CC BY
52
---------------------------- © П.С. Шпаков, С.Б. Ожигина, В.Н. Долгоносов,
С.Г. Ожигин, М. В. Шпакова, 2009
УДК 622.1:622.271
П. С. Шпаков, С.Б. Ожигина, В.Н. Долгоносов,
С.Г. Ожигин, М.В. Шпакова
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Семинар № 2
1ТЛоэффициент запаса устойчи-М. V вости представляет собой отношение фактических прочностных характеристик, определенных экспериментальным путем, к приведенным характеристикам, при которых откос с заданной геометрией приведен в предельное состояние [1].
п = -^ , (1)
Тпр
где Тф - фактическое сопротивление
пород сдвигу, МПа; Тпр - приведенное сопротивление пород сдвигу, МПа.
Промежуточные значения коэффициента запаса определяются как отношение удерживающих сил к сдвигающим силам, действующим по потенциальной поверхности скольжения.
п =
(2)
Если сдвигающие силы определяются весом и геометрией призмы возможного обрушения, то величину удерживающих сил помимо перечисленных величин определяют значения прочностных характеристик горных пород - коэффициент сцепления и угол внутреннего трения (в рамках теории предельного равновесия), которые определяются
экспериментально и, следовательно, являются слу-чайными величинами.
Допускаемые сдвигающие напряжения (удерживающие силы) определяются в соответствии с уравнением Кулона туа = с • (др + к , (3)
где с - нормальные напряжения, Па; к - коэффициент сцепления, Па; р -угол внутреннего трения, град.
Удерживающие напряжения являются линейной функцией нормально распределенных случайных величин. Таким образом, и коэффициент запаса устойчивости, в соответствии с формулами (1-3), также представляет собой линейную функцию нормальных случайных величин.
Нормальный закон распределения обладает свойством устойчивости [2], т. е. композиция нормальных случайных величин также имеет нормальное распределение при условии независимости компонентов. Тогда, в случае независимости прочностных характеристик (к и р ), удерживающие напряжения, представляющие их линейную композицию, и коэффициент запаса устойчивости также должны представлять собой нормально распределенную случайную величину.
Коэффициент сцепления, МПа х 100
Рис. 1. Гистограмма распределения коэффициента сцепления
Угол внутреннего трения, град
Тагенс угла внутреннего трения
Рис. 2. Гистограмма распределения угла и тангенса угла внутреннего трения
Коэффициент запаса устойчивости откоса п в общем случае является непрерывной случайной величиной, определяемой как функция случайных аргументов (прочностных характеристик массива горных пород), определяемых экспериментальным способом - путем выполнения лабораторных и натурных исследований. Значения прочностных характеристик зависят от множества случайных факторов, связанных с условиями и методикой испытаний, отбором проб и образцов и т.д.
Значения прочностных характеристик горных пород являются величинами случайными, удовлетворяющими условиям центральной предельной теоремы А.М. Ляпунова и можно выдвинуть гипотезу о нормальном законе их распределения.
Выполним статистическую проверку принятой гипотезы. Для проверки соответствия эмпирического распределения случайных значений нормальному закону воспользуемся критерием согласия % Пирсона.
При исследовании прочностных характеристик горных пород месторождения «Нурказган» лабораторией
«Центргеоланалит» выполнен большой объем испытаний образцов пород, в частности туфов андезит-базальтовых, полученных из кернов геологоразведочных скважин. Нами выполнена статистическая обработ-ка полученных данных. Гистограммы распределения прочностных характеристик андезит-базальтовых туфов приведены на рис. 1 и 2.
Вид гистограмм распределения прочностных характеристик подтверждает справедливость гипотез о нормальном распределении коэф-
фициента сцепления и угла внутреннего трения. При выполнении проверки
данной гипотезы с применением критерия согласия Пирсона получены результаты, приведенные в табл. 1.
Как следует из табл. 1, расчетные
2
значения критерия % значительно ниже критических значений, что подтверждает хорошее соответствие эмпирическое распределения прочностных показателей нормальному закону.
Оценки параметров законов распределения коэффициента сцепления и угла внутреннего трения для андезит-базальтовых туфов определены в процессе расчетов и приведены в табл. 2.
На примере условий месторождения «Нурказган» для андезит-базаль-товых туфов по методике проф. Шпакова П.С. [1] выполнен расчет предельного угла наклона плоского борта высотой Н = 275 м при средних значениях прочностных характеристик, который составил 56,7°. Исходные данные приняты на основе статистической обработки результатов испытаний, предельные параметры откоса определены на основе средних значений прочностных характеристик.
Выполнены многочисленные расчеты коэффициента запаса устойчивости полученного предельного откоса с различными комбинациями коэффициента сцепления и угла внутреннего трения, полученными из испытаний. Всего выполнено около 300 расчетов. В результате статистического анализа полученных значений построена частотная гистограмма коэффициента запаса устойчивости, приведенная на рис. 3.
Вид гистограммы позволяет выдвинуть две конкурирующие гипотезы: о нормальном законе и о гамма-распределении коэффициента запаса устойчивости, которые была подвергнуты статистической проверке при помощи критерия согласия Пирсона %2.
0,75 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3
Коэффициент запаса устойчивости
Рис. 3. Гистограмма распределения коэффициента запаса устойчивости
1.4
Гипотеза о нормальном распределении была отвергнута в связи с большими значениями отклонений, а по гамма-распределению было достигнуто хорошее согласование эмпирических и теоретических показателей. Результаты расчетов приведены в табл. 3.
В выполненных расчетах получено значение вероятности P[%2 > %2кр]=0,32 (табл. 3), а при 0,3^<1 степень соответствия эмпирического распределения теоретическому считается высокой [3].
Соответствие подтверждается расчет-
2
ным значением критерия %, которое существенно ниже критических значений при заданных уровнях значимости.
Параметры соответствующего теоретического гамма-распределения коэф-
фициента запаса устойчивости определены по формулам [3]
п = в(а +1); <7п =ва + 1 (4)
и приведены в табл. 4.
Проверку соответствия принятой гипотезы можно выполнить по формуле Романовского [3]:
Х - к
П=1^=1< 3, (5)
л/2к
где к = s — 3 = 4 - число степеней свободы; 5 = 7 - число интервалов.
Вычисленное значение критерия Романовского существенно ниже критического значения, что также подтверждает выдвинутую гипотезу о гамма-распределении коэффициента запаса устойчивости откоса.
Таблица 1
Результаты статистической проверки гипотез о нормальном распределение прочностных характеристик горных пород
Показатели Расчетные Критические значения у2 Вывод
значения X Уровень значимости, а
0,01 0,05
Коэффициент сцепления ^ МПа 2,75 16,8 12,6 Гипотеза
принята
Угол внутреннего трения р, град 0,93 9,2 6,0 Гипотеза
принята
Тангенс угла внутреннего трения tg Р 1,01 9,2 6,0 Гипотеза принята
Таблица 2
Параметры законов распределения прочностных характеристик горных пород
Показатели Выборочная Дисперсия Среднеквад-
средняя Б ратическое
(МО) отклонение о
Коэффициент сцепления к*102, МПа 44,2 72,7 8,5
Угол внутреннего трения р, град 26,9 3,77 1,94
Тангенс угла внутреннего трения tg р 0,508 0,0018 0,0427
Таблица 3
Результаты статистической проверки гипотезы о гамма-распределении коэффициента запаса устойчивости
Показатели Расчетные Вероятность Параметр п Критические значения х2
значения X а л 2( СЦ (по Романо- Уровень значимости, а
вскому) 0,01 0,05
Коэффициент запаса п 4,78 0,32 0,27 7,8 9,5
Выводы
1) Коэффициент запаса устойчивости, представляющий линейную композицию нормально распределенных случайных величин (параметров к и tgp), имеет у-распределение, что не опровергнуто статистической проверкой. Это обстоятельство подтверждает предположение о взаимосвязи и корреляции между параметрами к и tgp.
1. Шпаков П.С. Маркшейдерское обоснование геомеханических моделей и разработка численно-аналитических способов расчета устойчивости карьерных откосов: Автореф. дис.
д.т.н. - Л., 1988. - 40 с.
2) По данным выполненных расчетов статистическая оценка коэффициент запаса устойчивости предельного откоса со средними прочностными характеристиками меньше единицы (пср= 0,97). Поэтому для обеспечения надежного устойчивого состояния предельных откосов коэффициент запаса должен быть не менее 1,05.
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа», 1977. - 479 с.
3. Шпаков П.С., Попов В.Н. Статистическая обработка экспериментальных данных. - М.: Изд-во МГТУ, 2003.-268 с. ЕШ
— Коротко об авторах ---------------------------------------------------------------------
Шпаков П.С.- профессор, доктор технических наук, Муромский институт Владимирского государственного университета,
Ожигина С.Б.- доцент, кандидат технических наук,
Долгоносое В.Н - доцент, кандидат технических наук,
Ожигин С.Г.- доцент, кандидат технических наук,
Шпакова М.В.- студентка,
Карагандинский государственный технический университет
Доклад рекомендован к опубликованию семинаром № 2 симпозиума «Неделя горняка-2007». Рецензент д-р техн. наук, проф. В.Н. Попов.
