Закономерности аналоговых преобразований Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.335

ЗАКОНОМЕРНОСТИ АНАЛОГОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

© Е.И. Глинкин

Ключевые слова: закономерности; нелинейность; аналоговые преобразования; метод эквивалентов; виртуальные характеристики.

Предложена технология проектирования аналоговых интегральных схем с линейным преобразованием сигнала, интегрирующая по методу тождественности эквиваленту закономерности последовательного, параллельного и смешанного соединения структур.

Создание аналоговых интегральных схем с линейным преобразованием сигнала без температурного, временного, параметрического дрейфа с нормируемыми характеристиками относительно эквивалента, а именно линейных интегральных схем (ЛИС), невозможно без знаний закономерностей аналоговых преобразований для оптимального проектирования идеального конечного результата (ИКР) микроэлектроники. Структурная и параметрическая оптимизация реальных аналоговых интегральных схем (АИС) с нелинейными характеристиками, подверженными дрейфу с неравномерными мерами отсчета, - сложная задача из-за неопределенности характеристик и критериев оценки, неявных алгоритмов и трудоемких затрат, не учитывающих закономерности диалектического развития информации и процесса преобразования, интегральных базисов и дифференциальных форм микроэлектроники.

Известные методы [1-3] синтеза АИС по итерационному анализу не дают оптимальных решений за счет последовательного приближения к неопределенному фантому с эфемерными характеристиками по субъективному критерию с нерациональной оценкой. Анализ графоаналитических, итерационных и оптимизационных методов [1-2] диктует необходимость создания инженерной технологии проектирования ЛИС - аналоговых интегральных схем с оптимальными параметрами, включающую целенаправленную последовательность простых операторов и стандартных алгоритмов для достижения инновационных решений с желаемыми характеристиками в адаптивном диапазоне и априори заданной точностью, определяемыми погрешностью образцовых мер границ диапазона.

Закономерности анализа и синтеза оптимальных функций в согласованных формах представления схемо- и мнемотехники, математики и физики, систематизированные в правила и алгоритмы, интегрируют информационную технологию проектирования микропроцессорных средств в целом и их основы - линейных интегральных схем в частности. Поиск оптимальных решений традиционными методами дифференциального исчисления сложен и трудоемок, уступает на порядок по оперативности и технологичности методам по эквивалентам, основанным на закономерностях анализа

и синтеза последовательного, параллельного и смешанного соединения каскадов ЛИС.

Закономерности ЛИС систематизированы в табл. 1 в декартовой системе координат, строки которой определяют: а - последовательное (=), б - параллельное (||) и в - смешанное (#) соединения связей каскадов, а столбцы нормируют структуры ЛИС в виде исходных (1) и оптимальных (2) условий, оптимальных (3) и виртуальных (4) характеристик. Проанализируем закономерности ЛИС последовательного, параллельного и смешанного соединения.

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ

Последовательное соединение каскадов преобразует за счет избыточности усиления нелинейные преобразования в линейные характеристики виртуального операционного усилителя (ОУ). Последовательное соединение каскадов характеризует коэффициент преобразования в ЛИС как произведение коэффициентов

Р,- каскадов числом і = 1, п :

п

р=Пр, (1)

і=1

Каскады организуют на пассивных элементах с Р, < 1 и активных преобразователях с Р, > 1 для ослабления и усиления сигнала соответственно на делителях (напряжения, тока, мощности) и усилителях. Пассивные схемы характеризуют коэффициенты ослабления (деления), а эффективность активных ЛИС отражает коэффициент усиления. В табл. 2 показана эффективность

ЛИС по числу і = 1, 10 соединения каскадов для делителей сигнала с коэффициентом ослабления к0і = 0,9 < 1 и усиления к0і = 9 > 1 ЛИС. Коэффициенты ослабления и усиления рассчитаны по выражению (1) при условии тождественности последовательных каскадов к0і = Рг- = Рі+1 с равными коэффициентами для наглядности оценки. Для делителей закономерно снижение коэффициента ослабления к09 с 0,9 при і = 1 до 0,35 при і = 10 и поступательный рост коэффициента

Таблица 1

Закономерности ЛИС

'ч1Струк-\луры Связи 1. Исходные условия 2. Оптимальные условия 3. Оптимальные характеристики 4. Виртуальность (ИКР)

a Избыточность ß=п ßi; ßi >1 i=1 lim ß = да i—k Нелинейность П = П( kü) lim n = 1 ß Линейность k, = UIU, = M lim kt = k0 n—1 ОУ Я2 Ui Я1 1 1'' _ 1 —< -Ö-"" U

б Компенсация измерений AU = AU (0) + e(U) opt AU = AU(0) lim e(U) = 0 ki —k0i Равновесие моста k0i = kü + e(küi ) opt küi = kü = R2ü/R1ü lim e(k0i) = ü küi ^kü Нормировка сопротивлений k0 = N2/ N + e(R) opt k0 = N 2IN lim e(я, ) = 0 Ri — R0 U1 N--1 1 U2 N,0. _ ! U i Н N2 1 1 ! J = 20 AU

в # Нормирование F = e_- A(Yt) е+= 0 (±) lim F = 0 e_ —0 Потенциалы e_ = U/ß lim e_ = e+ ß Гальваническая развязка F = UY + UY2 lim Uj U2 = Я2/ Я F —0 Потенци U1 Я e * 1 1 < t 1 \ 4 ал «земли» Я2 U M 1—► '' e+ Hl /

Таблица 2

Избыточность ЛИС

N^^k0i 0,9 < 1 9 > 1 n(k)i)

1 9,00-10-1 9,00-10° 101

2 8,1010-1 8,10-10* 102

3 7,29-10-1 7,29-102 103

4 6,56-10-1 6,56-103 104

5 5,9110-1 5,91-104 105

6 5,3110-1 5,31-105 106

7 4,78-10-1 4,78-106 107

8 4,3110-1 4,31107 108

9 3,87-10-1 3,87-108 109

10 3,49-10-1 3,49-109 1010

усиления к9 с 9 при г = 1 до 109 при г = 10 по степенной зависимости:

к0г = к0; г = 1, п . (2)

Избыточность организует зависимость (2) для к0 > 1. Табл. 2 иллюстрирует повышение эффективности П = к9г/к0 9г ЛИС относительно делителей по правилу:

П (к0г ) = к9г /к0,9г ; г 1 П (3)

для создания избыточности усиления - исходного условия линейного преобразования. Из анализа выражений (1-3) следует предельное условие избыточности:

lim ß = да для ß, > 1 (4а)

i—— П

или закономерность избыточности последовательного соединения каскадов усиления:

opt ß = да для ß, > 1, i = 1, n. (4б)

Следовательно, последовательное включение кас-кадов-лилипутов, даже с небольшим коэффициентом усиления (k0i = 10), приводит к созданию ЛИС-гуливера (ß = 10n) с избыточным коэффициентом усиления в виде закономерностей (4), систематизированных в табл. 1, сегмент 1, а.

Нелинейность отражает недостаток избыточности и может служить мерой достатка линейности преобразования сигнала. Вывести математический образ нелинейности итерационными методами сложно из-за неопределенности нормы и критерия оценки при итерационном анализе последовательного приближения. Метод эквивалентов определяет нелинейность «в лоб» за счет тождественности исследуемого решения произведению известной закономерности на нелинейность, результатом которых служит оптимальное условие.

ЛИС на операционном усилителе с избыточным коэффициентом ß и резистивной отрицательной обратной

связью (ООС) с коэффициентом к0 = 71/72 соответствует система уравнений (1-4):

Є ( + 72 )= ОД + ^2; и = -ре,

(5)

при оптимальном условии нелинейности (11). Предельное условие нелинейности п следует из алгоритма (9) при оптимизации (11)

ііш п = 1,

(13)

где иI и и - входное и выходное напряжения; У{ и У2 -проводимости резисторов ^ ООС; е - потенциал инверсного входа ОУ (табл. 1, 4, а).

Значение потенциала е из второго уравнения системы (5) подставим в первое и после приведения подобных членов выразим статическую характеристику и(и) исследуемой ЛИС:

и = - и^/172 +

(6)

Характеристика (6) имеет нелинейный характер, для выявления алгоритма нелинейности п по методу эквивалентов потребуется линейное решение и(0):

и (0)=- иуУ\172

для поиска оптимальных условий линейности преобразования. С учетом замены к0 = 71/72 составим систему уравнений:

и = - ил/11+к0+1

(7)

и (0)=ил.

Из системы (7) уравнений следует тождественность исследуемой характеристики и произведению эквивалента и(0) на нелинейность п:

и = и (0)п,

(8)

что позволяет записать из первого уравнения системы (7) и соотношения (8) алгоритм нелинейности:

Линейность преобразования

ор1 и = и (0)

(9)

(10)

статической характеристики и(и1) достигается при оптимальном условии нелинейности п:

ор1 п = 1,

(11)

нормированной постоянной величиной единичного значения (табл. 1, 2, а). Предельным значением коэффициента усиления к = и/и1 исследуемой ЛИС является его тождественность линейному отношению к0 (табл. 1, 3, а):

Ііш к = к

0

(12)

т. к. справедливо тождество:

1+^0+1 = 1 в

с закономерностью избыточности (4).

Виртуальность ОУ регламентирована линейностью. Линейная статическая характеристика (7) эквивалента и(0) оптимального решения не зависит от параметров ОУ из-за избыточности в усиления, что известно [1-4] как идеальный конечный результат (ИКР): функция выполняется, а устройство отсутствует. Это позволяет утверждать виртуальность ОУ в оптимальном решении ЛИС, соответствующем ИКР (табл. 1, 4, а).

Таким образом, последовательное соединение каскадов с усилением приводит к избыточности ОУ (4) с единичной нелинейностью (11, 13) и оптимальной характеристикой (10) линейного преобразования, соответствующей идеальному конечному результату ЛИС с виртуальным операционным усилителем.

Закономерности линейности последовательного включения усилительных каскадов ОУ оптимальных решений ЛИС систематизированы в табл. 1, а.

2. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДРЕЙФА

Исключение температурного, временного, параметрического дрейфа достигается параллельным соединением согласованных элементов каскада за счет компенсационных измерений уравновешенного моста с нормированными сопротивлениями виртуальных делителей цепей обратной связи. Исключение дрейфа организуют поэтапной оптимизацией коэффициентов преобразования к1, ЛИС - к0г , делителей - к0, эквивалентов - кп моста при последовательном приближении соответствующих погрешностей е(Ц) - е(кш) - е(к0) -

е(Я).

Компенсация измерений достигается уравновешиванием плечей моста (табл. 1, 4, б) ЛИС, включенных в цепи отрицательной (ООС) и положительной (ПОС) обратной связи операционного усилителя. Это доказывает оптимизация статической характеристики Ди(иьи2) дифференциального усилителя (табл. 1, 4, б) желаемому эквиваленту Ди(0) из анализа системы уравнений для узлов е_ и е+ :

е-(71 + 72 )= и 171 +Ди72

(0 + 720 )= и 271

10 + 0720

и выходного узла Ди: Ди = в(е-- е+).

(14 а)

(14б)

Избыточность усиления (4) инициирует тождество е- = е+ узловых потенциалов, при подстановке которых из системы (14а) приводит к уравнению:

71 + 72 7Ю + 720

а после приведения подобных членов - к статической характеристике исследуемой ЛИС:

ди = и.

2 1 + 717 - V, + 7-20/7-10

С учетом коэффициентов усиления к0 = 710/720 и к0і = 71/ 72 плечей моста характеристика ЛИС с дрейфом є(Ц) по напряжению и имеет вид:

■- и1к0

(15а)

т. к. при кг = к0г погрешности дрейфа преобразования е(к ) = е(и )/(и 2 - и 1) и напряжения е(Ц) обнуляются.

Исключение дрейфа разбаланса моста очевидно из выражения (16) при обнулении значения скобки для равенства:

к

0і

к

0

откуда получаем условие равновесия моста: Яп

0РІ к0і = к0 =

120

Я

(19)

10

При этом погрешность разбаланса моста е(к0,) связывает нормируемые коэффициенты инверсного к0г и прямого к0 плечей моста аналогичным выражению (18) соотношением:

к0і = к0 + є(к0і).

(20)

что соответствует желаемому эквиваленту:

Ди(0) = к0і (и2 - и ) (15б)

в сумме с погрешностью є(и) дрейфа (табл. 1, 1, б)

Ди = Ди (0) + є(и). (15в)

Из тождественности характеристик (15а) и (15в) находим дрейф по напряжению:

є(и ) = к>и 2

С

л

-1

(16)

за счет суммирования и вычитания к выражению (15а) линейного относительно входного напряжения и1 члена кйіи2.

Исключение дрейфа є(Ц) по напряжению оптимизирует исследуемое решение (15а) к желаемому эквиваленту (15б):

орг Ди = и(0),

є(и )—0

(17а)

при условии нормирования дрейфа к нулевому значению за счет тождественности коэффициента усиления ki = АП/(и2 - и1) ЛИС коэффициенту к0г отрицательной обратной связи:

Ііш є(и) = 0 .

к і —^к0і

(17б)

Закономерность (17б) вытекает из нормировки характеристики (15в) на разность сигналов и2 - и1:

кг = к0г + є(к ) =

(18)

Из равенства (20) также следует закономерность (19) равновесия при регламентации дрейфа е(кш) нулю (табл. 1, 2, б):

Ііш є(к0г ) = 0.

к0і—к0

(21)

Исключение дрейфа параметров сопротивлений Я делителей следует из аналогичной соотношению (20) зависимости

к0 = км + є(Я).

(22а)

где кЖ = Ж2/Ых - коэффициент усиления отношения кодов М2 и N1 управляемых делителей; е(Я) - погрешность параметрического дрейфа резисторов магазинов сопротивлений.

Желаемое решение эквивалента без дрейфа, как следует из выражения (22а), имеет вид:

к)(0) = кы . (22б)

Это соответствует закономерной оптимизации:

N

орг к0 = —2

0 N

(23а)

т. к. кы = М2/N , для предельного нулевого значения погрешности е(Я) параметров резисторов (табл. 1, 3, б)

Ііш є (Я,- ) = 0

Яі —Я0

(23б)

Закономерности (23) обусловлены нормированием резисторов Яг сопротивлением Я0. Действительно, для коэффициента усиления к0 = Я2/Яг при использова-

2

нии управляемых магазинов сопротивлении с нормированными сопротивлениями Я( = R+1 = Ro справедливы тождества:

N2

N2

R2 = ^ R2i = ^ R0^iai = R0N 2; ¿=1 i=1

N1 N1

R2 = z R =Z R04,-a = R0 N1;

(24)

¿=1

¿=1

входа ОУ за счет избыточности коэффициента усиления р, согласно закономерности (4). Из второго уравнения системы (5) для избыточности (4) следует нормирование нулю потенциала е_ инверсного входа (табл. 1, 2, в):

lim e_ = lim U = 0 = e

P-

P-

P

(25а)

где Z ^iai - К0Д N с основанием а,- и весом Из от-

i=1

ношения тождеств (24) справедлива закономерность (23а), т. к. после сокращения нормы R0:

, R2 n2

opt k0 = — = —2.

Ri N

Следовательно, параллельное соединение элементов каскадов приводит к исключению дрейфа при последовательном приближении погрешности напряжения к погрешности преобразования ЛИС, от погрешности моста к погрешности цифровых эквивалентов. Закономерность (23а) определяет эквивалент преобразования в кодах N2, N1 с бесконечно большим коэффициентом усиления ЛИС для максимально возможного кода N2 и минимального числа N1, которые не зависят от температурного, временного и параметрического дрейфа. Это соответствует ИКР-преобразователю с виртуальными магазинами сопротивлений в цепях обратной связи операционных усилителей (табл. 1, 4, б).

Таким образом, ИКР-преобразователь (23) с нормировкой сопротивлений (24) за счет условий равновесия моста (19) и тождественности эквиваленту (17) организует компенсационные измерения с гальванической развязкой входных и выходных сигналов.

Гальваническая развязка обусловлена наличием виртуальной земли, инициируемой смешанным включением элементов каскада.

3. НОРМИРОВАНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ

Смешанное соединение не только интегрирует линейность последовательных каскадов и исключение дрейфа параллельных делителей за счет избыточности усиления и баланса моста, но и нормирует потенциалы до нулевого уровня виртуальной земли для гальванической развязки преобразовательных сигналов ЛИС.

Виртуальность земли наиболее наглядна на примере инверсного УПТ (табл. 1, 4, а) с отрицательной обратной связью резисторов R1, R2 и заземлением потенциала е+ = 0(±) прямого входа ОУ. Математическая модель инверсного УПТ включает систему уравнений (5), составленных по первому и второму правилам Кирхгофа.

Нормирование потенциала в_ инверсного входа нулевому уровню виртуальной земли обусловлено зеркальной (инверсной) индукцией электрического потенциала реальной земли с нулевым зарядом прямого

lim e_ = 0 .

(25б)

Симметрия потенциалов е_ = е+ при заземлении одного из входов ОУ зеркально регламентирует потенциал инверсного входа и обнуляет функцию Е преобразования. Для первого уравнения системы (5) равны нулю как правая часть:

F = e_(Y + Y)= 0 ,

так и его левая часть:

F = U1Y1 + UY2 = 0,

(26а)

(26б)

что отражает закономерность обнуления функции для зеркальной симметрии (табл. 1, 1, в):

lim F = 0 .

e_—0

(26в)

Гальваническая развязка (табл. 1, 3, в) входного и\ и выходного и сигналов (см. 26б) организуется из закономерности (26) и линейности преобразования:

R1

lim UL__

F —0 U R2

(27а)

статической характеристики U(U1) и коэффициента k0 = R2/ R1 , связанных закономерностью тождественности:

opt к = к0,

s(k)—0

(27б)

при отсутствии временного, температурного, параметрического дрейфа є(к).

Виртуальная земля за счет зеркальной симметрии (25) и гальванической развязки (26) формирует линейное преобразование без дрейфа (27б), что соответствует представлению схемы ЛИС (табл. 1, 4, а) схемой замещения делителя (табл. 1, 4, в) на резисторах сопротивлением Я1 и Я2, разделенных нулевым потенциалом.

По закону непрерывности тока в цепи справедливо тождество входного 11 и выходного 12 токов:

h = h-,

которые по закону Ома равны отношениям:

(28)

или

= U1 - е_ 71 =

e_ - U

(29)

7 2 = '

Rn

Подставляя значения токов системы (29) в тождество (28) с учетом закономерности (25) виртуальной земли, находим линейное преобразование (27а) с желаемой линейной статистической характеристикой

U = UR / R1,

(30)

аналогичное эквиваленту и(0) системы (7).

Делитель с виртуальной землей служит ИКР анализируемой ЛИС с оптимальным решением. Анализ столбца 4 табл. 1 иллюстрирует оптимальное решение ЛИС с линейным преобразованием без дрейфа, нормированное относительно виртуальной земли - как идеальный конечный результат с виртуальным операционным усилителем (табл. 1, 4, а), делителями напряжения управляемого по программе моста (табл. 1, 4, б), и потенциалами земли (табл. 1, 4, в), организованный за счет избыточности усиления, равновесия моста и зеркальной симметрии нормированных потенциалов.

Информационный анализ проектирования ЛИС показывает:

1. Предложена технология проектирования ЛИС -аналоговых интегральных схем с линейным преобразованием сигнала, нормированным по эквиваленту потенциала земли без температурного, временного, параметрического дрейфа, интегрирующая по методу тождественности эквиваленту закономерности последовательного, параллельного и смешанного соединения структур.

2. Доказаны закономерности оптимизации ЛИС: избыточность усиления операционного усилителя, условие равновесия моста и зеркальная симметрия нормируемых потенциалов, - инициирующие ИКР с виртуальными операционным усилителем, плечами моста обратной связи и потенциалами с нормируемой мерой эквивалента земли, обеспечивающие гальваническую развязку входных и выходных сигналов в процессе компенсационных измерений.

3. Последовательное соединение каскадов с усилением приводит к избыточности ОУ с единичной нелинейностью и оптимальной характеристикой линей-

ного преобразования, соответствующими идеальному конечному результату ЛИС с виртуальным операционным усилителем.

4. Параллельное соединение элементов каскадов приводит к исключению дрейфа за счет условия равновесия моста при последовательном приближении погрешности напряжения к погрешности преобразования ЛИС, от погрешности моста к погрешности цифровых эквивалентов, устраняющих дестабилизацию температуры, времени и параметров, что соответствует ИКР-преобразователю с виртуальными магазинами сопротивлений в цепях обратной связи операционных усилителей.

5. Смешанное соединение не только интегрирует линейность последовательных каскадов и исключение дрейфа параллельных делителей при избыточности усиления и балансе моста, но и нормирует потенциалы до нулевого уровня виртуальной земли для гальванической развязки преобразуемых сигналов ЛИС, инициирующей компенсационные измерения.

6. Информационная технология дифференцирует комплексную проблему трудоемкого проектирования оптимальных ЛИС на целенаправленную последовательность решения типовых задач синтеза и анализа по закономерностям желаемой функции методом тождественных эквивалентов в основных формах представления схемо- и мнемотехники, математики и физики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жеребцов И.П. Основы электроники. Л.: Энергоатомиздат, 1985.

352 с.

2. Глинкин Е.И. Схемотехника аналоговых интегральных схем. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2000. 120 с.

3. Глинкин Е.И. Схемотехника аналого-цифровых преобразователей.

Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2009. 160 с.

4. Глинкин Е.И. Техника творчества. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн.

ун-та, 2010. 168 с.

Поступила в редакцию 3 апреля 2012 г.

Glinkin E.I. REGULARITIES OF ANALOG TRANSFORMATIONS

The technology of design of analog integrated schemes with linear transformation of the signal, integrating on an identity method an equivalent of regularity of the consecutive, parallel and mixed connection of structures, is offered.

Key words: regularities; nonlinearity; analog transformations; method of equivalents; virtual characteristics.