Загадки логистического уравнения и стрела про- странство-время Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАГАДКИ ЛОГИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И СТРЕЛА ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

М.Р. КОРОТКИНА, профессор кафедры физики МГУЛа, профессор механико-математи-ческого факультета МГУ, д. ф. -м. н.

Понятия времени и пространства являются одними из основных для философов, физиков, математиков, биологов и т. д. Окружающий нас мир мы воспринимаем в определённом времени и пространстве при различном способе их описания: макроскопическом, микроскопическом, физическом, биологическом, генетическом и т. д. Основной вопрос, который мы ставим, состоит в раскрытии закона эволюции системы. Методы, с помощью которых мы проводим исследования, могут быть различными, но конечная цель познания внутренних законов эволюции системы - одна.

Впервые Илья Романович Пригожий предложил закон, согласно которому эволюция любой системы происходит по схеме: начальное детерминированное состояние переходит в хаос, который рождает новое детерминированное состояние, переходящее в новый хаос и т. д. Согласно этому закону, процесс эволюции любой системы проходит через множество состояний двух видов: детерминированного и хаотического. При этом хаотическое состояние не нужно воспринимать как полный беспорядок. На самом деле это состояние характеризуется внутренним порядком с более высокой симметрией, чем предыдущее детерминированное состояние. Одним из методов изучения структуры хаоса

- нахождения в нём фрактальной симметрии и расшифровки полученной фрактальной структуры.

Исследование эволюции самоорганизующихся систем целесообразно проводить в ориентированном во времени пространстве, впервые введённым Ильёй Романовичем Пригожим [1].

Хаос, рождённый детерминированной системой, называется «детерминирован-

ным хаосом». Детерминированный хаос отличается от хаоса наличием фрактальной структуры. Изучая фрактальную структуру детерминированного хаоса, мы имеем возможность подойти к раскрытию внутренних закономерностей рассматриваемого явления.

В состоянии хаоса эволюционирующая система имеет максимальные возможности выживания в «экстремальных условиях». Эти условия могут возникнуть за счёт экологических факторов, стрессовых ситуаций и других возможных сильных изменений во внешней среде. Механизмы адаптации в эволюционирующих системах содержатся в детерминированных состояниях, рождённых из хаоса.

Таким образом, рождение хаоса из детерминированного состояния и затем рождение нового детерминированного состояния из хаоса является одним из основных простейших законов эволюции самоорганизующихся систем (рис.1).

—*(£3)— *С^)~ '"** ' * *

Рис. 1

Этот процесс эволюции самоорганизующейся системы является бесконечным во времени и в пространстве. Память об этом-процессе находится в имунной системе или в ДНК. Одной из причин нарушения имунной системы является нарушение закона эволюции системы (рис. 2).

Основной закон эволюции самоорганизующейся системы в пространстве и времени состоит в том, что в состоянии хаоса происходит размножение системы с последующим переходом в детерминированное состояние (рис. 2).

Рис.2

Этот закон эволюции нашёл развитие в физике на примере квантовой механики, предложенной Пригожим, в биологии при образовании самоорганизующихся систем, в социологии при создании коллективной информации, философии при объяснении общих законов развития и т. д.

Согласно этому закону эволюция системы во времени и пространстве происходит по вышеуказанной схеме. С этим процессом эволюции связана стрела простран-ство-время.

Дадим определения: стрела времени -собственное время, связанное с законом эволюции по схеме (рис. 1); стрела пространство-время есть собственное время и собственное пространство, связанное с законом эволюции по схеме (рис. 2).

Стрела времени была введена в 1928 году Эддингтоном в его книге «Природа физического мира».

Блестящее развитие понятия времени

- фундаментального измерения нашего бытия, - дано Ильёй Пригожим и Изобеллой Стенгерс в книге «Время, хаос, квант».

Стрела времени в процессе эволюции самоорганизующейся системы представлена на рис. 1. Стрела пространства-времени в процессе эволюции самоорганизующейся системы представлена на рис. 2.

Для нахождения стрелы времени необходимо найти масштабы собственного времени изучаемого явления. Для нахождения стрелы пространства-времени необходимо найти масштабы собственного времени и собственного пространства.

Возможная схема эволюции самоорганизующихся систем

Существуют мировые законы, которые являются универсальными и могут быть использованы для исследования и математического моделирования поведения самоорганизующихся систем. Благодаря универсальности этих законов, появилась уникальная возможность нахождения новых источников познания на стыке различных наук (смежные научные направления).

Самоорганизующаяся система обладает уникальным свойством: в момент её рождения природой заложены различные возможности выживания и развития при самых неблагоприятных внешних условиях.

Согласно основному принципу «выживания в экстремальных условиях» в начальном состоянии самоорганизующейся системы заложены все возможные уровни её развития (генетическое дерево): развитие системы идёт в направлении усложнения её структуры (стрела эволюции схематически представлена на рис. 3).

--------- К+1

«АА&а____ к

--------- к-1

Рис.З

Для выживания самоорганизующейся системы в экстремальных ситуациях необходимо наличие условий для её адаптации. Одним из таких условий является схема эволюции, представленная на рис 3.

В самоорганизующейся системе каждый уровень её развития к имеет собственное время тк- Для перехода системы на более высокий уровень (к + 1) должно произойти изменение собственного времени Хк —> Г к + 1. Это возможно при условии, что на к-ом уровне система самоорганизуется, т.е. переходит в состояние детерминированного хаоса. В этом состоянии происходит смена собственного времени т* —> Тк + 1 и система совершает переход & —> к + 1.

Каждый уровень к развития системы связан с устойчивым детерминированным

состоянием. Развитие системы (её эволюция) связана с её переходом на более высокий уровень (к + 1). Этот переход возможен, если на уровне к система переходит в «неустойчивое» состояние. Таким «неустойчивым» состоянием является детерминированный хаос между состояниями к и (к + 1).

Эволюция самоорганизующейся системы проходит в направлении к —> к + 1. В этом процессе система раскрывает все возможные виды, заложенных в ней пространственно-временных структур, которые можно изучать с помощью компьютерной графики (фрактальные структуры).

Переход к —> (к + 1) происходит через состояние детерминированного хаоса. В процессе эволюции от к к (к + 1) система несёт информацию всех к уровней.

Для выживания самоорганизующейся системы ей необходимо обеспечить условия адаптации к изменившимся внешним условиям. Если система попадает в экстремальные ситуации, то для выживания ей необходимо перейти на следующую ступень развития, т. е. сделать переход к —> (к + 1).

Эволюция самоорганизующейся системы предполагает её развитие в пространстве и времени (рис. 2). Эволюционные процессы в самоорганизующейся системе приводят к образованию пространственно-временных структур.

Процессы самоорганизации системы разобьём на два класса. К первому классу отнесём системы, в которых не появляются качественно новые элементы в результате эволюции. Ко второму классу отнесём системы, в которых возможен отбор немногих элементов из очень большого числа разнообразных элементов.

Процессы эволюции самоорганизующихся систем проходят через множество хаотических состояний, каждое из которых находится между двумя устойчивыми детерминированными состояниями.

Сформулируем необходимые условия эволюции самоорганизующейся системы, осуществляемое путём прохождения множества хаотических состояний:

1. Самоорганизующаяся система должна быть открытой (имеет свободный контакт с внешней средой в виде обмена энергией или веществом).

2. Система должна быть нелинейной (должны существовать бифуркационные состояния).

3. Отклонения от равновесия превышают критические значения.

4. Микроскопические процессы в системе происходят кооперативно (самосогласованно).

Процессы эволюции самоорганизующейся системы рассмотрим на примере решений логистического уравнения.

Логистическое уравнение

Построение ориентированного во времени пространства Илья Романович Пригожий предложил проводить использованием динамики эволюции самоорганизующихся систем. На примере дискретного логистического уравнения построение ориентированного во времени пространства проводим с помощью бифуркационной кривой. Собственным временем является параметр управления а, собственным пространством - число популяций

хп(п = 1,2,...).

Для описания поведения популяции, численность которой стабилизируется на уровне к, было предложено Ферхюльстом в 1838 г. логистическое уравнение

&с <к

-=гх

1--

(1)

где х - численность популяции; г - параметр управления; к - максимальное число популяций. При заданном начальном условии хо решением уравнения (1) является х0кехр(п)

х(1) =

к - х0 + х0 ехр(г?)

(2)

В переменных у = — т = П уравнение к

(1) и решение (2) примут вид:

Й?Т

у(г)

= у(1-у)\

У о ехрт

(3)

1-Уо + Уо ехРт

В этом случае параметр управления т входит «масштабным» параметром для времени ?.

к

К/2

Рис.4

На рис.4 показан характер поведения

решения (2) при различных начальных

к к к

условиях: а) 0 < хо < —; б) хо = —; в) — < хо

2 2 2

< к. Верхняя ветвь решений построена для г

> 0, а нижняя ветвь решений для г < 0 (два

вида возможных решений).

Уравнение (1) имеет два стационарных решения: XI - 0 и Х2 = к. Устойчивость стационарных решений исследуем с помощью метода Ляпунова. Для этой цели нахо-

дим производную Цх, г,к)= г

Г Xл 1-2-к

Ста-

ционарное решение X] = 0 является устойчивым при г < 0 (нижняя ветвь решений рис. 4) и неустойчивым при г > 0 (верхняя ветвь решений рис. 4). Стационарное решение хг = к является устойчивым при г > 0 (верхняя ветвь решений рис. 4) и неустойчивым при г

< 0 (нижняя ветвь решений рис. 4). Таким образом, уравнение (1) имеет два «стационарных» решения, одно из которых устойчиво, а другое неустойчиво.

Мэй в 1976 г. предложил динамику популяций описать дискретным логистическим уравнением

. хп+1=ахп( 1~хп), (4)

где хп е (0,1), а е (0,4) - параметр управления системы. Для хп = 1 процесс развития популяции прекращается. При заданном начальном условии хо и значении параметра а

решением уравнения (4) является последовательность чисел хо —> X] —> Х2 —>...:

хп = х(п, х0, а). (5)

Зависимость решения (5) от хо и а носит различный характер. Начальное условие Хо определяет ЧИСЛО По такое, что при п > По решение (5) выходит на устойчивый цикл (чётный или нечётный), не зависящий от хо (рис.5).

А=2

Хо«Х,“Х;“

X.

-0.5

А=2

Х.-0.4; X, -0.48: Х.-0.4992

Рис. 5

Параметр управления а определяет характер поведения решения уравнения (4), который схематически представлен на рис. 6 (бифуркационная кривая), А=а

Рис.6

Уравнение (4) имеет стационарные

решения: X] = 0 и Х2 = 1- — . Устойчивость

а

стационарных решений исследуем с помощью метода Ляпунова. Для этой цели правую часть уравнения (4) обозначим /(х, а) = ах(1 -х). Находим производную f'(x, а) = а(1

- 2х) Стационарное решение х/ = 0 является устойчивым при а < 1 и неустойчивым при а

> 1. Стационарное решение хг = 1 - — явля-

а

ется устойчивым при 1 < а < 3 и неустойчивым при 3 < а < 4.

Характер поведения решений хо —» х\ —» *2 —при различных значениях а пред-

и

ставлен на рис. 7 (использован графический метод построения решений).

Хл.> t i х_, 1 -

/ / ■'уК

и 1 \ f —► 0

Рис. 7

В интервале 3 < а < 4 корень хг становится неустойчивым и в его окрестности появляются два устойчивых корня хг ^ < хг < Х22\ Этим корням соответствует решение периода два, состоящее из двух чисел (хг(1), хг ’)• На бифуркационной кривой (рис. 6) этому решению соответствуют две ветви в интервале а\ < а < аг. Для нахождения значения aj нужно взять вторую итерацию

%П+2 = ^2>(хп,а), (6)

где /2; = = f (хп,а) = ахп(1 - хп).

Стационарными решениями уравнения (6)

Хп+2 ~ Хп

ЯВЛЯЮТСЯ корни Х2(1) И Х2(2> I

Значение а], при котором возникают корни Х2(1’2), находим с использованием метода Ляпунова для функции /(2>(х, а).

Значение аг находим, используя стационарное решение для четвёртой итерации

хп+4= /4>(хп,а). (7)

Стационарному решению уравнения ]^4>(хп,а) = хп соответствуют четыре ветви в интервале аг < а < аз на бифуркационной кривой рис. 6.

Все чётные и нечётные периодические решения находим из уравнений

Хц+к = хп, (8)

где х„+2 = fk> (хп, а). Решение нечётного периода возникает при условии, что корни уравнения (8) xjr) становятся кратными. Точки бифуркации находим с использованием метода Ляпунова для функции/*^,а). В точках бифуркации решений (рис. 6) значениями параметра а* являются иррациональные числа: а\ = 3,1...; аг = 3,25...; аз = 3,5... Решение периода три возникает при значении а\* = 3,569945671868....

В нашем случае имеет место теорема Шарковского: если у непрерывного отображения есть 3 - цикл, то есть циклы любого периода

3—>5—>7—>9—>-------->3-2—>5-2—>7-2—»

—> 9 • 2 —>-> 3 • 22 —> 5 • 22 —> 7 • 22 —> 9 • 22 —»

---->-------------------> 23 -> 22 -> 21 -» 2° = 1

В логистическом уравнении для значений 3 < а < а* циклы периодических решений начинаются в обратном порядке и кончаются циклом 3.

Для значений параметра управления в интервале 3,57 < а <4 обнаружены устойчивые периодические циклы, которые циклы возникают в строго определённой последовательности и их называют U - последовательностями (универсальные последовательности).

При а = 4 процесс бифуркаций решений прекращается. В случае а = 4 имеем точное решение

х„ = sin2 (2п(ро(хо)); (р0 (х0) =

= ±arcsin(^). (9)

Решение (9) для начальных условий хо = 0,5; хо = 0,6; хо = 0,9 представлены на рис. 8 - рис. 10, из которых - видна зависимость от начальных условий жо. По этой причине его связывают с детерминированным хаосом. Это противоречит аналитической форме решения (9), согласно которой по хп и п точно находим значение хп. В этом случае элемент неопределенности полностью исключается.

п

Рис. 8

п

Рис. 9

п

ООЗЗ'е (ЮОЕ-е ООЬТ’Е ООМЭ‘С 0096*8 СЮ8Й

Рис. 12

Рис. 13

На микрокалькуляторе Фейгенбаум в 1978 г. получил два масштабных параметра, которые оказались иррациональными числами:

1) ап — а/ — А81 ”; 8{ —

ап+1 ап ап+2 ~ ап+1

<5, = 4,66920160910299097...;

2) ау={-~Л

-П+1

= 2,502978750958928485..., где с1„ - расстояние от х = 0,5 до ближайшего элемента цикла с периодом 2".

При а\ <а<аг появляется три ветви бифуркационной кривой. Каждая ветка полностью повторяет бифуркационную картину решения при 0 < а < а\ .В интервале а2 < а < аз появляется пять ветвей бифуркационной кривой. На каждой ветке полностью повторяется бифуркационная картина решения при 0

< а < а\ . Этот процесс повторяется бесконечно много раз при а —» 4. В каждом интервале (ак , а к+1) существуют свои масштабные параметры (г)*, а*).

С помощью ЭВМ построена бифуркационная картина рис. 11 и получены на рис. 12 - рис. 15 циклы, которые при этом возникают при а> а

Бифуркационная картина решений (рис. 6) связана с точечным множеством устойчивых и неустойчивых корней, расположенных на интервале (0, 1) (рис. 16).

Рис. 16

Состояние детерминированного хаоса обладает высокой симметрией, которую с помощью ЭВМ можно увидеть в виде фрактального множества, представленного на рис. 17 - рис. 32 для значений а = 1; 1,5; 2; 2,5; 2,8; 3; 3,2; 3,4; 3,5; 3,56; 3,6; 3,7; 3,8; 3,9; 3,98; 4. При а- 4 фракталы исчезают.

Пространство, ориентированное во времени

Закон эволюции самоорганизующейся системы происходит по определённому про-

странственно-временному закону. Уравнение (4) описывает динамику поведения биологической системы хищник - жертва.

С помощью бифуркационной кривой (рис. 6) мы наблюдаем самоорганизацию системы на чётных 2" и нечётных (2к + 1)2" циклах. Собственным временем является параметр управления а, собственным пространством является число популяций х„.

В моменты времени а\ а.2,— образуются чётные 2" и нечётные (2к + 1)2" циклы в определённой последовательности. В момент времени а\ самоорганизующая система порождает три бифуркационных дерева, которые полностью повторяют всю картину чётных 2" и нечётных (2к + \)2п циклов.

В момент времени а,к система совершает эволюционный переход к —> к + 1. При этом одно бифуркационное дерево при 0 < а < а\ порождает тройку бифуркационных деревьев при а\ <а<а2 и т. д. При этом полностью сохраняется структура бифуркации решений типа вилки (два решения появляются в точках бифуркации), появляются пространст-венно-временные масштабы (<5*, а*). Бифуркационным деревом называем решение, которое имеет место в интервале 0 < а < а\ (рис. 6). Структуру детерминированного хаоса можно изучать с помощью фракталов (рис. 17-рис.32). При а = 4 фрактальная структура исчезает.

Эволюция самоорганизующейся системы хищник-жертва описывается уравнением (4). Собственным пространством системы является численность популяций хп е (0,1), п = 1,2,..., а собственным временем -параметр управления а £ (0,4). На бифуркационной кривой (рис.6) показана динамика построения пространства, ориентированного во времени для данной системы.

На временном интервале (0,4) в точках а.к имеет место бифуркация решений, в точках ак* происходит размножение бифуркационного дерева. Внутри каждого интервала (а к+1+ а к) величина 8к является временным масштабом. Времена а к при к —> °° стремятся к значению а = 4. В нашем случае а = 4 играет роль бесконечного большого

Времени / —» оо.

Рис. 17. а - 1

Рис. 18. а = 1,5

Рис. 23. а - 3,2 ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 1/2002

Рис. 29. а = 3,8

Рис. 30. а = 3,9

На пространственном интервале (0,1) в процессе эволюции системы возникают точки Хк(г> (а), связанные с бифуркационными ветвями решения. Для каждого интервала (а к+1+ а к) величина щ является масштабом собственного пространства. Таким образом, масштабы времени и пространства (<5*, аО связаны с интервалом (а к+и а к)-

Полностью построить полное бифуркационное дерево можно с помощью ЭВМ в пространстве хп е (0,1) и времени а е (0,4). Полное бифуркационное дерево является пространством, ориентированным во времени, для эволюционной системы «хищник-жертва», поведение которой описывает уравнение (4).

В нашем случае стрелой пространст-ва-времени является последовательность

(а,\ , Х\ ) —» («2 , *2 ) —> («3 > ХЪ )

(а = 4, х\

где х*к определяются значениями а х* -решением (9). Хаотические состояния связаны с моментами времени , а.2 , аз ,.... Детерминированные состояния реализуются в интервалах а к < а < а к+1 (к = 1,2,...).

Таким образом, мы получили уникальную возможность увидеть эволюцию всей системы: прошлое, настоящее, будущее. Находясь в состоянии а = 4 мы имеем возможность проследить за всем ходом эволюции системы. Состояние а = 4 является предельным состоянием и соответствует времени г —> °°.

Например, для функции (р(х) = —-—

х — \

точка х = 1 является предельной. Поведение функции можно полностью изучить в любой окрестности точки х - 1. Аналогичная ситуация в случае логистического уравнения (4) возникает в окрестности предельного состоя-ния {а = 4, х ) (односторонний предел а —> 4).

Связь дискретных моментов времени п с собственным временем а

Зависимость хп от п при заданных а и хо (рис. 5) определяет характер изменения

численности популяции в дискретные моменты времени п при заданном масштабе времени (интервал между иия + 1). Зависимость хп от «а» при заданном хо (рис. 6) находим с помощью решений логистического уравнения (4) путём многократной итерационной процедуры Хп+к = /н>(хп,а).

При заданном значении параметра «а» на бифуркационной кривой находим значения (х(,), х(г+1),...,х<г+к>, которые образуют цикл периода к. Решение х„ = х(п,а,хо) выходит на этот цикл при п > щ. Интервал 0

< п < По определяет переход ОТ Хо к циклу (х<г), х(г+]>,...,х(г+к>).

Бифуркационную кривую (рис.6) нельзя построить с помощью одного решения х„ = х(п,а,хо). Для построения этой кривой необходимо использовать решений, определяемое параметром а е (0,4).

Процесс эволюции системы кончается при х„ = 1. Только при а = 4 и хо = 0,5 можно получить последовательность х„ = {0,5; 1; 0}, на которой заканчивается процесс эволюции системы. При всех значениях хо * 0,5 и а Е (0,4) процесс эволюции системы х„ — х{п,а,хо) продолжается при п —> что соответствует г —> 00.

Решение при а - 4 отличается от решений, построенных при а к- 1) при а - 4 имеем аналитическое решение {9); 2) при а

- 4 исчезает фрактальная структура решений; 3) при а - 4 и хо = 0,5 имеем решение хп = {0,5; 1; 0}, которое описывает эволюционный процесс, заканчивающийся при п = 3.

Более полный анализ всех решений, представленных на бифуркационной кривой (см рис.6), требует проведения глубоких исследований.

Утверждение о том, что при а - 4 имеет место состояние детерминированного хаоса является спорным и требует проведения дополнительных исследований.

В результате проведения многочисленных научных исследований в разных областях науки Илья Романович Пригожий пришёл к выводу, что эволюция самоорганизующихся систем формирует пространство, ориентированное во времени.

На примере простейшей модели «хищник-жертва» показано, что пространством, ориентированным во времени, для данной системы является бифуркационная кривая (см рис.6).

В этом пространстве эволюция системы схематически представлена на рис.2.

Пространственно-временная структура решений уравнения (4) появляется в результате коллективной информации о всех видах возможных решений. Масштабами собственного времени и собственного пространства в рассматриваемой системе являются постоянные (<5ь аО; (<5г, аг);--- Известно, что все физические постоянные являются иррациональными числами. По этой причине можно предположить, что величины (<5Ь «0; (<5г, «г); ... являются физическими постоянными в пространственно-временной эволюции биологических популяций, которую получаем с использованием дискретного аналога логистического уравнения, предложенного Мэйем.

Заключение

Пространство, ориентированное во времени, можно построить для дискретных уравнений любого порядка с произвольным числом параметров управления. Назовём это пространство собственным пространством системы.

1. Для уравнения хп+] = (р(хп, й;,..., а,) собственное пространство находим в результате многократной итерационной процедуры хп+к = фк){х,ь а!,..., а$), где к = N. N + 1,.... В данном случае собственными временами являются параметры а\,..., а5\ собственным пространством является х„ (п =

2. Для системы уравнений х(т>п+] = (р(хп(1>,...хп(т> аи..., а5) собственное пространство находим в результате многократной итерационной процедуры ^ ^п+к — Фт>(х„(1),...хп(т> а1г..., <я.у). В данном случае собственными временами являются параметры а],..., а5; собственным пространством являются х<Т)п = (г = 1,..., т; п = 1,2,...).

3. Существенная математическая сложность возникает при построении собственного пространства для уравнений с памятью. Хп+к — (р(Хп,...Хц+1с-1, О.},..., &ь).

В собственных пространствах эволюционирующих систем полностью просматриваются все внутренние закономерности, связанные с процессом эволюции.

Литература

1. Пригожий И., Стенгерс И.: Время, хаос, квант. -М.: Прогресс, 1944. - 266 с.

2. Гулд X., Тобочник Я.: Компьютерное моделирование в физике. Т. 1. - М.: Изд. МИР, 1990. - 349 с.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ МАСС ПИОНА И МЮОНА

А.П. САВРУХИН, доцент кафедры физики МГУЛа, к. т. н.

Обозначения:

а - постоянная тонкой структуры; с - электродинамическая постоянная; те, тт, тр - массы электрона, мюона, пиона; /3= (1-у2/с2)0,5;

V - поступательная скорость; и - орбитальная скорость;

I - импульсная энергия;

Г- релятивистская кинетическая энергия;

К- кинетическая энергия.

Пион и электрон

На рис. 1 изображены различные пути преобразования электрона в пион. Радиусы окружностей равны массам частиц: 0а\ -те; Ос-! = 0g = тр. Ранее [1] было найдено следующее значение аргумента (рео невозбужденного электрона = фео ~ аг^ 1/а.

Когда электрон ускоряется, его фаза увеличивается до значения Zа10# = (ре.