Захват и удержание резонанса вдали от равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 64-76.

УДК 517.928.7

ЗАХВАТ И УДЕРЖАНИЕ РЕЗОНАНСА ВДАЛИ ОТ

РАВНОВЕСИЯ

Л.А. КАЛЯКИН

Аннотация. Захват в резонанс случается в нелинейных осциллирующих системах. Исследование математических моделей этого явления составляет часть современной теории нелинейных колебаний. Известные в этом направлении результаты были получены методом усреднения в асимптотическом приближении по малому параметру. Таким способом детально исследован начальный этап захвата в резонанс. В основу этого подхода положен асимптотический переход к модельному уравнению типа математического маятника. В данной работе рассматривается асимптотическая конструкция на далеких временах, которая описывает медленную эволюцию захваченного в резонанс решения. Основной целью является определение промежутка времени, в течении которого удерживается резонанс. Задача сводится к исследованию возмущения модельного уравнения типа маятника. Главное достижение состоит в описании промежутка времени, на котором удерживается резонанс, в терминах данных исходной задачи. Формально рассматривается нелинейная колебательная система с малым возмущением. Считается, что возмущение соответствует внешней накачке с заданной медленно меняющейся частотой. Строится асимптотика по малому параметру для решений, которые захвачены в резонанс. Выписывается уравнение, решение которого позволяет найти время удержания резонанса.

Ключевые слова: нелинейные колебания,возмущение, малый параметр, асимптотика, захват в резонанс.

Mathematics Subject Classification: 34Е13

1. Введение

1.1. Постановка задачи. Исходный объект - система двух дифференциальных уравнений с малым параметром 0 < е ^ 1:

J Е A S

^ = е F (E,S^,et), ^ = Л(Е,ег) + eG(E,S^,et). (1)

Здесь ф = ф(t, е) - заданная функция, производная которой медленно меняется:

^М = „{et) = 0.

dt у J ^

ф

замену (быстрого) времени t и сведя дело к случаю ш =1. Уравнения в форме (1) более

удобны для приложений и численных экспериментов. Для медленного времени использу-

=

Иеходные данные - F,G, Л,ш считаются гладкими (бесконечно дифференцируемыми) функциями по всем переменным и 2^-периодичеекими по ф. Рассматривается задача о построении асимптотического разложения при е^ 0 для решений E,S(t;e), у которых

L.A. Kalyakin,Capture and holding of resonance far from equilibrium. ©Калякин Л.А. 2018. Поступила 05 апреля 2018 г.

главный член асимптотики определяется корнем Е = £0(9) уравнения Л(Е,9) = 0, Семейство таких решений, называемых далее резонансными, можно выделить заданием для компоненты Е начального значения вблизи корня

Е|i=0 = Eres + л/ёго, при условии A(Eres, 0) = 0.

Множество допустимых начальных значений второй компоненты 5|t=0 = s0 и допустимых возмущений г0 образуют так называемую область захвата в резонанс; она будет указана ниже.

Ввиду инвариантности структуры уравнений относительно сдвига переменных Е, S можно считать Eres = 0, Предполагается, что в начальной точке выполняются соотношения

Л(0,0) = 0, дЕЛ(Е, 0)|е=0 = 0. (2)

Это условие гарантирует для функционального уравнения Л(Е,9) = 0 существование простого корпя Е = £0(в) на промежутке 0 ^ в <90, (90 = const ^ го) со свойств ом £0(0) = 0, Вопрос, который обсуждается в данной работе, касается определения временного промежутка 0 ^ в < вс, на котором этот корень представляет главный член асимптотики для компоненты решения Е(t; е).

1.2. Обзор близких задач. Если функции F,G(E, Б,ф,9) периодичны по двум переменным Б,ф, то дифференциальные уравнения (1) можно интерпретировать, как модель нелинейного осциллятора, находящегося под действием внешнего возмущения, периодического по ^.Переменная 9 = et характеризует медленные, в общем случае непериодические деформации системы. При отсутствии возмущения, когда е = 0 велпчпна Е = const будет постоянной, ее принято называть энергия или действие; функция S(t) будет линейной по t и интерпретируются как фаза или угол; Л(Е, 0) - частота колебаний невозмущенного осциллятора; ее зависимость от энергии Е свидетельствует о нелинейности осциллятора, В такой интерпретации условие гладкости функций F, G по переменной Е соответствует отсутствию равновесия для невозмущенного осциллятора в окрестности начального значения Е = 0, Анализ решений, которые описывают возмущение равновесия, отличается от приводимых ниже конструкций и здесь не обсуждается, [1, 2],

Задачи, близкие рассматриваемым здесь, многократно исследовались. Исчерпывающие результаты известны для слабо неавтономных систем, когда быстрая фаза ф отсутствует, В таком случае главные члены асимптотики, пригодной до времен t = 0(е-1).; определяются из усредненных уравнений [3, 4], В частности, медленная деформация энергии находится из уравнения

H~F 1 Г277

_ = _ 2 F(Е.З.в) äS.

При этом важным требованием оказывается необращение в нуль величины Л

значение частоты ассоциируется с сепаратрисой невозмущенного осциллятора, вблизи которой метод усреднения оказывается непригодным, а структура асимптотики значительно усложняется [5, 6, 7, 8].

Если присутствует зависимость от ф, то можно выписать похожее уравнение, которое получается усреднением по двум быстрым фазам:

1-р 1 л27г ¡-27

=Ш<к I F

Однако при условии (2) его решение может не иметь никакого отношения к главному члену асимптотики энергии Е (t; е) на времен ах t = ö(e-1). Проблемы обнаруживаются в старших поправках асимптотики и объясняются наличием резонансов, В подобных задачах надо помнить, что за операцией усреднения стоит формальная конструкция построения

осциллирующих поправок старших порядков. При условии (2) такая конструкция в классе функций, периодических по Б, ф, становится невозможной из-за резонансов, наличие которых приводит к значительной деформации структуры асимптотического решения.

Для модели осциллятора с быстро меняющейся (заданной) фазой исходные уравнения выгодно редуцировать к виду, в котором величина Л(Е, 9) представляет собой разность собственной и вынуждающей частот, а Б(¿) - разность фаз. Сохранение близости частот в течении продолжительного времени (т.е. соотношение Л(Е, 9) & 0) интерпретируется как захват в резонанс. На таких решениях значительно меняется энергия, что является целью ряда прикладных задач [9, 10], В общем случае для функции Л допускается более сложная структура без какой-либо связи с ш(9), Периодичность Р, С по Б не требуется.

При описании захвата в резонанс в асимптотических конструкциях используется масштаб медленного времени т = \fet-, [11, 12, 4], Построение главного члена асимптотики фазы Б = 5о(т)+ 0(е1/2) сводится к решению уравнения типа маятника для Б0(т). В этих конструкциях обнаруживается изменение энергии Е(¿; е) на величину порядка 0(у/е). Если частота накачки постоянна ш = еопв^, то более значительное по порядку е изменение энергии невозможно: система осциллирует с амплитудой 0(у/е), периодически приближаясь к границе резонанса. Такой эффект интерпретируется как следствие нелинейности. При изменении энергии собственная частота меняется, резонанс нарушается и рост энергии прекращается.

Однако, если внешняя (заданная) частота ш медленно меняется со временем, то иногда резонанс удерживается на большем интервале времени

0 ^ 0(е-1), [13], При этом энергия меняется на величину по рядка единицы 0(1). Такая ситуация интерпретируется, как автоматическая подстройка системы под внешнее воздействие (авторезонанс или автофазировка), при которой собственная частота меняется в соответствии с изменением внешней, [9, 10, 1], Если внешняя частота меняется в масштабе 9 = е1, то главный член асимптотики Е & Е0(9) извлекается из уравнения Л(Е, 9) = 0, которое соответствует условию захвата в резонанс, [14], При этом может создаться впе-

0 < < о

Е0(9).; независимо от возмущений Р, С. Между тем, столь продолжительное удержание резонанса возможно не всегда. Выполнение резонансного условия (2) в начальный момент и наличие резонанса на временах 0(е-1/2) вовсе не гарантирует его сохранение до времен е-1 ■ 90. Удержание резонанса зависит от начального возмущения и структуры функций Р,С(Е, Б,ф, 9), [15, 1], Основной вопрос, который обсуждается в данной работе, состоит в определении временного интервала 0 < 9 < 9С, на котором удерживается резонанс с описанием энергии в виде асимптотики Е = Е0(9) + 0(т/е), £ ^ 0,

Следует отметить, что исходные уравнения можно записать в форме

НЕ — Ч

-— = еР(Е,Б,ф, I), =Л(Е, 1)+ £С(Е,Б,ф, I),

ИЬ —ь

И1 —ф —Ъ ' сИ

при начальном условии I ^=0 = 0, Их можно рассматривать, как частный случай двух-частотной системы. Подобные задачи для общих двухчаетотных систем (при отсутствии зависимости от медленного времени) были исследованы [16, 17] в приближении главных членов. Там же указано обоснование асимптотики, В данной работе для системы (1) предлагается сравнительно простая конструкция полного асимптотического решения в резонансной зоне на основе идей много масштабного разложения. Главный результат состоит в выводе уравнения, решение которого позволяет найти время удержания резонанса.

1.3. Результаты. В асимптотической конструкции используются два медленных времени т = л/et и 9 = et. Первые члены асимптотики строятся в форме

Е = £о(0) + ^Дг(т,9; е) £ (9) + О(е), S = s(r,9; е) + О(^), £ ^ 0 (3)

с коэффициентом £1(9) = 1/дЕЛ(£о(9),9). В масштабе т задача сводится к модельной системе типа маятника, которая получается усреднением по ф:

% = = г, (О = Vlr). (4)

Здесь

fo(s, 9) = (F(Е, s, ф, 9)) 8еЛ(Е, 9) + двЛ(Е, 9)\е=£о(ву,

малыми угловыми скобками (•) всюду обозначается среднее значение периодических функций по переменной ф:

1 f2ж

(f (ф)) = 1JQ m dФ-

ются. Их решение дает асимптотику (3) на этапе захвата в резонанс, т.е. на временах t = 0(е-1/2), Переменная 9 в форме 9 = -Jet используется для описания асимптотики па далеких временах t = 0(е-1), При этом приходится анализировать задачу о возмущении системы (4) и учитывать поправки порядка 0(л/е).

Необходимым условием для удержания резонанса является наличие на фазовой плоскости (г, s) осцилляцпонной области Dos(9), состоящей из замкнутых фазовых траекторий

1

(ro, sо) € Do = Dos(0), при которых случается захват в резонанс. Приведем достаточное условие существования осцилляционной области:

Условие захвата. Замороженная система, (4) при 0 ^9 < 9о имеет сепаратрисную

1с- с- с- 1 с- с- ГТ1 1

петлю с одной устоичивои неподвижной точкой внутри. 1огда в качестве осцилляционной области Dos (9) берется внутренность петли. , ( , ; )

выхода из резонанса отождествляется с моментом выхода соотетствующей траектории на границу осцилляционной области dDos (9). Условия удержания резонанса удобно формулировать в виде неравенства между площадью П(6|), охватываемой траекторией, и площадью П05(6|) облает и Dos(9). Описанный подход не нов и давно известен. Основной результат данной работы касается вывода уравнения для эволюции площади П(0) па основе явного представления для возмущения в системе маятника. Общая структура возмущения указана в [16, 17], Приведенные ниже вычисления позволяют выписать возмущение в явной форме в терминах исходных данных и перейти к уравнению для площади в виде (22), Это уравнение может быть предметом дальнейшего анализа и численных экспериментов.

Для ориентировки приведем результат для частном случая, когда уравнение для площади упрощается и получается утверждение, соответствующее известному [16]:

Теорема 1. Пусть возмущение в исходной системе (1) является, га,м,ил,ьтоновы,м, после усреднения по ф: (dEF + dsG) = 0, и функция Л(Е, 9) = Q(E) — ш(9) представляет собой разность частот. Тогда, медленная эволюция, площади под возмущенной траекторией обладает свойством,

П(9)/П'(£о(9)) = const + 0(^ё), е^ 0. (5)

1 область захвата

Отличие формулы (5) от соответствующего соотношения в [16] содержится в множителе 1 /V'(Е0(9)). Это отличие те принципиально и объясняется другим выбором переменной г в асимптотической конструкции при выводе системы маятника.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы, 1 и условие захвата. Тогда резонанс удерживается на временах, пока выполняется неравенства

У'(Щ) < По^) <

^пвТ < ~п(0у~, 0

о, о

П(0)

о

2. Асимптотическая конструкция

Е( ; )

новой переменной К(т;е), т = у/еЬ с использованием уравнения

Л(Е, 9) = /К, 9 = /ёт.

В силу резонансного условия (2) это уравнение имеет гладкий корень Е = Е(у/еК, 9) при всех достаточно малых значениях аргументов у/еК, 9. Можно выписать

Е (/К, 9) = Ео(д) + /е К Е1(в) + 0(е К2), £ К2 ^ 0, 0 <в < во. (6)

Коэффициенты выписываются через производные; например,

Е1(в) = 1/дЕЛ(Е, 9) = -1/двЛ(Е, в) при Е = Ео(в).

Формулу (6) можно рассматривать, как асимптотику при е ^ 0, равномерную по К па любом компакте. Фактически она представляет собой анзатц для энергии, в котором тре-

К( ; )

Уравнения для новых переменных К, Б(т; е) приобретают вид С К С Б

— = Т(Е,Б,ф, 9), — = К + /еС(Е, Б, ф, в) при Е = Е(/К, 9)). (7)

ат ат

Правые части определяются как сложные функции от ( К, Б, т), определяемые через исходные данные, в частности,

Т (Е, Б, ф, 9) = дЕЛ(Е, 9) Р (Е, Б, ф, 9) + двЛ(Е, 9), ^ = /^ш(9), 9 = /ёт. (8)

ат у/е

зависимость лишь от медленного времени 9 = у/ёт. Правые части содержат периодиче-

ф

выделить зависимость от этой переменной в явном виде. При этом в асимптотическом решении можно отделить среднее значение искомых функций от осциллирующих частей с нулевым средним,

Анзатц берется в форме

К(т, е) = г(т, 9; е) + /ёЩг, 5, ф, 9, е), Б(т, е) = в(т, 9; е) + /ев(г, 5, ф, 9, е)

с требованием нулевого среднего: ('Я.) = 0, (¿) = 0, В этом анзатце содержатся три вре-

ф

,

по определению осциллирующих частей Я, Б от задачи по определению средних значений г, 5, Эти идеи содержатся в известном методе усреднения [3], Уравнения для средних получаются усреднением по ф:

г д д 1

д + г = (Т(Е,8 + /в,ф, в)),

Т (9)

г д д 1

тг + /д 8 = г + /(С(Е,з + /ев,ф, в)), Е = 8(/г + еП, в). 1дт дв\

Эти уравнения содержат осциллирующие части Я, 5 искомых функций. Уравнения для них выписываются с учетом усредненных

дЯ дИ

ш(в) — + У~£ — = Т(Е, 8 + /в, ф, в) - (Т(Е, 8 + /в, ф, в))-ф д

-/ёдгЯ (Т(Е, в + ,ф, в)) - /ед3П [г + /ё(С(Е,з + /ев,ф, в))], дБ дЯ

ш(в) — + / — = Я + / [С(Е,8 + /¿в ,ф, в) - (С(Е,8 + /¿в ,ф, в))]-д ф д

-/едгв (Т(Е, в + , ф, в)) - /ед35 [г + /ё(С(Е, в + /ев, ф, в))].

,

позволяет разделить уравнения в асимптотической конструкции

Анзатц для осциллирующих частей решений берется в виде асимптотических рядов

те

П(1- е) = Яо(з, ф, в) + ^ ек/2Пк(г, в, ф, в),

к=1

(10)

те

5(Р, е) = 5с(8, ф, в) + ^ ек/23к(г, 8, ф, в).

к=1

Коэффициенты в (10) однозначно определяются в классе функций с нулевым средним. Например, на первом шаге получаются уравнения, из которых видно отсутствие параметра

ш(в) -дф = То(8, ф, в) - Ь(8, в), Ш(в) -ф = Яо. (11)

Здесь Т0 = Т(80(в), 8,ф, в), /о = (Т0). Искомые функции Як, 5к, (к > 0) выписываются

ф

функций с нулевым средним,

3. Усредненные уравнения

Из структуры усредненных уравнений (9) нетрудно усмотреть, что построение осциллирующей части асимптотики в п первых слагаемых обеспечивает определение средних до порядка £(п+1У2 в масштабе т. Например, усредненные уравнения с учетом первых поправок имеют вид

ПТ П Я

— = , в) + /¡(г,8, в) + О(е), — = г + /д(8, в) + О(е), в = /т. (12)

П

Правые части определяются формулами

/о( ^, в) = дЕЛ(Е, в)(Р(Е, 8, ф, в)) + двЛ(Е, в)\Е=£о{ву, (13)

/= (Т1(г,з,ф, 9)), д = (С(Ео(в),з,ф, 9)),

Т1( Г,8,ф, в) = гЕ1(в) дЕ Т (Ео(в),8,ф, в)+ ¿о(8 ,ф, 9)д3Т (Ео(в),8,ф, 9). В главных членах асимптотики (при е = 0) получаются уравнения типа маятни-

нения (4) интегрируются. Их решение дает главный член асимптотики для средних г, 8 = г0, 5 0( т, 9) + 0(у/е), пригодной на временах 0 < т ^ 0(1), Если параметр 9 разморозить, положив 9 = у/ет, то поетроеиные функции г0, в0(т, 9) удовлетворяют уравнениям(4) с точностью 0(у/е). Такая точность сохраняется при любой дополнительной гладкой зависимости от 9. Чтобы получить приближение, пригодное до времен 0 < т ^ 0(е-1/2), надо

в случае, когда замороженное решение осциллирует [4]. При этом в возмущенных уравнениях необходимо учитывать поправки порядка 0(у/е), приведенные в формулах (14), Заметим, что в (14) содержится функция 50(5,ф, 9) - одна из компонент осциллирующей

Лемма 1. Имеет место соотношение

1

дЕЛ(Е, 9)

К г, 9) = г0 алдЕ (Р (Е, 8,ф, 9)) дЕ Л(Е, 9) + дв Л(Е, 9)

„i мь т \е=£0 (в)

(15)

-\д8 (1(8 ,ф, 9)).

Доказательство, Первое слагаемое в (15) получается при переходе из (14), если учесть (8)иЕ1 = 1/дЕП(Ео(6), 9). Второе слагаемое в (15) получается из(14) с использованием уравнений (11). Для этого

д3Т(Ео(д), 8, ф, 9) = ш(в)дфд3Яо + д3/о(8, 9).

Поскольку среднее по ф осциллирующей части (50(з,ф, 9)) = 0 равно нулю, то при усреднении последнего тождества получаем

(5о(5, ф, 9)д3Т(Ео(в),8, ф, 9)) = ш(9)(¿о(8, ф, 0)дфд3По).

ф

грала по частям и использования второго тождества из (11) имеем

(^од^Т) = -ш(9)(дф¿о д') = -('од') = -\д3(П1). Тем самым приходим к соотношению (15). Лемма доказана

4. Возмущение системы маятникового типа Рассматривается модельная система двух уравнений, возмущенная малыми добавками:

а т с я

— = /о( 5, 9) + //(Г, 8, 9) 0 < £■ < 1, с— = г + Уд( Г, 8, 9), 9 = У Т. (16)

Считается, что гладкая функция ¡о(в, 9)- 2п периодична по 5. Ее среднее значение ¡о(9) = (/о( 5,9)) (не обязанное быть нулем) является гладкой функцией по 9. Построение асимптотики решения при е ^ 0 на большом промежутке времени 0 < т ^ 0(е-1/2) базируется на результатах для замороженной невозмущенной системы (4):

Сг ; ( а\ —8 Тг = 1о(8, в), Тг = Г ,

в которой 9 считается параметром. Такие задачи давно исследованы для общих систем [4]. Основная идея состоит в приведении уравнений к переменным типа действие-угол с последующим усреднением. Из соображений полноты изложения ниже приводится детализация известного подхода для конкретной системы (16),

Для замороженной системы имеется первый интеграл. Для его записи удобно ввести потенциал и(в, 9) через интеграл

и(з,9) = - I /с(в, 9) ¿8 = Ш + й(з, 9),

зафиксировав константу интегрирования, например, нулевым средним значением осциллирующей части и(8,9). Потенции содержит непериодическое слагаемое в виде: 5 • /с(9). Первый интеграл, представляющий гамильтониан системы, записывается в виде

1 2

-г + и(в,

2

,9) = h.

Асимптотические конструкции для решения возмущенной системы выполняются в области фазовой плоскости (г, s) G Dos Ç M2, запятой замкнутыми траекториями замороженной системы1. Эта область Dos (9) в общей ситуации зависит от параметра 9, что соответствует ее медленной деформации по времени. Замкнутым замороженным траекториям отвечают значения h из некоторого промежутка Н0(9) < h < Н1(9). Границы, вообще

ческих функций г 0, s0(т + r0,h, 9) зависят от от двух констант интегрирования r0,h и от параметра 9. Период Т(h, 9) и частота v(h, 9) = 2п/Т решений также зависят от парамет-h,

удобно ввести 2^-периодические функции по формулам

р(p, h, 9) = го(р/у, h, 9), а(р, h, 9) = So(p/u, h, 9). Введенные функции удовлетворяют уравнениям

дР я i а\ да и- = -даи(а, 9), и-

р.

Дифференцирование энергетического тождества р2 + 2и(а, 9) = 2к по к и по 9 с учетом уравнений приводит к двум соотношениям, которые можно записать через определители

dvp dhp dva dh(r

-1,

dvp двр dva два

= дви(а, 9).

(17)

Построенная таким образом пара функций используются для замены переменных в возмущенных уравнениях:

г(т;е) = р(<р,к, 9), в(т;£) = а(р,к, 9), 9 = у/ет.

Новыми искомыми функциями будут к(т;е), р(т;е). В невозмущенных уравнениях такая замена соответствует переходу к переменным типа действие-угол. Возмущенные уравнения для г, 8 переходят в уравнения для к, р. Фактически такой подход соответствует методу вариации произвольных постоянных:

¿к ¿т

dp dr

/ (дви(а, 9)

д^Р f д^а g

дв р дhP f ^Р

два дhа g дhа

1если такая область существует

Здесь р(р,к, 9), а(р,к, 9), и (к, 9) - известные функции от искомых переменных р,к и 9 = /ет. '

Полученные уравнения похожи на исходную систему (1) с той разницей, что частота и(к, 9) здесь те обращается в нуль. В этом случае асимптотическая конструкция при е — 0 для решения к, <р хорошо известна [4]. Главный член асимптотики, пригодной до далеких времен

к(т;е) = ко(в) + 0(/е), £ — 0, 9 = /1т, 0 <т ^ 0(е-1/2) определяется из усредненного уравнения

^ = г (ко, 0). (19)

Правая часть дается выражением

г(И, 9) = и^(р,а, 9)д^а - д(р,а, 0)д^ + (дви(а, в)}, р,а(р,к, 9), (20)

<

< = < ( ; )

уравнения из (18).

, ( ; )

функций (решений замороженной системы), параметры которых медленно деформиру-

значением 9С, при котором приближенная (размороженная) траектория выходит на границу осцилляциоппой области д003(9). Если граница представляет собой сепаратриспую петлю, то при приближении траектории к границе частота V(к, в) стремится к нулю, и приближение для к по методу усреднения становится непригодным для времен близких к

Ос [5].

5. Двойное усреднение

Для решения исходной задачи главный член асимптотики, пригодной до времен I = @(£-1) определяется из усредненных уравнений (12). Эти уравнения представляют собой возмущение системы маятникового типа. Асимптотика выписывается через решение р,а(<р,к, 9) замороженной системы, приведенное к периоду 2п. Чтобы такая асимптотика

г(т, в; е) = р(р, к, в) + 0(/е), з(т, в; е) = а(р, к, в) + 0(/е)

была пригодна до далеких времен т = 0(е-1/2), надо вычислить медленную деформацию параметра к = ко(в) + 0(/Ё). Надичие ко(9) гарантирует пригодность приближения в виде решения маятниковой системы, периодического по р, па промежутке 0 < вс, пока замороженная траектория остается в осцилляциоппой области. Асимптотика для фазы р = р(т, е), £ —У 0 находится го второго уравнения (18). Главный член ко(9) обеспечивает для фазы точность порядка единицы на далеких временах т = 0(е-1/2), Уточнение асимптотики <р требует вычисления поправки порядка 0(/е) для параметра к; это обычная ситуация при возмущении нелинейных осциллирующих систем. Для вычисления границы вс и оценки остатка в анзатце (3) такое уточнение фазы не нужно.

В рассматриваемом случае возмущенная система маятникового типа с учетом первой

,

в которых содержится усреднение по быстрой фазе ф. Вычисление деформации ко(9) сводится к решению уравнения (19), в котором правая часть (20) содержит усреднение по <р

Лемма 2. Правая часть усредненного уравнения (19) выражается, через исходные данные посредством интегралов усреднения по ф,р в виде

г (к, в) = дв(и(а, в)} + р2(-еЕ (Е,а,ф, 0) + даС(Е, а,ф, в))}

+ (Р2 )дЕ-

двЛ(Е, в)

(21)

Е=£0{в)

'дЕЛ(Е, в)

Здесь р,а(р,к, в) - периодические решения замороженной системы маятникового типа, с потенциалом, и(а, в) = / ¡с(а, в) ¿а. Доказательство, Вычислим интегралы среднего значения, входящие в правую часть

1

¡(р,а, в) = р

дЕЛ(£с(0), в)

Е

(Е(Е, а, ф, в)) дЕЛ(Е, в) + двЛ(Е, в)

Е=£0(в)

1 2

—да {ПС(а,ф, в)).

Последнее слагаемое при вычислении среднего д^а^ дает нуль:

(д^ада (П20(а,ф, в))} = (д^^сф, в))) = 0

независимо от свойств осциллирующей по ф функции 'Я,с. Тогда в оставшейся части двойного усреднения д^а^ с учетом уравнения ид^а = р фигурирует квадрат функции

р(P,k, О)-

1

дЕ Л(Е)

Е

р2(Е(Е,а,ф, в))^дЕЛ(Е, в) + (рр2^двЛ(Е, в)

Е=£0{в)

Е

уравнение в форме

( Е(Е, з, ф, в)) = [ид^р - двЛ(Е, в)} /дЕЛ(Е, в). Поскольку среднее от производной р^ = 0 дает нуль, то остается выражение

»(¡д^а) = (р2(дЕЕ(Е,а,ф, в))) + (р2)дЕ

двЛ(Е, в) деЛ(ЕУЕ 1-ЕЛ(Е, в) \

Е=£о(в)

При вычислении среднего используется представление

д = (С(Ес,а(р,Н, 0),ф, в)). При двойном усреднении нтеграл по р берется по частям и используется тождество ид^а = р:

-и(дд^р) = и{д^а(даС(8с, а(р, Н, в),ф, в))р) = ((с%С(£с, а, ф, в))р2).

Таким образом, в сумме выражение (20) переходит в (21), Лемма доказана, В частных случаях выражение(21) упрощается.

Следствие 2. Пусть функция Л(Е, в) представляет собой разность частот Л(Е, в) = 0,(Е) - ш( Тогда, потенциал,

и(з, в) = -П'(£с(в)) (Е(£с(в),з,ф, в))(1з + з •ш'(в),

а правая часть усредненного уравнения

7 (к), в) = дв(и{о, в)} + (р2{дЕГ {Е,о,ф, в) + даС{Е,о,ф, в))} +

+ £'о(в)П"{£о{в)) / 2\ + П'{£о{в)) \Р Г

Для доказательства надо учесть вытекающее из Л{Е0{9), 9) = 0 тождество

двЛ{Е, в) ш'(в)

т = -

дЕЛ{Е, в) Е=£о(в) П'{8о{в))

Следствие 3. Пусть усредненное по ф возмущение является, га,м,ил,ьтоновы,м,: (дЕЯ + дзС) = 0, а функция Л{Е, в) представляет собой разность частот Л{Е, в) = 0,{Е) — ш{в). Тогда, правая часть усредненного уравнения

7{к т д / ( + ^0{в)^'{8о{в)) / 2\

7{кв) = дв\и{и, в)) + П'{£о(в)) (р ).

Здесь р, о{р, к0, в) - периодические решения замороженной системы, и усреднение берется, по р.

6. Деформация площади

Из уравнения, полученного в результате двойного усреднения, трудно извлечь информацию о моменте обрыва резонанса, когда траектория выходит на границу осцилляционной области. Однако, это уравнение можно преобразовать к более подходящей форме, исключив потенциал.

На фазовой плоскости рассмотрим площадь П, охватываемую замороженной траекторией, г = р{р>, к, в), в = о{р, к, в). Имеют место соотношения:

о2тТ

П = j)pda = ! р{р,к, в)д(ро{р,к, в) = 2п(^рд(ро^ =—^р2^ .

к

ческнх решений. Ее преимущество проявляется в более простом уравнении медленной деформации.

Теорема 2. Эволюция площади под медленно деформирующейся траекторией усредненной системы маятникового типа, (12) в главном, члене асимптотики П = П0{6|) + 0{у/е) описывается, уравнением

= |/^ {Е,(,Фф, е) + емЕ,о,Ф, е^^дШ^ и, С*)

Здесь р,о{р,к0, в) - периодические решения замороженной системы, и{к0, в) - частота; усреднение берется, по р.

Пояснение, Уравнение для П0{6|) в общем случае не тривиально ввиду зависимости пло-

к

Доказательетво теоремы 2, Зависимость П{#) от медленного времени 9 входит как явно так и через параметр к = к{в;е). Поэтому для производной получаем соотношение с учетом взятия по частям одного из интегралов

^^ = ([дърд^о — д^рдно]^^ дврд^о — д^рдво]^

Для главных членов асимптотики П = Пс(6|) + 0(у/ё), к = кс(в) + 0(л/е) с учетом тождеств (17) и усредненного уравнения (19) получаем

1 Пс 1 кс 1

= ~~Тг,---дви(а, в).

2тт ¿в у ¿в у

Если для кс(9) учесть уравнение (19) и выражение для правой части (21), то получается соотношение

" (р2(-еР(Е, а,ф, 9) + даС(Е,а,ф, 9))) + (р2)-Е-вA(Е, в)

2п ¿в V х Е 4 ' ' " 4 ' 'г' "/ \ / Е -Е Л(Е, в) Е=£о(в)

2

и( , )

тоновы возмущения, когда дЕР + дзО = 0, не проявляются на главном члене асимптотики площади, В гамильтоновом случае уравнение для площади значительно упрощается.

Следствие 4. Пусть возмущение в исходной системе является гамплътоновым после усреднения по ф: (дЕР + дзО) = 0. Тогда медленная эволюция, площади описывается, соотношением

¿По „ _ двЛ(Е, в)

= По • -е

¿в с е-ЕЛ(Е, в)

.

Е=£о(в)

Уравнение (23) очевидно интегрируется. Наиболее простое выражение получается в частном случае, который сформулирован в теореме 1,

Следствие 5. Пусть возмущение в исходной системе является, гамплътоновым после усреднения по ф, и функция Л(Е, в) = ^(Е) - ш(в). представляет собой разность частот. Тогда, медленная эволюция, площади описывается, формулой Пс ( в) = П(0)П'(£с(6,))/П'(£с(0)), которая соответствует теореме 1.

Доказательство, В рассматриваемом случае уравнение деформации площади имеет вид

дПс = ЕС(в)П"(Ес(в))П ¿в Ы(£с(0)) С

Формула (5) дает его решение.

Из полученной формулы для площади немедленно вытекает следствие 1, Отметим, что результаты для этого частного случая (гамильтовых возмущений) соответствуют известным [16, 17],

В негамильтоновом случае уравнение для площади иногда можно проинтегрировать. Например, в модели, учитывающей диссипацию в форме

(дЕР(Е,а,ф, в) + даС(Е,а,гф, в)) = ¡3(9) < 0 функция Пс(6|) будет экспоненциально убы-

7. Заключение

Для нелинейной осциллирующей системы с малым (порядка е ^ 1) резонансным возмущением исследована задача о времени существования резонанса, В асимптотическом приближении задача сводится к анализу модельной системы маятникового типа, В этом приближении время обрыва резонанса Ьс ~ е-1 отождествляется с моментом выхода медленно деформирующейся траектории на границу осцилляционной области. Для площади под замороженной траекторией выписано уравнение деформации (22), Его решение позволяет выписать функциональное уравнение для момента обрыва резонанса. Наиболее простая ситуация бывает в случае, когда возмущение является гамильтоновым.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калякин Л.А. Асимптотический анализ моделей авторезонанса // Успехи мат. наук. Т. 63, № 5. 2008. С. 3-72.

2. A.I. Neishtadt, A.A. Vasiliev and A.V. Artemvev Capture into Resonance and Escape from it in a Forced Nonlinear Pendulum // Regular and Chaotic Dynamics. V. 18, No. 6, 2013. P. 691-701.

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические мет,оды в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974. 503 с.

4. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ. 1985. 304 с.

5. Нейштадт А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно меняющимся параметром // Прикладная математика и механика. Т. 39, № 4. 1975. С. 621-632.

6. О.М. Kiselev and S.G. Glebov An asymptotic solution slowly crossing the separatrix near a saddle-centre bifurcation point // Nonlinearitv. V. 16. 2003. P. 327-362.

7. A. Neishtadt, A. Vasilliev Phase change between separatrix crossing in slow-fast Hamiltonian systems // Nonlinearitv, V. 18. 2005. pp. 1393-1406.

8. Киселев О.М. Осцилляции около сепаратрисы, в уравнении Дюффинга, // Тр. ИММ УрО РАН. Т. 18, № 2. 2012. С. 141-153.

9. K.S. Golovanivskv Autoresonant Acceleration of Electrons at Nonlinear ECR in a Magnetic Field Which is Smoothly Growing in Time // Phvsica Scripta. V. 22. 1980. P. 126-133.

10. K.S. Golovanivskv The Gyromagnetic Autoresonance // IEEE Transactions on plasma science. V. PS-1 1, № 1. 1983. P. 28-35.

11. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От, маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука. 1977.

12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Москва-Ижевск, 2000.

13. Чириков Б.В. Прохождение нелинейной колебательной системы через резона,не // Доклады АН СССР. Т. 125: 5. 1959. С. 1015-1018.

14. Калякин Л.А. Усреднение в модели авторезонанса // Мат. Заметки. Т. 73, вып. 3. 2003. С. 449-452.

15. А.P. Itin, A.I. Neishtadt, A.A. Vasiliev Capture into resonance in dynamics of a charged partice in magnetic field and electrostatic wave // Phvsica D. V. 141, № 4. 2000. P. 281-296.

16. Нейштадт А.И. Захват в резонанс и рассеяние на, резонансах в двухчастотных системах // Труды МИАН. Т. 250. 2005. С. 198-218.

17. Нейштадт А.И. Усреднение, прохождение через резонансы, и захват, в резонанс в двухчастотных системах // Успехи мат. наук. Т. 69, № 5. 2014. С. 3-80.

Леонид Анатольевич Калякин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: klenru@mail. ru