CC BY
1Мандражи О.А.,
Харьковский национальный аграрный университет имени В.В. Докучаева, доцент кафедры физики и высшей математики факультета инженеров землеустроителей, канд. пед. наук
Кириллова А. С.
Харьковская специализированная школа № 162 ЫП ступеней Харьковского городского совета Харьковской области (ученица 10-Б класса)
ЗАГАДКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
SOME MYSTERIES OF GEOMETRIC PROGRESSIONS
Mandrazhy O.A.
Kharkiv National Agrarian University named after V. V.Dokuchayev, Associate professor ofthe chair of Physics and Higher Mathematics, Ph.D. in Pedagogics, Candidate of Pedagogical Sciences
Kyrylova A.S.
Kharkiv specialized school № 162I-III stages of Kharkiv City Council Kharkiv region (student of 10-B class)
АННОТАЦИЯ
В статье представлены формулы нахождения знаменателя и Ьп члена геометрической прогрессии, которые не предполагают обязательное наличие первого члена. На материале данной темы алгебры для 9 класса продемонстрирована актуальность вывода ученицей данных формул и акцентируется внимание на то, что изучение математики в современной школе не должно сводиться только к ознакомлению с математическими терминами и формулами, а должно, прежде всего, приучать учеников думать и рассуждать.
ABSTRACT
The article presents the formulas of finding the denominator and the member of geometric progression, which do not require the mandatory presence of the first member. The material of the algebra topic for 9th Grade demonstrates the relevance of deriving these formulas by the student and the attention is focused on the fact, that studying mathematics in the modern school should not be limited to the acquaintance with mathematical terms and formulas, conversely, first of all, it should teach students to think and to reason.
Ключевые слова: геометрическая прогрессия, формулы, обучение.
Keywords: geometric progression, formulas, education.
Последнее время наблюдается тенденция уменьшения часов для изучения математики в школе. Обычно объясняется это тем, что ученики в школе перегружены и поэтому им надо облегчать процесс обучения. Давайте попробуем разобраться, действительно ли сокращение часов для занятий математикой упрощает жизнь ученикам. Начать надо обязательно с того, что математика - это не просто формулы и уж тем более занятия математикой не предусматривают развитие только одного единственного умения: подставлять данные в формулы. Математика, в первую очередь, - это мысли, идеи, рассуждения, а формулы - вторичны. Символы в математике предназначены для облегчения записи и восприятия, но это не сама математика. Наверное, будут показательны слова самих учащихся о том, что в связи с нехваткой времени, учителя зачастую просто информируют их о тех или иных фактах, формулах или терминах. С одной стороны, мы много слышим сейчас о том, что очень важно для современного образования научить детей критически мыслить, исследовать, учиться самостоятельно осваивать знания, с другой - данные навыки редко развиваются, всё более наблюдается «пробежка» по темам.
Рассмотрим, к примеру, тему «Геометрическая прогрессия» (9 класс, алгебра) по учебнику Бевз Г.П. Алгебра для 9 класса (учебник-победитель Всеукраинского конкурса учебников для 12-летней школы Министерства образования и науки Украины в 2009 г.) [1]. На данную тему программой предусматривается 6 часов (уроков) [2]. В учебнике
даётся определение, формула Ъп = Ъ1• цп-1, то есть стандартная формула п-го члена геометрической прогрессии, рассматриваются её свойства относительно среднего геометрического и суммы п первых членов. Далее разбираются примеры для понимания, осмысления и закрепления описанных выше формул, после чего идут задания. Задания разбиваются по уровню сложности: устные, на восприятие геометрической последовательности, потом следует уровень А - сравнительно простых заданий и уровень Б - более сложных. Есть задания «со звёздочкой» - задания, предназначенные для учеников, которые любят математику и, возможно, планируют перейти в 10 класс с углублённым её изучением. Уровень А предполагает, в основном, закрепление новых понятий и формул из параграфа. Так в номере 940 на стр. 237 [1] встречаем задание, в котором необходимо найти Ъ12, если известны два последовательных члена геометрической прогрессии, например, Ь3 и Ь4. Понятно, что для поиска Ъ12, уче-
ь4
ник может сначала найти а = —, а потом, восполь-
Ьз
зовавшись формулой п-го члена геометрической прогрессии для Ь3 или Ь4, найти Ъ1, чтобы уже зная Ь1 и ц опять же по формуле п-го члена посчитать Ъ12. Конечно, описанный ход мыслей, не единственно возможный подход к решению, однако мы отталкивались от того, чтобы прийти к результату, используя только формулы из соответствующего параграфа. Поэтому становится интересно рассмотреть пример из этого же номера под пунктом г), в котором просят найти Ъ12, но зная при этом Ъ2 и Ь4.
Как мы уже описали, зная два последовательных члена геометрической последовательности Ь3 и Ъ4 и понимая определение геометрической прогрес-
Л
сии, ученик легко находит знаменатель ц = —. А
Ьз
вот при условии известных Ъ2 и Ъ4, ученик уже должен подумать и прийти к тому, что отношение Ъ4 к Ъ2 даст ц2. Однако в разделе «Выполним вместе» [1, стр. 235] находим похожее задание, которое предлагается решать с помощью системы. То есть, известны два члена геометрической последовательности Ъ4 =2 и Ь7 = -54, надо найти Ь1и ц. Предлагается по формуле п-го члена записать Ъ4 =
q3, а Ъ7 = q6, составить систему
: V
2 = Ь1 54 = q6
и решить её с помощью почленного деления второго уравнения на первое. Выполнив деление, получают Ч3 = -27, и ц = 3, подставляют найденное значение в первое уравнение и находят Ь1 = -2/27. Как видим, авторы при решении стараются опираться только на формулы из текста параграфа и это хорошо. Но всё же, если можно решить задание рассуждением, то такой способ, на наш взгляд, не просто нужно, но даже важно показывать. Ведь данное задание могло привести к очень интересному уроку, если бы учитель имел возможность дать ученикам поразмышлять или подвести их к тому, что если Ь4/Ь2, то мы получим ц2 (или Ъ7/Ъ4 - получим ц3). Описанный подход можно было бы обобщить, предположив, что ц всегда можно легко отыскать при наличии любых двух членов геометрической прогрессии (не обязательно первого).
Ьу Ьц • q
У-1
Ч
У-1
bx Ъ± • q
—г = —7 = q'
х-1 qx-i '
Пусть нам заданы Ъх и Ъу такие, что у Ф х (для определённости предположим, что у > х), тогда: . „ Ь„
7У-% =
,ЬхФ0.
их
Конечно, формула остаётся справедливой и при условии Ьу = Ъх.
Например, возьмём Ъ5 = 27, а Ь3 = 3, тогда 5-3 27
ч53 = ^
получается q2 = 9,
q = 3.
То есть в рассмотренном случае речь не идёт о чем-то новом в алгебре. Однако на уроке могла быть получена формула, которая явилась бы результатом мыслительной деятельности, рассуждений и творческого подхода учащихся, она могла стать проявлением самостоятельности их мышления. Хочется особо обратить внимание, подчеркнуть, если в классе есть ученики, способные выявлять или выводить некоторые закономерности, обобщать их, то очень важно не пропускать такие моменты, не просто акцентируя на них внимание. Желательно подхватывать все подобные мысли-изюминки (ведь для учеников это именно маленькие изюминки), организовывая с этими «находками» дальнейшую работу. В нашем случае, например, можно доказать справедливость формулы, рассмотреть её применение, провести эвристическую беседу.
Итак, для доказательства воспользуемся основными формулами из параграфа и запишем: Ьу = Ь1 • цу-1, а Ъх = Ъ1^ qx-1, тогда
v-i-(x-i) = qy-i-x+i = qy-x
Интересно, можно ли воспользоваться данной формулой при условии Ьу = Ьх = 0? А можно ли доказанное равенство переписать, используя арифметический корень? Возможно, последний вопрос и не совсем корректен, ведь ученики 9 класса не знакомы с понятием «корень п-й степени», - замечательный повод им немного об этом рассказать, презентовать тему, привлечь к её изучению в будущем. В то же время ученики вполне могут заметить, что результат Ьу/Ьх может быть и отрицательным, а тогда нельзя будет извлечь квадратный корень и мы не сможем найти q. На этом моменте учитель может предложить ученикам поэкспериментировать с формулой относительно последнего утверждения: q получили в чётной степени, а заданные члены геометрической прогрессии разных знаков. Уверены, школьники, которые привыкли на уроках математики задумываться, обязательно заметят или продумают тот момент, что члены геометрической прогрессии, расположенные через чётное их количество, всегда будут одинакового знака вне зависимости от знака q.
Из описанной формулы легко получить полезный результат, при котором изначально для поиска какого-нибудь члена геометрической прогрессии можно использовать не стандартную школьную формулу, а формулу, для которой не обязательно
будет наличие первого члена: требуется лишь знать любой член прогрессии Ъх и q : Ъп = Ъх•
Ещё одна формула? Ещё один захватывающий урок, на котором ученики участвовали в процессе познания, придумывали и создавали новое для себя. Данные формулы, полученные самими же учащимися, скорее всего, будут популярны среди них, ведь дают возможность находить Ьп и ц при наличии любых двух членов геометрической прогрессии, к тому же оставили приятные ощущения и эмоции интересного урока. Однако такие уроки - результат каждодневной кропотливой работы учителя. Чтобы ученики творили, их этому надо учить, подстёгивать, стимулировать, но всё это требует времени. Умения задумываться, задаваться вопросами, анализировать и обобщать намного сложнее развить по сравнению с отработкой и запоминанием непонятных и не ясно откуда взятых формул. Да и когда рассуждать, задумываться, делать выводы, если для математики оставили 3 часа в неделю (мы не говорим сейчас о классах с углублённым изучением математики), за которые надо усвоить или пройти достаточный объём знаний, слишком большой для того, чтобы его ещё и осознать.
Поэтому в нашей истории всё было иначе. Ученица, которая в 2015/16 учебном году была девятиклассницей, Амилия Кириллова, столкнувшись с предложенным учителем подходом решения описанного выше задания с помощью системы, была удивлена: неужели нельзя придумать что-то проще? А как мы знаем, сильное удивление или вопрос всегда являются замечательной мотивацией для интересных исследований. Тем более, что решение посредством системы часто приводило к необходимости извлекать корни степени выше второй, а данная тема изучается только в 10 классе и наши девятиклассники с ней пока не знакомы. Конечно, довольно редко используемый подход решения системы, её громоздкость, как в составлении, так и в решении, необходимость извлекать корни интуитивно (ведь данный навык отсутствует) - всё это страшит учеников и приводит к выводу, что "Геометрическая прогрессия" - слишком трудная тема, да и сама математика очень сложная наука. Но ведь мы понимаем, что трудности в данном случае в большей мере относятся к недостаточно вдумчивому отношению к пониманию сути геометрической прогрессии, непоследовательности используемых тем, искусственному усложнению. И вот Амилия, задавшись целью упростить решение данного задания, самостоятельно пришла к формуле:
их
а затем и
Ьп = Ьх• яп~х.
То есть, стремясь облегчить свою участь и участь своих сверстников, ученица вывела формулы, которые, как мы уже убедились ранее, являются абсолютно справедливыми. Для сравнения, давайте запишем решение приведённого в [1, стр. 235] задания с помощью описанных формул: Ь7 = Ь4• ц7-4 Ъ7 = Ь4^ ц3 Ч3 = Ь7/Ъ4 ц3 = -27 q = -3.
Как видим, решение выглядит более простым для учеников гуманитарных классов, хотя необходимость извлекать корни всё же осталась, но и с этим при желании опытный учитель может справиться.
Убедившись на практике, что полученные формулы, облегчают решение предлагаемых на уроках задач, Амилия задумалась над тем, почему в школьных учебниках с ними не знакомят. Ведь,
например, формула Ьп = цп-х даёт возможность находить Ьп при наличии любого члена прогрессии, не обязательно первого, а значит является более общей. Обзор украинских учебников алгебры показал, что в них традиционно рассматривают формулу Ъп = цп-1. И даже поиск в зарубежных учебниках (см., например, [3]) подтверждает приверженность их авторов именно к этой формуле.
Конечно, вопрос о том, какая из формул более уместна, - это вопрос предпочтения самих авторов. Для Амилии стало очевидным то, что в школьных учебниках должны описываться именно формулы
Ч
у-х = У
и Ьп = Ъх • qn х, учитывая тот факт, что
они упрощают решения, а значит являются более универсальными. При этом Амилия очень надеется, что такой подход к раскрытию темы сможет помочь школьникам лучше её понять, так как располагая лишь этими двумя формулами можно находить абсолютно всё, что предлагается в школе для решения. Ученица так же отметила, что описывая формулу нахождения Ьп через Ь± и q ученикам предлагается решать задачи только на закрепление этой формулы, то есть данные, которые предоставляются, либо сразу подбираются под неё, либо же решения сводят к ней, что по её мнению не даёт возможности изучить и понять тему до конца, потому что рассматривается слишком узкая её часть. Приведённые выше мысли убедили Амилию в том, что описанные ею формулы более актуальны и имеют право присутствовать в школьных учебниках или, хотя бы, рассматриваться на уроках.
Возможно, последняя мысль и является спорной, но важна сама суть: ученики пытаются сделать обучение математике более понятным, доступным, стараются привнести в уроки элементы творчества, хотят размышлять, понимать, рассуждать. Что это значит? Может просто это всё загадки геометрической прогрессии?
Список литературы
1. Бевз Г.П. Алгебра: шдруч. для 9 кл. загаль-ноосвгг. навч. закл. / Г.П.Бевз, В.Г. Бевз. - К.: Зо-д1ак-ЕКО, 2009. - 288 с.: ш.
2. Математика. Навчальна програма для уч-тв 5-9 клаав загальноосвггшх навчальних закла-д1в. [Електронний ресурс] / М.1.Бурда, Г.В.Апосто-лова, В.Г.Бевз та ш. // Режим доступу: http://mon.gov.ua/content/Освiта/math.pdf
3. The Free High School Science Texts: A Textbook for High School Students Studying Maths. [Електронний ресурс] / FHSST Authors // Режим доступу : http ://savannah.nongnu. org/proj ects/fhsst
ь
x
