 2.1.1 (3023).
Эти уравнения в общем случае не удается проинтегрировать в плоскости (x, t) до того, как решена задача, так как а есть функция напряжения ст(x, t).
Вдоль характеристик dx = + a(a)dt выполняются соотношения
dv +—1— d ст = 0. (9)
а(ст)
Эти соотношения носят название дифференциальных уравнений характеристик в плоскости годографа (ст, и). После интегрирования получим
_СТ dст,
v = +1----— + C12 при dx = + a(CT)dt. (10)
о a(CT,) ’
Рассмотрим теперь простейший случай распространения волн нагружения в однородном полубесконечном стержне, находившемся в начальный момент в невозмущенном состоянии.
Определим решение уравнения (7) при заданных начальных условиях (условиях Коши)
v = (x,0) = 0 (11)
и краевом условии
ст(0, t) = -p(t) (p(t) > 0), (12)
причем чтобы обеспечить процесс нагрузки, должно быть p'(t) >0.
Условия (11), (12) означают, что в начальный момент стержень находится в недеформированном состоянии и состоянии покоя. Удовлетворение начальным условиям связано с решением задачи Коши в области (рис. 2), ограниченной осью х и положительной характеристикой tsQ.
2. Для простоты рассмотрим следующее выражение для функции (2):
ст = Ее при ct<cts, (13)
ст(е) = 2\/e, при ст > стs.
Общий случай рассматривается аналогично.
Для непрерывности функции ст(е) в точке es полагаем E = 1/
В этом случае плоскость xot разобьется на две области: упругую, ограниченную осью х и прямой tsQ, и пластической областью, расположенной выше прямой tsQ. Заметим, что уравнение этой прямой имеет вид x = a0(t - ts) (см. рис. 2). В упругой области имеем линейную задачу, которая без труда решается традиционными методами. Поэтому будем искать решение задачи Коши для уравнений (7) только в пластической области.
Постановка задачи. Найти значение функций v( x, t), ст( x, t) в точке M (xm, tm), если известно значение искомых функций вдоль tsQ и tsP. Здесь точки
P(0, tp), Q(xq, t ) определяются как точки пересечения соответствующих характеристик, проведенных из точки М. В силу (13) уравнения (7-10) запишутся так:
^ ё ст дст ду
ё Л ’ дt дх
Рис. 2
Характеристики:
йх = +4стйґ.
Соотношения на характеристиках
, _ й ст
йу = +^= л/ст
после интегрирования запишутся в виде
у ± 2^/ст = С12.
Введем инварианты Римана по формулам 5 = V + 2>/ст, п = у - 2л/ст , тогда система (7) запишется в виде
5 =^х, Пґ = -^х . (14)
3. Закон сохранения ищем в виде [2]
д,Л(&, п) + д ХБ(%, п) =
= (^Л? + Б5 )5 х + (-л/стЛп + Бп )Пх = 0. Уравнения для определения А и В:
(^4+ Б) = 0,(-л/стЛп+ Бп) = 0 (15)
или
2(1-п) 4п) - 4 + 4= 0. (16)
Заметим, что для функции В мы получаем аналогичное уравнение
2(5-п) Бп) -Б5+ Бп= 0. (16*)
С учетом закона сохранения запишем интеграл по замкнутому контуру ґ^МР:
ф Лйх-Бйґ =| + | +!+{= 0. (17)
ґ&м ґ3<2 <2М мр Рґ$
ВЗ
Математика, механика, информатика
Вдоль контуров tsQ и Pts интегралы можно вычислить после определения А, В и с учетом начальных и граничных условий. Определим А, В таким образом, чтобы вдоль QM и МР интегралы были равны нулю.
Имеем
QM
QM
J Adx - Bdt = J (-\/стА - B)dt = t(-4^A - B) f td (yfCTA + B),
QM
J Adx - Bdt = J (4ctA - B)dt = t(^A - B)
MP MP
- f td(\/стA - B).
MP
Получаем
d(л/ст A + B) = 0, d(4ctA - B)
§=const n=const
С учетом (15) для уравнения (18) получаем —A - 2^Ar] = 0 вдоль QM при § = const
= 0. (18)
(І9)
4 A + 2^= 0 вдоль MP при n = const. (20)
Для преобразования условий (19) и (20) заметим следующее. Пусть вдоль линии § = const нам известна функция А, тогда вдоль этой линии нам известна и An. Поэтому решая уравнение (19), без труда получаем
A = ■
1
Vh-іОі
Аналогично из (20) имеем 1
вдоль QM при I = I0 = const. (21)
A =
вдоль QM при n = П0 = const. (22)
По
QM
QM
M
x(-A -B I-v/a)| + | xd(A + BI\/a),
Q QM
| Adx - Bdt = | (A - BI \/a)dx =
MP MP
- x(A - B I-s/a )| -| xd (A - B I-v/a).
Получаем
d (A + B I-v/a )| d(A -BI\/a)|
£=const
= 0,
= 0.
(2З)
In=const
С учетом уравнений (15) для уравнения (18) получаем
B + 2(§ - n)Bn = 0 вдоль QM при § = §0 = const, (24) -B + 2(§ - n)B§ = 0 вдоль MP при n = n0 = const. (25)
Решая уравнение (24), без труда получаем новое граничное условие
Поэтому для определения координаты tm точки М необходимо решить задачу Гурса (21), (22) для уравнения (16).
Определим хт из соотношения (17).
Вдоль контуров tsQ и Pts интегралы можно вычислить после определения А, В и с учетом начальных и граничных условий. Определим А, В таким образом, чтобы вдоль QM и МР интегралы были равны нулю.
Имеем
| Аёх - Вё = | (-А - В /-\/ст)ёх =
B = Vh -101 вдоль QM при I = I0 = const. (26)
Аналогично из (25) имеем
B=# - n01 вдоль QM при n = n0 = const. (27)
Поэтому для определения координаты xm точки M необходимо решить задачу Гурса (26), (27) для уравнения (16*).
Для решения этих двух задач воспользуемся функцией Римана для уравнений (16) и (16*). Из свойств функции Римана следует, что для уравнения (16) с условиями на характеристиках (21), (22) и для уравнения (І6*) с условиями (26) и (27) она будет одна и та же. Функция Римана имеет следующий вид:
0(^0, По, I, n) = ^ F (І,І;1, t), (2В)
£о -n ^-По 2 2
I — n I — п
где 1 -1 = (-----)(—--------); F - гипергеометрическая
£о -П ^По функция первого рода.
Окончательно получаем значение функции А в точке N (I1, n1):
?9 A
A(N) = A(M)u(M) + | u(-—-------- + A )dI +
J 2C-n)
'11
-ju(-
A
2С-П)
+ An )d n.
Здесь точка М имеет координаты (|0, п0).
Аналогичная формула будет для В в точке N [3].
Библиографические ссылки
1. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности. М. : Мир, 1979.
2. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения для решения уравнений механики. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001.
3. Смирнов В. И. Курс высшей математики : в 5 т. Т. 4. Ч. 2. М. : Наука, 1981.
S. I. Senashov
CONSERVATION LAWS IN THE PROBLEM ABOUT PLANE WAVE OF LOADING IN ELASTIC-PLASTIC ROD
In paper was constructed conservation laws for equations of plane wave of loading in elastic-plastic rod. This is given possibility the solve the problem in analytical form.
Keywords: elastic-plastic rod, conservation laws, exact solutions.
© CeHamoB C. H., 2011
УДК 519.248:[33+301]
Д. С. Слепов
ОЦЕНИВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ КРЕДИТНЫХ ДЕРИВАТИВОВ
Рассматриваются подходы к оцениванию корреляционных кредитных деривативов. Исследована однофакторная модель гауссовской копулы, ставшая рыночным стандартом. Предложен способ моделирования структур зависимостей, основанный на применении широкомультипликативной аппроксимации эвентологиче-ских распределений. Произведено сравнение моделей на численном примере.
Ключевые слова: кредитные деривативы, гауссовская копула, эвентология, широкая зависимость, широкомультипликативная аппроксимация.
Примерами корреляционных кредитных деривативов являются обеспеченные долговые обязательства (СБО) и корзинный своп кредитного дефолта. В основе подобных финансовых инструментов лежит портфель из некоторых долговых обязательств, а выплаты по ним зависят от количества дефолтов в портфеле. Подробнее рассмотрим СБО как наиболее популярный.
Предположим, что СБО имеет следующую структуру: портфель из 100 облигаций, который разбит на 3 транша, имеющих разную субординацию и объем [1]. Младший транш имеет номинал 5 % от совокупного номинала портфеля, средний транш - 20 % и старший транш - 75 %. Транши получают денежные потоки, генерируемые базовым портфелем в порядке старшинства. В первую очередь денежный поток обеспечивает обещанную доходность по старшему траншу, во вторую очередь - по среднему траншу. Оставшиеся денежные потоки поступают к младшему траншу. В случае дефолтов в портфеле облигаций первым пострадает младший транш, он аккумулирует все убытки по портфелю, пока они не превысят 5 % от совокупного номинала. Убытки свыше 5 % будет аккумулировать средний транш вплоть до 25 %. Только в случае превышения убытков уровня 25 % старший транш начнет нести потери.
Подобное структурирование портфеля на транши позволяет получить долговые инструменты с различными уровнями риска и доходности. Доходность в данном случае и будет являться ценой транша. Уровень доходности пропорционален ожидаемым убыткам по траншу, поэтому задача оценивания траншей сводится к оценке ожидаемых убытков.
Цену транша определяют несколько параметров (вероятность дефолта, ставка возмещения и др.), однако данная работа фокусируется на корреляции между дефолтами, так как она играет ключевую роль при ценообразовании. Поэтому оценивание траншей СБО требует моделей, которые позволяют фиксировать структуру зависимостей и рассчитывать распределение убытков по портфелю.
Далее рассматривается наиболее популярная однофакторная модель гауссовской копулы, ставшая рыночным стандартом. Затем представляется эвенто-логическая модель. Приводится численный пример для сравнения моделей.
Однофакторная модель гауссовской копулы. Наиболее распространенным подходом для моделирования коррелированных рисков дефолта является подход с использованием копул. Копула - многомерная функция распределения, связывающая множество маргинальных распределений. В то время как маргинальные распределения описывают индивидуальный риск дефолта каждого актива, копула описывает зависимости между индивидуальными рисками дефолта через многомерное распределение. В частности, популярным практическим инструментом, особенно после работы Ли [2], стала однофакторная модель гауссовской копулы.
Чтобы представить данную модель, рассмотрим гомогенный портфель, состоящий из обязательств N компаний. Определим Ti как момент времени дефолта ий компании, а р() = P(Ti < ^ как интегральную риск-нейтральную вероятность того, что компания i допустит дефолт до момента времени t. Поскольку рассматривается гомогенный портфель
В5
